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Tema 1. Os Números Reais - Introdução
Tema1. Os Números Reais – Introdução  Os números representam um papel vital não só na Matemática, como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números, de horários, de tabelas, de gráficos, de preços, de juros, de impostos, de velocidades, de distâncias, de temperaturas, de resultados de jogos, ...  Vivemos rodeados de Matemática!
Mas como será que surgiram os primeiros números? A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa proeza. Há muitos anos atrás os nossos antepassados, da Idade da Pedra, viviam do que a Natureza lhes proporcionava. Caçavam, pescavam e colhiam frutos silvestres. E nessas actividades começaram a sentir a necessidade da ‘Matemática’ para procederem à contagem, por exemplo, dos peixes que pescavam…
Mas como será que surgiram os primeiros números? Nos primeiros tempos da Humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas,… pois a escrita ainda não tinha sido criada. Com o passar do tempo este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.
Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso. Mas como será que surgiram os primeiros números?
Há mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e colectar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Ora para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. Mas como será que surgiram os primeiros números?
Comunidade primitiva Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, ….
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores... Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré - História e o começo da História. Mas como será que surgiram os primeiros números?
Antigo Egipto Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto.
Para fazer os projectos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. O número também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. Mas como será que surgiram os primeiros números? Como efectuar cálculos rápidos e precisos com  pedras, nós  ou riscos num osso?
Mas como será que surgiram os primeiros números? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos –  os símbolos . A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Mas como será que surgiram os primeiros números? O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números chave: 1  10  100  1000  10 000  100 000  1 000 000 Os egípcios usavam símbolos para representar estes números.
Mas como será que surgiram os primeiros números?
Sistema de Numeração Egípcio  Todos os outros números eram escritos combinando os números chave.
Mas outros sistemas de numeração surgiram. Os romanos, por exemplo, usavam os símbolos I, V, X, D, C, L e umas regras complicadas para representar os números. Por estas regras o número  15  era escrito como XV,  171  como CLXXI e  1400  como MCD. É fácil perceber que um sistema de numeração deste tipo, tem o grave inconveniente de não se poder ir muito longe, pois cada mudança de classe exigiria, pelo menos, a invenção de um novo símbolo e necessitaríamos de uma memória prodigiosa para sabê-los todos!  Se escrever estes números não é uma tarefa muito simples, já imaginou o que seria então "fazer contas" usando-se este sistema?! Mas como será que surgiram os primeiros números?
A necessidade de se inventar um sistema de numeração escrita onde usando-se poucos símbolos fosse possível representar qualquer número, por maior que fosse, e de se "fazer contas" de uma maneira rápida e fácil, levou à criação do sistema de numeração posicional, onde o valor de cada símbolo (algarismo) depende da posição ou classe que ele ocupa, e à criação de um símbolo para preencher ou indicar classes vazias. Mas como será que surgiram os primeiros números?
Mas como será que surgiram os primeiros números? Para entender como o zero surgiu, precisamos conhecer um dos primeiros "computadores" conhecidos pela humanidade: o ábaco.  O ábaco , inicialmente, consistia em meros sulcos feitos na areia onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro sulco, da esquerda para a direita, representava as unidades; o segundo, as dezenas; o terceiro, as centenas e assim por diante. Cada pedrinha colocada num sulco correspondia à unidade da ordem do sulco, isto é, uma pedrinha no segundo sulco valia uma unidade de segunda ordem.
Desta maneira, no ábaco desenhado na figura abaixo está representado o número  23 :  Mas como será que surgiram os primeiros números?
Mas como será que surgiram os primeiros números? E que número estará representado no ábaco seguinte? O número  301 !
Observe que a classe vazia do ábaco foi representada pelo símbolo  0  (zero). Foi este o procedimento dos  hindus : para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo que chamaram de Sunya (vazio). Este nome passou para o árabe como Cifer, depois Zefir, e, finalmente, zero, em português.  Ficou claro agora, a grande vantagem do sistema de numeração chamado posicional? Com este sistema, não é mais necessário inventar símbolos novos para cada número (para o sistema decimal, por exemplo, bastam dez símbolos:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ), ou seja, é mais simples escrever os números como também é possível efectuar muito mais facilmente as operações.  .  Mas como será que surgiram os primeiros números?
Foi então assim que surgiram os números  0, 1, 2, 3, 4  e por aí adiante… Ou seja, surgiram, deste modo, os números que agora designamos por  Conjunto dos Números Naturais  e representamos por : IN = { 1,2,3,4,5, … } . Ou ainda incluindo o zero temos o  Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos : IN 0  = { 1,2,3,4,5, … } . Mas como será que surgiram os primeiros números?
Evolução do número… Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris: “ ... repartiu o solo do Egipto nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.”
Evolução do número… Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava para marcar os limites do seu terreno.
Evolução do número…  Para remarcar os terrenos eram usadas cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas, pelo faraó, de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno.  No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia  um número inteiro de vezes   nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número:  o número fraccionário . Para representar os números fraccionários, usavam  fracções .
Evolução do número… Assim para incluir os números fraccionários com os já existentes, criou-se um novo conjunto de números, o  conjunto dos Números Racionais , Q, que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros. Assim o conjunto dos Números Racionais é formado pelos  Números Inteiros Não Negativos  e pelos  Números Fraccionários , ou seja, o conjunto dos Números Racionais é formado pelos Números Inteiros Não Negativos, pelas Dizimas Finitas e pelas Dizimas Infinitas Periódicas.
Evolução do número… Depois de durante milénios ter utilizado os números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais profundos da Matemática. A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos a.C. quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de  número , considerando-o como essência das coisas.
Pitágoras  Pitágoras nasceu cerca de 570 anos a. C., em Samos, uma ilha do mar Egeu. Viajou por vários países, acumulando grande quantidade de conhecimento. Fundou  na cidade de Crotona, no sul da Itália, uma sociedade que ficou conhecida como a "irmandade Pitagórica". Os pitagóricos eram fascinados pelas propriedades dos números inteiros e descobriram inúmeras dessas propriedades.  O maior feito da escola de Pitágoras foi a descoberta do famoso "Teorema de Pitágoras".
Evolução do número… Por volta do ano 600 a. C. os gregos ao tentarem resolver um problema usando o Teorema de Pitágoras, descobriram um número “novo”. Os Pitagóricos descobriram que existia um segmento de recta mas que não existia nenhum número racional que representasse a sua medida de comprimento. Este segmento de recta era a diagonal de um quadrado de lado unitário:
Evolução do número …. Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado  1  não era uma razão entre dois inteiros os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia do universo: não podiam aceitar a raiz quadrada de dois como um número; mas não podiam negar que esta raiz era a medida da diagonal de um quadrado unitário.  Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta.  Assim, a raiz de dois terá sido o primeiro número irracional com que a Humanidade se deparou.
Evolução do número… Surgiu deste modo o  conjunto dos Números Irracionais . A este conjunto pertencem também outros números, que pela sua história se tornaram muito conhecidos, como por exemplo, o número pi (π = 3,141592...) e  o número de Euler (e = 2,71828...). Como tal, o conjunto dos Números Irracionais é formado pelas Dizimas Infinitas Não Periódicas.
Evolução do número… Como podemos verificar, a evolução do número está praticamente concluída. Ao longo da nossa viagem apenas não surgiu qualquer referencia aos números negativos. Do ponto de vista cronológico este conjunto foi o último a surgir, tendo sido utilizado pela primeira vez, por volta do ano 630, pelo matemático Brahmagupta, que viveu na Índia, associado a problemas comerciais que envolviam ganhos e perdas.
Evolução do número… A partir daí, os matemáticos começaram a escolher uma melhor notação para expressar o novo número, que não indicaria apenas quantidade, mas também representasse o ganho ou a perda, surgindo assim o número com sinal, positivo ou negativo, conhecido como  número inteiro relativo .
Evolução do número… Com base nos estudos desenvolvidos pelos matemáticos da época, surge o  Conjunto dos Números Reais , onde todos os números vistos anteriormente fazem parte, ou seja, todo número natural, racional, irracional e inteiro, é também um número real.
Resumindo… Conjuntos Numéricos Repare que na parte azul, não há nenhum número pois se um número é Real então ou ele será Racional ou ele será Irracional e encontrar-se-á no seu respectivo conjunto. Não existe nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

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Números.reais.introdução

  • 1. Tema 1. Os Números Reais - Introdução
  • 2. Tema1. Os Números Reais – Introdução Os números representam um papel vital não só na Matemática, como na ciência de um modo geral e na nossa vida diária. Vivemos cercados de números, de horários, de tabelas, de gráficos, de preços, de juros, de impostos, de velocidades, de distâncias, de temperaturas, de resultados de jogos, ... Vivemos rodeados de Matemática!
  • 3. Mas como será que surgiram os primeiros números? A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa proeza. Há muitos anos atrás os nossos antepassados, da Idade da Pedra, viviam do que a Natureza lhes proporcionava. Caçavam, pescavam e colhiam frutos silvestres. E nessas actividades começaram a sentir a necessidade da ‘Matemática’ para procederem à contagem, por exemplo, dos peixes que pescavam…
  • 4. Mas como será que surgiram os primeiros números? Nos primeiros tempos da Humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas,… pois a escrita ainda não tinha sido criada. Com o passar do tempo este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.
  • 5. Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso. Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 6. Há mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e colectar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Ora para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia. Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 7. Comunidade primitiva Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas, ….
  • 8. Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores... Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré - História e o começo da História. Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 9. Antigo Egipto Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto.
  • 10. Para fazer os projectos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. O número também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. Mas como será que surgiram os primeiros números? Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso?
  • 11. Mas como será que surgiram os primeiros números? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objectos de uma colecção através de desenhos – os símbolos . A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
  • 12. Mas como será que surgiram os primeiros números? O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números chave: 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 Os egípcios usavam símbolos para representar estes números.
  • 13. Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 14. Sistema de Numeração Egípcio Todos os outros números eram escritos combinando os números chave.
  • 15. Mas outros sistemas de numeração surgiram. Os romanos, por exemplo, usavam os símbolos I, V, X, D, C, L e umas regras complicadas para representar os números. Por estas regras o número 15 era escrito como XV, 171 como CLXXI e 1400 como MCD. É fácil perceber que um sistema de numeração deste tipo, tem o grave inconveniente de não se poder ir muito longe, pois cada mudança de classe exigiria, pelo menos, a invenção de um novo símbolo e necessitaríamos de uma memória prodigiosa para sabê-los todos! Se escrever estes números não é uma tarefa muito simples, já imaginou o que seria então "fazer contas" usando-se este sistema?! Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 16. A necessidade de se inventar um sistema de numeração escrita onde usando-se poucos símbolos fosse possível representar qualquer número, por maior que fosse, e de se "fazer contas" de uma maneira rápida e fácil, levou à criação do sistema de numeração posicional, onde o valor de cada símbolo (algarismo) depende da posição ou classe que ele ocupa, e à criação de um símbolo para preencher ou indicar classes vazias. Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 17. Mas como será que surgiram os primeiros números? Para entender como o zero surgiu, precisamos conhecer um dos primeiros "computadores" conhecidos pela humanidade: o ábaco. O ábaco , inicialmente, consistia em meros sulcos feitos na areia onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro sulco, da esquerda para a direita, representava as unidades; o segundo, as dezenas; o terceiro, as centenas e assim por diante. Cada pedrinha colocada num sulco correspondia à unidade da ordem do sulco, isto é, uma pedrinha no segundo sulco valia uma unidade de segunda ordem.
  • 18. Desta maneira, no ábaco desenhado na figura abaixo está representado o número 23 : Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 19. Mas como será que surgiram os primeiros números? E que número estará representado no ábaco seguinte? O número 301 !
  • 20. Observe que a classe vazia do ábaco foi representada pelo símbolo 0 (zero). Foi este o procedimento dos hindus : para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo que chamaram de Sunya (vazio). Este nome passou para o árabe como Cifer, depois Zefir, e, finalmente, zero, em português. Ficou claro agora, a grande vantagem do sistema de numeração chamado posicional? Com este sistema, não é mais necessário inventar símbolos novos para cada número (para o sistema decimal, por exemplo, bastam dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ), ou seja, é mais simples escrever os números como também é possível efectuar muito mais facilmente as operações. . Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 21. Foi então assim que surgiram os números 0, 1, 2, 3, 4 e por aí adiante… Ou seja, surgiram, deste modo, os números que agora designamos por Conjunto dos Números Naturais e representamos por : IN = { 1,2,3,4,5, … } . Ou ainda incluindo o zero temos o Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos : IN 0 = { 1,2,3,4,5, … } . Mas como será que surgiram os primeiros números?
  • 22. Evolução do número… Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris: “ ... repartiu o solo do Egipto nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.”
  • 23. Evolução do número… Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava para marcar os limites do seu terreno.
  • 24. Evolução do número… Para remarcar os terrenos eram usadas cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas, pelo faraó, de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fraccionário . Para representar os números fraccionários, usavam fracções .
  • 25. Evolução do número… Assim para incluir os números fraccionários com os já existentes, criou-se um novo conjunto de números, o conjunto dos Números Racionais , Q, que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros. Assim o conjunto dos Números Racionais é formado pelos Números Inteiros Não Negativos e pelos Números Fraccionários , ou seja, o conjunto dos Números Racionais é formado pelos Números Inteiros Não Negativos, pelas Dizimas Finitas e pelas Dizimas Infinitas Periódicas.
  • 26. Evolução do número… Depois de durante milénios ter utilizado os números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais profundos da Matemática. A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos a.C. quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número , considerando-o como essência das coisas.
  • 27. Pitágoras Pitágoras nasceu cerca de 570 anos a. C., em Samos, uma ilha do mar Egeu. Viajou por vários países, acumulando grande quantidade de conhecimento. Fundou na cidade de Crotona, no sul da Itália, uma sociedade que ficou conhecida como a "irmandade Pitagórica". Os pitagóricos eram fascinados pelas propriedades dos números inteiros e descobriram inúmeras dessas propriedades. O maior feito da escola de Pitágoras foi a descoberta do famoso "Teorema de Pitágoras".
  • 28. Evolução do número… Por volta do ano 600 a. C. os gregos ao tentarem resolver um problema usando o Teorema de Pitágoras, descobriram um número “novo”. Os Pitagóricos descobriram que existia um segmento de recta mas que não existia nenhum número racional que representasse a sua medida de comprimento. Este segmento de recta era a diagonal de um quadrado de lado unitário:
  • 29. Evolução do número …. Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era uma razão entre dois inteiros os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia do universo: não podiam aceitar a raiz quadrada de dois como um número; mas não podiam negar que esta raiz era a medida da diagonal de um quadrado unitário. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Assim, a raiz de dois terá sido o primeiro número irracional com que a Humanidade se deparou.
  • 30. Evolução do número… Surgiu deste modo o conjunto dos Números Irracionais . A este conjunto pertencem também outros números, que pela sua história se tornaram muito conhecidos, como por exemplo, o número pi (π = 3,141592...) e o número de Euler (e = 2,71828...). Como tal, o conjunto dos Números Irracionais é formado pelas Dizimas Infinitas Não Periódicas.
  • 31. Evolução do número… Como podemos verificar, a evolução do número está praticamente concluída. Ao longo da nossa viagem apenas não surgiu qualquer referencia aos números negativos. Do ponto de vista cronológico este conjunto foi o último a surgir, tendo sido utilizado pela primeira vez, por volta do ano 630, pelo matemático Brahmagupta, que viveu na Índia, associado a problemas comerciais que envolviam ganhos e perdas.
  • 32. Evolução do número… A partir daí, os matemáticos começaram a escolher uma melhor notação para expressar o novo número, que não indicaria apenas quantidade, mas também representasse o ganho ou a perda, surgindo assim o número com sinal, positivo ou negativo, conhecido como número inteiro relativo .
  • 33. Evolução do número… Com base nos estudos desenvolvidos pelos matemáticos da época, surge o Conjunto dos Números Reais , onde todos os números vistos anteriormente fazem parte, ou seja, todo número natural, racional, irracional e inteiro, é também um número real.
  • 34. Resumindo… Conjuntos Numéricos Repare que na parte azul, não há nenhum número pois se um número é Real então ou ele será Racional ou ele será Irracional e encontrar-se-á no seu respectivo conjunto. Não existe nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.