Conjuntos dos números racionais

Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Conjuntos dos números racionais relativos
operações de potenciação e radiciação
resolução de situaçõesproblema

Matemática, 7º Ano do Ensino Fundamental
1. Introdução

SÃO TODOS OS NÚMEROS QUE SÃO
REPRESENTADOS NA FORMA DECIMAL,
AQUELES NÚMEROS QUE PODEM SER
ESCRITOS NA FORMA DE FRAÇÃO.
Números Racionais
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
,...
2
1−
,...5,2−
,...3,0−
,...
7
2+
,...3,2,1,0 −−−−
,...3,2,1,0
N
Z
Q

PODEMOS ESCREVÊ-LOS DE ALGUMAS FORMAS
DIFERENTES.
POR EXEMPLO:
Números Racionais
♦ Em forma de fração ordinária e todos os seus opostos.
Esses números têm a fora com a , b Z e b ≠ 0.
b
a
∈
3
9
;
2
1
;
3
6

♦NÚMEROS DECIMAIS COM FINITAS ORDENS
DECIMAIS OU EXTENSÃO FINITA:
Números Racionais
10
3
3,0 =
4
3
100
75
75,0
−
=
−
=−
4
1
100
25
25,0 ==

♦NÚMERO DECIMAL COM INFINITAS ORDENS
DECIMAIS OU DE EXTENSÃO INFINITA PERIÓDICA.
SÃO DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES OU
COMPOSTAS:
Números Racionais
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma :
com a, b Z e b ≠ 0.
...3333,0
3
1
= ...36363636,0
11
4
= ...2555,0
90
23
=
b
a
∈

OCONJUNTODOS NÚMEROS RACIONAIS É
REPRESENTADO PELA LETRA Q MAIÚSCULA NA
FIGURA.(PRÓPRIO AUTORDO SLIDE).
Conjunto dos Números Racionais
Q
N
Z
OU
Q = {x = , com a Z e b Z*}
b
a
Q = { , sendo a e b números inteiros e b ≠ 0}
b
a
QZN:Indicamos
QemcontidoestáZeZ,emcontidoestáN
⊂⊂

ALÉM DE N E Z, EXISTEM OUTROS SUBCONJUNTOS
DE Q.
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ---------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ --------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- --------- É o conjunto dos números racionais negativos.

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
5,1−
5
4−
...25,0−
3
1
4
5
2
7
...1−...0

Imagem: Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU Lesser General Public
License
Entre dois números
racionais existem
infinitos outros
números racionais.
5,1−
5
4−
...25,0−
3
1
4
5
2
7
...1−...0

License
Recorde
Os termos de uma fração são:
numerador
denominador7
3

As operações envolvendo frações são
fundamentais para a resolução de diversos
problemas da Matemática e das demais
ciências. É importante saber adicionar,
subtrair, multiplicar e dividir esses números
que são tão comuns em nosso cotidiano. A
potenciação e a radiciação de frações são
outras duas operações importantes
envolvendo os números racionais (frações),
mas que ainda provocam várias dúvidas
em muitos estudantes.

POTENCIAÇÃO
Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser
General Public License
Veremos como
efetuar essas
operações e
acabar
solucionando as
dúvidas existentes.

Potenciação de Números Racionais
Imagem: David Vignoni, modifications by DaniDF1995 / GNU Lesser General Public License
Com expoentes
inteiros não
negativos

A definição da potenciação de números
racionais com expoentes inteiros positivos é a
mesma das potências de números inteiros.

License
Para todo número racional a e
número inteiro n, sendo n > 1,
definimos:
expoente
base fatores
...
n
aaaa ⋅⋅⋅⋅=
n
a

Potenciação de números racionais
racionais com expoentes inteiros positivos é a
mesma das potências de números inteiros.

License
Sabemos que a multiplicação de
frações é feita multiplicando
numerador com numerador e
denominador com denominador.
Assim, segue que:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n
...⋅⋅⋅⋅=






racionais com expoentes inteiros negativos é
da seguinte forma:
n
nnn
a
b
a
b
b
a
=





=





−

Potenciação de números Racionais
License
n
nn
b
a
b
a
=





Note que a potenciação de
frações é feita elevando o
numerador e o denominador
ao expoente n.

REGRA DO SINAL DE UMA POTÊNCIA DE
NÚMERO RACIONAL
Quadro-resumo da potência an
emque a é inteiro e n é natural
Base e expoente Sinal da potência
Base positiva Potência positiva
Base negativa e expoente par Potência positiva
Base negativa e expoente
ímpar
Potência negativa

2. Exemplos de Aplicação de
Potência

Exemplo 1. Calcule o valor de cada uma das
seguintes potências.
16
9
4
3
4
3
a) 2
22
=→





625
16
5
2
5
2
b) 4
44
=→





243
1
3
1
3
1
c) 5
55
=→






16
9
3
4
3
4
4
3
a) 2
22
=→





→





−
343
1000
7
10
7
10
10
7
b) 3
333
=→





→





−
625
1
625
1
5
1
5
5
1
c) 5
544
==→





→





−

1
1
1
100
9
100
79
a) 0
00
==→





1
1
1
3
2
3
2
b) 0
00
==→





1
1
1
23
19
23
19
c) 0
00
==→






RADICIAÇÃO
Veremos como
efetuar essas
operações e
acabar
solucionando as
dúvidas
existentes.

Radiciação
Para realizar a
radiciação de
frações,
utilizaremos os
mesmos conceitos
da potenciação.

Radiciação de Números Racionais
License
Considerando uma fração do
tipo , com b ≠ 0, a raiz de
índice n de uma fração é dada
por:
b
a
n
n
n
b
a
b
a
=

3. Exemplos de Aplicação de
Radiciação

seguintes raízes.
6
5
36
25
36
25
a) =→
3
2
27
8
27
8
b) 3
3
3 =→

Exemplo 2. Suponha um terreno quadrado cuja área é
72,25 m². Calcule o valor que mede cada lado do
terreno (x, em metro):
Resolução:
O número positivo x que, ao ser elevado ao quadrado resulta em 72,25,
é a raiz quadrada de 72,25.
Sabemos que esse número é maior que 8, pois 8² = 64, e é menor que
9, pois 9²= 81.
Por tentativa, é possível determinar o produto:
Então:
25,725,85,8 =⋅
m5,825,72 =

4. Exercícios de Aplicação

1. Escreva na forma de potência os seguintes
produtos:
( )5,85,85,85,8a) ⋅⋅⋅






−⋅





−
4
3
4
3
b)

2. Na potenciação, quando elevamos um número
racional a um determinado expoente, estamos
elevando o numerador e o denominador a esse
expoente. Calcule o valor das potências:
2
2
5






−a)
3
9
7






−b)
03
9
7
5
3






−•





−c)

3. Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada
a um número racional, estamos aplicando essa raiz
ao numerador e ao denominador. Calcule o valor das
raízes:
64,17a)
44,1b)
36
25
c)

4. Paulo comprou um terreno com as seguintes
medidas: 12,50 m de frente por 15,5 m de lado.
a) Calcule a área em m².
b) Calcule a raiz da área do terreno e encontre as
medidas do lado de um terreno de forma quadrada
que terá a mesma área do terreno de Paulo.

5. Maria pintou 1/3 de um quadro, João também
pintou 1/3 e Pedro pintou 1/3 restante. Calcule,
usando potenciação, a quantidade que eles pintaram.

6. O volume de um tanque cheio de água é 0,27m³.
Usando radiciação, calcule as dimensões desse
tanque em forma de cubo.

7. O volume de um tanque cheio de água é 0,512 m³.
Usando radiciação, calcule as dimensões desse tanque
em forma de cubo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental/ Obra coletiva concebida,
desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editora execultiva Juliane
Matsubara Barroso. – 3ª ed. – São Paulo: Moderna, 2010. p. 62 – 64 e 87 –
89.
< http://apeedpedroiv.no.sapo.pt/professor.gif>. Acesso em 24 jun. 2012,
23:36:41
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/potenciacao-radiciacao-
fracoes. html>. Acesso em 28 jun. 2012, 28:31:18.
<http://2.bp.blogspot.com/-
Ro7c_s5Ntw0/Tv8cGNcs1lI/AAAAAAAAARY/ATA0vTxZ
kMY/s1600/080914_professor_policial.jpg >. Acesso em 24 jun. 2012,
23:27:52.

Tabela de Imagens
n° do slide direito da imagem como está ao lado
da foto
link do site onde se conseguiu a informação Data do
Acesso

10 | 11 |16
| 18 | 20 |
28
Everaldo Coelho and YellowIcon / GNU
Lesser General Public License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Crystal_Cl
ear_app_tutorials.png
13/09/2012
13 | 14 |
26 | 27
David Vignoni, modifications by
DaniDF1995 / GNU Lesser General
Public License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nuvola_a
pps_edu_miscellaneous_(no_words).svg
13/09/2012

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