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                                                         POLINÔMIOS




                                                                 2                n −1
1) Consideremos o polinômio P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an −1 x                   + an x n . O que representam P(1) e
P(0) em relação aos coeficientes?

                                                                         2   3
2) Dado o polinômio na variável x : P ( x ) = pq + qx + px + x , determine p e q para que se tenha
P(1) = 2.P(−1) = 12 .

                                                                     3
3) O polinômio P ( x ) = −(2c − 3) + (b + 2) x + (a − 1) x é identicamente nulo. Determine a, b e c.

                                                3
4) Seja o polinômio f ( x ) = b + ax + x . Determine a e b, sabendo que 1 e -1 são raízes de f(x).

                                                                                               2
5) Determine os números reais A, B e C para que os polinômios P( x) = 2 x − x + 1 e
                 2
Q ( x ) = A ( x − 1) + B ( x − 1) + C sejam idênticos.

6) Dados os polinômios : A( x) = x
                                 B( x) = x + x 3
                                 C ( x) = x + x3 + x 5
                                 P ( x) = 3 x 5 − 6 x 3 + 2 x
Determine os números a, b e c para que se tenha, para todo x real, P( x) = a. A( x) + b.B( x) + c.C ( x) .

7) O grau dos polinômios f ( x) , g ( x) e h( x) é 3. O grau do polinômio, não nulo,
 f ( x).[ g ( x) + h( x)] é n . Quais são os possíveis valores de n ?

8) (UFRGS) Se r ( x) = a. p ( x ) + b.q ( x ) , com r ( x) = 4 x + kx − 8 , p( x) = 2 x − 3x − 2 ,
                                                                2                      2


q( x) = x 2 − 5 x + 1 , a ∈ » , b ∈ » e k ∈ » , então a + b + k é:
(a) 0   (b) 1    (c) 2   (d) 3      (e) 4

9) (PUC-SP) Os valores de m, n e p de modo que sejam idênticos os polinômios:
          P ( x) = ( m + n + p ) x 4 − ( p + 1) x 3 + mx 2 + ( n − p ) x + n
           1                                                                         e
          P2 ( x) = 2mx3 + ( 2 p + 7 ) x 2 + 5mx + 2m
   são, respectivamente:          (a) 1,2,-3        (b) 2,3,1   (c) -1,2,2       (d) 2,1,-3        (e) 1,-3,2



                                       ESTUDE COM QUEM APROVA!                                                        Pág.01
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                                                                     POLINÔMIOS


                                                                     2             n −1
10) (MACKENZIE-SP) P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an −1 x                             + an x n é um polinômio;
a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an é a soma dos coeficientes do polinômio P ( x ) . A soma dos coeficientes do
                                                 36
              (      3
polinômio 4 x − 2 x − 2 x − 1
                                 2
                                             )        é:
(a) 0      (b) -36         (c) 1       (d) -1              (e) impossível de calcular no tempo disponível


                                                               2
11) (ESAN-SP) Sendo P ( x ) = Q ( x ) + x + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P ( x ) e que 1 é raiz de
Q ( x ) , então P (1) − Q ( 2 ) vale:
(a) 0      (b) 2         (c) 3       (d) 6            (e) 10


12) (CN/84) Efetuando o produto: (x + 1)(x100 – x99 + x98 – x97 + ... + x2 - x + 1), encontramos:
(a)x100 – 1  (b)x200 + 1 (c)x101 + x50 – 1    (d)      2x100 + 2      (e)x101 + 1

13) Com relação ao polinômio P(x) = x5 − 5 x4 + 7x3 − 2x2 + 4 x − 8 podemos afirmar que:
(a) A soma dos seus coeficientes é -4                       (d) P ( 0 ) = 8
(b) 1 é uma de suas raízes                                                    (e) O número 2 é raiz de P(x)
(c) O número −2 é raiz de P(x)



14)     P ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + ax 2 + bx + c e P2 ( x ) = ( 3x 3 + 4 x + 1) ( px + q ) + 5 x 2 + 2 x + 4 são dois
         1

polinômios idênticos. Logo podemos afirmar que a + b + c + p + q é igual a :
(a) 10      (b) 11       (c) 12        (d) 13              (e) 14




15) Para que o polinômio P ( x ) = x 4 − 4 x3 + 3 x 2 + mx + n admita os números 1 e −1 como raízes, os
valores de m e n são tais que m − n é igual a :
(a) 0        (b) 4         (c) 8         (d) 16                               (e) 32




                                             ESTUDE COM QUEM APROVA!                                                 Pág.02
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                                                POLINÔMIOS




1) P (1) = a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an → soma dos coeficientes
       P ( 0 ) = a0 → termo independente

2) p = 3 e q = 2

3) a = 1 , b = -2 e c = 3/2

4) a = - 1 , b = 0

5) A = C =2 , B = 3

6) a = 8, b = -9, c = 3

7) 3, 4, 5 ou 6.

8) c

9) a

10) c

11) e

12) e

13) e

14) d

15) c




                                 ESTUDE COM QUEM APROVA!                 Pág.03

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Polinômios cn 2013 - exercícios

  • 1. Curso Progressão CURSO Prof. Ivan MS Monteiro – Álgebra Turma: CN / EPCAr 2013 POLINÔMIOS 2 n −1 1) Consideremos o polinômio P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an −1 x + an x n . O que representam P(1) e P(0) em relação aos coeficientes? 2 3 2) Dado o polinômio na variável x : P ( x ) = pq + qx + px + x , determine p e q para que se tenha P(1) = 2.P(−1) = 12 . 3 3) O polinômio P ( x ) = −(2c − 3) + (b + 2) x + (a − 1) x é identicamente nulo. Determine a, b e c. 3 4) Seja o polinômio f ( x ) = b + ax + x . Determine a e b, sabendo que 1 e -1 são raízes de f(x). 2 5) Determine os números reais A, B e C para que os polinômios P( x) = 2 x − x + 1 e 2 Q ( x ) = A ( x − 1) + B ( x − 1) + C sejam idênticos. 6) Dados os polinômios : A( x) = x B( x) = x + x 3 C ( x) = x + x3 + x 5 P ( x) = 3 x 5 − 6 x 3 + 2 x Determine os números a, b e c para que se tenha, para todo x real, P( x) = a. A( x) + b.B( x) + c.C ( x) . 7) O grau dos polinômios f ( x) , g ( x) e h( x) é 3. O grau do polinômio, não nulo, f ( x).[ g ( x) + h( x)] é n . Quais são os possíveis valores de n ? 8) (UFRGS) Se r ( x) = a. p ( x ) + b.q ( x ) , com r ( x) = 4 x + kx − 8 , p( x) = 2 x − 3x − 2 , 2 2 q( x) = x 2 − 5 x + 1 , a ∈ » , b ∈ » e k ∈ » , então a + b + k é: (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 9) (PUC-SP) Os valores de m, n e p de modo que sejam idênticos os polinômios: P ( x) = ( m + n + p ) x 4 − ( p + 1) x 3 + mx 2 + ( n − p ) x + n 1 e P2 ( x) = 2mx3 + ( 2 p + 7 ) x 2 + 5mx + 2m são, respectivamente: (a) 1,2,-3 (b) 2,3,1 (c) -1,2,2 (d) 2,1,-3 (e) 1,-3,2 ESTUDE COM QUEM APROVA! Pág.01
  • 2. Curso Progressão CURSO Prof. Ivan MS Monteiro – Álgebra Turma: CN / EPCAr 2013 POLINÔMIOS 2 n −1 10) (MACKENZIE-SP) P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an −1 x + an x n é um polinômio; a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an é a soma dos coeficientes do polinômio P ( x ) . A soma dos coeficientes do 36 ( 3 polinômio 4 x − 2 x − 2 x − 1 2 ) é: (a) 0 (b) -36 (c) 1 (d) -1 (e) impossível de calcular no tempo disponível 2 11) (ESAN-SP) Sendo P ( x ) = Q ( x ) + x + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P ( x ) e que 1 é raiz de Q ( x ) , então P (1) − Q ( 2 ) vale: (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 6 (e) 10 12) (CN/84) Efetuando o produto: (x + 1)(x100 – x99 + x98 – x97 + ... + x2 - x + 1), encontramos: (a)x100 – 1 (b)x200 + 1 (c)x101 + x50 – 1 (d) 2x100 + 2 (e)x101 + 1 13) Com relação ao polinômio P(x) = x5 − 5 x4 + 7x3 − 2x2 + 4 x − 8 podemos afirmar que: (a) A soma dos seus coeficientes é -4 (d) P ( 0 ) = 8 (b) 1 é uma de suas raízes (e) O número 2 é raiz de P(x) (c) O número −2 é raiz de P(x) 14) P ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + ax 2 + bx + c e P2 ( x ) = ( 3x 3 + 4 x + 1) ( px + q ) + 5 x 2 + 2 x + 4 são dois 1 polinômios idênticos. Logo podemos afirmar que a + b + c + p + q é igual a : (a) 10 (b) 11 (c) 12 (d) 13 (e) 14 15) Para que o polinômio P ( x ) = x 4 − 4 x3 + 3 x 2 + mx + n admita os números 1 e −1 como raízes, os valores de m e n são tais que m − n é igual a : (a) 0 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32 ESTUDE COM QUEM APROVA! Pág.02
  • 3. Curso Progressão CURSO Prof. Ivan MS Monteiro – Álgebra Turma: CN / EPCAr 2013 POLINÔMIOS 1) P (1) = a0 + a1 + a2 + ... + an −1 + an → soma dos coeficientes P ( 0 ) = a0 → termo independente 2) p = 3 e q = 2 3) a = 1 , b = -2 e c = 3/2 4) a = - 1 , b = 0 5) A = C =2 , B = 3 6) a = 8, b = -9, c = 3 7) 3, 4, 5 ou 6. 8) c 9) a 10) c 11) e 12) e 13) e 14) d 15) c ESTUDE COM QUEM APROVA! Pág.03