Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.

1. Polinômios

2. Ao final dessa aula você saberá...
O que é um polinômio
Classificar os polinômios
Determinar o grau de um polinômio
Ordenar e completar um polinômio
Somar e subtrair polinômios
Multiplicar polinômios
Dividir um polinômio por um monômio
Dividir um polinômio por outro polinômio

3. O que é polinômio?
É uma adição algébrica de monômios.
Exemplos de polinômios
4a3 x2+3y 4m2+3m+1
Atenção!
O 1º exemplo é a soma do monômio 4a3
com o zero.

4. Classificação dos polinômios
 Monômios  polinômios com apenas 1 termo
 Binômios  polinômios com 2 termos
 Trinômios  polinômios com 3 termos
Não existe um nome específico para os
polinômios
que apresentam 4 ou mais termos.

5. Como sabemos o grau de um polinômio?
Verificamos o grau de cada monômio da
expressão. O maior deles é o grau do
polinômio.
Exemplos:
 x 2 y 3 +2 xy 2
  polinômio do 5º grau
5 º grau 3 º grau
4a 3 + 7 a 2 − 6ab  polinômio do 4º grau
   b2 
3 º grau 2 º grau
4 º grau

6. Observação
Polinômios com uma só variável geralmente
são apresentados ordenadamente, começando pelo
monômio de maior grau.
Exemplo:
Ordenar o polinômio 2x2 + x + 5x3 + 9.
Resposta: 5x3 + 2x2 + x + 9
Verifique que o 9 é um monômio de grau zero.
9 = 9x0

7. O que são polinômios incompletos
em relação a uma variável?
Se um polinômio estiver ordenado e o
coeficiente de algum termo for zero, então
esse polinômio é incompleto.
Exemplos:
x4 – 3 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 3
8m3 + m2 = 8m3 + m2 + 0m + 0

8. Qual é a regra para somar e
subtrair polinômios?
Basta fazer a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
a) (y3 – 2y2 + 5) + (2y3 – 5y – 7) =
y3 – 2y2 + 5 + 2y3 – 5y – 7 =
3y3 – 2y2 – 5y – 2
b) (6m2 – 7mn + 8n2) – (8mn + 5m2 – 7n2) =
6m2 – 7mn + 8n2 – 8mn – 5m2 + 7n2 =
m2 – 15mn + 15n2

9. Tente fazer sozinho!
Dados os polinômios:
A = 5x2 – 3x + 4
B = 2x2 + 4x – 3
C = x2 – 3x
Calcule A + C – B

10. Solução
A+C–B=
(5x2 – 3x + 4) + (x2 – 3x) – (2x2 + 4x – 3)=
5x2 – 3x + 4 + x2 – 3x – 2x2 – 4x + 3 =
5x2 + x2 – 2x2 – 3x – 3x – 4x + 4 + 3 =
4x2 – 10x + 7

11. Como multiplicamos polinômios?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) – y2 (y3 – 2y2 + 1) = – y5 + 2y4 – y2
b) (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

12. Tente fazer sozinho!
3 1
2x + y x− y
Seja A = 5 eB= 2
Calcule AB.

13. Solução
A.B=
 3   1  3 xy 3 y 2
 2x + y x − y
 5   2  = 2 x 2 − xy + − =
5 10
5 xy 3xy 3 y 2 2 xy 3 y 2
2x −
2
+ − = 2x2 − −
5 5 10 5 10

14. Como dividimos um polinômio
por um monômio?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) (15m3 – 10m2) : (-5m) = - 3m2 + 2m
2
 3 3 2 1   4  9x 9x 3
 6x − x + x  :  x  = − +
 4 2  3  2 16 8
b)

15. Tente fazer sozinho!
(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão
3
(2 3
)
a a +a : a 5
, encontramos:
a) 1 + a b) a2 + a c) 1 + 5a
d) 1 – a e) a3

16. Solução
( )
a 3 a 2 + a 3 : a 5 = (a 5 +a 6 ) : a 5 = 1 + a
Resposta: A

17. Para dividir um polinômio por outro
também usamos a distributiva?
Não!
Nesse caso temos que armar a conta, como
se fosse uma divisão de números naturais:
dividendo divisor
resto quociente
e seguir os passos descritos nos próximos
exemplos.

18. Exemplo 1
(
Calcule: x + 2 x − 15
2
) : ( x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo, se
necessário.
Nesse caso não será necessário
2º passo: armar a conta. x+5
x 2 + 2 x − 15

19. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.
x 2 + 2 x − 15 x+5
x
4º passo: multiplicar o resultado por cada termo
do divisor, colocando a resposta embaixo do
dividendo,− com xo 5
x 2 + 2 x 15 + sinal contrário. so, pas
− x − 5x
2 pr óximo os
x acilitar o ar os term ão.
Para f re coloc reç
proc u mes m a di
ant es na
semelh

20. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª
linha, obtendo um novo dividendo.
x 2 + 2 x − 15 x+5
− x2 − 5x
x
− 3 x − 15
6º passo: Verificar se o 1º termo do novo
dividendo é menor que o 1º termo do
divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º
passo.
x 2 + 2 x − 15 x+5
− x 2 − 5x x−3
− 3 x − 15

21. x 2 + 2 x − 15 x+5 x 2 + 2 x − 15 x+5
− x2 − 5x x −3 − x2 − 5x x −3
− 3 x − 15 − 3 x − 15
3 x + 15 3 x + 15
0
Logo, quociente = x – 3 e resto = 0.
Importante!
Note que para toda divisão vale dizer que
dividendo = divisor x quociente + resto, ou
seja, D = d.q + r

22. Exemplo 2
Encontre o resto da divisão de x + 1 por x3 + 1 .
4
1º passo: x 4 + 0 x3 + 0 x 2 + 0 x + 1
2º passo: 3º passo:
x + 0x + 0x + 0x +1 x +1
4 3 2 3 x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1
x

23. 4º passo: 5º passo:
x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1 x 4 + 0x3 + 0x 2 + 0x + 1 x3 + 1
− x4 −x x − x4 −x x
− x +1
6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é
menor que o 1º termo do divisor, não podemos
continuar a divisão.
Logo, o quociente = x e o resto = - x +1

24. Tente fazer sozinho!
1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
2) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem
por quociente x – 2 e resto 3.

25. Soluções
Exercício 1:
4 x 3 + 12 x 2 + x − 4 2x + 3
− 4 x3 − 6 x 2 2 x 2 + 3x − 4
6x2 + x − 4
− 6x2 − 9x
− 8x − 4
+ 8 x + 12
8 Resposta: E
Exercício 2:
D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 =
x2 – 2x + 5x – 10 + 3 =
x2 + 3x – 7