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PolinômiosPolinômios
O que é um polinômio
Classificar os polinômios
Determinar o grau de um polinômio
Ordenar e completar um polinômio
Somar e subtrair polinômios
Multiplicar polinômios
Dividir um polinômio por um monômio
Dividir um polinômio por outro polinômio
Ao final dessa aula você saberá...
O que é polinômio?
É uma adição algébrica de monômios.
Exemplos de polinômios
4a3
x2
+3y 4m2
+3m+1
Atenção!
O 1º exemplo é a soma do monômio 4a3
com o zero.
Classificação dos polinômios
Monômios  polinômios com apenas 1 termo
Binômios  polinômios com 2 termos
Trinômios  polinômios com 3 termos
Não existe um nome específico para os
polinômios
que apresentam 4 ou mais termos.
Como sabemos o grau de um polinômio?
Verificamos o grau de cada monômio da
expressão. O maior deles é o grau do
polinômio.
Exemplos:
  polinômio do 5º grau
  polinômio do 4º grau
 
graugrau
xyyx
º3
2
º5
32
2+
 
graugraugrau
abbaa
º2º4
22
º3
3
674 −+ 
Observação
Polinômios com uma só variável geralmente
são apresentados ordenadamente, começando pelo
monômio de maior grau.
Exemplo:
Ordenar o polinômio 2x2
+ x + 5x3
+ 9.
Resposta: 5x3
+ 2x2
+ x + 9
Verifique que o 9 é um monômio de grau zero.
9 = 9x0
O que são polinômios incompletos
em relação a uma variável?
Se um polinômio estiver ordenado e o
coeficiente de algum termo for zero, então
esse polinômio é incompleto.
Exemplos:
x4
– 3 = x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x – 3
8m3
+ m2
= 8m3
+ m2
+ 0m + 0
Qual é a regra para somar e
subtrair polinômios?
Basta fazer a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
a) (y3
– 2y2
+ 5) + (2y3
– 5y – 7) =
y3
– 2y2
+ 5 + 2y3
– 5y – 7 =
3y3
– 2y2
– 5y – 2
b) (6m2
– 7mn + 8n2
) – (8mn + 5m2
– 7n2
) =
6m2
– 7mn + 8n2
– 8mn – 5m2
+ 7n2
=
m2
– 15mn + 15n2
Tente fazer sozinho!
Dados os polinômios:
A = 5x2
– 3x + 4
B = 2x2
+ 4x – 3
C = x2
– 3x
Calcule A + C – B
Solução
A + C – B =
(5x2
– 3x + 4) + (x2
– 3x) – (2x2
+ 4x – 3)=
5x2
– 3x + 4 + x2
– 3x – 2x2
– 4x + 3 =
5x2
+ x2
– 2x2
– 3x – 3x – 4x + 4 + 3 =
4x2
– 10x + 7
Como multiplicamos polinômios?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) – y2
(y3
– 2y2
+ 1) = – y5
+ 2y4
– y2
b) (a + b) (a + b) = a2
+ ab + ab + b2
= a2
+ 2ab + b2
Tente fazer sozinho!
Seja A = e B =
Calcule AB.
yx
5
3
2 + yx
2
1
−
Solução
A . B =
= =
=






+ yx
5
3
2 





− yx
2
1
10
3
5
3
2
2
2 yxy
xyx −+−
10
3
5
3
5
5
2
2
2 yxyxy
x −+−
10
3
5
2
2
2
2 yxy
x −−
Como dividimos um polinômio
por um monômio?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) (15m3
– 10m2
) : (-5m) = - 3m2
+ 2m
b)
=











+− xxxx
3
4
:
2
1
4
3
6 23
8
3
16
9
2
9 2
+−
xx
Tente fazer sozinho!
(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão
, encontramos:
a) 1 + a b) a2
+ a c) 1 + 5a
d) 1 – a e) a3
( ) 5323
: aaaa +
Solução
= = 1 + a
Resposta: A
( ) 5323
: aaaa + ( ) 565
: aaa +
Para dividir um polinômio por outro
também usamos a distributiva?
Não!
Nesse caso temos que armar a conta, como
se fosse uma divisão de números naturais:
e seguir os passos descritos nos próximos
exemplos.
quociente
dividendo divisor
resto
Exemplo 1
Calcule: :
1º passo: ordenar e completar o dividendo, se
necessário.
Nesse caso não será necessário
2º passo: armar a conta.
( )1522
−+ xx ( )5+x
1522
−+ xx 5+x
3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.
4º passo: multiplicar o resultado por cada termo
do divisor, colocando a resposta embaixo do
dividendo, com o sinal contrário.
1522
−+ xx 5+x
x
1522
−+ xx 5+x
xxx 52
−−
Para facilitar o próximo passo,
procure colocar os termos
semelhantes na mesma direção.
5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª
linha, obtendo um novo dividendo.
6º passo: Verificar se o 1º termo do novo
dividendo é menor que o 1º termo do
divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º
passo.
1522
−+ xx 5+x
xxx 52
−−
153 −− x
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x
Logo, quociente = x – 3 e resto = 0.
Importante!
Note que para toda divisão vale dizer que
dividendo = divisor x quociente + resto, ou
seja, D = d.q + r
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x
153 +x
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x
153 +x
0
Exemplo 2
Encontre o resto da divisão de por .
1º passo:
2º passo: 3º passo:
14
+x 13
+x
1000 234
++++ xxxx
1000 234
++++ xxxx 13
+x 1000 234
++++ xxxx 13
+x
x
4º passo: 5º passo:
6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é
menor que o 1º termo do divisor, não podemos
continuar a divisão.
Logo, o quociente = x e o resto = - x +1
4
x−
1000 234
++++ xxxx 13
+x
xx− 4
x−
1000 234
++++ xxxx 13
+x
xx−
1+− x
Tente fazer sozinho!
1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3
+ 12x2
+ x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
2) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem
por quociente x – 2 e resto 3.
Soluções
Exercício 1:
Resposta: E
Exercício 2:
D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 =
x2
– 2x + 5x – 10 + 3 =
x2
+ 3x – 7
432 2
−+ xx
4124 23
−++ xxx 32 +x
23
64 xx −−
46 2
−+ xx
xx 96 2
−−
48 −− x
128 ++ x
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  • 2. O que é um polinômio Classificar os polinômios Determinar o grau de um polinômio Ordenar e completar um polinômio Somar e subtrair polinômios Multiplicar polinômios Dividir um polinômio por um monômio Dividir um polinômio por outro polinômio Ao final dessa aula você saberá...
  • 3. O que é polinômio? É uma adição algébrica de monômios. Exemplos de polinômios 4a3 x2 +3y 4m2 +3m+1 Atenção! O 1º exemplo é a soma do monômio 4a3 com o zero.
  • 4. Classificação dos polinômios Monômios  polinômios com apenas 1 termo Binômios  polinômios com 2 termos Trinômios  polinômios com 3 termos Não existe um nome específico para os polinômios que apresentam 4 ou mais termos.
  • 5. Como sabemos o grau de um polinômio? Verificamos o grau de cada monômio da expressão. O maior deles é o grau do polinômio. Exemplos:   polinômio do 5º grau   polinômio do 4º grau   graugrau xyyx º3 2 º5 32 2+   graugraugrau abbaa º2º4 22 º3 3 674 −+ 
  • 6. Observação Polinômios com uma só variável geralmente são apresentados ordenadamente, começando pelo monômio de maior grau. Exemplo: Ordenar o polinômio 2x2 + x + 5x3 + 9. Resposta: 5x3 + 2x2 + x + 9 Verifique que o 9 é um monômio de grau zero. 9 = 9x0
  • 7. O que são polinômios incompletos em relação a uma variável? Se um polinômio estiver ordenado e o coeficiente de algum termo for zero, então esse polinômio é incompleto. Exemplos: x4 – 3 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 3 8m3 + m2 = 8m3 + m2 + 0m + 0
  • 8. Qual é a regra para somar e subtrair polinômios? Basta fazer a redução dos termos semelhantes. Exemplos: a) (y3 – 2y2 + 5) + (2y3 – 5y – 7) = y3 – 2y2 + 5 + 2y3 – 5y – 7 = 3y3 – 2y2 – 5y – 2 b) (6m2 – 7mn + 8n2 ) – (8mn + 5m2 – 7n2 ) = 6m2 – 7mn + 8n2 – 8mn – 5m2 + 7n2 = m2 – 15mn + 15n2
  • 9. Tente fazer sozinho! Dados os polinômios: A = 5x2 – 3x + 4 B = 2x2 + 4x – 3 C = x2 – 3x Calcule A + C – B
  • 10. Solução A + C – B = (5x2 – 3x + 4) + (x2 – 3x) – (2x2 + 4x – 3)= 5x2 – 3x + 4 + x2 – 3x – 2x2 – 4x + 3 = 5x2 + x2 – 2x2 – 3x – 3x – 4x + 4 + 3 = 4x2 – 10x + 7
  • 11. Como multiplicamos polinômios? Aplicando a propriedade distributiva. Exemplos: a) – y2 (y3 – 2y2 + 1) = – y5 + 2y4 – y2 b) (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
  • 12. Tente fazer sozinho! Seja A = e B = Calcule AB. yx 5 3 2 + yx 2 1 −
  • 13. Solução A . B = = = =       + yx 5 3 2       − yx 2 1 10 3 5 3 2 2 2 yxy xyx −+− 10 3 5 3 5 5 2 2 2 yxyxy x −+− 10 3 5 2 2 2 2 yxy x −−
  • 14. Como dividimos um polinômio por um monômio? Aplicando a propriedade distributiva. Exemplos: a) (15m3 – 10m2 ) : (-5m) = - 3m2 + 2m b) =            +− xxxx 3 4 : 2 1 4 3 6 23 8 3 16 9 2 9 2 +− xx
  • 15. Tente fazer sozinho! (Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão , encontramos: a) 1 + a b) a2 + a c) 1 + 5a d) 1 – a e) a3 ( ) 5323 : aaaa +
  • 16. Solução = = 1 + a Resposta: A ( ) 5323 : aaaa + ( ) 565 : aaa +
  • 17. Para dividir um polinômio por outro também usamos a distributiva? Não! Nesse caso temos que armar a conta, como se fosse uma divisão de números naturais: e seguir os passos descritos nos próximos exemplos. quociente dividendo divisor resto
  • 18. Exemplo 1 Calcule: : 1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário. Nesse caso não será necessário 2º passo: armar a conta. ( )1522 −+ xx ( )5+x 1522 −+ xx 5+x
  • 19. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. 4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo, com o sinal contrário. 1522 −+ xx 5+x x 1522 −+ xx 5+x xxx 52 −− Para facilitar o próximo passo, procure colocar os termos semelhantes na mesma direção.
  • 20. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. 6º passo: Verificar se o 1º termo do novo dividendo é menor que o 1º termo do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. 1522 −+ xx 5+x xxx 52 −− 153 −− x 1522 −+ xx 5+x 3−xxx 52 −− 153 −− x
  • 21. Logo, quociente = x – 3 e resto = 0. Importante! Note que para toda divisão vale dizer que dividendo = divisor x quociente + resto, ou seja, D = d.q + r 1522 −+ xx 5+x 3−xxx 52 −− 153 −− x 153 +x 1522 −+ xx 5+x 3−xxx 52 −− 153 −− x 153 +x 0
  • 22. Exemplo 2 Encontre o resto da divisão de por . 1º passo: 2º passo: 3º passo: 14 +x 13 +x 1000 234 ++++ xxxx 1000 234 ++++ xxxx 13 +x 1000 234 ++++ xxxx 13 +x x
  • 23. 4º passo: 5º passo: 6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é menor que o 1º termo do divisor, não podemos continuar a divisão. Logo, o quociente = x e o resto = - x +1 4 x− 1000 234 ++++ xxxx 13 +x xx− 4 x− 1000 234 ++++ xxxx 13 +x xx− 1+− x
  • 24. Tente fazer sozinho! 1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 2) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem por quociente x – 2 e resto 3.
  • 25. Soluções Exercício 1: Resposta: E Exercício 2: D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 = x2 – 2x + 5x – 10 + 3 = x2 + 3x – 7 432 2 −+ xx 4124 23 −++ xxx 32 +x 23 64 xx −− 46 2 −+ xx xx 96 2 −− 48 −− x 128 ++ x 8