O documento fornece definições e conceitos básicos sobre polinômios, incluindo:
1) A definição formal de polinômio e o conceito de grau.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação de polinômios.
3) Os métodos para divisão de polinômios, incluindo o método da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini.
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O documento apresenta uma introdução sobre polinômios, definindo-os como expressões algébricas na forma anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, onde an, ..., a0 são coeficientes e n é o grau do polinômio. Em seguida, aborda operações com polinômios como adição, subtração e multiplicação, além de métodos de divisão como o da chave.
Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Fundamental – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
1. O documento discute expressões algébricas, definindo-as como expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números. As letras representam valores numéricos desconhecidos.
2. Um monômio é uma expressão algébrica representada por um número, incógnita ou produto destes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis.
3. Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com monômios, seguindo regras específicas
O documento apresenta os conceitos básicos de polinômios, incluindo: (1) definição de polinômio como uma soma de monômios; (2) operações com monômios e polinômios como adição, subtração, multiplicação e divisão; (3) grau de um polinômio; (4) raízes de equações polinomiais.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
O documento contém uma série de exercícios sobre monômios, polinômios e redução de termos semelhantes. Os exercícios incluem classificar expressões como monômios, binômios ou trinômios; determinar o grau de monômios e polinômios; e reduzir expressões algebraicas combinando termos semelhantes.
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1. O documento discute expressões algébricas, definindo-as como expressões matemáticas que contêm letras e podem conter números. As letras representam valores numéricos desconhecidos.
2. Um monômio é uma expressão algébrica representada por um número, incógnita ou produto destes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis.
3. Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas com monômios, seguindo regras específicas
O documento apresenta os conceitos básicos de polinômios, incluindo: (1) definição de polinômio como uma soma de monômios; (2) operações com monômios e polinômios como adição, subtração, multiplicação e divisão; (3) grau de um polinômio; (4) raízes de equações polinomiais.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
O documento contém uma série de exercícios sobre monômios, polinômios e redução de termos semelhantes. Os exercícios incluem classificar expressões como monômios, binômios ou trinômios; determinar o grau de monômios e polinômios; e reduzir expressões algebraicas combinando termos semelhantes.
1) Uma fração representa a divisão de um número (numerador) por outro (denominador). 2) Existem regras para operar com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão. 3) É possível transformar decimais em frações exatas através da decomposição do denominador em fatores primos.
O documento apresenta uma revisão sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas representadas por uma soma de termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Discorre sobre conceitos como grau do polinômio, valor numérico, raízes, divisão, decomposição em fatores e relações entre polinômios.
1. O documento apresenta 33 questões sobre polinômios, incluindo propriedades, divisão, fatoração e gráficos.
2. As questões envolvem identificar coeficientes de polinômios, valores de funções polinomiais, restos de divisão e conjuntos de valores que satisfazem determinadas propriedades.
3. São fornecidas informações sobre raízes, gráficos, divisibilidade e igualdade entre polinômios para que se possa responder cada questão.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
O documento discute polinômios, incluindo definição, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão algébricas, e fatoração de polinômios. Ele também apresenta produtos notáveis que são úteis para simplificar expressões algébricas.
1. O documento apresenta resoluções de equações e inequações polinomiais do 1o e 2o grau.
2. São mostrados exemplos de resolução aplicando métodos como fatoração, fórmula de Bhaskara e análise de variação de sinal.
3. As resoluções incluem encontrar as raízes, estudar a variação de sinal e escrever a solução final.
Curso completo de matematica para concursos 1400 questoes resolvidas e gaba...Cleidvaldo Oliveira
O documento apresenta um curso completo de matemática para concursos públicos, com 20 capítulos sobre diferentes tópicos matemáticos como números reais, equações, funções, porcentagem e finanças. O conteúdo é organizado de forma a fornecer conceitos, exemplos e exercícios para cada tema.
O documento apresenta os principais conceitos e operações com frações algébricas, incluindo conceito de fração algébrica, denominador, simplificação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Exemplos ilustram cada operação com frações algébricas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1) O documento discute conceitos básicos sobre a função exponencial, incluindo potenciação, propriedades da potenciação e definição da função exponencial.
2) A função exponencial é definida para bases a > 0 e a ≠ 1 como f(x) = ax. Seu gráfico depende se a é maior ou menor que 1.
3) Equações e inequações exponenciais são abordadas, onde a incógnita aparece no expoente.
Esta aula aborda expressões algébricas, definindo monômios e polinômios e apresentando situações para calcular valores numéricos de expressões e operações entre monômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções.
3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
2) É apresentada a operação de potenciação e suas regras para expoentes naturais, inteiros e fracionários.
3) São mostrados exemplos de equações e desigualdades exponenciais, e como resolvê-las usando propriedades da potenciação.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
Este documento fornece uma introdução aos conceitos básicos de polinômios, incluindo:
1) A definição formal de polinômio e como determinar o grau de um polinômio.
2) Exemplos de operações básicas com polinômios como adição, subtração e multiplicação.
3) Dois métodos para realizar a divisão de polinômios: o método da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini.
Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.
O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo sua definição como soma de monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação, divisão e propriedades como grau e raízes.
O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas da forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, onde ai são coeficientes. Apresenta exemplos de polinômios de diferentes graus, explica igualdade e divisibilidade de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra sobre o número de raízes complexas de um polinômio.
1) Uma fração representa a divisão de um número (numerador) por outro (denominador). 2) Existem regras para operar com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão. 3) É possível transformar decimais em frações exatas através da decomposição do denominador em fatores primos.
O documento apresenta uma revisão sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas representadas por uma soma de termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Discorre sobre conceitos como grau do polinômio, valor numérico, raízes, divisão, decomposição em fatores e relações entre polinômios.
1. O documento apresenta 33 questões sobre polinômios, incluindo propriedades, divisão, fatoração e gráficos.
2. As questões envolvem identificar coeficientes de polinômios, valores de funções polinomiais, restos de divisão e conjuntos de valores que satisfazem determinadas propriedades.
3. São fornecidas informações sobre raízes, gráficos, divisibilidade e igualdade entre polinômios para que se possa responder cada questão.
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1. O documento apresenta resoluções de equações e inequações polinomiais do 1o e 2o grau.
2. São mostrados exemplos de resolução aplicando métodos como fatoração, fórmula de Bhaskara e análise de variação de sinal.
3. As resoluções incluem encontrar as raízes, estudar a variação de sinal e escrever a solução final.
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1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1) O documento discute conceitos básicos sobre a função exponencial, incluindo potenciação, propriedades da potenciação e definição da função exponencial.
2) A função exponencial é definida para bases a > 0 e a ≠ 1 como f(x) = ax. Seu gráfico depende se a é maior ou menor que 1.
3) Equações e inequações exponenciais são abordadas, onde a incógnita aparece no expoente.
Esta aula aborda expressões algébricas, definindo monômios e polinômios e apresentando situações para calcular valores numéricos de expressões e operações entre monômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
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3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
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2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
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As três principais ideias do documento são:
1) O documento discute funções exponenciais e suas propriedades, incluindo crescimento e decrescimento exponcial.
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Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
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Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.
O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo sua definição como soma de monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação, divisão e propriedades como grau e raízes.
O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas da forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, onde ai são coeficientes. Apresenta exemplos de polinômios de diferentes graus, explica igualdade e divisibilidade de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra sobre o número de raízes complexas de um polinômio.
O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas da forma anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, onde ai são coeficientes. Apresenta exemplos de polinômios de diferentes graus, explica igualdade e divisibilidade de polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra sobre o número de raízes complexas de um polinômio.
O documento fornece informações sobre polinômios, produtos notáveis e frações algébricas. Inclui definições de polinômios e monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão, e exemplos de exercícios para treinar esses conceitos. Também apresenta uma seção sobre produtos notáveis, que são produtos algébricos comuns utilizados no cálculo.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Polinômios para Ensino Fun...Beatriz Góes
O documento discute os conceitos básicos de polinômios, incluindo sua definição, classificação, determinação do grau, ordenação, soma, subtração, multiplicação e divisão. Ele explica como realizar operações com polinômios de uma e mais variáveis.
O documento fornece uma introdução sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas e discutindo seus conceitos básicos como grau, valor numérico e igualdade. Exemplos ilustram como calcular esses conceitos e resolver problemas envolvendo polinômios.
O documento fornece uma introdução sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas e discutindo seus conceitos básicos como grau, valor numérico e igualdade. Exemplos ilustram como calcular esses conceitos e resolver problemas envolvendo polinômios.
Este documento fornece informações sobre fatoração de polinômios e resolução de equações de primeiro e segundo grau. Apresenta exemplos de fatoração por evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio perfeito. Explica também o teorema do resto de um polinômio e métodos de resolução de equações como substituição e adição.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo:
1) Definição de polinômio, monômio e operações entre eles como adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) Grau de um polinômio e identidade polinomial.
3) Resolução de equações polinomiais e propriedades das raízes.
O documento discute o conceito de interpolação numérica, que consiste em substituir funções complexas por funções mais simples como polinômios para facilitar operações como derivação e integração. A interpolação polinomial é abordada, onde polinômios de graus diferentes são usados para diferentes quantidades de pontos de amarração. A tabela de diferenças divididas e o método de Newton são apresentados como formas de se determinar polinômios interpoladores.
O documento resume os conceitos de monômios e polinômios. Monômios são expressões algébricas definidas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal, enquanto polinômios são a soma de vários monômios. O documento explica como realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com monômios e polinômios, seguindo regras como somar ou subtrair apenas os coeficientes.
O documento discute polinômios, incluindo sua definição como uma soma de monômios, classificação por número de termos, determinação do grau, ordenação, soma, subtração, multiplicação e divisão. Os principais pontos cobertos são como identificar o grau de um polinômio, ordenar e completar polinômios, aplicar a propriedade distributiva para somar, subtrair e multiplicar polinômios, e realizar divisões de polinômios usando uma abordagem semelhante à divisão de números naturais.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo definição, grau, valor numérico, raiz, identidade e operações como adição e subtração. É introduzida a noção de polinômio como uma expressão algébrica formada por termos com coeficientes e variáveis.
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
1) O documento discute como calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de polinômios, que envolve fatorar cada polinômio individualmente e multiplicar todos os fatores sem repetição.
2) São apresentados 4 exemplos de cálculo de mmc entre polinômios.
3) A fatoração de polinômios é explicada, incluindo fator comum, agrupamento, diferença entre quadrados, trinômio perfeito e soma-produto.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
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2) Conceitos fundamentais como massa atômica, massa molecular e mol.
3) Métodos de cálculo da massa atômica a partir da composição isotópica de um elemento e exemplos de cálculos de massa molecular.
O documento discute três tópicos: 1) a definição de densidade de massa como a massa dividida pelo volume de um objeto, 2) a lei de Stevin sobre a variação da pressão em um fluido sob a ação da gravidade, 3) o uso histórico de sinos metálicos para recuperar objetos do fundo do mar.
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A alternativa correta é a) A seleção natural tende a diminuir a variabilidade genética, pois seleciona os genótipos mais adaptados, fixando seus alelos na população.
O documento descreve as etapas do ciclo celular e da mitose. O ciclo celular inclui a interfase e a divisão celular, enquanto a interfase inclui as fases G1, S e G2. A mitose inclui as fases de prófase, metáfase, anáfase e telófase, nas quais os cromossomos se condensam, se separam e migram para os pólos opostos da célula.
As cruzadas foram expedições militares organizadas pela Igreja com o objetivo de dominar territórios sagrados e fortalecer seu poder, durando duzentos anos e contando com a participação de comerciantes, nobres e filhos de senhores feudais, tendo como principal consequência a abertura do Mar Mediterrâneo.
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O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
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5. Polinômio
Definição:
Chamamos de polinômio na variável x,
toda expressão na forma:
n −1 n−2
an x + an −1 x
n
+ an − 2 x + ... + a2 x + a1 x + a0
2
Onde:
an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos
denominados coeficientes
n é um número inteiro não negativo
x é uma variável complexa
6. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
Polinômio
s
7. Polinômio
Grau do polinômio:
O grau do polinômio é determinado pelo
maior expoente da variável.
Exemplos:
4x2 – 3 2º grau
8x5 + 6x3+ 2x 5º grau
8. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
Polinômio
s
9. Tente fazer
sozinho
1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
10. Tente fazer
sozinho
1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
11. Solução
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
m−4 = 0 m − 16 ≠ 0
2
m=4 m ≠ ±4
Resposta: m não existe.
12. Tente fazer
sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
13. Tente fazer
sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
14. Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
a ( x + c ) + b( x + d ) = x + 6 x + 15 x + 14
3 3 2
a ( x + 3x c + 3xc + c ) + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14
3 2 2 3 3 2
ax + 3acx + 3ac x + ac + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14
3 2 2 3 3 2
ax 3 + 3acx 2 + ( 3ac 2 + b ) x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14
15. Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
( )
ax 3 + 3acx 2 + 3ac 2 + b x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14
ax = x
3 3
3acx = 6 x
2 2
(3ac 2
)
+ b x = 15 x
a =1 3.1.c = 6 3.1.2 2 + b = 15
c=2 12 + b = 15
b=3
16. Operações com
Polinômios
A) Adição:
Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,
logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7.
B) Subtração:
Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,
logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
17. Operações com
Polinômios
C) Multiplicação :
Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo
p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.
Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo
p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 =
= -6x2+23x-20.
18. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Polinômio
s
19. Tente fazer
sozinho
3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a)O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
20. Tente fazer
sozinho
3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a)O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
21. Solução
f(x) grau 7 e g(x) grau 5
a)f(x) . g(x) grau 35 (falso)
x7 . x5 = x12 grau 12
b) f(x) + g(x) grau 7 (verdadeiro)
c) (x2-1) . g(x) + f(x) grau 7 (falso)
grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da
soma dos termos de grau 7 pode ser zero
22. Divisão de
Polinômios
C.1) Método da chave
No método da chave temos que armar a conta,
como se fosse uma divisão de números naturais:
dividendo divisor
resto quociente
e seguir os passos conforme os exemplos.
23. Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo,
se necessário.
Nesse caso não será necessário
2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
24. Divisão de
Polinômios
3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.
x2 + 2x - 15 x + 5
x
25. Divisão de
Polinômios
4º passo: multiplicar o resultado por cada
termo do divisor, colocando a resposta
embaixo
do dividendo, com o sinal contrário.
P a ra f a c i
x2 + 2x - 15 x + 5 litar o pró
passo, pr ximo
o c u re c o l
-x2 - 5x x termos se ocar os
melhante
m e sm a d s na
ireção.
26. Divisão de
Polinômios
5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,
obtendo um novo dividendo.
x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x
- 3x - 15
27. Divisão de
Polinômios
6º passo: verificar se o grau do 1º termo do
novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.
x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x
- 3x - 15
28. Divisão de
Polinômios
x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x x -x2 - 5x x -3
- 3x - 15 - 3x - 15
3x + 15
0
Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
29. Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
1º passo:
x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1
2º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
30. Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
3º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
x4 +
x
31. Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
4º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
x4 +
-x4 - x x
32. Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
5º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
x4 +
-x4 - x x
- x+1
33. Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
6º passo: co
5º passo: mo o 1 º
termo do n
ovo
dividendo
x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 o gr apresenta
au menor q
-x 4
- x x grau do 1º ue o
termo do
- x+1 divisor, não
podemos
continuar a
divisão.
Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
34. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s
divisão
35. Divisão de divisão de
Note que para toda
Polinômios a sentença:
polinômios, vale
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
36. Tente fazer
sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
37. Tente fazer
sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
38. Solução
4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3
-4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4
6x2 + x – 4
– 6x2 – 9x
– 8x – 4
+ 8x+12
8 Letra E
39. Tente fazer
sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
40. Tente fazer
sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
42. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Vamos usar o próximo exemplo para
mostrar
os passos a serem seguidos:
Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
1º passo: Calcular=a0raiz x = 3
x−3 ⇒ do divisor.
43. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
3 1 -4 5 -2
44. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
raiz do coeficientes
3 1 -4 5 -2
divisor do dividendo
45. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
3º passo: abaixar o 1º coeficiente do
dividendo
3 1 -4 5 -2
1
46. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. (3 . 1 - 4 = -1)
3 1 -4 5 -2
1 -1
47. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. +
Colocar o resultado
3 1 -4 5 -2 embaixo do
1 -1 coeficiente somado
x
48. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
5º passo: repetir as operações (multiplicar
pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte)
50. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
6º passo: identificar o resto e os coeficientes
do quociente.
3 1 -4 5 -2
O quociente é:
x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4
51. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).
1º passo: x + i = 0 ⇒ x = −i
2º passo: 3º passo:
-i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1
2
52. Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).
4º e 5º passos: 6º passo:
-i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7
2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i
53. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
54. Tente fazer
sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b
são constantes reais) é divisível por x – 5.
Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
resto 35.
a)Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
55. Tente fazer
sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b
são constantes reais) é divisível por x – 5.
Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
56. Solução
5 -1 a 5 b
-1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b
0
-2 -1 a 5 b
-1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b
35
25a – 100 + b = 0 a=3
4a – 2 + b = 35 b = 25
57. Teorema do Resto
“ Seja p(x) um polinômio
tal que p ≥ 1. O resto da
divisão de p(x) por x – a é
igual a p(a), ou seja,
r = p(a).”
58. Teorema do Resto
Exemplo: Para calcular o resto da divisão de
p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar
o Teorema do Resto.
A raiz do divisor é : x – 2 = 0 x = 2
Pelo Teorema do Resto temos que:
r(x) = p(2)
r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
59. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
60. Tente fazer
sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
61. Tente fazer
sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
63. Teorema de
D’Alembert
“ Seja a (complexo) é raiz de
um polinômio f(x), então f(x) é
divisível por x – a e,
reciprocamente, se f(x) é
divisível por x – a, então a é
raiz de f(x).”
64. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)
65. Equações
Polinomiais
Equação polinomial é aquela que pode ser
escrita na forma:
n −1
an x + an −1 x
n
+ ... + a1 x + a0 = 0
Exemplos:
x3 + 1 = 0
3x2 – 2ix + 1 = 0
x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
66. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)
Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
Equações
polinomiais
67. Equações
Polinomiais
Raiz da equação é o valor que da variável,
que satisfaz a igualdade.
Exemplos:
a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0
2 x = - 12 x2 = 9
x=-6 x=±3
68. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)
Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
Equações Valor da variável que
polinomiais definição satisfaz a igualdade
raiz
69. Equações
Polinomiais
c)x − 2x + 2x = 0
3 2
d)x + 2x + x + 2 = 0
3 2
( )
x x − 2x + 2 = 0
2
x ( x + 2) + 1( x + 2) = 0
2
( )
x = 0 ou x − 2x + 2 = 0 ( x + 2) x 2 + 1 = 0
2
x1 = 1 + i;
x + 2 = 0 ou x + 1 = 0
2
x2 = 1 − i x = -2 x = ±1
70. Equações
Polinomiais
Podemos decompor um polinômio em fatores
do 1º grau, de acordo com suas raízes, através
da fórmula:
p ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn )
Onde:
an é o coeficiente de xn .
xi são as raízes de p(x).
71. Equações
Polinomiais
Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
podemos decompor esse polinômio em fatores
do 1º grau, usando a fórmula:
p( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn )
Sendo assim, temos:
2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
72. Tente fazer
sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
73. Tente fazer
sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
74. Solução
Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então
p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
Logo,
-1 1 -2 1 2 -2
1 1 -3 4 -2 0
1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2
Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
75. Multiplicidade
da Raiz
Entende-se por multiplicidade da raiz o
número de vezes que uma mesma raiz
aparece.
Exemplo:
Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,
encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse
caso,
dizemos que x = 6 é uma raiz de
76. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)
Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
Equações Valor da variável que
polinomiais definição satisfaz a igualdade
raiz Nº de vezes que
definição a raiz aparece
multiplicidade
77. Multiplicidade
da Raiz
Para identificar qual é a multiplicidade de
uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,
até encontrar um resto diferente de zero.
Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
78. Multiplicidade
da Raiz
Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
2 1 -5 6 4 -8
2 1 -3 0 4 0
Logo, a raiz
2 1 -1 -2 0 2
tem
não 2 1 1 0 multiplicid
ade 3.
1 3
79. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
grau Maior expoente da variável
adição
subtração
multiplicação
operações
Método da
Divisão comum
Chave
Polinômio métodos
s Dispositivo
Seguir os 6 passos
divisão de
Briot-Ruffini
Teorema r(x)=p(a) , sendo
do resto (x-a) divisor de p(x)
Teoremas
Teorema de a é raiz de f(x) f(x)
D’Alembert é divisível por (x-a)
Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
Equações Valor da variável que
polinomiais definição satisfaz a igualdade
raiz Nº de vezes que
definição a raiz aparece
multiplicidade
Divisões
identificação
sucessivas
80. Tente fazer
sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
81. Tente fazer
sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
82. Solução
Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a
outra raiz, podemos escrever o polinômio
assim:
p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0
p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0
p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
83. Bibliografia
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;
Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –
Páginas: 551 a 585
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,
Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –
2008 - Páginas: 134 a 164
• Figuras: google imagens
84. Note que para toda divisão de
polinômios, vale a sentença:
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1