PC_2020-2_EP03_Polinomios_GABARITO.pdf

Pré-Cálculo 2020-2 EP 03 – GABARITO 1 de 22
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP03 – POLINÔMIOS – GABARITO
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Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu
antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor originou a
palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao certo, originou
o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da Matemática que
hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se divida o número 10
em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando cada parte por si mesma,
seja igual a 58 ". Resolva-o.
Resolução:
Sejam 𝑥 e 𝑧, tais que 𝑥 + 𝑧 = 10 e 𝑥2
+ 𝑧2
= 58.
Mas, 𝑥 + 𝑧 = 10 ⟺ 𝑧 = 10 − 𝑥.
Substituindo 𝑧 = 10 − 𝑥 em 𝑥2
+ 𝑧2
= 58, obtemos: 𝑥2
+ (10 − 𝑥)2
= 58.
Mas, 𝑥2
+ (10 − 𝑥)2
= 58 ⟺ 𝑥2
+ 100 − 20𝑥 + 𝑥2
= 58 ⟺ 2𝑥2
− 20𝑥 + 42 = 0 ⟺
𝑥2
− 10𝑥 + 21 = 0 ⟺ 𝑥 =
10±√(−10)2−4⋅1⋅21
2⋅1
=
10±√100−84
2
=
10±√16
2
=
10±4
2
⟺ 𝑥 = 7 𝑜𝑢 𝑥 = 3.
Então, dividimos 10 em duas partes, tal que: 10 = 7 + 3 e 72
+ 32
= 49 + 9 = 58.
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Exercício 2: Uma fatia com 3 𝑐𝑚 de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um cubo,
deixando um volume de 196 𝑐𝑚2
. Encontre o comprimento do lado do cubo original.
Resolução:
Seja 𝑥 ∈ ℝ, tal que o lado do cubo mede 𝑥 𝑐𝑚. Se uma fatia de 3 𝑐𝑚 de espessura é cortada
paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base
quadrada de lado medindo 𝑥 𝑐𝑚. Altura medindo 𝑥 − 3 𝑐𝑚.
O volume desse paralelepípedo é 𝑥 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3) = 𝑥2
⋅ (𝑥 − 3) = 196 𝑐𝑚3
.
Resolvendo a equação 𝑥2
⋅ (𝑥 − 3) = 196 :
𝑥2
⋅ (𝑥 − 3) = 196 ⟺ 𝑥3
− 3𝑥2
− 196 = 0

Como 𝑥 é medida, 𝑥 é positivo. Os divisores positivos do termo independente são 1, 2, 4, 7, 14, 28,
49, 98, 196. Testando se são raízes:
13
− 3 ∙ 12
− 196 = −194 ≠ 0.Logo, 𝑥 = 1 não é solução da equação dada.
23
− 3 ∙ 22
− 196 = −200 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 2 não é solução da equação dada.
43
− 3 ∙ 42
− 196 = −180 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 4 não é solução da equação dada.
73
− 3 ∙ 72
− 196 = 0. Logo, 𝑥 = 7 é solução da equação dada.
Dividindo 𝑥3
− 3𝑥2
− 196 por 𝑥 − 7 obtemos 𝑥2
+ 4𝑥 + 28. Mas, para esse trinômio do
segundo grau, 𝑥2
+ 4𝑥 + 28, temos 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 42
− 4 ⋅ 1 ⋅ 28 = 16 − 112 < 0. Portanto, 𝑥2
+
4𝑥 + 28 não tem raízes reais.
Assim, a única solução real da equação 𝑥3
− 3𝑥2
− 196 = 0 é 𝑥 = 7 .
Logo, o comprimento do lado do cubo original é 𝑥 = 7 𝑐𝑚.
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Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios:
a) 𝑝(𝑥) = √2 𝑥5
+
1
2
𝑥3
− 𝑥 + 2 b) 𝑡(𝑥) = 5 c) 𝑞(𝑥) = 𝑥
1
3 + 3𝑥
1
2 − 5
d) 𝑠(𝑥) = 2𝑥−4
+ 𝑥−3
− 𝑥−1
+ 3 e) 𝑟(𝑥) =
4𝑥5−𝑥2−3
𝑥3−5
Resolução:
a) É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais.
b) É um polinômio constante, grau zero.
c) Não é um polinômio pois os expoentes da variável 𝑥 são números racionais, não inteiros.
d) Não é um polinômio, pois os expoentes da variável 𝑥 são números inteiros negativos.
e) Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios.
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Exercício 4: Determine os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, números reais, que tornam os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥)
iguais:
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) e 𝑞(𝑥) = 3𝑥2
− 5.
Resolução:
Os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são iguais se os seus coeficientes 𝑎𝑖 da i-ésima potência
𝑥𝑖
, 𝑖 = 0 , 1 , 2, são iguais.
Como,
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥 + 1) + 𝑏𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 𝑎𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥2
− 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑥2
− 1)
𝑝(𝑥) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2
+ (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑐 .
Então, para que os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) sejam iguais, é preciso que:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2
+ (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑐 = 3𝑥2
− 5 ⟺

{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3
𝑎 − 𝑏 = 0
−𝑐 = −5
⟺ {
2𝑎 + 5 = 3
𝑎 = 𝑏
𝑐 = 5
⟺ 𝑎 = 𝑏 = −1 e 𝑐 = 5.
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Exercício 5: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável x e
diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis que
são casos particulares do Binômio de Newton.
a) −(4𝑥 + 1)3
− 2(4𝑥 + 1)2
b) (𝑥 + ℎ)4
− 𝑥4
Resolução:
a) −(4𝑥 + 1)3
− 2(4𝑥 + 1)2
= −((4𝑥)3
+ 3(4𝑥)2
⋅ 1 + 3 ⋅ 4𝑥 ⋅ 12
+ 13) − 2(16𝑥2
+ 8𝑥 + 1) =
= −64𝑥3
− 48𝑥2
− 12𝑥 − 1 − 32𝑥2
− 16𝑥 − 2 = −64𝑥3
− 80𝑥2
− 28𝑥 − 3.
Acima foram usados os produtos notáveis:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
e (𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
.
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas o produto notável
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
.
Para iniciar, podemos colocar o fator comum (4𝑥 + 1)2
em evidência,
−(4𝑥 + 1)3
− 2(4𝑥 + 1)2
= (4𝑥 + 1)2
(−(4𝑥 + 1) − 2) = (16𝑥2
+ 8𝑥 + 1) (−4𝑥 − 3) =
= −64𝑥3
− 48𝑥2
− 32𝑥2
− 24𝑥 − 4𝑥 − 3 = −64𝑥3
− 80𝑥2
− 28𝑥 − 3.
Coeficientes: grau 3 é −64; grau 2 é −80; grau 1 é −28; grau 0 é −3.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) (𝑥 + ℎ)4
− 𝑥4
= 𝑥4
+ 4𝑥3
ℎ + 6𝑥2
ℎ2
+ 4𝑥ℎ3
+ ℎ4
− 𝑥4
= 4𝑥3
ℎ + 6𝑥2
ℎ2
+ 4𝑥ℎ3
+ ℎ4
.
Acima foi usado o produto notável (𝑎 + 𝑏)4
= 𝑎4
+ 4𝑎3
𝑏 + 6𝑎2
𝑏2
+ 4𝑎𝑏3
+ 𝑏4
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas a propriedade distributiva e o produto
notável (𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
.
(𝑥 + ℎ)4
− 𝑥4
= (𝑥 + ℎ)2(𝑥 + ℎ)2
− 𝑥4
= (𝑥2
+ 2ℎ𝑥 + ℎ2)(𝑥2
+ 2ℎ𝑥 + ℎ2) − 𝑥4
=
= 𝑥4
+ 2ℎ𝑥3
⏟
(1)
+ ℎ2
𝑥2
⏟
(2)
+ 2ℎ𝑥3
⏟
(1)
+ 4ℎ2
𝑥2
⏟
(2)
+ 2ℎ3
𝑥
⏟
(3)
+ ℎ2
𝑥2
⏟
(2)
+ 2ℎ3
𝑥
⏟
(3)
+ ℎ4
− 𝑥4
=
= 4ℎ𝑥3
+ 6ℎ2
𝑥2
+ 4ℎ3
𝑥 + ℎ4
Coeficientes: grau 3 é 4ℎ ; grau 2 é 6ℎ2
; grau 1 é 4ℎ3
; grau 0 é ℎ4
.
_________________________________________________________________________
Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) nos seguintes
casos:
a) 𝑝(𝑥) = 3𝑥5
− 𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4𝑥 − 3 𝑞(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥 + 1
b) 𝑝(𝑥) = 𝑥5
+ 3𝑥4
− 4𝑥3
− 𝑥2
+ 11𝑥 + 12 𝑞(𝑥) = 𝑥2(𝑥2
+ 4𝑥 + 5)

Resolução:
a) 3𝑥5
− 𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4𝑥 − 3 𝑥3
− 2𝑥 + 1
−3𝑥5
+ 6𝑥3
− 3𝑥2
3𝑥2
− 𝑥 + 8
−𝑥4
+ 8𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥 − 3
𝑥4
− 2𝑥2
+ 𝑥
8𝑥3
− 5𝑥2
+ 5𝑥 − 3
−8𝑥3
+ 16𝑥 − 8
−5𝑥2
+ 21𝑥 − 11
Neste caso, o quociente é 𝑞(𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥 + 8 e o resto é 𝑟(𝑥) = −5𝑥2
+ 21𝑥 − 11.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑥5
+ 3𝑥4
− 4𝑥3
− 𝑥2
+ 11𝑥 + 12 𝑥4
+ 4𝑥3
+ 5𝑥2
−𝑥5
− 4𝑥4
− 5𝑥3
𝑥 − 1
−𝑥4
− 9𝑥3
− 𝑥2
+ 11𝑥 + 12
𝑥4
+ 4𝑥3
+ 5𝑥2
−5𝑥3
+ 4𝑥2
+ 11𝑥 + 12
Neste caso, o quociente é 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 e o resto é 𝑟(𝑥) = −5𝑥3
+ 4𝑥2
+ 11𝑥 + 12.
_________________________________________________________________________
Exercício 7: Determine 𝑎 ∈ ℝ, de modo que o polinômio
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3
+ (2𝑎 − 1)𝑥2
+ (3𝑎 − 2)𝑥 + 4𝑎 seja divisível por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1 e em seguida, obtenha
o quociente da divisão.
Resolução:
O polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3
+ (2𝑎 − 1)𝑥2
+ (3𝑎 − 2)𝑥 + 4𝑎 será divisível por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1, se e
somente, se 𝑝(1) = 0.
Mas,
0 = 𝑝(1) = 𝑎 ∙ 13
+ (2𝑎 − 1) ∙ 12
+ (3𝑎 − 2) ∙ 1 + 4𝑎 = 𝑎 + 2𝑎 − 1 + 3𝑎 − 2 + 4𝑎 = 10𝑎 − 3
Donde, 𝑎 =
3
10
, e, portanto,
𝑝(𝑥) =
3
10
𝑥3
−
4
10
𝑥2
−
11
10
𝑥 +
12
10
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por 𝑠(𝑥) = 𝑥 − 1.
3
10
−
4
10
−
11
10
12
10
1
3
10
−
1
10
−
12
10
0
O quociente procurado é: 𝑞(𝑥) =
3
10
𝑥2
−
1
10
𝑥 −
12
10
.
_________________________________________________________________________

Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios:
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 b) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 − 3
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 1 d) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4
− 9𝑥3
+ 6𝑥2
+ 11𝑥 − 6
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 8𝑥2
+ 15 f) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 7𝑥2
+ 4𝑥 − 4
g) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
+ 1 h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 − 1
Resolução: a resolução será feita com detalhes, para que se possa entender os resultados que foram
usados.
a) 𝑝(𝑥) = 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 :
𝑥 =
−5±√(5)2−4.2.(−3)
2.2
=
−5±√25+24
4
=
−5±√49
4
=
−5±7
4
⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 =
1
2
.
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 − 3
Como 𝑝(𝑥) é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real.
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −3, que são:
−1 , +1 , −3 , +3. Calculando 𝑝(−1) , 𝑝(1) , 𝑝(−3) , 𝑝(3), vemos que não são zero. Logo esse
polinômio não tem raízes inteiras.
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente
−3 , que são: −1 , +1 , −3 , +3, divididos pelos divisores, diferentes de −1 , +1 , do coeficiente do
termo de maior grau, que são −2 , +2 . Calculando 𝑝 (
1
2
) , vemos que 𝑝 (
1
2
) = 0.
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 −
1
2
, obtemos:
𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 − 3 = (𝑥 −
1
2
)(2𝑥2
+ 2𝑥 + 6) = 2 (𝑥 −
1
2
)(𝑥2
+ 𝑥 + 3).
Como o discriminante do trinômio do segundo grau 𝑥2
+ 𝑥 + 3 , ∆ = 12
− 4.1.3 < 0 então este
trinômio do segundo grau é irredutível em ℝ . Portanto, a fatoração de 𝑝(𝑥) é:
𝑝(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝑥2
+ 5𝑥 − 3 = 2 (𝑥 −
1
2
)(𝑥2
+ 𝑥 + 3).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 1 = (𝑥2)2
− 1 = ( 𝑥2
− 1)( 𝑥2
+ 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)( 𝑥2
+ 1).
Observe que estamos tratando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 1, como um trinômio do segundo grau na
variável 𝑥2
e que −1 e + 1 são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo
grau, 𝑥2
+ 1 , não possui raízes reais, pois 𝑥2
+ 1 ≥ 1 , nunca se anula e é, portanto, irredutível nos
reais.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4
− 9𝑥3
+ 6𝑥2
+ 11𝑥 − 6.
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −6 , que são:
−1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −6 , 6 . Calculando 𝑝(−1), vemos que 𝑝(−1) = 0 ,.
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 , obtemos,
𝑝(𝑥) = 2𝑥4
− 9𝑥3
+ 6𝑥2
+ 11𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(2𝑥3
− 11𝑥2
+ 17𝑥 − 6)
Como 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 11𝑥2
+ 17𝑥 − 6 é um polinômio de grau ímpar, 3 , possui pelo menos uma
raiz real.
As possíveis raízes inteiras do polinômio 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 11𝑥2
+ 17𝑥 − 6 são os divisores do termo
independente −6 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −6 , +6. Calculando 𝑝1(2) , vemos que
𝑝1(2) = 0.
Dividindo 𝑝1(2) por 𝑥 − 2, obtemos, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 11𝑥2
+ 17𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(2𝑥2
− 7𝑥 + 3).
Agora é só tentar fatorar o polinômio 𝑝2(𝑥) = 2𝑥2
− 7𝑥 + 3.
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 2𝑥2
− 7𝑥 + 3 :
𝑥 =
7±√(−7)2−4.2.3
2.2
=
7±√49−24
4
=
7±√25
4
=
7±5
4
⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 =
1
2
.
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝2(𝑥) é: 𝑝2(𝑥) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 − 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
Portanto a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é:
𝑝(𝑥) = 2𝑥4
− 9𝑥3
+ 6𝑥2
+ 11𝑥 − 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 8𝑥2
+ 15 = (𝑥2)2
− 8 𝑥2
+ 15 = (𝑥2
− 3)(𝑥2
− 5) =
= (𝑥 + √3)(𝑥 − √3)(𝑥 + √5)(𝑥 − √5) .
Observe que estamos tratando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 8𝑥2
+ 15 , como um trinômio do segundo
grau na variável 𝑥2
e que 3 e 5 são as raízes desse trinômio do segundo grau.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) 𝑝(𝑥) = 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 7𝑥2
+ 4𝑥 − 4.
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente −4 , que são:
−1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4. Calculando 𝑝(−1) , vemos que 𝑝(−1) = 0.
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1, obtemos,
𝑝(𝑥) = 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 7𝑥2
+ 4𝑥 − 4 = (𝑥 + 1)(2𝑥3
− 𝑥2
+ 8𝑥 − 4).
Como 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 8𝑥 − 4 é um polinômio de grau ímpar, 3 , possui pelo menos uma raiz
real.
As possíveis raízes racionais do polinômio 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 8𝑥 − 4 são os divisores do termo
independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , divididos pelos divisores do coeficiente do
termo de maior grau, que são −1 , +1 , −2 , +2. Logo, as possíveis raízes racionais de 𝑝1(𝑥) são:
−1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , −
1
2
,
1
2
. Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que
também são racionais. Calculando:

𝑝1(−1) = 15 , 𝑝1(1) = 5 , 𝑝1(−2) = −40 , 𝑝1(2) = 24 , 𝑝1(−4) = −180 ,
𝑝1(4) = 140 , 𝑝1 (−
1
2
) = −
17
2
, 𝑝1 (
1
2
) = 0 , vemos que 𝑥 =
1
2
é raiz de 𝑝1(𝑥)
Dividindo 𝑝1(𝑥) por 𝑥 −
1
2
, obtemos, 𝑝1(𝑥) = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 8𝑥 − 4 = (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2
+ 8) .
Como o trinômio do segundo grau, 2𝑥2
+ 8 , não possui raízes reais, pois 2𝑥2
+ 8 ≥ 8 e é, portanto,
irredutível nos reais, nada mais temos a fatorar, logo,
𝑝(𝑥) = 2𝑥4
+ 𝑥3
+ 7𝑥2
+ 4𝑥 − 4 = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2
+ 8)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
g) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
+ 1
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (isso significa que o coeficiente do termo
de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do
termo independente +1 , que são: +1 , −1.
Como 𝑝(−1) = 𝑝(1) = 2 ≠ 0 então esse polinômio não tem raízes racionais. Este polinômio poderá
ter raízes irracionais ou não ter raízes reais.
Por outro lado, 𝑥4
+ 1 = 0 ⟺ 𝑥4
= −1, mas ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥4
≥ 0, logo essa equação não tem solução
para 𝑥 ∈ ℝ e assim a fatoração de 𝑝(𝑥) = 𝑥4
+ 1 só terá fatores quadráticos irredutíveis.
Podemos tentar a seguinte fatoração, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais:
𝑝(𝑥) = 𝑥4
+ 1 = (𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 1)(𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 1) = 𝑥4
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥3
+ (𝑎𝑏 + 2)𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 1.
Da igualdade de polinômios, segue que:
{
𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎𝑏 + 2 = 0
⟺ {
𝑏 = −𝑎
𝑎𝑏 + 2 = 0
⟺ −𝑎2
+ 2 = 0 ⟺ 𝑎2
= 2 ⟺ 𝑎 = − √2 ou 𝑎 = √2
Se 𝑎 = − √2 então 𝑏 = √2 e se 𝑎 = √2 então 𝑏 = −√2
Portanto, a fatoração pedida é:
𝑝(𝑥) = 𝑥4
+ 1 = (𝑥2
+ √2𝑥 + 1)(𝑥2
− √2𝑥 + 1).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 − 1
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 1),
se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo independente
−1, que são: +1, −1.
𝑝(1) = 1 − 2 + 2 − 1 = 0 , logo 1 é raiz de 𝑝(𝑥).
𝑝(−1) = (−1)4
− 2(−1)3
+ 2(−1) − 1 = 1 + 2 − 2 − 1 = 0 , logo −1 é raiz de 𝑝(𝑥).
Assim, 𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Devemos determinar 𝑞(𝑥) que tem grau
2. Para isso, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas.

1 −2 0 2 −1
1 1 −1 −1 1 0
−1 1 −2 1 0
Assim, 𝑞(𝑥) = 𝑥2
− 2𝑥 + 1. Determinando as raízes de 𝑞(𝑥) :
𝑥 =
2±√(−2)2−4.1.1
2.1
2±√4−4
2
=
2±0
2
= 1, donde 𝑥 = 1 é raiz dupla de 𝑞(𝑥) e 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1)2
.
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2
= (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1).
_________________________________________________________________________
Exercício 9: Será 𝑥 + 3 um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7
+ 2187? Justifique sua resposta.
Resolução:
Se 𝑥 + 3 for um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7
+ 2187 , então 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)𝑞(𝑥) , e assim, 𝑥 =
−3, será uma raiz do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7
+ 2187 . Basta então verificar se 𝑝(−3) = 0. Calculando:
𝑝(−3) = (−3)7
+ 2187 = −2187 + 2187 = 0 .
Portanto, 𝑥 + 3 é um fator do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥7
+ 2187 .
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Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número
racional que seja igual ao seu cubo mais um?
Resolução:
Consideremos 𝑥 um número racional. Se este número racional 𝑥 , é igual ao seu cubo mais um, então
podemos escrever que 𝑥 = 𝑥3
+ 1 . Mas, 𝑥 = 𝑥3
+ 1 ⟺ 𝑥3
− 𝑥 + 1 = 0 .
Considerando o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 + 1, sabemos que as possíveis raízes racionais desse
polinômio são inteiras, pois é 𝑝(𝑥) é um polinômio mônico (o coeficiente do termo de maior grau é
1 ). Essas possíveis raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 1, que são −1 e
+1.
Calculando 𝑝(−1) e 𝑝(1) :
𝑝(−1) = (−1)3
− (−1) + 1 = −1 + 1 + 1 ≠ 0 e
𝑝(1) = (1)3
− (1) + 1 = 1 − 1 + 1 ≠ 0
Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais.
Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.
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Exercício 11: Estude o sinal dos polinômios. Quando possível, apresente as conclusões na forma de
intervalo, isto é, escreva as conclusões como um único intervalo ou como união de intervalos disjuntos
(intervalos disjuntos não têm pontos em comum).

a) 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3
− 𝑥2
+
1
2
𝑥 − 1 b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 12
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14 𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8.
Resolução:
a) 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3
− 𝑥2
+
1
2
𝑥 − 1.
Note que, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3
− 𝑥2
+
1
2
𝑥 − 1 =
1
2
(𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 2), ou seja, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑞(𝑥),
onde 𝑞(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 2 é um polinômio com coeficientes inteiros.
As possíveis raízes racionais de 𝑞(𝑥) são inteiras, pois 𝑞(𝑥) é mônico (o coeficiente do termo de
maior grau é 1) e estão entre os divisores do termo independente −2, que são: −1 , +1 , −2 , +2.
Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que somente 𝑥 = 2 é raiz de
𝑞(𝑥) , pois 𝑞(2) = 23
− 2 ∙ 22
+ 2 − 2 = 8 − 8 + 2 − 2 = 0
e 𝑞(−1) ≠ 0 , 𝑞(1) ≠ 0 e 𝑞(−2) ≠ 0 , portanto 𝑥 = 2 é a única raiz de 𝑝(𝑥) .
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − 2 obtemos (𝑥2
+ 1), logo, 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥2
+ 1) .
Portanto, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑞(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 1) .
Como 𝑥2
+ 1 ≥ 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então o sinal de 𝑝(𝑥) depende somente do sinal de 𝑥 − 2.
Logo,
𝑝(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 ⟺ 𝑥 ∈ (2 , +∞ ).
𝑝(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , 2) .
𝑝(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 12
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 12 .
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 12, que são:
−1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −4 , +4 , −6 , +6 , −12 , +12 .
Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que
𝑞(−1) = (−1)3
+ 3(−1)2
+ 4(−1) + 12 = −1 + 3 − 4 + 12 = 10 ≠ 0 . Logo, −1 não é raiz desse
polinômio.
𝑞(1) = 13
+ 3 ∙ 12
+ 4 ∙ 1 + 12 = 1 + 3 + 4 + 12 = 20 ≠ 0 . Logo, 1 não é raiz desse polinômio.
𝑞(−2) = (−2)3
+ 3(−2)2
+ 4(−2) + 12 = −8 + 12 − 8 + 12 = 8 ≠ 0 . Logo, −2 não é raiz desse
polinômio.
𝑞(2) = 23
+ 3 ∙ 22
+ 4 ∙ 2 + 12 = 8 + 12 + 8 + 12 = 40 ≠ 0 . Logo, 2 não é raiz desse polinômio.
𝑞(−3) = (−3)3
+ 3(−3)2
+ 4(−3) + 12 = −27 + 27 − 12 + 12 = 0 . Logo, −3 é raiz desse
polinômio.
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − (−3) = 𝑥 + 3 , obtemos, 𝑥2
+ 4 .

Portanto, 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥2
+ 4) .
Como 𝑥2
+ 4 ≥ 4 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então esse polinômio nunca se anula, não tem raízes reais.
Assim, 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥2
+ 4) é a fatoração de 𝑞(𝑥) em ℝ .
Como 𝑥2
+ 4 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então o sinal do polinômio 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥2
+ 4) , depende
apenas do sinal do fator linear 𝑥 + 3 .
Portanto,
𝑞(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 > −3 ⟺ 𝑥 ∈ (−3 , +∞ ).
𝑞(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 + 3 < 0 ⟺ 𝑥 < −3 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −3) .
𝑞(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8
A fatoração do polinômio )
( x
s envolve o estudo de raízes racionais e )
( x
s tem também raízes
irracionais. Para fazer o estudo do sinal desse polinômio será preciso ordenar as raízes encontradas. É
um exercício bem completo, acompanhe todos os passos dessa resolução.
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8.
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 8 , que são:
−1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , −8 , +8.
Calculando os valores de 𝑠(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que
𝑠(−1) = 3(−1)4
+ 14(−1)3
+ 14(−1)2
− 8(−1) − 8 = 3 − 14 + 14 + 8 − 8 = 3 ≠ 0 . Logo, −1
não é raiz desse polinômio.
𝑠(1) = 3 ∙ 14
+ 14 ∙ 13
+ 14 ∙ 1 − 8 ∙ 1 − 8 = 3 + 14 + 14 − 8 − 8 = 15 ≠ 0 . Logo, 1 não é raiz
desse polinômio.
𝑠(−2) = 3(−2)4
+ 14(−2)3
+ 14(−2)2
− 8(−2) − 8 = 48 − 112 + 56 + 16 − 8 = 0 . Logo, −2
é raiz desse polinômio.
Dividindo 𝑠(𝑥) por 𝑥 − (−2) = 𝑥 + 2 , obtemos, 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4 .
Portanto, 𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)( 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4).
Vamos agora buscar as raízes do polinômio 𝑠1(𝑥) = 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4
As possíveis raízes inteiras desse polinômio, 𝑠1(𝑥) = 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4 , são os divisores do termo
independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4. Como −1 e + 1 não são raízes de 𝑠(𝑥)
então também não são raízes de 𝑠1(𝑥) . De fato, como 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑠1(𝑥) então o valor de 𝑥 que
anular 𝑠1(𝑥) , anula também 𝑠(𝑥) .
Vamos testar −2 e + 2 . Calculando:
𝑠1(−2) = 3(−2)3
+ 8(−2)2
− 2(−2) − 4 = −24 + 32 + 4 − 4 = 8 ≠ 0 . Logo, −2 não é raiz
desse polinômio.
𝑠1(2) = 3 ∙ 23
+ 8 ∙ 22
− 2 ∙ 2 − 4 = 24 + 32 − 4 − 4 = 48 ≠ 0 . Logo, 2 não é raiz desse
polinômio.

Vamos testar −4 e + 4 . Calculando:
𝑠1(−4) = 3(−4)3
+ 8(−4)2
− 2(−4) − 4 = −192 + 128 + 8 − 4 = −60 ≠ 0 . Logo, −4 não é raiz
desse polinômio.
𝑠1(4) = 3 ∙ 43
+ 8 ∙ 42
− 2 ∙ 4 − 4 = 192 + 128 − 8 − 4 = 308 ≠ 0 . Logo, 4 não é raiz desse
polinômio.
Vamos verificar agora, as possíveis raízes racionais de 𝑠1(𝑥) .
As possíveis raízes racionais "não inteiras" do polinômio 𝑠1(𝑥) = 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4 são os
divisores do termo independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4, divididos pelos divisores
do coeficiente do termo de maior grau, diferentes de −1 e + 1, que são: −3 , +3 . As possíveis raízes
racionais "não inteiras" são:
−
1
3
, +
1
3
, −
2
3
, +
2
3
, −
4
3
, +
4
3
Calculando os valores de 𝑠1(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que
𝑠1 (−
1
3
) = 3 ∙ (−
1
3
)
3
+ 8 ∙ (−
1
3
)
2
− 2 ∙ (−
1
3
) − 4 = −3 ∙
1
33 + 8 ∙
1
32 +
2
3
− 4 = −
23
9
≠ 0 . Logo, −
1
3
não é raiz desse polinômio.
𝑠1 (
1
3
) = 3 ∙ (
1
3
)
3
+ 8 ∙ (
1
3
)
2
− 2 ∙ (
1
3
) − 4 = 3 ∙
1
33 + 8 ∙
1
32 −
2
3
− 4 = −
11
3
≠ 0 . Logo,
1
3
não é raiz
desse polinômio.
𝑠1 (−
2
3
) = 3 ∙ (−
2
3
)
3
+ 8 ∙ (−
2
3
)
2
− 2 ∙ (−
2
3
) − 4 = −3 ∙
8
33 + 8 ∙
4
32 +
4
3
− 4 = 0 . Logo, −
2
3
é raiz
desse polinômio.
Dividindo 𝑠1(𝑥) por 𝑥 − (−
2
3
) = 𝑥 +
2
3
, obtemos, 3𝑥2
+ 6𝑥 − 6 .
Portanto, 𝑠1(𝑥) = 3𝑥3
+ 8𝑥2
− 2𝑥 − 4 = (𝑥 +
2
3
) (3𝑥2
+ 6𝑥 − 6 ).
Buscando as raízes de 𝑠2(𝑥) = 3𝑥2
+ 6𝑥 − 6 :
𝑥 =
−6±√(6)2−4.3.(−6)
2.3
=
−6±√108
6
=
−6±6√3
6
= −1 ± √3 .
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑠2(𝑥) é:
𝑠2(𝑥) = 3𝑥2
+ 6𝑥 − 6 = 3 (𝑥 − (−1 − √3 ))(𝑥 − (−1 + √3 ))
Assim,
𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8 = 3(𝑥 + 2) (𝑥 +
2
3
) (𝑥 − (−1 − √3 ))(𝑥 − (−1 + √3 ))
Para analisar o sinal do polinômio 𝑠(𝑥) , devemos analisar o sinal dos fatores lineares:
𝑥 + 2 , 𝑥 +
2
3
, 𝑥 + 1 + √3 , 𝑥 + 1 − √3 e depois multiplicar os sinais.
Vamos fazer a tabela de sinais do polinômio 𝒔(𝒙) , mas para isso é preciso ordenar os números reais:
−2 , −
2
3
, −1 − √3 , − 1 + √3 , que são as raízes do polinômio 𝑠(𝑥) .

Temos que:
3 > 1 ⟺ √3 > √1 ⟺ √3 > 1 ⟺ √3 − 1 > 0 .
Os números −2 , −
2
3
, −1 − √3 são todos negativos e −2 < −
2
3
.
Vamos comparar −2 e − 1 − √3 .
−1 − √3 < −2 ⟺ 2 < 1 + √3 ⟺ 2 − 1 < √3 ⟺ 1 < √3 .
Como a última afirmação da direita é verdadeira, então pelas equivalências a afirmação −1 − √3 <
−2 também é verdadeira.
Portanto, −1 − √3 < −2 < −
2
3
< −1 + √3
Tabela de sinais do polinômio 𝒔(𝒙), para 𝒙 ≤ −𝟐:
Continuação da tabela, 𝑥 > −2
−∞ < 𝑥
< −1 − √3
𝑥
= −1
− √3
−1 − √3 < 𝑥
< −2
𝑥 = −2
𝑥 + 1 + √3 − − − − 0 + + + + +
𝑥 + 2 − − − − − − − − − − − 0
𝑥 +
2
3
− − − − − − − − − − −
𝑥 + 1 − √3 − − − − − − − − − − −
Produto dos
sinais
+ + + + 0 − − − − − 0
−2 < 𝑥
< −
2
3
𝑥 = −
2
3
−
2
3
< 𝑥
< −1 + √3
𝑥
= −1 + √3
−1 + √3 < 𝑥
< +∞
𝑥 + 1 + √3 + + + + + + + + + + + + + +
𝑥 + 2 + + + + + + + + + + + + + +
𝑥 +
2
3
− − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥 + 1 − √3
− − −
− −
− − − − − 0 + + + +
Produto dos
sinais
+ + + + 0 − − − − − 0 + + + +

Concluímos, portanto, que:
𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1 − √3 ) ∪ (−2 , −
2
3
) ∪
(−1 + √3 , +∞ ).
𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 − √3 , −2) ∪ ( −
2
3
, −1 + √3 ) .
𝑠(𝑥) = 3𝑥4
+ 14𝑥3
+ 14𝑥2
− 8𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥 ∈ { −2 , −
2
3
, −1 − √3 , −1 + √3 } .
__________________________________________________________________________________
Exercício 12: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 .
Resolução:
Vamos fatorar o numerador 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1 .
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1 , que são:
−1 , +1 .
Calculando os valores de 𝑝(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que,
𝑝(−1) = (−1)3
+ (−1)2
+ (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = −1 é raiz do polinômio
𝑝(𝑥). Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 , obtemos 𝑥2
+ 1 .
Portanto, 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)( 𝑥2
+ 1).
Como 𝑥2
+ 1 ≥ 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então esse polinômio é irredutível nos reais e
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)( 𝑥2
+ 1 ) está completamente fatorado em ℝ .
Vamos fatorar o denominador 𝑞(𝑥) = 1 − 𝑥3
= −𝑥3
+ 1 .
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1 , que são:
−1 , +1.
Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que,
𝑞(1) = −(1)3
+ 1 = −1 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = 1 é raiz do polinômio 𝑞(𝑥) = −𝑥3
+ 1.
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − 1 , obtemos 𝑥2
+ 𝑥 + 1 .
Assim, 𝑞(𝑥) = −𝑥3
+ 1 = −(𝑥 − 1)( 𝑥2
+ 𝑥 + 1) = (1 − 𝑥)( 𝑥2
+ 𝑥 + 1) .
Como o discriminante do trinômio do segundo grau 𝑥2
+ 𝑥 + 1 , ∆ = (1)2
− 4.1.1 < 0 , então
𝑥2
+ 𝑥 + 1 é irredutível em ℝ e sendo o coeficiente do termo 𝑥2
, positivo, então
𝑥2
+ 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Portanto, a fatoração de 𝑞(𝑥) é 𝑞(𝑥) = (1 − 𝑥)( 𝑥2
+ 𝑥 + 1).
Assim, 𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 =
(𝑥+1)( 𝑥2+1 )
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
Vamos fazer a tabela dos sinais para 𝐸(𝑥) . Como já mostramos anteriormente,
𝑥2
+ 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑥2
+ 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ

Assim:
𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 =
(𝑥+1)( 𝑥2+1 )
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
> 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 , 1)
𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 =
(𝑥+1)( 𝑥2+1 )
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1) ∪ (1 , +∞)
𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 =
(𝑥+1)( 𝑥2+1 )
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
= 0 ⟺ 𝑥 = −1
𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3 =
(𝑥+1)( 𝑥2+1 )
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
não pode ser calculado em 𝑥 = 1
__________________________________________________________________________________
Exercício 13: Diga para que valores de 𝑥 ∈ ℝ , a expressão 𝐸(𝑥) =
√ 𝑥3+2𝑥2+ 3𝑥+2
𝑥−1
pode ser
calculada.
Resolução:
A expressão 𝐸(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2
𝑥−1
pode ser calculada para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , tal que,
(I) 0
2
3
2 2
3

+
+
+ x
x
x , pois para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o
radicando seja positivo ou nulo, e
(II) 0
1 
−
x , pois o denominador não pode se anular.
Resolvendo (I):
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2.
Buscando as raízes de 𝑝(𝑥).
As possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do termo independente 2 , que são ±1 , ±2.
Testando , 𝑥 = −1 , obtemos 𝑝(−1) = (−1)3
+ 2(−1)2
+ 3(−1) + 2 = 0. Assim, 𝑥 = −1 é raiz
de 𝑝(𝑥).
Dividindo o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2 por 𝑥 + 1 obtemos 𝑥2
+ 𝑥 + 2 e
𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 2)
Note que 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2 nunca se anula, pois o discriminante
(−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, ∞)
𝑥 + 1 − − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥2
+ 1 + + + + + + + + + + + + + +
1 − 𝑥 + + + + + + + + + 0 − − − −
𝑥2
+ 𝑥 + 1 + + + + + + + + + + + + + +
𝐸(𝑥)
=
(𝑥 + 1)( 𝑥2
+ 1 )
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
− − − − 0 + + + + 𝑛𝑑 − − − −

∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 12
− 4 ∙ 1 ∙ 2 = −7 < 0 e 𝑥2
+ 𝑥 + 2 > 0 , para IR

 x , pois o coeficiente de
𝑥2
é 0
1  .
Portanto, o sinal do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 2) depende
apenas, do sinal de 1
+
x . Logo,
𝑝(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > −1 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 , +∞ ).
𝑝(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 .
Portanto, 𝑝(𝑥) ≥ 0 ⟺ 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −1 ⟺ 𝑥 ∈ [−1 , +∞) .
Resolvendo (II):
𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 1
De (I) e (II), concluímos que 𝑥 ∈ [−1 , +∞) 𝑒 𝑥 ≠ 1
Portanto, concluímos que a expressão 𝐸(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2
𝑥−1
pode ser calculada para
𝑥 ∈ [−1 , 1) ∪ (1 , +∞) .
__________________________________________________________________________________
Exercício 14: Encontre os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é possível calcular a expressão
𝐸(𝑥) =
√(𝑥−2)5(𝑥+3)4
4−√(𝑥−4)(𝑥+2)
.
Resolução:
Três condições devem ser satisfeitas para encontrarmos os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é
possível calcular 𝐸(𝑥) .
(I) O radicando (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4
≥ 0
(II) O radicando (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≥ 0 .
(III) O denominador 4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 0
Precisamos encontrar a solução de cada condição e depois fazer a interseção das três soluções.
Resolvendo cada condição:
(I) (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4
≥ 0
Como a potência de (𝑥 − 2) é ímpar, sabemos que:
(𝑥 − 2)5
> 0 ⟺ 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 ;
(𝑥 − 2)5
< 0 ⟺ 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 2 ;
(𝑥 − 2)5
= 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ;
Como a potência de (𝑥 + 3) é par, sabemos que:
(𝑥 + 3)4
> 0 ⟺ 𝑥 + 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −3 ;
(𝑥 + 3)4
= 0 ⟺ 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 .

Tabela de sinais de (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4
:
A solução de (I) é 𝑆1 = {−3} ∪ [2 , +∞)
II) (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≥ 0
−∞ < 𝑥
< −2
𝑥 = −2 −2 < 𝑥 < 4 4
=
x 4 < 𝑥 < +∞
𝑥 − 4 − − − − − − − − − 0 + + + +
𝑥 + 2 − − − − 0 + + + + + + + + +
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) + + + + 0 − − − − 0 + + + +
A solução de (II) é 𝑆2 = (−∞ , −2] ∪ [4 ,+∞)
III) 4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 0 ⟺ √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 4 ⟺ (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 16
Vamos resolver a equação de segundo grau: (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 16
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 16 ⟺ 𝑥2
+ 2𝑥 − 4𝑥 − 8 = 16 ⟺ 𝑥2
− 2𝑥 − 24 = 0 ⟺
𝑥 =
2±√(−2)2−4.1.(−24)
2.1
=
2±√4+96
2
=
2±√100
2
=
2±10
2
⟹ 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 6.
Resolução de (III) é 𝑆 3 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 6 }.
Para visualizar melhor a interseção das 3 soluções, vamos visualizar cada uma na reta real:
𝑺𝟏 = {−3} ∪ [2 , +∞) 𝑺𝟐 = (−∞ , −2] ∪ [4 , +∞) 𝑺 𝟑 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 6 }
𝑺𝟏:
𝑺𝟐:
𝑺 𝟑:
𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐 ∩ 𝑺 𝟑:
Portanto, concluímos que a expressão 𝐸(𝑥) =
√(𝑥−2)5 (𝑥+3)4
4− √(𝑥−4)(𝑥+2)
pode ser calculada para
𝑥 ∈ {−3} ∪ [4, 6) ∪ (6, +∞) .
__________________________________________________________________________________
−∞ < 𝑥
< −3
𝑥
= −3
−3 < 𝑥
< 2
𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞
(𝑥 − 2)5 − − − − − − − − − 0 + + + +
(𝑥 + 3)4
+ + + + 0 + + + + + + + + +
(𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4 − − − − 0 − − − − 0 + + + +
2
−
4
3
− 6
3
−

Exercício 15: Considere 𝑥 ∈ ℝ, analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
e determine o domínio
da expressão 𝐸1(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
.
Resolução:
Para que 𝑬𝟏(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
possa ser calculada é preciso que:
(I) O radicando, 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
, seja positivo ou nulo, e
(II) O denominador x
x 2
2
− não se anule.
Resolvendo as duas restrições simultaneamente, precisamos fatorar o numerador 𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 e o
denominador 𝑥2
− 2𝑥 e impor que o denominador não se anule.
Começando pelo mais simples, 𝑥2
− 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2).
A segunda restrição é 𝑥2
− 2𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥(𝑥 − 2) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 2.
Para fatorar o numerador, vamos encontrar as raízes da equação 𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 = 0.
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 1 , que são : −1 e + 1 .
Testando 𝑥 = 1 , obtemos: 13
− 2 ∙ 12
+ 1 = 1 − 2 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = 1 é raiz da equação.
Dividindo 𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 por 𝑥 − 1 encontramos 𝑥2
− 𝑥 − 1 e portanto,
𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2
− 𝑥 − 1)
Assim, 𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 ou 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0 ,.
Analisando 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0 :
𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0 ⟺
−(−1) ± √(−1)2 − 4.1. (−1)
2.1
=
1 ± √1 + 4
2
=
1 ± √5
2
Assim, 𝑥3
− 2𝑥2
+ 1 = (𝑥 − 1) (𝑥 − (
1−√5
2
))(𝑥 − (
1+√5
2
)).
Portanto, o que queremos é que
(𝑥−1)(𝑥−(
1−√5
2
))(𝑥−(
1+√5
2
))
𝑥(𝑥−2)
≥ 0 e 𝑥 ≠ 0 e 𝑥 ≠ 2 .
Vamos analisar o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
(𝑥−1)(𝑥−(
1−√5
2
))(𝑥−(
1+√5
2
))
𝑥(𝑥−2)
:
Os valores de 𝑥 ∈ ℝ que anulam o numerador ou o denominador são:
0 , 2 , 1 ,
1−√5
2
,
1+√5
2
.
Ordenando esses números para incluir na tabela:
1−√5
2
< 0 < 1 <
1+√5
2
< 2

Tabela de sinais para 𝐸(𝑥) , para 𝑥 < 1:
−∞ < 𝑥 <
1−√5
2
𝑥 =
1−√5
2
1−√5
2
< 𝑥 < 0 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 1
𝑥 − 1 − − − − − − − − − − − − − −
𝑥 − (
1−√5
2
) − − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥 − (
1+√5
2
) − − − − − − − − − − − − − −
𝑥 − − − − − − − − − 0 + + + +
𝑥 − 2 − − − − − − − − − − − − − −
𝐸(𝑥) − − − − 0 + + + + 𝑛𝑑 − − − −
Continuação da tabela, 𝑥 ≥ 1
𝑥 = 1 1 < 𝑥 <
1+√5
2
𝑥 =
1+√5
2
1+√5
2
< 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞
𝑥 − 1 0 + + + + + + + + + + + + + +
𝑥 − (
1−√5
2
) + + + + + + + + + + + + + + +
𝑥 − (
1+√5
2
) − − − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥 + + + + + + + + + + + + + + +
𝑥 − 2 − − − − − − − − − − 0 + + + +
𝐸(𝑥) 0 + + + + 0 − − − − 𝑛𝑑 + + + +
Logo, o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
é o seguinte:
𝐸(𝑥) =
𝑥3
− 2𝑥2
+ 1
𝑥2 − 2𝑥
= 0 ⟺ 𝑥 =
1 − √5
2
ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 =
1 + √5
2
𝐸(𝑥) =
𝑥3
− 2𝑥2
+ 1
𝑥2 − 2𝑥
> 0 ⟺ (
1 − √5
2
, 0) ∪ ( 1 ,
1 + √5
2
) ∪ (2 , +∞)
𝐸(𝑥) =
𝑥3
− 2𝑥2
+ 1
𝑥2 − 2𝑥
< 0 ⟺ (−∞ ,
1 − √5
2
) ∪ (0 , 1) ∪ (
1 + √5
2
, 2)
𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
não pode ser calculada para 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2.
Como queremos que 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
≥ 0 e 𝑥2
− 2𝑥 ≠ 0 então
𝑥 ∈ [
1−√5
2
, 0) ∪ [1 ,
1+√5
2
) ∪ (2 , +∞).

Logo, os valores de 𝑥 ∈ ℝ , para os quais a expressão 𝑬𝟏(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
pode ser calculada são os
valores reais , tais que, 𝑥 ∈ [
1−√5
2
, 0) ∪ [1 ,
1+√5
2
) ∪ (2 , +∞) .
Exercício 16 Resolva em ℝ, as seguintes inequações:
(a)
𝑥2−𝑥−1
𝑥2 <
2
𝑥3
(b) 𝑥2
≥
− 2
| 𝑥 |−1
.
Resolução:
(a) Para que a inequação
𝑥2−𝑥−1
𝑥2 <
2
𝑥3 possa ser resolvida é preciso que 𝑥 ≠ 0 , para que os
denominadores não se anulem.
𝑥2−𝑥−1
𝑥2 <
2
𝑥3 ⟹
𝑥2−𝑥−1
𝑥2 −
2
𝑥3 < 0 ⟹
𝑥(𝑥2−𝑥−1)−2
𝑥3 < 0 ⟹
𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥3
< 0
________________________________________________________________________________
OBSERVAÇÃO: um erro muito comum que os alunos cometem ao resolver esse tipo de inequação é
“multiplicar em cruz”, escrevendo, por exemplo,
𝑥2−𝑥−1
𝑥2 <
2
𝑥3 ⟹ (𝑥2
− 𝑥 − 1)𝑥3
< 2 𝑥2
Aqui multiplicamos ambos os lados da inequação por 𝑥2
e por 𝑥3
.
Cuidado, isto só é correto sob certas condições: 𝑥2
> 0 e 𝑥3
> 0. Mas 𝑥3
> 0 ⟺ 𝑥 > 0.
________________________________________________________________________________
Vamos fazer uma tabela de sinais para e expressão
𝑥3−𝑥2−𝑥−2
𝑥3 .
Para isso, vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥 − 2 .
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente −2 , que são −1 , +1 , −2 , +2.
Testando 𝑥 = −1 , obtemos: (−1)3
− (−1)2
− (−1) − 2 = −3 ≠ 0 . Logo, 𝑥 = −1 não é raiz
do polinômio 𝑝(𝑥).
Testando 𝑥 = 1, obtemos: 13
− 12
− 1 − 2 = −3 ≠ 0 . Logo, 𝑥 = 1 não é raiz do polinômio 𝑝(𝑥).
Testando 𝑥 = 2, obtemos: 23
− 22
− 2 − 2 = 0. Logo, 𝑥 = 2 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) .
Dividindo 𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥 − 2 por 𝑥 − 2 , obtemos 𝑥2
+ 𝑥 + 1 e assim,
𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)( 𝑥2
+ 𝑥 + 1 ).
O trinômio do segundo grau 𝑥2
+ 𝑥 + 1 não tem raízes reais, pois seu discriminante
∆ = 12
− 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3 < 0. Como o coeficiente de 𝑥2
é 1, positivo, então 𝑥2
+ 𝑥 + 1 > 0 ,

∀ 𝑥 ∈ ℝ .
Analisando o sinal da expressão:
𝑥3−𝑥2−𝑥−2
𝑥3 =
(𝑥−2)( 𝑥2+𝑥+1 )
𝑥3
−∞ < 𝑥 < 0 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞
𝑥 − 2 − − − − − − − − − 0 + + + +
𝑥2
+ 𝑥 + 1 + + + + + + + + + + + + + +
𝑥3
− − − − 0 + + + + + + + + +
𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥 − 2
𝑥3
+ + + + 𝑛𝑑 − − − − 0 + + + +
Assim,
𝑥3−𝑥2−𝑥−2
𝑥3 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (0 , 2)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(b) Para que a inequação 𝑥2
≥
−2
|𝑥|−1
possa ser resolvida é preciso que o denominador |𝑥| − 1
seja diferente de zero. Mas,
|𝑥| − 1 ≠ 0 ⟺ |𝑥| ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠ −1 e 𝑥 ≠ 1
Vamos usar a definição de |𝑥| para estudar a inequação 𝑥2
≥
−2
|𝑥|−1
.
Temos que |𝑥| = {
𝑥 , 𝑥 ≥ 0
−𝑥 , 𝑥 < 0
. Portanto, de 𝑥2
≥
−2
|𝑥|−1
, segue que:
(I) Se 𝑥 ≥ 0 , então |𝑥| = 𝑥 e,
𝑥2
≥
−2
|𝑥| − 1
⟺ 𝑥2
≥
−2
𝑥 − 1
⟺ 𝑥2
−
−2
𝑥 − 1
≥ 0 ⟺
𝑥2(𝑥 − 1) + 2
𝑥 − 1
≥ 0
⟺
𝑥3−𝑥2+2
𝑥−1
≥ 0
Portanto, temos que resolver
𝒙𝟑−𝒙𝟐+𝟐
𝒙−𝟏
≥ 𝟎 , para 𝒙 ≥ 𝟎 .
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
+ 2 .
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente +2 , que são −1 , +1 , −2 , +2 .
− (−1)2
+ 2 = 0. Logo, 𝑥 = −1 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) .
Dividindo 𝑝(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
+ 2 por 𝑥 + 1 , obtemos 𝑥2
− 2𝑥 + 2 . Assim,
𝑥3
− 𝑥2
+ 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2
− 2𝑥 + 2).
− 2𝑥 + 2 não tem raízes reais, pois seu discriminante
∆ = (−2)2
− 2𝑥 + 2 > 0,
∀ 𝑥 ∈ ℝ .

𝑥3−𝑥2+2
𝑥−1
=
(𝑥+1)(𝑥2−2𝑥+2)
𝑥−1
, para 𝑥 ≥ 0 .
Logo, para 𝑥 ≥ 0 , temos que
𝑥3−𝑥2+2
𝑥−1
≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ (1 , +∞) .
(II) Se 𝑥 < 0 , então |𝑥| = −𝑥 e,
𝑥2
≥
−2
|𝑥| − 1
⟺ 𝑥2
≥
−2
− 𝑥 − 1
⟺ 𝑥2
≥
2
𝑥 + 1
⟺ 𝑥2
−
2
𝑥 + 1
≥ 0 ⟺
𝑥2(𝑥 + 1) − 2
𝑥 + 1
≥ 0 ⟺
𝑥3
+ 𝑥2
− 2
𝑥 + 1
≥ 0
Portanto, temos que resolver
𝑥3+𝑥2−2
𝑥+1
≥ 0 , para 𝒙 < 𝟎 .
Vamos fatorar o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 2 .
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente −2 , que são −1 , +1 , −2 , +2 .
+ (−1)2
− 2 = −2 ≠ 0. Logo, 𝑥 = −1 não é raiz do
polinômio 𝑞(𝑥) .
Testando 𝑥 = 1 , obtemos: (1)3
+ (1)2
− 2 = 0. Logo, 𝑥 = 1 é raiz do polinômio 𝑞(𝑥) .
Dividindo 𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 2 por 𝑥 − 1 , obtemos 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 . Assim,
𝑥3
+ 𝑥2
− 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 2𝑥 + 2)
+ 2𝑥 + 2 não tem raízes reais, pois seu discriminante
∆ = (2)2
+ 2𝑥 + 2 > 0 ,
∀ 𝑥 ∈ ℝ .
𝑥3+𝑥2−2
𝑥+1
=
(𝑥−1)(𝑥2+2𝑥+2)
𝑥+1
, para 𝑥 < 0 .
𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < +∞
𝑥 + 1 + + + + + + + + + +
𝑥2
− 2𝑥 + 2 + + + + + + + + + +
𝑥 − 1 − − − − − 0 + + + +
𝑥3
− 𝑥2
+ 2
𝑥 − 1
− − − − − 𝑛𝑑 + + + +

Logo, para 𝑥 < 0 , temos que:
𝑥3+𝑥2−2
𝑥+1
≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1)
E assim, observando as soluções de I) e II), temos que a solução do item b) é:
𝑥2
≥
−2
|𝑥|−1
⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1) ∪ (1 , +∞).
−∞ < 𝑥 < −1 𝑥 = −1 −1 < 𝑥 < 0
𝑥 − 1 − − − − − − − − −
𝑥2
+ 2𝑥 + 2 + + + + + + + + +
𝑥 + 1 − − − − 0 + + + +
𝑥3
+ 𝑥2
− 2
𝑥 + 1
+ + + + 𝑛𝑑 − − − −

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