Aula sobre polinomios

1. Os polinômios são expressões algébricas
formadas por números (coeficientes) e letras
(partes literais). As letras de um polinômio
representam os valores desconhecidos da
expressão.
Polinômios
Exemplos
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25x2 - 9y2

2. Polinômios no cotidiano
Construção:
Os polinômios podem ser aplicados em construções, como por exemplo, se
pode utilizar para calcular a área da superfície de uma casa.
Clima:
Para a previsão do tempo é utilizado um polinômio no qual existem muitas
variáveis (pressão, temperatura, massas de ar e etc.).
Previsão comercial:
Presumindo que você tenha uma empresa dedicada à exportação de qualquer
produto. Em seguida, usando os seus dados pode se desenvolver um
polinômio e, em seguida, pelo valor numérico que pode encontrar suas vendas
vão estar em qualquer exercício futuro.
Compras:
Os polinômios são de grande ajuda para calcular os gastos de uma compra a
se realizar, como por exemplo:
x são pizzas e y são hambúrgueres
Vamos supor então que uma pizza custe R$:13, 75 e uma hambúrguer custe
R$:2,50
2x + 3y = 35 (2 pizzas + 3 hambúrgueres).

3. Polinômios
Toda adição algébrica de monômios não
semelhantes é chamada polinômios
Em que:
 a, b, c, ..., z são números complexos denominados
coeficientes do polinômio;
 axn, bxn-1 , ..., z são os termos do polinômio;
 os expoentes n, n – 1, n – 2, ... são números
naturais.

4. Grau de um Polinômio
Denomina-se grau de um polinômio o maior
expoente da variável.
Indica-se por grau de P(x) por gr(P).
Exemplo:
Determinar o grau do polinômio
P(x) = mx5 + 4x4 – x² – 6, em função de m.

5. Valor Numérico de um Polinômio
O valor numérico de P(x), para x = a, é o
número complexo que se obtém substituindo o x
por a.
Exemplo:
Sabendo-se que – 3 é raiz de
P(x) = ax² + 2x + 5, calcule o valor de a.

6. Polinômio Identicamente Nulo
Um polinômio é identicamente nulo se todos os
seus coeficientes forem iguais a zero.
Indica-se por P(x) = 0
Exemplo:
Determine a, b e c para que o polinômio
P(x) = (a + b – c)x² + (2b – c)x + c – 6
seja nulo.

7. Polinômios Idênticos
Dados dois polinômios A(x) e B(x), dizemos que
A(x)  B(x) se os coeficientes dos termos
correspondentes forem iguais.
Exemplo:
Considere os polinômios:
A(x) = (a + 2)x³ + 5x² – bx + 1 e
B(X) = (b + 1)x² + cx + 1
Determine a, b e c sabendo que A(x)  B(x).

8. Operações com Polinômios
Adicionamos ou subtraímos polinômios que
apresentam os termos com mesmo grau
(semelhantes).
Exemplo:
Considere os polinômios:
A(x) = 3x³ + 5x² – 2x + 1 e
B(X) = – 4x³ – x² + 3x – 6
Determine:
a) A(x) + B(x) b) A(x) – B(X) c) B(x) – A(x)
Adição e Subtração

9. O produto entre dois polinômios A(x) e B(x) é o
polinômio que se obtém multiplicando cada
termo de A(x) por todos os termos de B(x) e
efetuando a soma dos termos semelhantes
resultantes dessas multiplicações parciais.
Exemplo:
Considere os polinômios:
A(x) = x³ + x² – 1 e
B(X) = – x² + 2
Determine A(x) . B(x)
Multiplicação

10. 01) A produção diária de um certo produto, realizada por
um operário, é avaliada pela produção de p(x) = 8x +
9x² – x³ unidades, em que x é o número de horas após
as 8 horas da manhã.
a) Qual é a sua produção até o meio-dia?
b) Qual a sua produção durante a quarta hora do
trabalho?
02) Considere o polinômio na variável x, onde P(x) = ax²
– 2x + c. Determine P(2) sabendo que P(1) = 6 e P(0) =
5.
Exercícios:
03) Se o polinômio P(x) = (a + 3)x² + (b – 3)x + c + 1 é
identicamente nulo, calcule o valor de a + b + c.

11. 04) Considere os polinômios A(x) = 10x4 + 8x³ + 3x² +
4x + 13, B(x) = – 10x4 + 8x³ + 2x² – x + 8 e C(x) = 3x
– 1. Determine:
a) A(x) – B(x).
b) [A(x) – B(x)] . C(x).
05) O polinômio p tem grau 4n + 2 e o polinômio q tem
grau 3n – 1, sendo n inteiro e positivo. Qual o grau do
polinômio p.q?
06) O polinômio P(x) = x5 – 3x² + k admite 1 como raiz.
Calcule o valor de k.
07) Determine a maior raiz do polinômio P(x) = x3 – 16x.
08) Efetue as divisões:
a) x³ - 2x² + 3x – 2 por x – 3
b) x5 + 2x – 1 por x + 1

12. Dados os polinômios A(x) e B(x), não
identicamente nulos, fazer a divisão de A(x)
(dividendo) por B(x) (divisor) é obter Q(x)
(quociente) e R(x) (resto), tal que:
Divisão de Polinômios
Em que o grau do resto é menor que o grau do
divisor ou o resto R(x) = 0 (nesse caso dizemos
que A(x) é divisível por B(x).

13. 02) Encontrar o quociente e o resto da divisão
de F(x): x4 + x² + 2x – 1 por G(x): x² - x + 1.
Divisão de Polinômios – Método da Chave
Exemplos:
01) Em uma divisão, o dividendo é um polinômio
P(x), o divisor é D(x) = x – 4, o quociente é
Q(x) = 2x² + x + 8 e o resto é R(x) = 31.
Determine o polinômio P(x).

14. 03) O resto da divisão do polinômio
P(x) = 5x³ - 4x² + mx + n pelo polinômio
Q(x) = x² - 2x + 1 é R(x) = 3x + 2. Calcule o
produto m.n.
04) Calcule a e b de maneira que o valor do resto
da divisão de 2x³ + x² + ax + b por x² + x + 1
seja nulo.

15. Exemplo:
Divida A(x) = 4x³ + 3x² – x + 1 por
B(x) = x + 1.
Aplicamos o dispositivo prático de Briot – Ruffini
nas divisões em que o divisor é da forma x – a.
Dispositivo prático de Briot - Ruffini
Resolução:
 Escrever todos os coeficientes dos termos do
dividendo segundo potências decrescentes de x,
como indicado abaixo.
4 3 – 1 1

16.  Indica-se a raiz do divisor (x + 1).
4 3 – 1 1
Raiz
 Repetir o primeiro coeficiente do dividendo que
será o primeiro coeficiente do quociente.
 Multiplicar o coeficiente repetido pela raiz do
divisor e adicionar esse produto com o segundo
coeficiente do dividendo. O Resultado será o
segundo coeficiente do quociente. Refazer o
procedimento nas etapas seguintes.
4 - 1
+
x
– 1
0 +1
coeficientes de Q(x) resto: R(x)

17. Logo, o quociente e o resto da divisão de
A(x) = 4x³ + 3x² – x + 1 por B(x) = x + 1 são:
Q(x) = 4x² - x e R(x) = 1
Prova:
A(x) = (4x² – x).(x + 1) + 1  4x³ + 3x²–x + 1

18. Teorema do Resto
Na divisão de um polinômio P(x) por x – a , o
resto da divisão é o valor numérico de P(a).
R(x) = P(a)
Exemplos:
01) Determine o resto da divisão de
P(x) = x1032 – 12x³ + 15 por Q(x) = x + 1.
2) Se o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – 4x³ – kx – 75 por (x – 5) é 10, o
valor de k é:
a) – 5 b) – 4 c) 5 d)6 e) 8

19. Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e
somente se, P(a) = 0, isto é, se a é raiz de P(x).
Exemplos:
01) Determine a, sabendo que
P(x) = ax² – 3x + 1 é divisível por x + 3.
02) Determine p e q sabendo que o polinômio
A(x) = 2x³ + px² – 7x + q é divisível por x – 2 e
por x + 1.

20. Exercícios
01) Obter k para que os restos das divisões do
polinômio P(x) = 2x³ + 3x² + kx – 2 por (x + 1)
e (x – 1) sejam iguais.
02) Sendo n > 1 e a  0, qual o resto da divisão
de P(x) = xn + an por (x + a)?
03) Dividindo-se um polinômio f por g = x² – 1,
obtêm-se quociente q = 2x + 1 e resto
r = kx – 9, sendo k  R. Se f é divisível por
x – 2, então k é igual a:
a) 6 b) 3 c) – 1 d) – 3 e) – 6

21. Questões de Vestibulares
1) (UFBA) Considere os polinômios na variável a:
P1= 3a³ – 4a²b + 7b³
P2= – 6a³ + 15a²b + 5b³
P3= ma³ + na²b + pb³
Sendo P1 + P2 + P3  0, calcule | m + n + p|.
2) (UFBA) Um aluno x chegou atrasado à aula e
encontrou, no quadro de giz, o esquema
... 1 -5 -2 24 para a divisão do polinômio
1 -7 ... 0 y³ – 5y² – 2y + 24 pelo
binômio do primeiro grau y + ... tendo sido apagados
os números onde há reticências, calcule o maior
deles.

22. 3)(UFBA) Sobre expressões algébricas e polinômios,
pode-se afirmar:
(01) (x + 2)³ = x³ + 8 para todo x real.
(02) 1,0,1}.
{
R
x
,
x
x
1
x
1
x
2
1)
x(x
1
x
3
2
2











(04) Se (mx² – nx + 1)(x – 1) = x³ - 2x² + 2x – 1,
então mn=1.
(08) O resto da divisão x³ – 2x² – 6x + 1 por x + 1 é
– 6.
(16) Se 2 é raiz de P(x) = x³ – 2x² + mx + 1, então
m = – 1/2.
(32) Sendo – 2 raiz de P(x) = x³ + 3x² + 3x + 2,
então as outras raízes são números complexos
conjugados.

23. 4)(UFBA) Sobre polinômios, é verdade que:
(01) Se P(x), Q(x) e S(x) são polinômios de graus 4,
3 e 2, respectivamente, então [P(x) + Q(x)]S(x)
é um polinômio de grau 5.
(02) Se P(x) = x³ + 6x² + 15x + 14 e Q(x) = a(x +
m)³ + b(x + n) são polinômios idênticos, então
a + b + m + n = 8.
(04) O polinômio P(x) = (2a – 1)x³ + 3x² – (b + 3)x
+ c é identicamente nulo, para a = 1/2, b = – 3 e
c = 0.
(08) Se P(x) = x4 – 3x³ + mx + n é divisível por x² –
4x + 4, então m – n = 0.
(16) Se x1 é raiz de P(x) = x6 – 64 e raiz de Q(x) =
x6 + 7x³ – 8, então x1  [–2, 0].