Este documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo o teorema fundamental da trigonometria, relações trigonométricas no triângulo retângulo, gráficos das funções trigonométricas e aplicações da trigonometria.
O documento discute como gráficos e tabelas podem ser usados para representar dados de forma clara e dinâmica, apresenta três tipos de gráficos (colunas, barras e setores) e sugere uma pesquisa com alunos sobre times preferidos para representar os resultados em uma tabela e construir um gráfico de colunas.
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
1. Este documento apresenta um curso prático sobre o uso da calculadora científica CASIO fx-82ES PLUS, dividido em 3 partes: cálculos e funções gerais, cálculos estatísticos e regressão, e geração de tabelas a partir de funções.
2. A primeira parte abrange funções básicas como operações matemáticas, memórias, conversões de unidades e ângulos, estatísticas, entre outras.
3. A segunda parte trata de regressão linear, inserção de dados em tabelas e c
1. O documento apresenta um estudo sobre sedimentação realizado por alunos de engenharia química. 2. Foram aplicados os métodos de Kynch e Talmadge & Fitch para dimensionar a área de um sedimentador contínuo a partir de dados experimentais de sedimentação em batelada. 3. O estudo inclui fundamentação teórica sobre sedimentação, descrição dos métodos e cálculos para estimar a área e altura do sedimentador.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
O documento descreve a evolução da geografia como ciência ao longo da história, desde os primeiros estudos geográficos na Grécia Antiga até a consolidação da geografia como disciplina acadêmica nos séculos XIX e XX. A geografia tradicional foi criticada e renovada a partir dos anos 1970, adotando novas abordagens teóricas como o marxismo e fenomenologia. Atualmente, a geografia estuda problemas globais como meio ambiente e conflitos étnicos.
O documento discute como gráficos e tabelas podem ser usados para representar dados de forma clara e dinâmica, apresenta três tipos de gráficos (colunas, barras e setores) e sugere uma pesquisa com alunos sobre times preferidos para representar os resultados em uma tabela e construir um gráfico de colunas.
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
1. Este documento apresenta um curso prático sobre o uso da calculadora científica CASIO fx-82ES PLUS, dividido em 3 partes: cálculos e funções gerais, cálculos estatísticos e regressão, e geração de tabelas a partir de funções.
2. A primeira parte abrange funções básicas como operações matemáticas, memórias, conversões de unidades e ângulos, estatísticas, entre outras.
3. A segunda parte trata de regressão linear, inserção de dados em tabelas e c
1. O documento apresenta um estudo sobre sedimentação realizado por alunos de engenharia química. 2. Foram aplicados os métodos de Kynch e Talmadge & Fitch para dimensionar a área de um sedimentador contínuo a partir de dados experimentais de sedimentação em batelada. 3. O estudo inclui fundamentação teórica sobre sedimentação, descrição dos métodos e cálculos para estimar a área e altura do sedimentador.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
O documento descreve a evolução da geografia como ciência ao longo da história, desde os primeiros estudos geográficos na Grécia Antiga até a consolidação da geografia como disciplina acadêmica nos séculos XIX e XX. A geografia tradicional foi criticada e renovada a partir dos anos 1970, adotando novas abordagens teóricas como o marxismo e fenomenologia. Atualmente, a geografia estuda problemas globais como meio ambiente e conflitos étnicos.
O documento explica os conceitos básicos de trigonometria, incluindo a definição de trigonometria, triângulo retângulo, elementos do triângulo retângulo, teorema de Pitágoras, razões trigonométricas, valores dos ângulos e propriedades dos ângulos complementares.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
O documento discute como as redes sociais estão sendo cada vez mais usadas por empresas para encontrar talentos. As redes permitem que as empresas vejam a imagem online dos candidatos e analisem seu conteúdo e atividade para avaliar seu perfil profissional. No entanto, entrevistas ainda são importantes no processo de recrutamento.
Este documento resume 10 perguntas frequentes sobre marketing em mídias sociais. Ele explica que as mídias sociais permitem a produção descentralizada de conteúdo e a interação entre pessoas, enquanto as redes sociais são estruturas virtuais que conectam pessoas e organizações. Também discute os objetivos de marketing em redes sociais, como desenvolvimento de relacionamento com clientes e captura da atenção do público-alvo através de conteúdo útil. Além disso, destaca as oportunidades que as redes sociais representam para
Apresentação sobre aplicações práticas do Geoprocessamento, explicando o que são Geotecnologias e como elas podem afetar nosso cotidiano.
É comentada também a utilização de ferramentas livres para aplicações geográficas.
O documento discute os diferentes tipos de gráficos e suas funções. Apresenta os principais tipos como barras, colunas, setores e linhas. Explana sobre eixos, espaçamento e dispersão de valores em gráficos. Fornece exemplos de gráficos de barras, colunas, linhas, setores e polares.
O documento descreve medidas estatísticas descritivas utilizadas para resumir e analisar conjuntos de dados numéricos. Ele discute medidas de localização como média, mediana e moda, que indicam tendências centrais nos dados. Também cobre medidas separatrizes como quartis, que dividem os dados em porcentagens. Por fim, aborda medidas de dispersão como amplitude e variância, que quantificam a variabilidade dos dados em relação à média ou mediana.
7º ano - aula 04 - Megacidades e Cidades globais.pptxMoissVieira10
O documento discute megacidades e cidades globais, definindo os termos. Megacidades referem-se a grandes centros urbanos com mais de 10 milhões de habitantes, enquanto cidades globais são metrópoles com forte influência econômica e política em nível mundial. O texto fornece exemplos de cada tipo de cidade.
Aula 2 - Indicadores, taxas e coeficientes.pdfssuser35d440
1. O documento discute indicadores, taxas e coeficientes, que são dados relativos usados para comparar e analisar dados absolutos.
2. Explica que coeficientes são razões entre variáveis da mesma espécie, enquanto índices comparam variáveis de espécies diferentes.
3. Taxas são coeficientes multiplicados por 100 ou 1000 para facilitar interpretação.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria espacial como pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço.
2) Inclui definições de postulados geométricos como a existência de pontos e retas infinitas, e que duas retas determinam um plano.
3) Também apresenta posições relativas de retas e planos como paralelas, perpendiculares e secantes, e como estes conceitos se aplicam a poliedros.
O documento discute como a geografia estuda a produção do espaço geográfico através das relações humanas com a natureza e entre os seres humanos. Explica que as paisagens são formadas por essas relações de trabalho, que muitas vezes são desiguais, refletindo diferenças materiais entre as pessoas. Defende que a geografia na educação básica deve levar os estudantes a compreender criticamente as desigualdades presentes no espaço produzido pela sociedade.
Este documento discute os conceitos fundamentais de hidrodinâmica e escoamento em dutos. Apresenta os tipos de escoamento classificados por compressibilidade e grau de mistura, além de explicar os regimes laminar, de transição e turbulento. Também aborda conceitos como viscosidade, perda de carga e sua importância para o estudo de sistemas hidráulicos.
O documento fornece uma introdução geral à topografia, definindo-a como a descrição exata e minuciosa de um lugar. Detalha os objetivos, importância, divisões, métodos e instrumentos da topografia, além de conceitos como planimetria, altimetria, topometria, topologia e sistemas de coordenadas.
O documento apresenta um diagrama de rede de projeto e fornece informações sobre: 1) O que é um diagrama de rede e como ele representa as relações lógicas entre as atividades de um projeto; 2) A origem histórica dos diagramas de rede no desenvolvimento de projetos militares nos EUA; 3) Os principais tipos de diagramas de rede: AOA e AON.
Este documento apresenta os principais métodos para análise de treliças planas, incluindo: (1) Método dos nós, que usa equações de equilíbrio em cada nó; (2) Método das seções, que analisa seções do elemento para determinar forças; (3) Exemplos mostrando a aplicação destes métodos para determinar forças nos elementos.
Interpretação geométrica de sistemas lineares 2x2 , 3x3 e não linearesLuana D'Avila
Este é um arquivo texto sobre a interpretação geométrica dos sistemas lineares 2x 2, 3x3 e não lineares. Há contextualização para cada situação: determinada, indeterminada e impossível, além de uma cônica com quatro soluções.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
O documento discute o conforto térmico em edificações. Ele define conforto térmico como o estado em que o homem se sente satisfeito com o ambiente térmico ao seu redor. Discute as variáveis que afetam o conforto térmico, incluindo variáveis humanas como metabolismo e vestimenta, variáveis ambientais como temperatura do ar, temperatura radiante média e umidade relativa, e outras variáveis como idade e sexo. Também descreve os cálculos necessários para avaliar o conforto térmico combinado dessas
1) O documento discute o problema da autocorrelação nos termos de erro em modelos de regressão múltipla.
2) A autocorrelação ocorre quando os termos de erro de períodos diferentes estão correlacionados, violando um pressuposto do modelo de regressão.
3) Vários fatores podem causar autocorrelação, como inércia em séries temporais, variáveis omitidas, forma funcional incorreta do modelo, e defasagens.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo o teorema fundamental da trigonometria, relações trigonométricas, funções trigonométricas e suas aplicações em geometria e mecânica. Há também exemplos numéricos para exercitar os conceitos apresentados.
O documento explica os conceitos básicos de trigonometria, incluindo a definição de trigonometria, triângulo retângulo, elementos do triângulo retângulo, teorema de Pitágoras, razões trigonométricas, valores dos ângulos e propriedades dos ângulos complementares.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
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Apresentação sobre aplicações práticas do Geoprocessamento, explicando o que são Geotecnologias e como elas podem afetar nosso cotidiano.
É comentada também a utilização de ferramentas livres para aplicações geográficas.
O documento discute os diferentes tipos de gráficos e suas funções. Apresenta os principais tipos como barras, colunas, setores e linhas. Explana sobre eixos, espaçamento e dispersão de valores em gráficos. Fornece exemplos de gráficos de barras, colunas, linhas, setores e polares.
O documento descreve medidas estatísticas descritivas utilizadas para resumir e analisar conjuntos de dados numéricos. Ele discute medidas de localização como média, mediana e moda, que indicam tendências centrais nos dados. Também cobre medidas separatrizes como quartis, que dividem os dados em porcentagens. Por fim, aborda medidas de dispersão como amplitude e variância, que quantificam a variabilidade dos dados em relação à média ou mediana.
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O documento discute megacidades e cidades globais, definindo os termos. Megacidades referem-se a grandes centros urbanos com mais de 10 milhões de habitantes, enquanto cidades globais são metrópoles com forte influência econômica e política em nível mundial. O texto fornece exemplos de cada tipo de cidade.
Aula 2 - Indicadores, taxas e coeficientes.pdfssuser35d440
1. O documento discute indicadores, taxas e coeficientes, que são dados relativos usados para comparar e analisar dados absolutos.
2. Explica que coeficientes são razões entre variáveis da mesma espécie, enquanto índices comparam variáveis de espécies diferentes.
3. Taxas são coeficientes multiplicados por 100 ou 1000 para facilitar interpretação.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria espacial como pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço.
2) Inclui definições de postulados geométricos como a existência de pontos e retas infinitas, e que duas retas determinam um plano.
3) Também apresenta posições relativas de retas e planos como paralelas, perpendiculares e secantes, e como estes conceitos se aplicam a poliedros.
O documento discute como a geografia estuda a produção do espaço geográfico através das relações humanas com a natureza e entre os seres humanos. Explica que as paisagens são formadas por essas relações de trabalho, que muitas vezes são desiguais, refletindo diferenças materiais entre as pessoas. Defende que a geografia na educação básica deve levar os estudantes a compreender criticamente as desigualdades presentes no espaço produzido pela sociedade.
Este documento discute os conceitos fundamentais de hidrodinâmica e escoamento em dutos. Apresenta os tipos de escoamento classificados por compressibilidade e grau de mistura, além de explicar os regimes laminar, de transição e turbulento. Também aborda conceitos como viscosidade, perda de carga e sua importância para o estudo de sistemas hidráulicos.
O documento fornece uma introdução geral à topografia, definindo-a como a descrição exata e minuciosa de um lugar. Detalha os objetivos, importância, divisões, métodos e instrumentos da topografia, além de conceitos como planimetria, altimetria, topometria, topologia e sistemas de coordenadas.
O documento apresenta um diagrama de rede de projeto e fornece informações sobre: 1) O que é um diagrama de rede e como ele representa as relações lógicas entre as atividades de um projeto; 2) A origem histórica dos diagramas de rede no desenvolvimento de projetos militares nos EUA; 3) Os principais tipos de diagramas de rede: AOA e AON.
Este documento apresenta os principais métodos para análise de treliças planas, incluindo: (1) Método dos nós, que usa equações de equilíbrio em cada nó; (2) Método das seções, que analisa seções do elemento para determinar forças; (3) Exemplos mostrando a aplicação destes métodos para determinar forças nos elementos.
Interpretação geométrica de sistemas lineares 2x2 , 3x3 e não linearesLuana D'Avila
Este é um arquivo texto sobre a interpretação geométrica dos sistemas lineares 2x 2, 3x3 e não lineares. Há contextualização para cada situação: determinada, indeterminada e impossível, além de uma cônica com quatro soluções.
O documento descreve os conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo equações lineares, soluções de equações lineares, sistemas lineares, matrizes associadas a sistemas lineares, classificação de sistemas, regra de Cramer, sistemas equivalentes e escalonamento de sistemas.
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1) O documento discute o problema da autocorrelação nos termos de erro em modelos de regressão múltipla.
2) A autocorrelação ocorre quando os termos de erro de períodos diferentes estão correlacionados, violando um pressuposto do modelo de regressão.
3) Vários fatores podem causar autocorrelação, como inércia em séries temporais, variáveis omitidas, forma funcional incorreta do modelo, e defasagens.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo o teorema fundamental da trigonometria, relações trigonométricas, funções trigonométricas e suas aplicações em geometria e mecânica. Há também exemplos numéricos para exercitar os conceitos apresentados.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
Lista de exercícios para a prova sub-stitutiva - trigonometria e números com...Jhow Almeida
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de triângulos retângulos e quaisquer, medidas de arcos, funções trigonométricas e números complexos. 2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar medidas desconhecidas, resolver equações e inequações trigonométricas e efetuar transformações e operações com funções trigonométricas e números complexos. 3) As respostas fornecem as soluções dos exercícios de forma concisa.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre corpos e ondas mecânicas. São determinadas velocidades finais em colisões perfeitamente inelásticas e elásticas entre corpos, considerando conservação de quantidade de movimento e energia. Também são calculadas propriedades de ondas mecânicas como comprimento de onda e deslocamento em função do tempo.
O documento discute conceitos de função matemática, representação gráfica de funções e funções do primeiro grau. Apresenta um exemplo de cálculo do custo de uma corrida de táxi como uma função da distância percorrida e generaliza o conceito de função.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de triângulos retângulos, incluindo a definição, características, teorema de Pitágoras e relações trigonométricas. Exemplos ilustram como aplicar o teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre elementos geométricos de estradas, curvas horizontais circulares e locação de curvas. Os exercícios envolvem cálculos de comprimentos, ângulos, raios, deflexões e locação de pontos de curva e tangente.
1) O documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da trigonometria, incluindo o Teorema Fundamental da Trigonometria, as relações trigonométricas no triângulo retângulo e as leis dos senos e cossenos.
2) Inclui demonstrações das fórmulas trigonométricas e exemplos numéricos de cálculos envolvendo seno, cosseno e tangente.
3) Discutem transformações trigonométricas e como calcular valores de funções trigonométricas para ângulos não
1) O documento discute como resolver equações e inequações trigonométricas. Isso envolve usar identidades fundamentais e reduzir ângulos ao primeiro quadrante.
2) Para resolver equações, pode-se usar identidades para reduzir termos ou substituir funções trigonométricas por variáveis auxiliares.
3) Para inequações, segue-se processos similares, mas a resposta deve considerar o círculo trigonométrico para determinar os intervalos de ângulos válidos.
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre trigonometria envolvendo cálculo de seno, cosseno, tangente e outros conceitos trigonométricos. 2) São abordados tópicos como cálculo de arcos, valores de funções trigonométricas em diferentes quadrantes, identidades trigonométricas e relações entre funções. 3) O texto também fornece tabelas com fórmulas e relações trigonométricas essenciais para auxiliar na resolução dos exercícios.
1) O documento discute o conceito de função matemática usando como exemplo o cálculo do custo de uma corrida de táxi.
2) A distância percorrida pelo táxi é a variável x e o preço total da corrida é a variável y. Estabelece-se a função y = 4 + 1,5x para relacionar x e y.
3) Generaliza-se que uma função associa um único valor de y a cada valor de x de acordo com uma expressão matemática.
Introdução à Trigonometria (adaptação RIVED)Andréa Thees
O documento apresenta aplicações práticas da trigonometria, como medir altura de prédios e distâncias em pistas de atletismo. Também resume brevemente a história da trigonometria, desde os egípcios e gregos até Ptolomeu, e explica as definições básicas de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
O documento discute conceitos básicos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de seno, cosseno e tangente e suas propriedades. Também apresenta exemplos numéricos de aplicação destes conceitos.
O documento discute a função s = 3t2 + 2t e pede para completar uma tabela com os valores de s para diferentes valores de t. Também apresenta uma equação para calcular a área da superfície corporal de uma pessoa e pede para identificar qual o valor correto dessa área para uma pessoa específica.
O documento apresenta as definições de seno, cosseno e tangente para um arco trigonométrico, definindo seno como a ordenada, cosseno como a abscissa e tangente como a razão entre a ordenada e a abscissa. Como exemplo, calcula-se as coordenadas do ponto M, que é a extremidade de um arco de 30°, sendo M(√3/2, 1/2).
1) O documento discute senos e cossenos de arcos notáveis em um ciclo trigonométrico, destacando as coordenadas de pontos-chave.
2) Exemplos mostram cálculos de expressões trigonométricas substituindo arcos notáveis e usando propriedades como período e congruência.
3) Arcos congruentes tem mesmo seno e cosseno, permitindo reduzir ângulos para suas formas canônicas.
1) O documento discute a extensão das definições de seno, cosseno e tangente do triângulo retângulo para o ciclo trigonométrico.
2) No ciclo trigonométrico, o seno é igual à ordenada do ponto P e o cosseno é igual à abscissa do ponto P.
3) A tangente no ciclo trigonométrico é igual à ordenada do ponto T, que é o ponto onde a reta inclinada intercepta o raio OA prolongado.
O documento discute conceitos fundamentais da trigonometria como ciclo trigonométrico, arco trigonométrico e a associação de números reais a pontos no ciclo. Explica que no ciclo trigonométrico o raio é considerado a unidade de medida e que a medida de qualquer arco é numericamente igual à sua medida em radianos. Apresenta exemplos de como marcar pontos correspondentes a números no ciclo.
O documento discute arcos trigonométricos notáveis e suas expressões gerais. Ele explica que os arcos com extremidades nos pontos A, B, A' e B' são chamados de arcos notáveis e analisa suas expressões gerais usando a variável k. Ele também fornece exemplos de como localizar extremidades de arcos com base em suas expressões gerais.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
O documento descreve métodos para determinar a intersecção de um prisma com diferentes planos, traçando segmentos paralelos às arestas do prisma. As etapas incluem traçar segmentos paralelos passando por pontos de intersecção com o plano para definir a forma poligonal resultante.
O documento descreve vários exemplos de interseções de pirâmides triangulares e quadrangulares com planos. As pirâmides podem ser cortadas por planos de forma a gerar seções triangulares ou quadrangulares, dependendo da orientação do plano em relação à pirâmide. Os passos para desenhar cada interseção são detalhados através de diversos exemplos.
O documento descreve os passos para determinar a intersecção de um cubo com diferentes planos, resultando em figuras geométricas como triângulos, quadrados e retângulos. Inclui exemplos de planos perpendiculares a diagonais, faces e definidos por três pontos do cubo.
O documento discute vários tipos de intersecção entre objetos geométricos como cubos, pirâmides e prismas com planos. Inclui exemplos de intersecção de cubos com planos perpendiculares a faces ou diagonais que resultam em figuras como triângulos, retângulos e hexágonos.
O documento discute exemplos da intersecção de sólidos de revolução como cilindros e cones com planos de várias orientações, resultando em formas geométricas como círculos, elipses, parábolas e hipérboles.
Este documento apresenta conceitos básicos de geometria, incluindo tipos de retas (paralelas, convergentes), semi-retas, ângulos, transferidor, tipos de ângulos (agudo, obtuso, reto, raso, giro) e classificação de triângulos (equilátero, isósceles, escaleno e quanto aos ângulos - retângulo, agudo, obtuso).
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento discute polígonos regulares, definindo-os como polígonos equiláteros e equiângulos. Ele explica que polígonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos em uma circunferência e fornece fórmulas para calcular o lado e a apótema de polígonos regulares como quadrados, hexágonos e triângulos equiláteros em termos do raio da circunferência.
Este documento apresenta vários exemplos de cálculo de perímetros e medidas de figuras geométricas. Inclui exercícios de calcular perímetros de retângulos, quadrados e terrenos a partir de medidas dadas.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
6. Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo
Retângulo
Ente
Trigonométrico
HI
CO
sen =θ
HI
CA
cos =θ
CO
HI
sen
1
seccos =
θ
=θ
CA
CO
tg =θ
CA
HI
cos
1
sec =
θ
=θ
CO
CA
tg
1
gcot =
θ
=θ
12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que o sen α vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.c
sen ==α
13. 2) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que o cos α vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
a
hip
.a.c
cos ==α
14. 3) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que a tg α vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.c
tg ==α
15. 4) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que a cotg α
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.c
gcot ==α
16. 5) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que tg α .cotg α
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1
.o.c
.a.c
.
.a.c
.o.c
gcot.tg
=
αα
17. 6) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen2
α + cos2
α vale:
a) b2
/ a2
b) 9c2
/ b2
c) 0
d) 1
e) (c2
+ b2
) / 9a2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen2
θ + cos2
θ = 1
portanto,
18. 7) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que sec2
α - 1
vale:
a) tg2
α
b) cotg2
α
c) - 1
d) 0
e) 1 ( )
α
=α⇒
α
=α
α
=α
2
2
2
2
cos
1
sec
cos
1
sec
olog,
cos
1
sec
α=−α⇒
α
α
=
α
α−
⇒−
α
⇒−α 22
2
2
2
2
2
2
tg1sec
cos
sen
cos
cos1
1
cos
1
1sec
( )
α
α
=α⇒
α
α
=α
α
α
=α
2
2
2
2
2
cos
sen
tg
cos
sen
tg
olog,
cos
sen
tg
α−=α
=α+α
22
22
cos1sen
1cossen
α=−α 22
tg1sec
19. 8) Em relação ao
ângulo α, podemos
dizer que cossec2
α - 1
vale:
a) tg2
α
b) cotg2
α
c) - 1
d) 0
e) 1
( )
α
=α⇒
α
=α
α
=α
2
2
2
2
sen
1
seccos
sen
1
seccos
olog,
sen
1
seccos
α=−α⇒
α
α
=
α
α−
⇒−
α
⇒−α 22
2
2
2
2
2
2
gcot1seccos
sen
cos
sen
sen1
1
sen
1
1seccos
( )
α
α
=α⇒
α
α
=α
α
α
=α
2
2
2
2
2
sen
cos
gcot
sen
cos
gcot
olog,
sen
cos
gcot
α−=α
=α+α
22
22
sen1cos
1cossen
α=−α 22
gcot1seccos
20. 9) Se sen α = b/c,
então, calculando o
valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
α
+α
α−
α
α
=
α
+α−α=
cos
1cos
.)cos1(.
sen
cos
y
cos
1
1.)cos1(.gcoty α−=α
=α+α
22
22
cos1sen
1cossen
α
+α−α=
cos
1
1.)cos1(.gcoty
( )
)coscos1(cos.
sen
1
y
1cos.)cos1(.
sen
1
y
2
α−α−+α
α
=
+αα−
α
=
)cos1(.
sen
1
y 2
α−
α
=
α
α
= 2
sen.
sen
1
y
c
b
y
seny
=
α=
22. Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
∧∧∧
==
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
23. Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
∧
∧
∧
−+=
−+=
−+=
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (
^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
24. Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
°−+= 90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba 222
−+=
Temos, portanto ... 222
cba += Teorema de Pitágoras
25. Gráficos das funções trigonométricas
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
• •0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
• 90°
1
-1
31. TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,
com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,
“t” dias após 1º de janeiro.
−
π
+= )80t(
365
2
sen8,212)t(L
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
32. Continuação ...
dt
2
t
sen)x(S
x
0
2
∫
π
=
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394
•Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao
físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por
seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente
apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de
Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento
de auto-estradas.
33. Continuação ...
• Integração por Substituição trigonométrica
Caso Radical Substit.
Trigonométrica
Transformada Trigonometria no
Triângulo
Retângulo
I 222
.uba − θsen.
b
a
u = θθ cos.sen1. 2
aa =−
CA
CO
tg =θ
II 222
.uba + θtg
b
a
u .= θθ sec.1. 2
atga =+
HI
CA
=θcos
III 222
. aub − θsec.
b
a
u = θθ tgaa .1sec. 2
=−
HI
CO
=θsen
Demonstrando o Caso I ...
=−=−=−=
−=− )sen1.(sensen.sen. 222222
2
2
22
2
22222
θθθθ aaa
b
a
ba
b
a
bauba
==−= θθ 22
cossen1. aa θcos.a C M P Q D
35. Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
38. Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?
39. Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos:
6 metros
16,4 metros
2 metros
θ
Comprimento total da rampa
solo
40. 6 metros
16,4 metros
2 metros
θ
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
θ 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Temos em relação
ao ângulo θ:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
41. θ 2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,0
4,16
2
hip
.o.c
sen ===θ
Obs.: quando dizemos que arcsen α = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que α = 30°.
42. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen θ = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo θ, com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1
, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
45. Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no
estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros
assuntos.
Observemos os exemplos a seguir:
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 =
20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar
a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa
resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
46. Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F
→
nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F
→
e )y(2F
→
.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F
→
, encontrando os componentes )x(3F
→
e )y(3F
→
.
47. A resultante relativa ao eixo das abscissas
→
)x(R
é obtida
da seguinte maneira:
)x(31)x(2)x( FFFR
→→→→
−+=
°=⇔=°==°⇒=α
°=⇔=°==°⇒=α
60cos.FFFF.60cos
F
F
60cos.
hip
a.c
cos
45cos.FFFF.45cos
F
F
45cos.
hip
a.c
cos
Como
3)x(3)x(33
3
)x(3
2)x(2)x(22
2
)x(2
=⇒=°=
=⇒=°=
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FF
totanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2)x( FFFR
→→→→
−+=
N70R
202070R
)x(
)x(
=
−+=
→
→
48. A resultante relativa ao eixo das abscissas
→
)y(R
é obtida
da seguinte maneira:
)y(34)y(2)y( FFFR
→→→→
−−=
°=⇔=°==°⇒=α
°=⇔=°==°⇒=α
60sen.FFFF.60sen
F
F
60sen.
hip
o.c
sen
45sen.FFFF.45sen
F
F
45sen.
hip
o.c
sen
Como
3)y(3)y(33
3
)y(3
2)y(2)y(22
2
)y(2
=⇒=°=
=⇒=°=
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FF
totanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2)y( FFFR
→→→→
−−=
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
=
−−=
→
→
49. Colocando )x(R
→
e )y(R
→
, nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é um
triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante
→
R , )x(R
→
é o cateto adjacente a αe )y(R
→
o
cateto oposto a α, então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de
→
R .
51. Para o cálculo do ângulo α, temos:
3657,0
70
6,25
R
R
.a.c
.o.c
tg
)x(
)y(
====α →
→
3657,0tg =α
Esse é o valor da tangente do ângulo α.
Para calcularmos o valor do ângulo α,
temos que encontrar o arctg α, então:
°≅α
=α=α
20
3657,0arctgarctg
Concluímos então que a Resultante N53,74R=
→
e forma
um ângulo °≅α 20 com o eixo x.
53. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13 =
54. Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tg
y
h
.a.c
.o.c
60tg
)I()y20(.
3
3
h
)y20(.30tghh)y20(.30tg
)y20(
h
.a.c
.o.c
30tg
=
°=⇒=°⇒==°
+=
+°=⇒=+°⇒
+
==°
56. 30 metros
17 metros para
subir a árvore
17 metros para
descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320
tsegundos320
2,0
64
t
V
s
tst.V
t
s
V
=∆=∆
⇒=∆⇒==∆
∆
=∆⇒∆=∆⇒
∆
∆
=
v = 0,2 m/s