O documento discute polígonos inscritos em circunferências, definindo o que é um polígono inscrito e apresentando exemplos. Detalha como construir polígonos regulares como triângulos, quadrados e hexágonos usando régua e compasso. Explora propriedades e elementos de polígonos regulares inscritos, como ângulos e relações entre o raio e o apótema.

1. POLÍGONOS INSCRITOS EM
UMA CIRCUNFERÊNCIA
9º ano - Geometria

2. Polígonos inscritos numa circunferência
• Observe a imagem do modelo antigo de
uma moeda de 25 centavos.
• Nessa moeda, podemos observar uma
figura que se assemelha a um heptágono
regular cujos vértices pertencem a uma
circunferência. Dizemos que o heptágono
está inscrito na circunferência.
• Ao lado, temos um suporte para extintor de
incêndio. No aro inferior do suporte, há
uma armação no formato de um triângulo
equilátero com os vértices pertencentes à
circunferência. Dizemos que o triângulo
está inscrito na circunferência

3. Um polígono está inscrito numa
circunferência quando todos os seus
vértices pertencem a essa
circunferência.

4. • Na figura ao lado, ABCDE é um
polígono inscrito na circunferência
cujo centro é o ponto O.
• É importante observar, porém, que
nem todos os polígonos podem ser
inscritos em uma circunferência.
Observe as imagens a seguir
• Os polígonos ABC e ILKH são inscritos à
circunferência. Já o quadrilátero MNPO e o pentágono
RSTUV têm vértices que não pertencem à
circunferência e, portanto, não são inscritos.

5. • Podemos formar polígonos inscritos criando seus vértices
sobre uma circunferência. Se dividirmos a circunferência
em arcos congruentes (arcos de mesma medida),
teremos polígonos regulares.
• A circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B
e C em três arcos congruentes. Quando traçamos os
segmentos AB, BC e CA, formamos um polígono regular.
• O polígono ABC é um triângulo equilátero.

6. • A circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B, C e D
em quatro arcos congruentes. Quando traçamos os segmentos
AB, BC, CD e DA, formamos um polígono regular.
• Já a circunferência a seguir está dividida pelos pontos A, B, C,
D, E e F em seis arcos congruentes. Quando traçamos os
segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA, formamos um hexágono
regular

7. • Observe, nas figuras a seguir, dois outros polígonos regulares
inscritos em uma circunferência.
• Qualquer polígono regular pode ser inscrito em uma
circunferência.
• Veja abaixo, mais alguns exemplos de polígonos inscritos em
uma circunferência que não são regulares

8. Construção do triângulo equilátero usando régua e compasso
1. Trace uma reta, marque sobre ela um
segmento com a medida do lado do
triângulo e identifique os vértices A e B
2. Coloque a ponta seca do compasso no
vértice B. Com a abertura igual à medida
do lado, trace um arco conforme indicado
na imagem ao lado
3. Coloque a ponta seca do compasso no
vértice A. Com a mesma abertura,
conforme a imagem ao lado, trace o outro
arco e encontre o ponto C, que é o terceiro
vértice do triângulo
4. Trace os lados AB e BC

9. Construção do quadrado usando régua e
compasso
1. Trace duas retas perpendiculares
usando esquadros
2. Posicione a ponta-seca do compasso
no ponto A, onde as retas se
encontram. Esse é um dos vértices do
quadrado. Com a abertura igual à
medida do lado, trace um arco
interceptando as duas retas em B e D,
conforme a imagem ao lado

10. 3. Posicione a ponta-seca do compasso
no vértice B. Com a mesma abertura,
trace um arco até a posição aproximada
de C. Repita a operação com a ponta-
seca em D.
4. Marque o vértice C e use a
régua para traçar os lados BC e
CD

11. Construção do hexágono usando régua e compasso
Você possui uma
régua e um
compasso?
O primeiro passo é traçar, em
uma folha de papel, um
segmento. Pode ser um
segmento de 2 cm de medida.
Chame esse segmento de AB.
Feito?
Em seguida,
construímos um
triângulo equilátero
ABO a partir desse
segmento. Para isso,
é necessário o uso de
um compasso.
Com a ponta-seca do compasso
centrada no ponto O, desenhamos
uma circunferência de raio AO.
Depois, com a mesma abertura do
compasso e ponta-seca no ponto B,
encontramos o ponto C na
circunferência. De maneira similar,
encontramos os pontos D, E e F.
Ligando os pontos, construímos o
hexágono regular

12. Elementos de um polígono regular inscrito
em uma circunferência
• Vamos destacar alguns elementos de um polígono
regular inscrito em uma circunferência.
• Ângulo Central α: é o ângulo formado pelos segmentos
OF e AO (raios da circunferência). O vértice do α, o ponto
O, é o centro da circunferência, e a medida de α é dada
por α =
𝟑𝟔𝟎º
𝒏
, em que n é o número de lados

13. • Ângulo interno β: é o ângulo formado por dois lados
consecutivos do polígono. A medida de cada ângulo
interno do polígono regular é dada por β =
𝑆𝑖
𝑛
, em que Si é
a soma das medidas dos ângulos internos e n é o número
de lados do polígono, ou seja: 𝛽 =
𝑆𝑖
𝑛
=
𝑛 −2 .180º
𝑛
.
• Raio do polígono: é o raio da circunferência na qual o
polígono está inscrito. Na figura, sua medida está
indicada por R.

14. • Apótema: é o segmento com extremidades no centro da
circunferência circunscrita e no ponto médio de um lado
do polígono. O apótema é perpendicular ao lado do
polígono. Na figura, sua medida está indicada por a.
• Observando o raio de medida R, o apótema de medida a
e o lado do polígono de medida l, podemos escrever a
seguinte relação usando o teorema de Pitágoras.
𝑅² = 𝑎² +
𝑙
2
²

15. Propriedades dos polígonos regulares
• Dois polígonos regulares que têm o mesmo número de
lados são semelhantes, pois têm os ângulos internos
correspondentes congruentes e os lados homólogos
proporcionais. Assim, podemos demonstrar as seguintes
propriedades:
1º propriedade: Em dois polígonos regulares e com o
mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais
aos comprimentos dos seus respectivos raios.
2º propriedade: Em dois polígonos regulares inscritos e
com o mesmo número de lados, os perímetros são
proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3ª propriedade: Em dois polígonos regulares inscritos e
com o mesmo número de lados, os perímetros são
proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.

16. • Os raios de um polígono regular inscrito em uma
circunferência o dividem em triângulos isósceles de
mesma área. Então, a área do polígono regular é igual à
soma das áreas desses triângulos. Como o número de
lados do polígono é igual ao número de triângulos
construídos, dessa forma, a área do polígono é também
igual ao produto do seu número de lados pela área de um
desses triângulos.

17. Veja alguns exemplos
• 1. Determinar a medida do ângulo central e a medida do
ângulo interno de um pentágono regular inscrito.
• Indicando por ac, a medida do ângulo central, temos:
𝑎𝑐 =
360
𝑛
=
360
5
= 72º
• Indicando por ai, a medida do ângulo interno, temos:
𝑎𝑖 =
𝑛 − 2 . 180
𝑛
=
5 − 2 . 180
5
=
3 . 180
5
=
540
5
= 108º
• Logo, o ângulo central do pentágono regular inscrito
mede 72º, e o ângulo interno mede q08º.

18. • Dois hexágonos regulares estão inscritos em
circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro
do hexágono inscrito na menor circunferência é 84 cm,
determine o perímetro do outro hexágono.
• Indicando perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª
propriedade, podemos escrever:
14
21
=
84
𝑥
≫ 14𝑥 = 1764 ≫ 𝑥 =
1764
14
≫ 𝑥 = 125
• Logo, o perímetro do outro hexágono é 125 cm.