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Circunferência
Comprimento de um arco de circunferência 
70º 
O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm. 
1.1. Determina o comprimento do arco BC. 
70º ______ x 
360º______ 2 5 
 
 
360 
7010 
x   
x  6,11cm
70º ________x 
360º _______ 52   
360 
70 52   
x  
Área do Sector circular 
O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm. 
1.1 Determina a área do sector circular. 
 
 
 
 
70º 
2 x 15,27cm
Circunferência 
Na figura: 
[EF], [CD] e [GH] são cordas; 
[CD] é um diâmetro. 
Corda é o segmento de reta que une dois pontos da circunferência 
Diâmetro é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência
Arco de circunferência 
Os pontos A e B dividem a circunferência em dois arcos: 
• Arco menor AB 
• Arco maior AB ou arco ACB 
Arco de circunferência - parte de uma circunferência compreendida entre dois dos seus pontos.
Posição relativa de uma reta e de uma circunferência 
Reta tem um ponto comum com a circunferência. 
Reta tangente à circunferência. 
A reta tem com a circunferência dois pontos comuns 
Reta secante à circunferência 
A reta não tem pontos comuns com a circunferência. 
Reta exterior à circunferência
Propriedades Geométricas em circunferências 
Reta tangente a uma circunferência 
[DE] é um diâmetro 
AE é tangente à circunferência no ponto E 
AÊD=DÊB 
AÊD+DÊB=180º 
Então, DÊB=90º 
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que contém o ponto de tangência.
Perpendicular ao ponto médio de uma corda 
Desenhamos uma circunferência, uma corda e a reta perpendicular ao meio da corda. 
Sendo a reta r perpendicular ao meio da corda, a reta r é a mediatriz do segmento [AB]. 
O ponto O dista igualmente de A e B, o ponto O pertence à recta r. 
Numa circunferência, uma reta perpendiculatr a uma corda no seu ponto médio contém o centro da circunferência..
Retas paralelas e circunferência 
[BC] // [DE] 
A reta p é perpendicular às 
retas r e s e contém o ponto O. 
Se dobrares a figura pela reta p. O 
segmento [DB] é simétrico do segmento 
[CE] relativamente ao eixo de simetria p 
Assim, BD= CE e 
Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre retas 
paralelas são congruentes. 
____ _____ 
DB  CE 
Numa circunferência, a arcos congruentes correspondem cordas 
congruentes e vice-versa.
Ângulo ao centro 
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. 
arco 
∢BOC é um ângulo ao centro na circunferência de centro O
Amplitude de um ângulo ao centro 
Qual é a amplitude do ângulo AOB? 
90º 
[ABCD] é um quadrado. 
AÔB=90º 
A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados. 
AÔB=AB=90º
Cordas,arcos e ângulos ao centro 
42º 
42º 
42º 
42º 
Numa circunferência,a arcos congruentes correspondem cordas e ângulos ao centro congruentes. 
Numa circunferência, a cordas congruentes correspondem arcos e ângulos ao centro congruentes. 
Numa circunferência, a ângulos ao centro congruentes correspondem cordas e arcos congruentes.
Observe a figura e determine x 
a) 
45º 
x 
x 
57º 
220º 
x 
b) 
c)
Ângulo inscrito numa circunferência 
Um ângulo inscrito numa circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os seus lados contêm cordas 
O ∢BCD é um ângulo inscrito numa circunferência de centro O
Relação entre ângulo ao centro e o correspondente ângulo inscrito 
[ABC] é equilátero, tem os ângulos todos 
iguais. 
2 2 
120º AÔB 
BÂC   
A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco 
compreendido entre os seus lados. 
120º 
120º 
120º 
60º 
120º
2 
BC 
BÂC  
BC  2 BÂC 
Amplitude de um ângulo inscrito
Observe as figuras e determine x 
22º 
x 
a) 
70º 
x 
b)
Propriedades: 
CÂD  CÊD 
2 
CD 
CÂD  
2 
CD 
CÊD  
Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma 
amplitude. 
Propriedade 1
2 
BC 
BÂC  
90º 
2 
180º 
BÂC   
Os ângulos inscritos numa semicircunferência são 
ângulos retos. 
Propriedade 2
Propriedade 3 
2 
 
BÊD  
2 
 
BÂD  
  BÊD  BÂD 
2 2 
  
   360º 180º 
2 2 
  
  
Mas, 
180º BÊD  BÂD 
, então 
Logo, 
A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero, inscrito numa circunferência é 
180º. 
 
 
[ABDE] é um quadrilátero 
inscrito numa circunferência
Ângulo com vértice no interior da circunferência 
De acordo com os dados da figura, determina  
50º 
2 
100º 
m   
30º 
2 
60º 
n   
  50º30º 80º 
Outro processo: 
80º 
2 
160º 
2 
100º 60º 
  
 
 
Ângulo com vértice no interior da circunferência 
∢BPA é um ângulo com vértice no interior da 
circunferência 
  m n 
2 
DC 
e n 
2 
  
BA 
m 
2 
BA DC 
2 2 
 
     
BA DC 
Ângulo com vértice no interior da circunferência é igual a metade da soma 
das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus 
prolongamentos.
De acordo com os dados da figura, determina 
70º 
2 
140º 
m   
15º 
2 
30º 
n   
70º 15º 70º15º  55º  
Outro processo: 
55º 
2 
110º 
2 
140º 30º 
  
 
  
Ângulo com vértice no exterior da circunferência
Ângulo com vértice no exterior da circunferência 
De acordo com os dados da figura, determina  
m n mn 
2 
BA 
m  
2 
DC 
n  
Ângulo com vértice no exterior da circunferência é igual a metade da 
diferença entre as amplitudes dos arcos maior e menor compreendidos 
entre os seus lados. 
2 2 2 
BA DC BA DC 
   
Ângulo ex-inscrito 
2 2 2 
ˆ x y x y 
BCA 
 
   
BCˆA CEˆA EAˆC 
Ângulo ex-inscrito é um ângulo em que tem vértice na circunferência e esta 
é intersetada por um dos seus lados e pelo prolongamento do outro lado.
Ângulo de um segmento é um ângulo em que um dos lados é tangente à circunferência e o outro lado contém o ponto de tangência e outro ponto da circunferência 
Ângulo de um segmento
2 
x 
paralelos. lados de internos alternos ângulos são porque C A ˆ 
AVˆC  V 
2 
x 
C V ˆ 
A  
2 
AV 
C V ˆ 
Logo, A  
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do arco compreendido entre os seus lados. 
Ângulo de um segmento

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Circunferência

  • 2. Comprimento de um arco de circunferência 70º O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm. 1.1. Determina o comprimento do arco BC. 70º ______ x 360º______ 2 5   360 7010 x   x  6,11cm
  • 3. 70º ________x 360º _______ 52   360 70 52   x  Área do Sector circular O circulo seguinte tem centro O e raio 5 cm. 1.1 Determina a área do sector circular.     70º 2 x 15,27cm
  • 4. Circunferência Na figura: [EF], [CD] e [GH] são cordas; [CD] é um diâmetro. Corda é o segmento de reta que une dois pontos da circunferência Diâmetro é o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência
  • 5. Arco de circunferência Os pontos A e B dividem a circunferência em dois arcos: • Arco menor AB • Arco maior AB ou arco ACB Arco de circunferência - parte de uma circunferência compreendida entre dois dos seus pontos.
  • 6. Posição relativa de uma reta e de uma circunferência Reta tem um ponto comum com a circunferência. Reta tangente à circunferência. A reta tem com a circunferência dois pontos comuns Reta secante à circunferência A reta não tem pontos comuns com a circunferência. Reta exterior à circunferência
  • 7. Propriedades Geométricas em circunferências Reta tangente a uma circunferência [DE] é um diâmetro AE é tangente à circunferência no ponto E AÊD=DÊB AÊD+DÊB=180º Então, DÊB=90º Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que contém o ponto de tangência.
  • 8. Perpendicular ao ponto médio de uma corda Desenhamos uma circunferência, uma corda e a reta perpendicular ao meio da corda. Sendo a reta r perpendicular ao meio da corda, a reta r é a mediatriz do segmento [AB]. O ponto O dista igualmente de A e B, o ponto O pertence à recta r. Numa circunferência, uma reta perpendiculatr a uma corda no seu ponto médio contém o centro da circunferência..
  • 9. Retas paralelas e circunferência [BC] // [DE] A reta p é perpendicular às retas r e s e contém o ponto O. Se dobrares a figura pela reta p. O segmento [DB] é simétrico do segmento [CE] relativamente ao eixo de simetria p Assim, BD= CE e Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre retas paralelas são congruentes. ____ _____ DB  CE Numa circunferência, a arcos congruentes correspondem cordas congruentes e vice-versa.
  • 10. Ângulo ao centro Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. arco ∢BOC é um ângulo ao centro na circunferência de centro O
  • 11. Amplitude de um ângulo ao centro Qual é a amplitude do ângulo AOB? 90º [ABCD] é um quadrado. AÔB=90º A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados. AÔB=AB=90º
  • 12. Cordas,arcos e ângulos ao centro 42º 42º 42º 42º Numa circunferência,a arcos congruentes correspondem cordas e ângulos ao centro congruentes. Numa circunferência, a cordas congruentes correspondem arcos e ângulos ao centro congruentes. Numa circunferência, a ângulos ao centro congruentes correspondem cordas e arcos congruentes.
  • 13. Observe a figura e determine x a) 45º x x 57º 220º x b) c)
  • 14. Ângulo inscrito numa circunferência Um ângulo inscrito numa circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os seus lados contêm cordas O ∢BCD é um ângulo inscrito numa circunferência de centro O
  • 15. Relação entre ângulo ao centro e o correspondente ângulo inscrito [ABC] é equilátero, tem os ângulos todos iguais. 2 2 120º AÔB BÂC   A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados. 120º 120º 120º 60º 120º
  • 16. 2 BC BÂC  BC  2 BÂC Amplitude de um ângulo inscrito
  • 17. Observe as figuras e determine x 22º x a) 70º x b)
  • 18. Propriedades: CÂD  CÊD 2 CD CÂD  2 CD CÊD  Ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência têm a mesma amplitude. Propriedade 1
  • 19. 2 BC BÂC  90º 2 180º BÂC   Os ângulos inscritos numa semicircunferência são ângulos retos. Propriedade 2
  • 20. Propriedade 3 2  BÊD  2  BÂD    BÊD  BÂD 2 2      360º 180º 2 2     Mas, 180º BÊD  BÂD , então Logo, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero, inscrito numa circunferência é 180º.   [ABDE] é um quadrilátero inscrito numa circunferência
  • 21. Ângulo com vértice no interior da circunferência De acordo com os dados da figura, determina  50º 2 100º m   30º 2 60º n     50º30º 80º Outro processo: 80º 2 160º 2 100º 60º     
  • 22. Ângulo com vértice no interior da circunferência ∢BPA é um ângulo com vértice no interior da circunferência   m n 2 DC e n 2   BA m 2 BA DC 2 2       BA DC Ângulo com vértice no interior da circunferência é igual a metade da soma das amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos.
  • 23. De acordo com os dados da figura, determina 70º 2 140º m   15º 2 30º n   70º 15º 70º15º  55º  Outro processo: 55º 2 110º 2 140º 30º      Ângulo com vértice no exterior da circunferência
  • 24. Ângulo com vértice no exterior da circunferência De acordo com os dados da figura, determina  m n mn 2 BA m  2 DC n  Ângulo com vértice no exterior da circunferência é igual a metade da diferença entre as amplitudes dos arcos maior e menor compreendidos entre os seus lados. 2 2 2 BA DC BA DC    
  • 25. Ângulo ex-inscrito 2 2 2 ˆ x y x y BCA     BCˆA CEˆA EAˆC Ângulo ex-inscrito é um ângulo em que tem vértice na circunferência e esta é intersetada por um dos seus lados e pelo prolongamento do outro lado.
  • 26. Ângulo de um segmento é um ângulo em que um dos lados é tangente à circunferência e o outro lado contém o ponto de tangência e outro ponto da circunferência Ângulo de um segmento
  • 27. 2 x paralelos. lados de internos alternos ângulos são porque C A ˆ AVˆC  V 2 x C V ˆ A  2 AV C V ˆ Logo, A  A amplitude de um ângulo de um segmento é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados. Ângulo de um segmento