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Definição ,[object Object],A B C
Elementos principais ,[object Object],A B C a b c ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], ,[object Object]
 
Quanto à medida de seus lados ,[object Object],A B C a b c As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b  ≠  c e a  ≠  c)  ,[object Object]
Quanto à medida de seus lados ,[object Object],A B C x x Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x). ,[object Object],[object Object]
Quanto à medida de seus lados ,[object Object],A B C x x Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x). ,[object Object],x
Quanto à medida de seus ângulos internos ,[object Object],A B C As medidas dos três ângulos internos são agudos (A < 90º, B < 90º e C < 90º)
Quanto à medida de seus ângulos internos ,[object Object],A B C A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º)  ,[object Object]
Quanto à medida de seus ângulos internos ,[object Object],A B C A medida de um de seus ângulos internos é  obtuso . (A > 90º)
 
Soma dos ângulos internos ,[object Object],A C B  r  A + B + C = 180º    + C +    = 180º    = A e    = B ⇒ r // AB
Medida do ângulo externo ,[object Object], A C B    + C = 180º A + B + C = 180º ( I ) ( II ) ⇒    + C = A + B + C ⇒    = A + B
Medida do ângulo externo ,[object Object],f A C B e = A + B g e f = A + C g = B + C
Exemplo ,[object Object],B A D 76º 115º C x y y 76 + y = 115 y = 39º ⇒ 115 + y = x 115 + 39 = x x = 154º ⇒
 
Mediana ,[object Object],B A C M AM é mediana BM = CM ⇒ M é o ponto médio do segmento BC.
Altura ,[object Object],B A C H AH é altura AH é perpendicular a BC ⇒
Bissetriz interna ,[object Object],B A C S AS é bissetriz
Mediatriz ,[object Object],A m B M A reta m é  mediatriz AM = BM ⇒
Triângulo isósceles A B C x x ,[object Object],M
Triângulo eqüilátero A B C N P ,[object Object],M
 
Relacionando lados e ângulos ,[object Object],[object Object],A B C a b c ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2  = b 2  + c 2 ⍺ cateto oposto a  ⍺ hipotenusa = sen  ⍺  = c a cateto adjacente a  ⍺ hipotenusa = cos  ⍺  = b a 
Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2  = b 2  + c 2 ⍺ cateto oposto a  ⍺ = tg  ⍺  = c b cateto adjacente a  ⍺  ,[object Object]
Exemplos ,[object Object],12 16 A B C Teorema de Pitágoras BC 2  = AB 2  + AC 2 x 2  = 16 2  + 12 2 x 2  = 256 + 144 x 2  = 400 x   = 20 20
Exemplos ,[object Object],cateto oposto a  B hipotenusa sen  B  = = 12 20 = 3 5 = 0,6 cateto adjac. a  B hipotenusa cos  B  = = 16 20 = 4 5 = 0,8 12 16 A B C 20
Exemplos ,[object Object],cateto oposto a  B cateto adjac. a  B tg  B  = = 12 16 = 3 4 = 0,75 12 16 A B C 20
Exemplos ,[object Object],5 cm 16 6 cm x y tg  y  = 6 5 = 1,2 ⇒  y ≈ 50º x + y = 90º ⇒  x ≈ 40º
 
Ângulos complementares  A B C 5 4 3 ⍺   +    = 90º ⍺ tg  ⍺  = 3 4 ⇒ Os ângulos  ⍺  e    são  complementares sen  ⍺  = 3 5 cos  ⍺  = 4 5 tg    = 4 3 sen    = 4 5 cos    = 3 5
Ângulos complementares  A B C a b c ⍺   +    = 90º ⍺ tg  ⍺  = 1 tg   ⇒ Os ângulos  ⍺  e    são  complementares sen  ⍺  = cos   cos  ⍺  = sen  
 
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 1 tg ½  cos ½  sen 60º  45º  30º  √ 2/2 √ 2/2 √ 3/2 √ 3/2 √ 3/3 √ 3
Exemplos ,[object Object],x 16 y 30º sen 30º = x 12 12 cm ⇒  x = 12 . 1/2 ⇒  x = 6 cm cos 30º = y 12 ⇒  x = 12 . √ 3 /2 ⇒  x = 6 √ 3  cm
Exemplos ,[object Object],30º A B C D x y z 2 cm 60º
Identidades trigonométricas ,[object Object],b/a c/a  A C B a c b ⍺ sen  ⍺ cos  ⍺ = = b a . a c = b c = tg  ⍺ tg  x = sen  x cos  x
Exemplos ,[object Object],sen 2  x + cos 2  x ⇒ 3 5 + 2 cos 2  x = 1 ⇒ 9 25 + cos 2  x = 1 ⇒ 9 25 – cos 2  x = 1 = 25 – 9 25 ⇒ cos x = = 16 25 ± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
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  • 24.
  • 25. Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ cateto oposto a ⍺ hipotenusa = sen ⍺ = c a cateto adjacente a ⍺ hipotenusa = cos ⍺ = b a 
  • 26.
  • 27.
  • 28.
  • 29.
  • 30.
  • 31.  
  • 32. Ângulos complementares  A B C 5 4 3 ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 3 4 ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = 3 5 cos ⍺ = 4 5 tg  = 4 3 sen  = 4 5 cos  = 3 5
  • 33. Ângulos complementares  A B C a b c ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 1 tg  ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen 
  • 34.  
  • 35. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 1 tg ½ cos ½ sen 60º 45º 30º √ 2/2 √ 2/2 √ 3/2 √ 3/2 √ 3/3 √ 3
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