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ETE “Cel. Fernando Febeliano da Costa”
Polígonos Regulares Inscritos
na Circunferência e suas
Relações Métricas
2º ano do Ensino Médio; Turma: B
Professora Márcia Capretz
Disciplina: Matemática
Trabalho realizado pelos alunos:
Bianca de Oliveira Soares, nº 04
Débora Marin, nº 07
Frederico Ducatti de Góis, nº 10
Matheus Mendoza, nº 26
Rodolfo Cichito, nº 29
Vinicius Meireles Clais, nº 32
Piracicaba/2010
Índice
- Polígonos regulares
- Polígonos regulares inscritos na circunferência
- Elementos de um polígono regular inscrito
- Propriedades
- Relações métricas de polígonos inscritos na circunferência
- Quadrado inscrito na circunferência
- Hexágono regular inscrito na circunferência
- Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência
- Quadro resumo
- Exercícios
Polígonos Regulares
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si, ou
seja, todos os seus lados e ângulos são iguais.
O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados.
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Todo polígono regular é inscritível numa circunferência, pois dado um polígono
regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.
Portanto, quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos
que:
· o polígono está inscrito na circunferência; ou
· a circunferência está circunscrita ao polígono.
Elementos de um polígono regular inscrito
Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).
Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( ).
Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de
um de seus lados ( ).
Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semi-
retas que contêm dois raios consecutivos (E F). A medida do ângulo central é dada
por:
ac
(n = número de lados).
Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono (B D). A
medida do ângulo interno é dada por:
ai
(n = número de lados).
A Soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por:
si
Propriedades
1ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.
2ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os
perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.
Exemplos:
1 - Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um
pentágono regular inscrito.
*Indicando por ac a medida do ângulo central, temos:
ac
*Indicando por ai a medida do ângulo interno, temos:
ai
Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.
2 - Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21
cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o
perímetro do outro hexágono.
*Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:
Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.
Relações métricas de polígonos inscritos na circunferência
Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do
mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está
inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas.
Quadrado inscrito na circunferência
Exemplo:
1 - Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições,
determine:
a) a medida do lado do quadrado:
b) a medida do apótema do quadrado:
c) o perímetro (P) do quadrado:
d) a área (S) do quadrado:
Hexágono regular inscrito na circunferência
Exemplo:
1 - Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de raio 30 cm.
a) a medida do lado do quadrado:
b) a medida do apótema:
Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência
Exemplo:
1 - Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm.
Determine:
a) a medida do lado do triângulo:
b) a medida do apótema do triângulo:
Exercícios
1 - Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um
dos seguintes polígonos regulares inscritos:
a) triângulo eqüilátero
b) quadrado
c) hexágono regular
d) octógono regular
2 - O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x
é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está
inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede
o comprimento x do raio da primeira circunferência?
3 - Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do
lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa
circunferência:
a) quadrado
b) hexágono regular
c) triângulo eqüilátero
4 - Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o
comprimento r do raio dessa circunferência.
5 - Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência
de raio r mede 15 cm, determine:
a) o comprimento do raio.
b) a medida do lado do triângulo, fazendo .
6 - O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede .
a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?
b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa
circunferência?

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  • 1. ETE “Cel. Fernando Febeliano da Costa” Polígonos Regulares Inscritos na Circunferência e suas Relações Métricas 2º ano do Ensino Médio; Turma: B Professora Márcia Capretz Disciplina: Matemática Trabalho realizado pelos alunos: Bianca de Oliveira Soares, nº 04 Débora Marin, nº 07 Frederico Ducatti de Góis, nº 10 Matheus Mendoza, nº 26 Rodolfo Cichito, nº 29 Vinicius Meireles Clais, nº 32 Piracicaba/2010
  • 2. Índice - Polígonos regulares - Polígonos regulares inscritos na circunferência - Elementos de um polígono regular inscrito - Propriedades - Relações métricas de polígonos inscritos na circunferência - Quadrado inscrito na circunferência - Hexágono regular inscrito na circunferência - Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência - Quadro resumo - Exercícios
  • 3. Polígonos Regulares Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si, ou seja, todos os seus lados e ângulos são iguais. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados. Polígonos regulares inscritos na circunferência Todo polígono regular é inscritível numa circunferência, pois dado um polígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices. Portanto, quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que: · o polígono está inscrito na circunferência; ou · a circunferência está circunscrita ao polígono.
  • 4. Elementos de um polígono regular inscrito Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele ( ). Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados ( ). Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semi- retas que contêm dois raios consecutivos (E F). A medida do ângulo central é dada por: ac (n = número de lados). Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono (B D). A medida do ângulo interno é dada por: ai (n = número de lados). A Soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por: si
  • 5. Propriedades 1ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios. 2ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados. 3ª - Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas. Exemplos: 1 - Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um pentágono regular inscrito. *Indicando por ac a medida do ângulo central, temos: ac *Indicando por ai a medida do ângulo interno, temos: ai Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º. 2 - Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o perímetro do outro hexágono. *Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos: Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.
  • 6. Relações métricas de polígonos inscritos na circunferência Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas. Quadrado inscrito na circunferência Exemplo: 1 - Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine: a) a medida do lado do quadrado: b) a medida do apótema do quadrado: c) o perímetro (P) do quadrado: d) a área (S) do quadrado:
  • 7. Hexágono regular inscrito na circunferência Exemplo: 1 - Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm. a) a medida do lado do quadrado: b) a medida do apótema:
  • 8. Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência Exemplo: 1 - Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 60 3 cm. Determine: a) a medida do lado do triângulo: b) a medida do apótema do triângulo:
  • 9. Exercícios 1 - Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos: a) triângulo eqüilátero b) quadrado c) hexágono regular d) octógono regular 2 - O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência? 3 - Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência: a) quadrado b) hexágono regular c) triângulo eqüilátero 4 - Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa circunferência. 5 - Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero inscrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine: a) o comprimento do raio. b) a medida do lado do triângulo, fazendo . 6 - O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede . a) Qual é a medida do raio dessa circunferência? b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência?