1) O documento discute senos e cossenos de arcos notáveis em um ciclo trigonométrico, destacando as coordenadas de pontos-chave. 2) Exemplos mostram cálculos de expressões trigonométricas substituindo arcos notáveis e usando propriedades como período e congruência. 3) Arcos congruentes tem mesmo seno e cosseno, permitindo reduzir ângulos para suas formas canônicas.

2. sen 0º = sen 0 =
cos 0º = cos 0 =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)π/2
0 ou 2ππ
O
3π/2 B’(0, –1)
Seno e cosseno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
A(1, 0)
0
⇒
1

3. sen 90º = sen π/2
=
cos 90º = cos π/2 =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)π/2
0 ou 2ππ
O
3π/2 B’(0, –1)
Seno e cosseno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
B(0, 1)
1
⇒
0

4. sen 180º = sen π =
cos 180º = cos π =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)π/2
0 ou 2ππ
O
3π/2 B’(0, –1)
Seno e cosseno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
A’(–1, 0)
0
⇒
–1

5. sen 270º = sen 3π/2 =
cos 270º = cos 3π/2 =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)π/2
0 ou 2ππ
O
3π/2 B’(0, –1)
Seno e cosseno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
B’(0, –1)
–1
⇒
0

6. sen 360º = sen 2π
=
cos 360º = cos 2π =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)π/2
0 ou 2ππ
O
3π/2 B’(0, –1)
Seno e cosseno dos arcos notáveis
 No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as
coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades
dos arcos notáveis.
A(1, 0)
0
⇒
1

7. Exemplos
 Calcule o valor da expressão
E =
sen 90º . cos 180º + cos 0º . sen 270º
sen 0º + tg 180º . cos 270º + cos 0º
E =
1 . (–1) + 1 . (–1)
0 + 0 . 0 + 1
= –2

8. Exemplos
 Sendo x = π/2, determinar o valor de
E =
cos 2x + 2 sen x
tg 4x – tg x/2
Substituindo x por π/2, fica
E =
cos π + 2 sen π/2
tg 2π – tg π/4
=
–1 + 2.1
0 – 1
= –1

9. Exemplos
 Indique os sinais das expressões:
a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;
b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6
O
A
B
A’
B’
cos
sen
105º
220º
250º
305º
sen 105º > 0
cos 200º < 0
sec 305º > 0
cosec 250º < 0
E1 = (+).(–).(+).(–) > 0

10. Exemplos
 Indique os sinais das expressões:
a) E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º;
b) E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6
O
A
B
A’
B’
cos
sen
1
2
3
6
sen 1 > 0
cos 2 < 0
sec 3 < 0
cosec 6 < 0
E1 = (+).(–).(–).(–) < 0

11. Observação
 No ciclo trigonométrico, o seno e o co-seno de um
arco dependem apenas da extremidade dele.
Como consequência, números congruentes têm
mesmo seno e mesmo cosseno.
 Se x é a determinação principal de um arco, suas
outras determinações são do tipo k.360º + x (em
graus) ou 2kπ + x (em radianos). Logo,
sen (2kπ + x) = sen x e cos (2kπ + x) = cos x

12. Exemplos
 Calcular sen 15π.
15π = 14π + π
7 voltas
⇒ 15π é congruente a π
sen 15π = sen π = 0
O
A
B
A’
B’
015π ≡ π

13. Exemplos
 Calcular cos 25π/6.
25π/6 é congruente a π/6
cos 25π/6 = cos π/6 = √3/2
O
A
B
A’
B’
25π/6 ≡ π/6
30º
0