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Versão preliminar
6 de setembro de 2002




                     Notas de Aula de Física

03. MOVIMENTO RETILÍNEO ............................................................................................ 2
  POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2
  VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................... 3
  VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3
  ACELERAÇÃO ..................................................................................................................... 4
  ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4
   Exemplo: ....................................................................................................................... 6
  ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE ............................................................................................. 7
  SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8
   15 .................................................................................................................................. 8
   19 ................................................................................................................................ 10
   34 ................................................................................................................................ 11
   38 ................................................................................................................................ 11
   41 ................................................................................................................................ 11
   43 ................................................................................................................................ 12
   45 ................................................................................................................................ 12
   54 ................................................................................................................................ 13
   57 ................................................................................................................................ 14
   61 ................................................................................................................................ 14
   69 ................................................................................................................................ 15
   78 ................................................................................................................................ 15
   79 ................................................................................................................................ 16
   82 ................................................................................................................................ 17
Prof. Romero Tavares da Silva


03. Movimento retilíneo

       Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento.
Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação
a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta pa-
rece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas
não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma
cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri-
am parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que
movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referen-
cial específico

      Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também
pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o
movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar.
Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse
modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo
como o único existente.

       Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de
translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com
esse movimento descreverão a mesma trajetória.

       Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati-
camente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma-
neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.

      Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que te-
nham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresen-
tar um movimento retilíneo.


Posição e deslocamento

        A localização de uma partícula é fundamental
para a análise do seu movimento. O seu movimento        P                          Q
é completamente conhecido se a sua posição no            xi                       xf
espaço é conhecida em todos os instantes.
        Vamos considerar que esse movimento x
componha-se de uma trajetória retilínea que tem                                 Q
como posição inicial o ponto P com coordenada xi xf
no instante ti e posição final com coordenada xf
no instante tf .
        O deslocamento ∆x é uma medida da dife-
rença entre as posições inicial xi que a partícula
ocupou e a sua posição final xf                      xi   P              α
                      ∆x = xi - xf
e o intervalo de tempo é expresso como:
                       ∆t = tf - ti                       ti                      tf   t

Cap 03                        romero@fisica.ufpb.br                                    2
Prof. Romero Tavares da Silva

       À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P,
na figura anterior. No limite quando ∆t → 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta
que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja
v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus
tempo é a tangente à curva neste ponto específico.


Velocidade média e velocidade escalar média

      A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o
tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica-
ção dos nossos instrumentos de medida.

      A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e
o tempo gasto no percurso:

                                          distância percorrida
                                    v =
                                                   ∆t

      Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos
que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida coti-
diana essa informação é suficiente para descrever uma viagem.

      Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo
necessário para esse evento.
                                           ∆x
                                       v =
                                           ∆t

       Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, devería-
mos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento,
que foi definido anteriormente.

       No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos pratica-
mente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades
média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a
distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo-
camento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo
considerado.


Velocidade instantânea e velocidade escalar

     A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo
num dado momento.

         Ela é definida como:
                                                    ∆x dx
                                       v = Lim         =
                                           ∆t → 0
                                                    ∆t   dt


Cap 03                            romero@fisica.ufpb.br                                 3
Prof. Romero Tavares da Silva

       Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o iní-
cio e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa
o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada
um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo
de toda viagem.

      A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indi-
cação de direção e sentido.

No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua
característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Por-
tanto a equação que define este tipo de movimento é:

                                             X=vt

Aceleração

      A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia
com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou dimi-
nuindo à medida que o corpo se movimenta.

       Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós
definimos a aceleração média deste intervalo como:

                                            vf − vi   ∆v
                                      a =           =
                                            tf − ti   ∆t

      Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo con-
siderado, deveremos calcular a aceleração instantânea:

                                                  ∆v dv
                                      a = Lim        =
                                            ∆ →
                                           t 0    ∆t   dt

      Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a
sua aceleração será positiva pois:
                                                        ∆v
                       Vf > vi ⇒ ∆v = vf - vi > 0 ⇒ a =    〉0
                                                        ∆t

         Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.


Aceleração constante - um caso especial

       O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é
uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em
outros.

      Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre
um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se

Cap 03                          romero@fisica.ufpb.br                                     4
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encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon-
trava na posição x com velocidade v .

         A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por:

                                              x − x0 v + v 0
                                        v =          =
                                              t − t0   2

onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante,
como esse caso específico.

         Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x :

                                                           v + v0 
                            x = x 0 + v (t − t 0 ) = x 0 +        (t − t 0 )
                                                            2 

      Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média
que é a própria aceleração constante neste caso presente:

                                                        v − v0
                                            a=a =
                                                         t − t0
ou seja:
                                          v = v 0 + a(t − t 0 )
ou ainda
                                                        v −v0
                                           (t − t ) =
                                                 0
                                                          a

         Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:

                                        t − t0                        t − t0 
                          x = x0 + v 0          + [v 0 + a(t − t 0 )]        
                                        2                             2 

e rearrumando os vários termos teremos:

                                 x = x 0 + v 0 (t − t 0 ) +     a(t − t 0 )
                                                              1            2

                                                              2

         Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:

                                              v + v 0  v − v 0 
                                    x = x0 +                   
                                              2  a 
ou seja:
                                                  v 2 −v0
                                                         2
                                                                  
                                         x − x0 = 
                                                   2a            
                                                                  
                                                                 
e finalmente:
                                        v 2 = v 0 + 2a(x − x 0 )
                                                2




Cap 03                            romero@fisica.ufpb.br                               5
Prof. Romero Tavares da Silva

      Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração
constante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores
para as seguintes equações vetoriais:

                                              ! ! !             1! 2
                                              r = r 0 + v 0 t + 2 at
                                                   ! !         !
                                                   v = v 0 + at
                                                              ! ! !
                                             v 2 = v 2 + 2a ⋅ (r − r )
                                                     0               0
                                             

onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de
Torricelli.


Exemplo:
      Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade
de 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de
4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s
usando uma aceleração constante de 10m/s2 .
      Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimento
mencionado.

     700                                                       40

     600                                                       35

     500                                                       30

                                                               25
     400
 x




                                                               20
                                                           v




     300
                                                               15
     200
                                                               10
     100
                                                               5

      0                                                        0
           0   5   10   15       20     25     30    35             0   5   10   15       20   25   30   35
                             t                                                        t

      6

      4

      2

      0
           0   5   10   15       20     25     30    35
      -2
 a




      -4

      -6

      -8

     -10

     -12
                             t

Cap 03                                  romero@fisica.ufpb.br                                                 6
Prof. Romero Tavares da Silva

Tabela associada ao exemplo:

  Intervalo     Aceleração             Velocidade                              Espaço
   0 → 5s          Nula                 Constante                          Reta ascendente
  5s → 10s       Positiva            Reta ascendente                  Parábola com concavidade
                                                                          voltada para cima
 10s → 20s        Nula                 Constante                           Reta ascendente
 20s → 23s       Negativa           Reta descendente                  Parábola com concavidade
                                                                          voltada para baixo
    > 23s          Nula                     Constante                      Reta ascendente


Aceleração de queda livre

      Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas,
para a situação do movimento de queda livre.

       Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comporta
como se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremos
usar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície da
Terra.

      Para a aceleração, temos que:
                                                                                z
                          ! !
                          a = g = −kg
                                   ˆ
                                                                                         !
      Para o espaço percorrido, temos que:                                               g


                 ˆ    ˆ      ˆ       1 ˆ
                                     2
                                        (    )
                 kz = kz 0 + kv 0 t + − kg t 2


                                                           gt 2
                                        z = z0 + v 0 t −
                                                            2

Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que:

                                        ˆ    ˆ       (
                                        kv = kv 0 + − kg t
                                                      ˆ      )
ou seja:
                                             v = v0 - gt

e também:
                                        2       ˆ(   )(
                                v 2 = v 0 + 2 − kg ⋅ kz − kz 0
                                                     ˆ    ˆ       )
                                    v 2 = v 0 − 2g (z − z 0 )
                                            2




Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli.


Cap 03                         romero@fisica.ufpb.br                                             7
Prof. Romero Tavares da Silva


Solução de alguns problemas

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma
   velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um
   pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o
   outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do
   comportamento deste pássaro.)

              Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja
         enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto
         nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade
         do pássaro é vp = 60km/h .

         Para a primeira viagem do pássaro, temos:
                                              d


                                   D1                                         d1

                                                                                    d
                        d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1 ⇒          t1 =
                                                                                  v +vp

         Para a segunda viagem, temos:



                                   d2                      D2

                              d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )

                                                                                       
                         t 2 (v + v p ) = d − 2vt 1 = d − 2v
                                                                  d            2v
                                                                      = d 1 −
                                                                           v +v
                                                                                        
                                                                                        
                                                                v +vp            p     

                                    d                                            
                           t2 =           1 − 2v         ∴ t 2 = t 1 1 −
                                                                            2v      
                                  v +vp    v +v                       v +v       
                                                 p                          p    

         Para a terceira viagem, temos



                                                  D3                 d3

                                          d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )



Cap 03                            romero@fisica.ufpb.br                                     8
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                           d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 ∴ vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2

                             d            v            v                  v            v
                    t3 =         − 2t 1       − 2t 2       = t 1 − 2t 1       − 2t 2
                           v +vp        v +vp        v +vp              v +vp        v +vp
         ou ainda
                                             2v           v            v
                               t 3 = t 1 1 −         2t
                                                     − 2 v +v = 2 − 2 v +v
                                                                t   2t
                                          v +v
                                                p           p             p

         ou seja:
                                                      2v             
                                        t 3 = t 2 1 −                
                                                   v +v              
                                                         p           
         Por outro lado, já mostramos que:
                                                      2v             
                                        t 2 = t 1 1 −                
                                                   v +v              
                                                         p           

                                              d       60    2
                                     t1 =          =       = h = 40 min
                                            v + v p 30 + 60 3
         Podemos inferir então que:
                                                                2v 
                                               t N = t N −1 1 −     
                                                             v +v 
                                                                  p 

         ou seja:
                                                                      N −1
                                                             2v 
                                               t N = t 1 1 −     
                                                          v +v 
                                                               p 



         Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo
                                                          2v        2.30       2 1
         primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão q = 1 −       = 1−         = 1− = .
                                                        v +vp      30 + 60     3 3

    a) Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão?

         As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se
         infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um
         trem para o outro.

    b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro?

         O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão:

                                              a1 (1 − q N )
                                                     S=
                                                 1− q
         e quando |q| < 1 e N tende a infinito:




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Prof. Romero Tavares da Silva


                            a1        t1       v + vp             d             v + v p    d
                      S=        =         = t1                  =                         =
                           1− q       2v        2v               v + v          2v         2v
                                                                       p                  
                                    v +vp
         ou seja
                                                 d   60
                                           t=      =     = 1h
                                                2 v 2.30

                                     Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km

         Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o
         detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão
         dos dois trens:
                                                           d   60
                           d = ( v + v ) t = 2vt ⇒ t =       =     = 1h
                                                          2 v 2.30
         Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância
         percorrida será:
                                           Dp = vp t = 60km


Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
                                                            10
19 Qual a posição final de um corredor,
                                                            8
   cujo gráfico velocidade x tempo é
                                                   v(m/s)




   dado pela figura ao lado, 16 segun-                      6

   dos após ter começado a correr?                          4

                                                            2
    A distância percorrida por uma partí-
    cula é a área abaixo da curva num                       0
                                                                 0        2   4    6     8      10   12   14   16   18
    gráfico v versus t . Podemos de-
    monstrar a afirmação anterior de                                                         t(s)
    vários modos, por exemplo:

    Método 1:
                                                     xf              tf

                                      Área = d = ∫ dx = ∫ v dt
                                                     xi              ti



                                    d = Área = A1 + A2 + A3 + A4

    onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo
    que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10-
    12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (11-16).


                         d=
                              1
                                (2x 8) + (8 x8 ) +  1 (2 x 4) + (2x 4) + (4 x 4)
                                                   
                                                                       
                              2                    2                  

                                               d = 100m


Cap 03                          romero@fisica.ufpb.br                                                               10
Prof. Romero Tavares da Silva


    Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e cal-
    cular as distâncias correspondentes.


Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
    A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car-
34 ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tem-
    po atingiria a velocidade de 100km/h ?

                                                  10 3 m
                               v = 100km/h = 10  2
                                                          ≅ 27m/s
                                                  3600s
                                                  v     27 m / s
                                 v = v0 + at ; t = =
                                                  a 50 m / s 2

                                            t = 0,54s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a
   aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor
   mínimo desta aceleração?
                                                               v = 360km/h
                   v = (v0) + 2ad ∴ a = v /2d
                     2      2             2
                                                               d = 1,8km
                                                               v0 = 0
                                             2         2
                              a = 36000 km/h = 2,7 m/s

                              se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

41 Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m .
   a) Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e
      em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante.

               v2 = (v0)2 - 2ad ∴ a = (v0)2/2d = 8,28m/s2        v0 = 96km/h = 26,7 m/s
                                                                 d = 43m
                 Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g             v=0

    b) Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de
       400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem?
                            v = v0 - at ∴ t = v0/a ou seja: t = 3,22s

                                treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s

                                            T = t + treação

                                              T= 3,62s


Cap 03                         romero@fisica.ufpb.br                                      11
Prof. Romero Tavares da Silva


Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com
   uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante).

    a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar?

                              v = v0 - at ∴ t = v0/a = 24,6/4,92                            a = 4,92m/s2
                                                                                            v0 = 24,6 m/s
                                                  t = 5s                                    v=0

    b) Que distância percorre nesse tempo?

                                   v2 = (v0)2 - 2ad ∴ d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92)

                                          d = 61,5m
    c) Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração.

                     x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros                           v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s
                                                                      30
                70
                                                                      25
                60
                50                                                    20
                                                               v(t)




                40                                                    15
         x(t)




                30
                                                                      10
                20
                                                                      5
                10
                0                                                     0
                     0   1     2       3      4       5    6               0      1     2    3     4    5   6
                                       t                                                     t




Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45 Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2.
   a) Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o
       tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de
       80km/h ?
                              v = v0 - at                 v0 = 140km/h = 39,2m/s
                                                          v = 80km/h = 22,4m/s
                      t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2           a = 5,2m/s2

                                            t=3,2s




Cap 03                                     romero@fisica.ufpb.br                                            12
Prof. Romero Tavares da Silva

    b) Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração.
       Consideramos que até o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci-
       dade de 39,2m/s , quando começou a freiar até 3,2s mais tarde, quando passou
       a desenvolver a velocidade de 22,4m/s .
                                                        45
                                                        40
                                                        35
         O gráfico x versus t é uma                     30
         reta para 0 < t < 5s ,                         25




                                                 v(t)
                                                        20
                                                        15
         é uma parábola com concavi-                    10
         dade para baixo para                            5

          5s < t < 8,2s                                  0
                                                              0       1       2    3       4   5   6       7       8   9   10 11 12 13 14
                                                                                                           t
         e volta a ser uma reta para
          t > 8,2s .
                                                        450
                                                        400
         Nestes intervalos temos res-                   350
                                                        300
         pectivamente:      movimento                   250
                                                 x(t)



         uniforme, movimento unifor-                    200
         memente acelerado e nova-                      150
                                                        100
         mente movimento uniforme.                       50
                                                          0
                                                              0           1    2   3       4   5   6       7       8   9   10 11 12 13 14
                                                                                                           t




Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração
   constante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante
   de 9,5m/s , ultrapassa o automóvel.

    a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão?
                                                             120
            Automóvel                Caminhão
                                                             100
              x = at2/2                X=Vt
                                                              80

         No instante t = tE o automóvel vai 60
         alcançar o caminhão, logo:
                                                              40
                          xE = X E                            20

                2                                                 0
             at E                2V 2.9,5
                  = Vt E ⇒ t E =    =                                 0        1       2       3       4       5       6    7   8    9      10
              2                   a   2,2                                                                      t
                         tE = 8,6s
                                                                                Curva azul = X = Caminhão
             XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m.
                                                                              Curva vermelha = x = Automóvel



Cap 03                               romero@fisica.ufpb.br                                                                                  13
Prof. Romero Tavares da Silva

    b) Qual a velocidade do carro nesse instante?

                                                                      Velocidade
              vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6         25

                                                 20
                    vE = 18,9m/s
                                                 15

                                                 10

                                                 5

                                                 0
                                                      0   1   2   3    4   5    6   7   8   9    10
                                                                           t



Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

57 Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos,
   um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando estão a 950m um do outro, os maqui-
   nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a
   desaceleração em cada um dos trens é de 1,0m/s2 .

    Vamos chamar x e X as distâncias que cada trem per- v0 = 72km/h = 20m/s
    correrá antes de parar. Neste instante teremos v = V =0. V0 = 144km/h = 40m/s
                                                             d = 950m
                  v = (v0) - 2ax ∴ x = (v0) /2a
                   2      2                  2
                                                             a = 1m/s2

                  V2 = (V0)2 - 2aX ∴ X = (V0)2/2a

    A distância D necessária para os dois trens pararem é D = x + X

                                           v 0 + V02
                                             2

                                      D=             = 1000m
                                               2a

    Como essa distância D é maior que a distância d disponível, acontecerá a colisão
    entre os dois trens.


Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfície da Terra. Se
   desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi-
   riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal?

                           v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh                              v0 = 0
                                                                               a = g = 9,8m/s2
                    v = 2gh = 2.9,8.1700 =182,5m/s                             h = 1700m

                               v = 657km/h


Cap 03                         romero@fisica.ufpb.br                                              14
Prof. Romero Tavares da Silva


    Decididamente não seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan-
    çando a superfície da terra com esta velocidade.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

69 Um objeto é largado de uma ponte 45m acima da água. O objeto cai dentro de um
   barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im-
   pacto no instante em que o objeto foi solto.
   Qual a velocidade do barco?

                                                                             h = 45m
                                                                             v0 = 0
                                                                             d = 12m
                                                  h




                                d

                               d = vt 
                                  gt2 
                                                           d          gd 2
                                                ⇒    t=       ∴ h=
                              h=                           V          2V 2
                                   2 

                                           g        9,8
                                V =d          = 12      = 3,9m / s
                                           2h      2.45

                                                 V = 14,1km/h

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

78 Do cano de um chuveiro, a água pinga no chão, 200cm abaixo. As gotas caem em
   intervalos regulares, e a primeira gota bate no chão, no instante em que a quarta gota
   começa a cair. Determine as posições da segunda e terceira gotas, no instante em
   que a primeira gota bate no chão.
                                                                        4
                Seja ti o tempo de vôo da i-ésima gota:
                                                                         3
                                             2
                                        gt
                               h = h1 = 1
                                           2
                                                                         2
                                         2                                          h
                                      gt 2
                                 h2 =
                                       2

                                         gt 32
                                    h3 =
                                          2                                   1



Cap 03                         romero@fisica.ufpb.br                                   15
Prof. Romero Tavares da Silva


    Como existe um intervalo ∆t entre cada gota, temos que t1 = 3∆t ; t2 = 2∆t e t3 = ∆t .
    Logo

                                h2 t 2 (2∆t )
                                     2            2
                                                  4                4     8
                                  = 2 =         =         ∴ h2 =     h1 = m
                                h1 t 1  (3∆t ) 9
                                              2
                                                                   9     9

                                h3 t 32
                                  = 2 =
                                         (∆t ) = 1 ∴ h = 1 h = 2 m
                                                  2


                                h1 t 1  (3∆t )2 9     3
                                                         9
                                                            1
                                                               9



Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

79 Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima da
   superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com
   a mesma velocidade constante. Ele chegará ao fundo 4,8s após ter sido largada.
   a) Qual a profundidade do lago?

                                h1 = 5,2m                              v0
                                                                  h1
                             t = t1 + t2 = 4,8s
                                                                       v1
                                2
                          gt             2h1
                     h1 =      ∴ t1 =
                                1
                                                                  h2
                            2             g
                     t1 = 1,03s e t2 = 3,77s                           v2

         v 12 = v 0 + 2gh1
                  2
                               ∴ v 1 = 2gh1 = 10,09m / s

                        h2 = v1 t2 = 38,06m

    b) Qual a velocidade média da bola?
                          ∆x espaço h1 + h2 5,2 + 38,06
                      v =    =        =          =      = 9,01m / s
                          ∆t   tempo    t1 + t 2   4,8

    c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e
       novamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial da
       bola?
       Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial:

                                 gt 2                 h gt
                      h = V0 t +          ∴ V0 =        −   = 7,92 − 23,52 = −15,60m / s
                                  2                   t   2

                Na equação acima o sinal de g é positivo significando que o referencial
         positivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula-
         do é negativo, a bola foi lançada para cima.



Cap 03                                romero@fisica.ufpb.br                                16
Prof. Romero Tavares da Silva

         0 < t < 1,03s                      50
                                            45
         O movimento da bola de             40
                                            35
         chumbo é de queda livre,
                                            30
         portanto a curva no gráfico        25




                                        y
         y versus t será uma pará-          20
         bola e a curva no gráfico v        15
         versus t será uma reta in-         10
                                             5
         clinada em relação à hori-          0
         zontal.                                 0       1      2            3       4       5
                                                                    t
         t > 1,03s
                                            12

         O movimento da bola de             10
         chumbo é de retilíneo e             8
         uniforme, portanto a curva
                                             6
                                        v

         no gráfico y versus t será
         uma reta inclinada em rela-         4
         ção à horizontal e a curva          2
         no gráfico v versus t será
         uma reta paralela à hori-           0
                                                 0       1      2            3       4       5
         zontal.                                                    t




Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

82 Uma pedra é largada de uma ponte a 43m acima da superfície da água. Outra pe-
   dra é atirada para baixo 1s após a primeira pedra cair. Ambas chegam na água ao
   mesmo tempo.

    a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra?
                                                                         2       1
         h = 44m                                                    v0
         ∆t = 1s
         t2 = t1 - ∆t
                                                                                         h
                  gt 12         2h
                 h=     ∴ t1 =      = 2,99s ≅ 3s
                   2             g
         O tempo gasto pela segunda pedra será:

                                            t2 = t1 - ∆t = 2s
         Logo:
                                                2
                                             gt 2         h gt
                                 h = v 0t2 +       ∴ v0 = − 2
                                              2           t2 2
                                             v0 = 12,2m/s




Cap 03                         romero@fisica.ufpb.br                                         17
Prof. Romero Tavares da Silva

    b) Faça o gráfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0
       o instante em que a primeira pedra foi largada.
                                        40
         Curvas das velocidade:         35
                                        30
         Vermelho = primeira pedra      25
                                        20
         Marrom = segunda pedra         15
                                        10
                                         5
                                         0
                                             0    0,5       1         1,5       2         2,5   3     3,5
                                                                            t


         Curvas das distâncias:         80
                                        70
         Vermelho = primeira pedra      60
                                        50
         Marrom = segunda pedra         40
                                        30
                                        20
                                        10
                                         0
                                             0   0,5    1       1,5         2       2,5    3    3,5   4
                                                                            t




Cap 03                        romero@fisica.ufpb.br                                                       18

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Movimento em 1_dimensao_-_prof_romero_tavares

  • 1. Versão preliminar 6 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 03. MOVIMENTO RETILÍNEO ............................................................................................ 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................... 3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................... 4 ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4 Exemplo: ....................................................................................................................... 6 ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE ............................................................................................. 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 15 .................................................................................................................................. 8 19 ................................................................................................................................ 10 34 ................................................................................................................................ 11 38 ................................................................................................................................ 11 41 ................................................................................................................................ 11 43 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 12 54 ................................................................................................................................ 13 57 ................................................................................................................................ 14 61 ................................................................................................................................ 14 69 ................................................................................................................................ 15 78 ................................................................................................................................ 15 79 ................................................................................................................................ 16 82 ................................................................................................................................ 17
  • 2. Prof. Romero Tavares da Silva 03. Movimento retilíneo Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento. Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta pa- rece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri- am parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referen- cial específico Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar. Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo como o único existente. Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória. Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati- camente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma- neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento. Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que te- nham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresen- tar um movimento retilíneo. Posição e deslocamento A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu movimento P Q é completamente conhecido se a sua posição no xi xf espaço é conhecida em todos os instantes. Vamos considerar que esse movimento x componha-se de uma trajetória retilínea que tem Q como posição inicial o ponto P com coordenada xi xf no instante ti e posição final com coordenada xf no instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife- rença entre as posições inicial xi que a partícula ocupou e a sua posição final xf xi P α ∆x = xi - xf e o intervalo de tempo é expresso como: ∆t = tf - ti ti tf t Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 2
  • 3. Prof. Romero Tavares da Silva À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura anterior. No limite quando ∆t → 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto específico. Velocidade média e velocidade escalar média A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica- ção dos nossos instrumentos de medida. A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso: distância percorrida v = ∆t Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida coti- diana essa informação é suficiente para descrever uma viagem. Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento. ∆x v = ∆t Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, devería- mos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido anteriormente. No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos pratica- mente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo- camento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado. Velocidade instantânea e velocidade escalar A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado momento. Ela é definida como: ∆x dx v = Lim = ∆t → 0 ∆t dt Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 3
  • 4. Prof. Romero Tavares da Silva Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o iní- cio e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda viagem. A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indi- cação de direção e sentido. No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Por- tanto a equação que define este tipo de movimento é: X=vt Aceleração A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou dimi- nuindo à medida que o corpo se movimenta. Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós definimos a aceleração média deste intervalo como: vf − vi ∆v a = = tf − ti ∆t Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo con- siderado, deveremos calcular a aceleração instantânea: ∆v dv a = Lim = ∆ → t 0 ∆t dt Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua aceleração será positiva pois: ∆v Vf > vi ⇒ ∆v = vf - vi > 0 ⇒ a = 〉0 ∆t Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa. Aceleração constante - um caso especial O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em outros. Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 4
  • 5. Prof. Romero Tavares da Silva encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon- trava na posição x com velocidade v . A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por: x − x0 v + v 0 v = = t − t0 2 onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante, como esse caso específico. Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x : v + v0  x = x 0 + v (t − t 0 ) = x 0 +  (t − t 0 )  2  Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média que é a própria aceleração constante neste caso presente: v − v0 a=a = t − t0 ou seja: v = v 0 + a(t − t 0 ) ou ainda v −v0 (t − t ) = 0 a Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:  t − t0   t − t0  x = x0 + v 0   + [v 0 + a(t − t 0 )]   2   2  e rearrumando os vários termos teremos: x = x 0 + v 0 (t − t 0 ) + a(t − t 0 ) 1 2 2 Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:  v + v 0  v − v 0  x = x0 +     2  a  ou seja: v 2 −v0 2  x − x0 =   2a     e finalmente: v 2 = v 0 + 2a(x − x 0 ) 2 Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 5
  • 6. Prof. Romero Tavares da Silva Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração constante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores para as seguintes equações vetoriais:  ! ! ! 1! 2  r = r 0 + v 0 t + 2 at  ! ! !  v = v 0 + at ! ! ! v 2 = v 2 + 2a ⋅ (r − r )  0 0  onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de Torricelli. Exemplo: Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade de 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de 4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s usando uma aceleração constante de 10m/s2 . Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimento mencionado. 700 40 600 35 500 30 25 400 x 20 v 300 15 200 10 100 5 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 t t 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 -2 a -4 -6 -8 -10 -12 t Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 6
  • 7. Prof. Romero Tavares da Silva Tabela associada ao exemplo: Intervalo Aceleração Velocidade Espaço 0 → 5s Nula Constante Reta ascendente 5s → 10s Positiva Reta ascendente Parábola com concavidade voltada para cima 10s → 20s Nula Constante Reta ascendente 20s → 23s Negativa Reta descendente Parábola com concavidade voltada para baixo > 23s Nula Constante Reta ascendente Aceleração de queda livre Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas, para a situação do movimento de queda livre. Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comporta como se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremos usar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície da Terra. Para a aceleração, temos que: z ! ! a = g = −kg ˆ ! Para o espaço percorrido, temos que: g ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2 ( ) kz = kz 0 + kv 0 t + − kg t 2 gt 2 z = z0 + v 0 t − 2 Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que: ˆ ˆ ( kv = kv 0 + − kg t ˆ ) ou seja: v = v0 - gt e também: 2 ˆ( )( v 2 = v 0 + 2 − kg ⋅ kz − kz 0 ˆ ˆ ) v 2 = v 0 − 2g (z − z 0 ) 2 Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli. Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 7
  • 8. Prof. Romero Tavares da Silva Solução de alguns problemas Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do comportamento deste pássaro.) Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade do pássaro é vp = 60km/h . Para a primeira viagem do pássaro, temos: d D1 d1 d d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1 ⇒ t1 = v +vp Para a segunda viagem, temos: d2 D2 d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )   t 2 (v + v p ) = d − 2vt 1 = d − 2v d 2v = d 1 −  v +v   v +vp  p  d     t2 = 1 − 2v  ∴ t 2 = t 1 1 − 2v  v +vp  v +v   v +v   p   p  Para a terceira viagem, temos D3 d3 d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 ) Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 8
  • 9. Prof. Romero Tavares da Silva d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 ∴ vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2 d v v v v t3 = − 2t 1 − 2t 2 = t 1 − 2t 1 − 2t 2 v +vp v +vp v +vp v +vp v +vp ou ainda  2v  v v t 3 = t 1 1 −  2t − 2 v +v = 2 − 2 v +v t 2t  v +v  p  p p ou seja:  2v  t 3 = t 2 1 −   v +v   p  Por outro lado, já mostramos que:  2v  t 2 = t 1 1 −   v +v   p  d 60 2 t1 = = = h = 40 min v + v p 30 + 60 3 Podemos inferir então que:  2v  t N = t N −1 1 −   v +v   p  ou seja: N −1  2v  t N = t 1 1 −   v +v   p  Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo 2v 2.30 2 1 primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão q = 1 − = 1− = 1− = . v +vp 30 + 60 3 3 a) Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão? As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um trem para o outro. b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro? O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão: a1 (1 − q N ) S= 1− q e quando |q| < 1 e N tende a infinito: Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 9
  • 10. Prof. Romero Tavares da Silva a1 t1 v + vp   d  v + v p  d S= = = t1  =  = 1− q 2v  2v  v + v  2v  2v    p   v +vp ou seja d 60 t= = = 1h 2 v 2.30 Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão dos dois trens: d 60 d = ( v + v ) t = 2vt ⇒ t = = = 1h 2 v 2.30 Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância percorrida será: Dp = vp t = 60km Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 10 19 Qual a posição final de um corredor, 8 cujo gráfico velocidade x tempo é v(m/s) dado pela figura ao lado, 16 segun- 6 dos após ter começado a correr? 4 2 A distância percorrida por uma partí- cula é a área abaixo da curva num 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 gráfico v versus t . Podemos de- monstrar a afirmação anterior de t(s) vários modos, por exemplo: Método 1: xf tf Área = d = ∫ dx = ∫ v dt xi ti d = Área = A1 + A2 + A3 + A4 onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10- 12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (11-16). d= 1 (2x 8) + (8 x8 ) +  1 (2 x 4) + (2x 4) + (4 x 4)   2 2  d = 100m Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 10
  • 11. Prof. Romero Tavares da Silva Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e cal- cular as distâncias correspondentes. Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car- 34 ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tem- po atingiria a velocidade de 100km/h ? 10 3 m v = 100km/h = 10 2 ≅ 27m/s 3600s v 27 m / s v = v0 + at ; t = = a 50 m / s 2 t = 0,54s Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor mínimo desta aceleração? v = 360km/h v = (v0) + 2ad ∴ a = v /2d 2 2 2 d = 1,8km v0 = 0 2 2 a = 36000 km/h = 2,7 m/s se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 41 Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m . a) Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante. v2 = (v0)2 - 2ad ∴ a = (v0)2/2d = 8,28m/s2 v0 = 96km/h = 26,7 m/s d = 43m Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g v=0 b) Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de 400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem? v = v0 - at ∴ t = v0/a ou seja: t = 3,22s treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s T = t + treação T= 3,62s Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 11
  • 12. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante). a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar? v = v0 - at ∴ t = v0/a = 24,6/4,92 a = 4,92m/s2 v0 = 24,6 m/s t = 5s v=0 b) Que distância percorre nesse tempo? v2 = (v0)2 - 2ad ∴ d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92) d = 61,5m c) Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração. x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s 30 70 25 60 50 20 v(t) 40 15 x(t) 30 10 20 5 10 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 t t Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 45 Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2. a) Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de 80km/h ? v = v0 - at v0 = 140km/h = 39,2m/s v = 80km/h = 22,4m/s t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2 a = 5,2m/s2 t=3,2s Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 12
  • 13. Prof. Romero Tavares da Silva b) Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração. Consideramos que até o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci- dade de 39,2m/s , quando começou a freiar até 3,2s mais tarde, quando passou a desenvolver a velocidade de 22,4m/s . 45 40 35 O gráfico x versus t é uma 30 reta para 0 < t < 5s , 25 v(t) 20 15 é uma parábola com concavi- 10 dade para baixo para 5 5s < t < 8,2s 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t e volta a ser uma reta para t > 8,2s . 450 400 Nestes intervalos temos res- 350 300 pectivamente: movimento 250 x(t) uniforme, movimento unifor- 200 memente acelerado e nova- 150 100 mente movimento uniforme. 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5m/s , ultrapassa o automóvel. a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão? 120 Automóvel Caminhão 100 x = at2/2 X=Vt 80 No instante t = tE o automóvel vai 60 alcançar o caminhão, logo: 40 xE = X E 20 2 0 at E 2V 2.9,5 = Vt E ⇒ t E = = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 a 2,2 t tE = 8,6s Curva azul = X = Caminhão XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m. Curva vermelha = x = Automóvel Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 13
  • 14. Prof. Romero Tavares da Silva b) Qual a velocidade do carro nesse instante? Velocidade vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6 25 20 vE = 18,9m/s 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 57 Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando estão a 950m um do outro, os maqui- nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a desaceleração em cada um dos trens é de 1,0m/s2 . Vamos chamar x e X as distâncias que cada trem per- v0 = 72km/h = 20m/s correrá antes de parar. Neste instante teremos v = V =0. V0 = 144km/h = 40m/s d = 950m v = (v0) - 2ax ∴ x = (v0) /2a 2 2 2 a = 1m/s2 V2 = (V0)2 - 2aX ∴ X = (V0)2/2a A distância D necessária para os dois trens pararem é D = x + X v 0 + V02 2 D= = 1000m 2a Como essa distância D é maior que a distância d disponível, acontecerá a colisão entre os dois trens. Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfície da Terra. Se desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi- riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal? v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh v0 = 0 a = g = 9,8m/s2 v = 2gh = 2.9,8.1700 =182,5m/s h = 1700m v = 657km/h Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 14
  • 15. Prof. Romero Tavares da Silva Decididamente não seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan- çando a superfície da terra com esta velocidade. Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 69 Um objeto é largado de uma ponte 45m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im- pacto no instante em que o objeto foi solto. Qual a velocidade do barco? h = 45m v0 = 0 d = 12m h d d = vt  gt2  d gd 2  ⇒ t= ∴ h= h= V 2V 2 2  g 9,8 V =d = 12 = 3,9m / s 2h 2.45 V = 14,1km/h Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 78 Do cano de um chuveiro, a água pinga no chão, 200cm abaixo. As gotas caem em intervalos regulares, e a primeira gota bate no chão, no instante em que a quarta gota começa a cair. Determine as posições da segunda e terceira gotas, no instante em que a primeira gota bate no chão. 4 Seja ti o tempo de vôo da i-ésima gota: 3 2 gt h = h1 = 1 2 2 2 h gt 2 h2 = 2 gt 32 h3 = 2 1 Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 15
  • 16. Prof. Romero Tavares da Silva Como existe um intervalo ∆t entre cada gota, temos que t1 = 3∆t ; t2 = 2∆t e t3 = ∆t . Logo h2 t 2 (2∆t ) 2 2 4 4 8 = 2 = = ∴ h2 = h1 = m h1 t 1 (3∆t ) 9 2 9 9 h3 t 32 = 2 = (∆t ) = 1 ∴ h = 1 h = 2 m 2 h1 t 1 (3∆t )2 9 3 9 1 9 Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 79 Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com a mesma velocidade constante. Ele chegará ao fundo 4,8s após ter sido largada. a) Qual a profundidade do lago? h1 = 5,2m v0 h1 t = t1 + t2 = 4,8s v1 2 gt 2h1 h1 = ∴ t1 = 1 h2 2 g t1 = 1,03s e t2 = 3,77s v2 v 12 = v 0 + 2gh1 2 ∴ v 1 = 2gh1 = 10,09m / s h2 = v1 t2 = 38,06m b) Qual a velocidade média da bola? ∆x espaço h1 + h2 5,2 + 38,06 v = = = = = 9,01m / s ∆t tempo t1 + t 2 4,8 c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial da bola? Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial: gt 2 h gt h = V0 t + ∴ V0 = − = 7,92 − 23,52 = −15,60m / s 2 t 2 Na equação acima o sinal de g é positivo significando que o referencial positivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula- do é negativo, a bola foi lançada para cima. Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 16
  • 17. Prof. Romero Tavares da Silva 0 < t < 1,03s 50 45 O movimento da bola de 40 35 chumbo é de queda livre, 30 portanto a curva no gráfico 25 y y versus t será uma pará- 20 bola e a curva no gráfico v 15 versus t será uma reta in- 10 5 clinada em relação à hori- 0 zontal. 0 1 2 3 4 5 t t > 1,03s 12 O movimento da bola de 10 chumbo é de retilíneo e 8 uniforme, portanto a curva 6 v no gráfico y versus t será uma reta inclinada em rela- 4 ção à horizontal e a curva 2 no gráfico v versus t será uma reta paralela à hori- 0 0 1 2 3 4 5 zontal. t Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 82 Uma pedra é largada de uma ponte a 43m acima da superfície da água. Outra pe- dra é atirada para baixo 1s após a primeira pedra cair. Ambas chegam na água ao mesmo tempo. a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra? 2 1 h = 44m v0 ∆t = 1s t2 = t1 - ∆t h gt 12 2h h= ∴ t1 = = 2,99s ≅ 3s 2 g O tempo gasto pela segunda pedra será: t2 = t1 - ∆t = 2s Logo: 2 gt 2 h gt h = v 0t2 + ∴ v0 = − 2 2 t2 2 v0 = 12,2m/s Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 17
  • 18. Prof. Romero Tavares da Silva b) Faça o gráfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada. 40 Curvas das velocidade: 35 30 Vermelho = primeira pedra 25 20 Marrom = segunda pedra 15 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 t Curvas das distâncias: 80 70 Vermelho = primeira pedra 60 50 Marrom = segunda pedra 40 30 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 18