O documento discute as seções cônicas, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. Essas curvas são geradas pela interseção de um cone com um plano e têm aplicações importantes em áreas como cálculo, mecânica e astronomia. Suas propriedades geométricas e equações algébricas são definidas.

1. Secções Cônicas
As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da
Matemática. Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdos
do
Cálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história das
sociedades.
As secções cónicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na Grécia
Antiga. O seu interesse inicial residia no contributo que a sua utilização poderia
dar para a resolução dos três problemas clássicos: trissectar um ângulo, quadrar
um círculo e duplicar um cubo. Euclides escreveu um tratado sobre as cónicas, que
se perdeu. A Apolónio (262?-190 a.C.), matemático grego, devem-se os nomes que
ainda hoje utilizamos para a elipse, a hipérbole e a parábola.
Os desenvolvimentos à volta das secções cónicas efectuados nessa altura vieram a
estar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Por
exemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajectórias dos planetas e Galileu
a parábola para representar o movimento de projecteis na terra.
Uma secção cónica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e uma
superfície cónica assente numa base circular, que se estende indefinidamente
através do seu vértice em ambas as direcções.
Existem cinco tipos possíveis de secções cónicas: a elipse; a hipérbole; a parábola;
a circunferência; e um par de rectas concorrentes. Estes dois últimos são casos
particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.
Parábola
A parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma
superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do
cone(chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto
dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta
dada (chamada de diretriz). É uma curva plana. [1]
Equações da geometria analítica
Em coordenadas cartesianas, uma parábola com um eixo paralelo ao eixo y com vértice
(h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distância entre o vértice e o
foco, possui a equação

2. ou, alternativamente
De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma
equação irredutível da forma : tal
que , em que todos os coeficientes são reais, em que A e/ou C é não nulo,
e na qual mais de uma solução, definindo um par de pontos (x, y) na parábola, existe. O
fato da equação serirredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto
de dois fatores lineares.
Elipse
Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é
cortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do
cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto,
veja esferas de Dandelin.
Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos
especiais de elipses, no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.
A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que
passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto
médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o
comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se
elipses cada vez mais próximas de um segmento de recta. A elipse é também a
intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.
As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas,
respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).
Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da
forma
tal que , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução,
definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso
corresponde ao círculo.
Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação anterior torna
a forma mais simples:

3. ,
onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.
Hipérbole
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção
entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas
metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares[1] para os
quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são
equivalentes, veja esferas de Dandelin.
Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma
equação da forma
tal que , onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução,
definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.
Cartesiana
Hipérbole de abertura leste-oeste:
Hipérbole de abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior (metade da
distância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo menor. Note que b pode ser maior que
a.
A excentricidade é dada por

4. ou
Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas
temos:
Polar
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:
Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.
Paramétrica
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-
eixo menor.