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AS REGRAS DA CADEIA

        É um recurso de derivação para funções compostas, e um dos mais importantes
teoremas do Cálculo Diferencial. Começaremos com a regra da cadeia para funções de
uma variável e depois generalizaremos.
        Para derivarmos funções compostas podemos utilizar propriedades
matemáticas e engenhosidades sem utilizar a regra da cadeia, entretanto a derivação
se torna um pouco mais simples com o uso da regra da cadeia que enunciaremos a
seguir:
        Por inicio, consideremos as funções           e          , tal que
               . Assim a regra da cadeia assume a seguinte forma:


                                        (            )
                                            ou




Exemplo: 1) Derive a função             .
      Para começar chamamos                   e          , então derivamos:


                                                 ;
       Utilizando a regra da cadeia, temos:



       Mas como          , a derivada fica assim:




       2) Se a equação do movimento de uma partícula for dada por
                    , dizemos que a partícula esta em movimento harmônico simples.
a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.
b) Quando a velocidade é zero?

Solução: a)
       A velocidade é dada por:



       b) Para que a velocidade seja igual à zero, a função tem que ser zero, portanto:
Agora avançaremos para o caso de funções com varias variáveis. Podemos
considerar duas regras da cadeia.
       Para entendermos a primeira regra da cadeia par funções de varias variáveis,
começamos com o exemplo:
        Considere a função                      , poderíamos simplesmente derivar
utilizando a regra da cadeia simples e a regra de Leibniz, entretanto façamos uso da
seguinte regra
        Primeira regra da cadeia:
Seja uma função de duas variáveis e sejam e funções de uma variável, suponha
que               ,           e          , definimos a função da seguinte forma




                                         ou



       Voltando ao exemplo,                       , fazendo           e




       Podemos generalizar essa regra para funções com n variáveis, seja
             , então:




       Segunda regra da cadeia:
Sejam               ,           e             , assim (              )     , então as
derivadas parciais são dadas por:

                                          e



Ou na notação de Leibniz:



                                          e
Podemos generalizar para funções de m variáveis com essas variáveis, sendo
por sua vez funções de n variáveis, sejam                   e




       Com j = 1, 2, ..., n. Se as derivadas parciais de em relação a   , podemos
escrever utilizando a notação de somatório, na forma

                          ∑


      Exemplo: Suponha que seja uma função diferenciável em (0,0,0) e que
           ,             e              . Se a função está definida peça
equação                                   , encontre         e         .

Solução: Seja                 ,            ,e             , e faça            . Então
                                                , assim




Fazendo          e         , temos     ,          ,       e




Do mesmo modo,




Escrito por F. L. Tibola
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As regras da cadeia

  • 1. AS REGRAS DA CADEIA É um recurso de derivação para funções compostas, e um dos mais importantes teoremas do Cálculo Diferencial. Começaremos com a regra da cadeia para funções de uma variável e depois generalizaremos. Para derivarmos funções compostas podemos utilizar propriedades matemáticas e engenhosidades sem utilizar a regra da cadeia, entretanto a derivação se torna um pouco mais simples com o uso da regra da cadeia que enunciaremos a seguir: Por inicio, consideremos as funções e , tal que . Assim a regra da cadeia assume a seguinte forma: ( ) ou Exemplo: 1) Derive a função . Para começar chamamos e , então derivamos: ; Utilizando a regra da cadeia, temos: Mas como , a derivada fica assim: 2) Se a equação do movimento de uma partícula for dada por , dizemos que a partícula esta em movimento harmônico simples. a) Encontre a velocidade da partícula no instante t. b) Quando a velocidade é zero? Solução: a) A velocidade é dada por: b) Para que a velocidade seja igual à zero, a função tem que ser zero, portanto:
  • 2. Agora avançaremos para o caso de funções com varias variáveis. Podemos considerar duas regras da cadeia. Para entendermos a primeira regra da cadeia par funções de varias variáveis, começamos com o exemplo: Considere a função , poderíamos simplesmente derivar utilizando a regra da cadeia simples e a regra de Leibniz, entretanto façamos uso da seguinte regra Primeira regra da cadeia: Seja uma função de duas variáveis e sejam e funções de uma variável, suponha que , e , definimos a função da seguinte forma ou Voltando ao exemplo, , fazendo e Podemos generalizar essa regra para funções com n variáveis, seja , então: Segunda regra da cadeia: Sejam , e , assim ( ) , então as derivadas parciais são dadas por: e Ou na notação de Leibniz: e
  • 3. Podemos generalizar para funções de m variáveis com essas variáveis, sendo por sua vez funções de n variáveis, sejam e Com j = 1, 2, ..., n. Se as derivadas parciais de em relação a , podemos escrever utilizando a notação de somatório, na forma ∑ Exemplo: Suponha que seja uma função diferenciável em (0,0,0) e que , e . Se a função está definida peça equação , encontre e . Solução: Seja , ,e , e faça . Então , assim Fazendo e , temos , , e Do mesmo modo, Escrito por F. L. Tibola Graduando em Engenharia Química