1. Secções Cônicas

4. Introdução Uma secção cônica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e uma superfície cônica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direções. Existem cinco tipos possíveis de secções cônicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a circunferência; e um par de retas concorrentes. Estes dois últimos são casos particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.

5. Uma Superfície Cônica de Revolução é gerada quando uma reta G intercepta outra reta e fixa, girando em torno dela. Geratriz: G Vértice: V Eixo: e

8. Secções Cônicas

13. Leis de Kepler

15. Ao rodar em torno do seu eixo de simetria, a parábola, gera uma superfície parabólica ou parabolóide. O interesse dos espelhos parabólicos resulta das seguintes propriedades da parábola e do parabolóide: Todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco. Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo. . Em óptica e Acústica

16. Os arcos de cônicas surgem em Engenharia e Arquitetura, em pontes, pórticos, cúpulas. Torres e arcos, devido às suas propriedades físicas e estéticas. Por exemplo, o cabo de suspensão duma ponte, quando o peso total é uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, tem a forma de uma parábola. Em Engenharia e Arquitetura

17. Um simples instrumento ajudando a salvar vidas Já imaginou ter um fogão em casa com energia solar? Pois, a idéia já é possível. O estudo com esse fogão tem mais de 10 anos de desenvolvimento, tendo iniciado na Alemanha. São coletores solares de alto desempenho que aquecem um fluido térmico e transportam calor para panelas. O fogão pode ficar no interior da casa e os coletores, do lado de fora, para captar energia do sol. Este instrumento foi implantado na Etiópia para ajudar a suprir a necessidade de alimento, e não só na África como também no sertão nordestino, esta idéia boa e barato faz sucesso.

20. Algumas Aplicações das Cônicas A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. A arquitetura moderna se valem das formas cônicas…

21. Curvas Cônicas elipse parábola hipérbole

22. A Elípse como Lugares Geométricos A Elipse é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição de que a soma das distâncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse. Elipse

26. Construção da Hipérbole, dados os vértices e os focos Los datos son: MN = 2 a y F1 F2 = 2c: Se elige un punto A cualquiera en el eje real MN, situado a la derecha del foco de la derecha o a la izquierda del foco de la izquierda. Con centros en F1 y F2 y radios MA y NA respectivamente se trazan los arcos 1 y 2 que se cortan en el punto V de la curva. Se verifica que: VF1 – VF2 = 2 a = MN. Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano , nos definen la hipérbola. Os dados são: MN=2a e F 1 F 2 =2c Eixo real: MN=2a=V 1 V 2 Distância focal: F 1 F 2 =2c r 1 - r 2 =2a Se exige um ponto A qualquer no eixo real MN, situado a direita de ambos os focos. Com centros em F 1 e F 2 e raios MA e NA respectivamente se traçam os arcos 1 e 2 que se cortam no ponto V da curva. Se verifica que: VF 1 -VF 2 =2a=MN Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos que, unidos posteriormente, nos define um ramo da hipérbole. Então, usando simetria em relação a reta perpendicular a MN em seu ponto médio O obtém-se o outro ramo da hipérbole.

30. Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos quaisquer.

31. Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos quaisquer.

32. Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo cinco pontos quaisquer.

33. Representação da Cônica do Exemplo anterior Esta Figura foi gerada pelo Cabri-Geomètre. Obtenha-a usando o GeoGebra .