Este documento resume os principais tópicos da teoria de matrizes, incluindo sistemas lineares, subespaços fundamentais, autovalores e autovetores, traço de matrizes, forma quadrática e sinais de matrizes.

1. ´
Algebra Linear – Teoria de Matrizes
1. Sistemas Lineares
1.1. Coordenadas em espa¸os lineares: independˆncia linear, base,
c e
dimens˜o, singularidade, combina¸˜o linear
a ca
1.2. Espa¸o imagem (colunas) - Espa¸o linhas. Posto
c c
1.3. Espa¸o nulo (n´cleo). Nulidade
c u
2. Autovalores e autovetores
3. Tra¸o de matriz
c
4. Forma quadr´tica e sinais de matrizes
a
5. Valores singulares
6. Norma vetorial
7. Norma matricial
pag.1 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
c Reinaldo M. Palhares

2. Sistemas Lineares
Considere o conjunto de equa¸oes alg´bricas lineares
c˜ e

y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn 


. . .

.
. .
. .
. y = Ax


= am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

ym 
x1 , . . . , xn denotam entradas do sistema linear
y1 , . . . , ym denotam sa´
ıdas do sistema linear
aij denotam parˆmetros que caracterizam o mapeamento entrada-sa´
a ıda
A ∈ Rm×n , y ∈ Rm e x ∈ Rn
pag.2 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
c Reinaldo M. Palhares

3. Subespa¸os Fundamentais
c
Quest˜es fundamentais
o
Caracterizar os conjuntos de sa´ ıdas y1 , . . . , ym que podem ser obtidos
dadas as entradas x1 , . . . , xn (controlabilidade da sa´ ıda)
Dadas as sa´ ıdas y1 , . . . , ym identificar, se poss´
ıvel, o conjunto de entradas
x1 , . . . , xn que as geram (observabilidade da entrada)
Em outras palavras... Como caracterizar uma solu¸˜o para Ax = y ? Veja que
ca
tem-se um conjunto com m equa¸oes e n inc´gnitas
c˜ o
Pode-se definir subespa¸os fundamentais de tal forma a obter condi¸oes de
c c˜
existˆncia e uma forma geral de solu¸oes para Ax = y
e c˜
pag.3 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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4. Coordenadas em Espa¸os Lineares
c
Nota Antes de responder a ultima quest˜o, introduze-se conceitos sobre
´ a
coordenadas em espa¸os lineares...
c
Dependˆncia Linear Um conjunto de vetores {x1 , x2 , . . . , xk }, xi ∈ Rn ,
e
i = 1, . . . , k, ´ linearmente dependente se existem escalares α1 , α2 , . . . , αk ,
e
n˜o todos nulos tais que
a
k
α i xi = α 1 x1 + α 2 x2 + · · · + α k xk = 0
i=1
Caso contr´rio, o conjunto {x1 , x2 , . . . , xk } ´ linearmente independente – LI
a e
k
Veja que i=1 αi xi = Xα
sendo X [ x1 x2 ··· xk ] ∈ Rn×k , α [ α1 α2 ··· α k ]T ∈ R k
pag.4 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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5. Coordenadas em Espa¸os Lineares
c
Proposi¸˜o Qualquer conjunto de n vetores LI qualifica uma base em um
ca
espa¸o linear n−dimensional (ie um espa¸o de dimens˜o n)
c c a
Lema Considere Q ∈ Rn×n . O sistema de equa¸oes
c˜
T
Qx = 0, x x1 x2 ··· xn
possui uma solu¸˜o n˜o-nula (x = 0) se e somente se Q ´ singular
ca a e
Teorema Considere Q = q1 q2 · · · qn . Ent˜o Q ´ n˜o-singular se e
a e a
somente se o conjunto de vetores {q1 , q2 , . . . , qn } ´ LI (em outras palavras,
e
∃Q−1 )
pag.5 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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6. Coordenadas em Espa¸os Lineares
c
Representa¸˜o de vetores
ca
Considere um conjunto de vetores {q1 , q2 , . . . , qn }, base no Rn . Ent˜o todo
a
vetor y ∈ Rn pode ser escrito como combina¸˜o linear:
ca
n
y= αi qi = Qα
i=1
Como Q ´ n˜o-singular:
e a
α = Q−1 y representa¸˜o unica de y na base {q1 , q2 , . . . , qn }
ca ´
Para outra base qualquer P , y = P ζ, ζ = P −1 y = P −1 Qα !!!
pag.6 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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7. Subespa¸os Fundamentais
c
Defini¸˜o
ca O espa¸o colunas de A ´ o espa¸o gerado pelas colunas de A, e ´
c e c e
denominado espa¸o imagem de A — (A) . Por outro lado, o espa¸o linhas de A ´ o
c c e
espa¸o gerado pelas linhas de A — (AT )
c
T 1 −1 −3
Exemplo y= 1 −1 est´ no espa¸o imagem de
a c A= ?
¢
¤
0 10 0
¡
£
¥
Em outras palavras, y = Ax, para algum x? Sim, pois as colunas de A geram todo o
espa¸o 2-dimensional
c
• posto de colunas de A ∈ Rm×n ´ a dimens˜o de
e a (A), ie ´ equivalente ao
e
n´mero de colunas LI de A
u
• posto de linhas de A ∈ Rm×n ´ a dimens˜o de
e a (AT )
• dim (A) = dim (AT ) = r = posto(A) ∴ posto(A) ≤ min {m, n}
pag.7 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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8. Subespa¸os Fundamentais
c
Defini¸˜o
ca O espa¸o nulo ` direita (ou n´cleo) de A ´ o espa¸o gerado por todos os
c a u e c
vetores x satisfazendo Ax = 0 — N (A). Por outro lado, o espa¸o nulo ` esquerda
c a
de A ´ o espa¸o gerado por todos os vetores y satisfazendo y T A = 0 — N (AT )
e c
T
Exemplo x= 1 10 0 est´ no espa¸o N (A):
a c
¡
1 −1 −3
A= ?
¢
¤
0 10 0
£
¥
Em outras palavras, Ax = 0? Como
1
1 −1 −3 −9 0
¢
¤
10 = =
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¦
§
0 10 0 100 0
¦
§
0
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
portanto, a resposta ´ negativa
e
pag.8 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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9. Subespa¸os Fundamentais
c
• Considere A de ordem m × n
Dimens˜o dos quatro subespa¸os fundamentais:
a c (A), (AT ), N (A) e
N (AT )?
r posto(A) = dim (A)
n colunas de A
∴ r + dim N (A) = n → dim N (A) = n − r (Nulidade)
r posto(AT ) = dim (AT )
m linhas de A
∴ r + dim N (AT ) = m → dim N (AT ) = m − r
pag.9 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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10. Subespa¸os Fundamentais
c
• O espa¸o n-dimensional de entrada X =
c (AT ) ⊕ N (A)
• O espa¸o m-dimensional de sa´ Y =
c ıda (A) ⊕ N (AT )
MATLAB
orth(A) – base ortonormal para (A)
null(A) – base ortonormal para N (A)
rank(A) – posto de A
0 1 1 2
¢
¤
Exemplo Posto de A = 1 2 3 4 = a1 a2 a3 a4 ?
¦
§
¦
§
¡
2 0 2 0
£
¥
a1 e a2 s˜o LI. a3 = a1 + a2 . a4 = 2a2 . A tem duas colunas LI ∴ posto(A) = 2
a
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11. Subespa¸os Fundamentais
c
Teorema Dado A ∈ Rm×n , existe uma solu¸˜o x para Ax = y, para
ca
qualquer y, sse posto(A) = m (posto completo de linhas)
Teorema Dado A ∈ Rn×n . Se ∃A−1 , ent˜o Ax = y tem uma unica solu¸˜o
a ´ ca
para todo y, ie x = A−1 y. Em particular, a unica solu¸˜o para Ax = 0 ´
´ ca e
x=0
pag.11 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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12. Autovalores e Autovetores
Defini¸˜o Um escalar λ ´ denominado um autovalor de A ∈ Rn×n se
ca e
∃x ∈ Rn , x = 0, satisfazendo
Ax = λx
Tal x ´ denominado um autovetor de A associado ao autovalor λ
e
Como calcular autovalor ? Basta escrever Ax = λx = λIx da forma
(A − λI) x = 0
Se (A − λI) ´ n˜o singular, ent˜o a unica solu¸˜o ´ x = 0 !!
e a a ´ ca e
Por´m x = 0, ent˜o (A − λI) deve ser necessariamente singular, ou de forma
e a
equivalente, det(A − λI) = 0 ...
Toda ra´ de p(λ) = det (A − λI) ´ uma autovalor de A
ız e
pag.12 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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13. Teoria de Matrizes
Tra¸o
c Para A ∈ Rn×n , o tra¸o de A, denotado por Tr{A} ou Tra¸o{A}, ´
c c e
definido como sendo:
n
Tr {A} = aii
i=1
ie, ´ a soma dos elementos da diagonal principal
e
Propriedades
n
1. Tr{A} = λi
i=1
2. Tr{A + B} = Tr{B + A} = Tr{A} + Tr{B}
3. Tr{AB} = Tr B T AT = Tr{BA}= Tr AT B T (se existirem multiplica¸oes)
c˜
¨
©
¨
©
n n
4. Tr AT A = a2
ij
¨
©
i=1 i=1
pag.13 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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14. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes
a
Simetria P ∈ Rn×n ´ dita ser sim´trica se P = P T
e e
Nota Todos os autovalores de uma matriz sim´trica s˜o reais
e a
Nota Toda matriz sim´trica pode ser diagonalizada, mesmo para autovalores repetidos
e
(MATLAB: jordan)
Forma Quadr´tica
a ´
E uma classe de fun¸oes escalares na forma
c˜
P11 ··· P1n x1
. .. . .
¢
¤
¢
¤
V (x) = xT P x = x1 ··· xn . . . . , P = PT
¦
§
¦
§
. . .
¦
§
¦
§
¡
¦
§
¦
§
Pn1 ··· Pnn xn
£
¥
£
¥
pag.14 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
ca
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15. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes
a
Fun¸˜o escalar definida positiva Dado P = P T , se a fun¸˜o escalar xT P x > 0,
ca ca
para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser definida positiva, sendo denotado por P
a e 0
Fun¸˜o escalar definida negativa Dado P = P T , se a fun¸˜o escalar
ca ca
xT P x < 0, para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser definida negativa, sendo denotado
a e
por P 0
Fun¸˜o escalar semidefinida positiva (negativa) Dado P = P T , se a fun¸˜o
ca ca
escalar xT P x ≥ 0 (xT P x ≤ 0), para todo x = 0, ent˜o P ´ dita ser semidefinida
a e
positiva (semidefinida negativa), sendo denotado por P 0 (P 0)
Nota Se P ´ semidefin´ ent˜o ∃x = 0 tal que xT P x = 0
e ıda, a
pag.15 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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16. Forma quadr´tica e Sinais de Matrizes
a
Teorema P = P T ∈ Rn×n ´ definida positiva (semidefinida positiva) sse
e
λ(P ) > 0 (λ(P ) ≥ 0)
Teorema P = P T ∈ Rn×n ´ definida negativa (semidefinida negativa) sse
e
λ(P ) < 0 (λ(P ) ≤ 0)
Exerc´
ıcio Moste que V (x) ´ definida positiva
e
V (x) = xT P x = 10x2 + 4x2 + x2 + 2x1 x2 − 2x2 x3 − 4x1 x3
1 2 3
Fato Dado H ∈ Rm×n ent˜o
a
1. H T H ou HH T ´ sim´trica
e e
2. H T H 0 ou HH T 0
3. H T H 0 se posto(H) = n (posto completo de colunas)
4. HH T 0 se posto(H) = m (posto completo de linhas)
pag.16 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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17. Valores Singulares
Dado H ∈ Rm×n
Define-se M HT H ∴ M = MT 0, M ∈ Rn×n
Portanto todos os autovalores de M s˜o reais e n˜o negativos
a a
r indica o n´mero de autovalores positivos de M
u
Ent˜o os autovalores de M = H T H podem ser ordenados da forma
a
λ2 ≥ λ2 ≥ · · · ≥λr > 0 = λr+1 = · · · = λn
1 2
Denote por n = min(m, n). Ent˜o o conjunto
a
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · λr > 0 = λr+1 ≥ λn
´ denominado de valores singulares de H. Em outras palavras, os valores singulares de
e
H (denotado por σ) s˜o obtidos de:
a
σ= λ(H T H), MATLAB: sigma
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18. Produto Interno
A fun¸˜o x, y : R × R → R ´ um produto interno se satisfaz os seguintes axiomas
ca e
∗
1. x, y = y, x , x, y = y, x
2. α(x + y), z = α x, z + α y, z
3. x, x ≥ 0 e x, x = 0 ⇔ x=0
Representa¸˜o usual para vetores do Rn
ca
n
x, y = xi y i
i=1
Vetores ortogonais – x ⊥ y
x, y = xT y = 0
pag.18 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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19. Norma Vetorial
A fun¸˜o x : R → R ´ uma norma se satisfaz os seguintes axiomas
ca e
1. x+y ≤ x + y
2. αx = |α| x
3. x ≥0e x =0 ⇔ x=0
Normas usuais para vetores no Rn
1
n r
• Norma-r x r |xi |r , 1≤r<∞
i=1
• Norma-∞ x ∞ max |xi |
1≤i≤n
pag.19 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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20. Norma Vetorial
1
√ n 2
• Norma-2 ou Norma Euclidiana x 2 xT x = x, x = |xi |2
i=1
Nota Interpreta¸˜o gr´fica ? A norma-2 ´ o comprimento do vetor a partir da origem
ca a e
MATLAB
norm(x,1) – norma-1
norm(x,2) ou norm(x) – norma-2
norm(x,inf) – norma-∞
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21. Norma Matricial
O conceito de norma vetorial pode ser “estendido” para matrizes, no sentido de se
poder “mensurar” matrizes. Considere X o espa¸o de entradas R n e Y o espa¸o de
c c
ıdas Rm
sa´
Defini¸˜o
ca Considere A : X → Y. O operador ´ limitado se
e
∃c < ∞, c ∈ R : Ax < c x , ∀x ∈ X
Defini¸˜o
ca Considere A : X → Y. A norma de A ´ a menor constante c
e
Portanto a norma de um operador linear pode ser caracterizada por
Ax r
A r sup = sup Ax r
x=0 x r x r =1
A r ´ denominada norma matricial induzida por uma norma vetorial r
e
pag.21 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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22. Norma Matricial
Para diferentes x , tem-se diferentes A
m
1. A 1 = max |aij | ⇔ A maior soma absoluta das colunas
j
i=1
1
T
2. A 2 = λmax (A A) 2
⇔ Valor singular m´ximo de A
a
 
m
3. A ∞ = max  |aij | ⇔ A maior soma absoluta das linhas
i
j=1
pag.22 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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23. Norma Matricial
 
3 2
Exemplo Normas 1, 2 e ∞ de A =  ?
−1 0
A 1 = max {3 + | − 1|; 2 + 0} = 4
A 2 = 3.7
A ∞ = max {3 + 2; | − 1| + 0} = 5
pag.23 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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24. Norma Matricial
Interpreta¸˜o gr´fica ? Considere por exemplo a norma A
ca a 1. Note que y = Ax e
n
x 1 =1 ⇒ x 1 = |xi |
i=1
portanto
3 2 1 3 3 2 0 2
y1 = Ax = = , y2 = Ax = =
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
−1 0 0 −1 −1 0 1 0
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
3 2 −1 −3 3 2 0 −2
y3 = Ax = = , y4 = Ax = =
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
¢
¤
−1 0 0 1 −1 0 −1 0
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
£
¥
pag.24 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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25. Norma Matricial
2
1.5
1 x 1 =1
0.5
0
−0.5
−1
PSfrag replacements
−1.5
A 1 =3+1=4
−2
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
MATLAB norm(A,r), r = 1, 2 ou r =inf
pag.25 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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26. Exerc´
ıcios
0 1 1 2 −1
1. Calcule o posto de A = 1 2 3 4 −1
2 0 2 0 2
1 −0.5 2
2. Calcule as normas induzidas 1,2 e ∞ para A = 0 0.7 0.3
−0.9 0 0.1
−4 −1 2
3. Encontre os valores singulares de A =
2 0.5 −1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
4. Encontre uma forma diagonal para A = 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
pag.26 Introdu¸˜o ao Controle Robusto – Aula 4
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