1) Quando um plano intersecta uma superfície cônica, forma uma seção cônica que pode ser uma elipse, hipérbole ou parábola dependendo do ângulo entre o plano e a base do cone. 2) As elipses, hipérboles e parábolas são definidas em termos dos elementos focais e da soma ou diferença das distâncias de um ponto a esses focos. 3) São apresentadas as equações reduzidas de cada uma dessas curvas cônicas em função dos seus elementos principais.

1. GEOMETRIA ANALÍTICA: CÔNICAS – PROF. EDMAR JUNIOR
Quando um plano  intersecta uma superfície cônica circular, a intersecção é uma secção cônica. Se o
plano não passa pelo vértice do cone, a secção será uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo do
ângulo  que o plano  forma com a base do cone.
OBS: A circunferência é uma das secções cônicas no caso de  = 0.
ELIPSE: Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano  , seja 2c a distância entre eles.
Elipse é o conjunto dos pontos P de  cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c):
Elipse =  a2PFPF|P 21  .
ELEMENTOS PRINCIPAIS
- F1 e F2: focos; O: centro; A1, A2, B1 e B2: vértices;
- 21AA : eixo maior; 21BB B1B2 eixo menor;
- 2c: distância focal; 2a: medida do eixo maior;
- 2b: medida do eixo menor;
- Relação notável: a2
= b2
+ c2
;
- e: excentricidade (indica o quão “achatada” é a elipse).
EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P = (x,y) ponto genérico da curva. P  elipse  PF1 + PF2 = 2a.
  1
b
y
a
x
babayaxb
)ca(ayax)ca(
caayaxcxa
xccxa2ayacacxa2xa
)cxa(ya)cx(a
4y)cx(a4a4cx4
yccx2xy)cx(a4a4yccx2x
y)cx(y)cx(a4a4y)cx(
)0y()cx(a2)0y()cx(
a2)0y()cx()0y()cx(
2
2
2
2
22222222
22222222
224222222
22242222222
222222
222
222222222
2222222
2222
2222











2. OBS: Equações da elipse nos casos em que os focos estejam no eixo OY ou ainda, caso o centro não seja a
origem (0,0).
HIPÉRBOLE: Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano  , seja 2c a distância entre
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos P de  cuja diferença
(em valor absoluto) das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (0 <
2a < 2c). Hipérbole =  a2PFPF|P 21 
ELEMENTOS PRINCIPAIS
- F1 e F2: focos; O: centro;
- A1, A2, B1 e B2: vértices;
- 21AA : eixo real ou transverso; 21BB : eixo imaginário;
- 2c: distância focal; 2a: medida do eixo real;
- 2b: medida do eixo imaginário;
- Relação notável: c2
= a2
+ b2
; e: excentricidade.
- r e s são chamadas assíntotas. As equações são: x
a
b
y  .
OBS: Se o retângulo fundamental for um quadrado, a hipérbole é chamada
equilátera. As assíntotas são: xy  e 2e  .
EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P = (x,y) ponto genérico da curva.
P  hipérbole  | PF1 - PF2 |= 2a.
1
b
y
a
x
babayaxb
)ac(ayax)ac(
yacacxa2xaacxa2xc
ya)cx(a)acx(
y)cx(aacx
y)cx(a4a4cx4
yccx2xy)cx(a4a4yccx2x
y)cx(y)cx(a4a4y)cx(
)0y()cx(a2)0y()cx(
a2)0y()cx()0y()cx(
2
2
2
2
22222222
22222222
22222224222
222222
222
222
222222222
2222222
2222
2222











3. OBS: Equações da Hipérbole nos casos em que os focos estejam no eixo OY ou ainda, caso o centro não
seja a origem (0,0).
PARÁBOLA: Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano  , com F  d, seja p a distância
entre F e d. Parábola é o conjunto dos pontos P de  que estão à mesma distância de F e de d.
Parábola =  PdPF|P  .
ELEMENTOS PRINCIPAIS
- F: foco;
- d: diretriz;
- p: parâmetro;
- V: vértice;
- e: eixo de simetria; VF =
2
p
.
EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P(x,y) um ponto genérico da curva com diretriz d de
equação
2
p
x  e o foco com as coordenadas 





 0,
2
p
F .
P = (x,y) pertence à parábola  'PPPF  , 





 y,
2
p
'P .
px2y
4
p
pxxy
4
p
pxx
2
p
xy
2
p
x
)yy(
2
p
x)0y(
2
p
x
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2


























OBS: Equações da Parábola de acordo com a posição e coordenadas do vértice.

4. Observações:
1) A intersecção de um plano com uma superfície cônica quando o plano passa pelo vértice chama-se cônica
degenerada, que pode ser um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes.
2) A equação também pode representar um conjunto vazio: 5y9x405y9x4 2222
 .
3) Representações de cônicas com o termo y.x envolvem rotação dos eixos coordenados. Esse caso não
foi abordado neste texto.