O documento descreve as principais curvas cônicas: parábola, elipse e hipérbole. A parábola é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta. A elipse é o lugar onde a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. A hipérbole é onde a diferença das distâncias a dois pontos é constante.
O documento resume uma aula sobre orifícios hidráulicos. Ele discute a contração da veia líquida após o orifício, os coeficientes de contração, velocidade e descarga. Também aborda orifícios livres e afogados, além de contração completa e incompleta da veia. Por fim, apresenta um exercício sobre determinar o diâmetro máximo de um orifício entre tanques para evitar transbordamento.
Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posiçãonelsonpoer
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose.
2) Os exercícios são divididos em quatro séries e abordam cálculos de amplitude, desvio médio, variância e coeficiente de variação.
3) Além disso, os exercícios calculam medidas de assimetria e aplicam diferentes métodos para estimar variância amostral.
O documento descreve o plano de ensino de uma disciplina de Hidráulica e Hidrologia Aplicada sobre Canais. O plano inclui carga horária, desenvolvimento da disciplina, ementa, objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, avaliação e bibliografia.
Ondulatória equação de onda e princípio de superposição, reflexão, refração, ...VictorSampaio38
O documento discute conceitos fundamentais de ondas e ondulação, incluindo classificação de ondas, natureza de ondas mecânicas e eletromagnéticas, tipos de ondas, componentes de ondas, propagação de pulsos em cordas, reflexão e refração de ondas, interferência, polarização e outros fenômenos associados a ondas.
Inventário de florestas naturais: Método dos quadrantesJoelmirMazon1
Este documento discute métodos de amostragem aplicados em inventários florestais de florestas nativas. Apresenta o método de quadrantes, que é um dos mais utilizados nesse tipo de floresta. Descreve os fundamentos do método, como a seleção dos pontos amostrais, coleta de dados e estimadores para parâmetros fitossociológicos como densidade, dominância e frequência. Também exemplifica a aplicação prática do método em uma amostragem realizada em uma floresta nativa.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria espacial como pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço.
2) Inclui definições de postulados geométricos como a existência de pontos e retas infinitas, e que duas retas determinam um plano.
3) Também apresenta posições relativas de retas e planos como paralelas, perpendiculares e secantes, e como estes conceitos se aplicam a poliedros.
Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.
Este relatório apresenta os resultados de uma experiência realizada para medir as dimensões e calcular a densidade de duas esferas de vidro de tamanhos diferentes. Foram medidas o diâmetro, a massa, a área, o volume e a densidade das esferas usando um paquímetro e uma balança analítica. Os resultados encontrados para cada esfera estão apresentados em tabelas.
O documento resume uma aula sobre orifícios hidráulicos. Ele discute a contração da veia líquida após o orifício, os coeficientes de contração, velocidade e descarga. Também aborda orifícios livres e afogados, além de contração completa e incompleta da veia. Por fim, apresenta um exercício sobre determinar o diâmetro máximo de um orifício entre tanques para evitar transbordamento.
Estatística, Medidas de dispersão e medidas de posiçãonelsonpoer
1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre medidas de posição, dispersão, assimetria e curtose.
2) Os exercícios são divididos em quatro séries e abordam cálculos de amplitude, desvio médio, variância e coeficiente de variação.
3) Além disso, os exercícios calculam medidas de assimetria e aplicam diferentes métodos para estimar variância amostral.
O documento descreve o plano de ensino de uma disciplina de Hidráulica e Hidrologia Aplicada sobre Canais. O plano inclui carga horária, desenvolvimento da disciplina, ementa, objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, avaliação e bibliografia.
Ondulatória equação de onda e princípio de superposição, reflexão, refração, ...VictorSampaio38
O documento discute conceitos fundamentais de ondas e ondulação, incluindo classificação de ondas, natureza de ondas mecânicas e eletromagnéticas, tipos de ondas, componentes de ondas, propagação de pulsos em cordas, reflexão e refração de ondas, interferência, polarização e outros fenômenos associados a ondas.
Inventário de florestas naturais: Método dos quadrantesJoelmirMazon1
Este documento discute métodos de amostragem aplicados em inventários florestais de florestas nativas. Apresenta o método de quadrantes, que é um dos mais utilizados nesse tipo de floresta. Descreve os fundamentos do método, como a seleção dos pontos amostrais, coleta de dados e estimadores para parâmetros fitossociológicos como densidade, dominância e frequência. Também exemplifica a aplicação prática do método em uma amostragem realizada em uma floresta nativa.
1) O documento descreve conceitos básicos de geometria espacial como pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço.
2) Inclui definições de postulados geométricos como a existência de pontos e retas infinitas, e que duas retas determinam um plano.
3) Também apresenta posições relativas de retas e planos como paralelas, perpendiculares e secantes, e como estes conceitos se aplicam a poliedros.
Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.
Este relatório apresenta os resultados de uma experiência realizada para medir as dimensões e calcular a densidade de duas esferas de vidro de tamanhos diferentes. Foram medidas o diâmetro, a massa, a área, o volume e a densidade das esferas usando um paquímetro e uma balança analítica. Os resultados encontrados para cada esfera estão apresentados em tabelas.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados a momento angular. O problema 23 mostra que para dar uma tacada em uma bola de bilhar inicialmente em repouso de forma que ela adquira uma velocidade final de 9v0/7, a altura do taco deve ser h = 4R/5, onde R é o raio da bola.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
Este documento apresenta um plano de aula sobre círculos e circunferências para alunos do 8o ano. A aula inclui 15 atividades que abordam conceitos como raio, diâmetro, corda e centro, bem como exemplos práticos envolvendo rodas, anéis de Saturno e jogos olímpicos. O objetivo é que os alunos reconheçam esses elementos e saibam identificá-los.
GEOMETRIA ESPACIAL - POLIEDROS E CORPOS REDONDOS - PROF TARCÍSIO - www.profta...Tarcísio Filho
This document discusses geometric solids including polyhedra, prisms, pyramids, cylinders, cones, and their properties. It states Euler's formula for convex polyhedra that the number of vertices plus the number of faces equals the number of edges plus two. Formulas are provided for calculating the volume of prisms, pyramids, parallelepipeds, cylinders, cones, and converting between units of volume like cubic meters, liters and cubic centimeters.
Este documento contém resoluções de exercícios sobre esferas. Inclui cálculos de área e volume de esferas, expressões algébricas para área de fuso esférico e cunha, determinação de raio a partir de distância do plano ao centro e vice-versa.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
Este documento apresenta exercícios sobre probabilidade e estatística. Inclui definições da lei de Laplace para calcular a probabilidade de um acontecimento e apresenta vários exemplos numéricos para calcular probabilidades em diferentes cenários, como tirar bolas de uma caixa ou cartas de um baralho.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
Este documento resume 15 problemas resolvidos de física sobre dinâmica de fluidos extraídos do livro Resnick, Halliday, Krane - Física 2. Os problemas abordam tópicos como diferença de pressão em ventos fortes, força sobre janelas em edifícios, lei de Torricelli para jatos de fluidos e cálculo do volume de água que escoará por um cano.
Lista de exercícios 2 - 8° ANO - unidade iiRodrigo Borges
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de revisão sobre fatoração de polinômios e produtos notáveis do 8o ano. 2) A lista inclui exercícios de fatoração de polinômios, identificação de igualdades trigonométricas, resolução de equações e obtenção de produtos notáveis. 3) As questões variam em nível de dificuldade e abordam diferentes técnicas matemáticas relacionadas ao conteúdo.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre trigonometria que envolvem redução de ângulos ao primeiro quadrante, cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio e expressões trigonométricas.
2. Os exercícios abordam tópicos como medida de ângulos centrais correspondentes a arcos, cálculo de valores trigonométricos, redução de ângulos ao primeiro quadrante e cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio.
3. As questões variam entre
Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contáb...Luiz Carlos
Este documento apresenta a solução de vários exercícios de estatística propostos em um livro didático. As soluções envolvem cálculos de probabilidade, construção de árvores de decisão e determinação de funções de probabilidade para diferentes experimentos aleatórios.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
Este documento apresenta de forma animada a construção de um plano cartesiano e suas aplicações. Explica como é composto por dois eixos ortogonais, define pares ordenados e como localizar pontos. Apresenta como construir gráficos a partir de tabelas de dados e equações de 1o grau no plano cartesiano.
O documento apresenta a fórmula resolvente para resolver equações do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c = 0. A fórmula é x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. Exemplos mostram como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de equações do tipo proposto.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
Este documento describe las ventajas e inconvenientes de llevar un estilo de vida saludable. Las ventajas incluyen eliminar grasas, prevenir la obesidad, mejorar el desarrollo muscular, aumentar la capacidad vital y eliminar el estrés. Las desventajas son que no provee suficientes nutrientes y energía y que el hambre puede aumentar los niveles de hormonas del estrés.
Jorma Ollila, CEO of Nokia, aims to create a "Mobile Information Society" by connecting people anywhere without wires. He promotes a culture of risk-taking and learning from mistakes at Nokia. While Nokia faced challenges like falling stock prices in 2000, Ollila remains determined to achieve his vision of an "unwired world". He emphasizes the importance of empowering employees to speak their minds and take responsibility to drive the company forward.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados a momento angular. O problema 23 mostra que para dar uma tacada em uma bola de bilhar inicialmente em repouso de forma que ela adquira uma velocidade final de 9v0/7, a altura do taco deve ser h = 4R/5, onde R é o raio da bola.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
Este documento apresenta um plano de aula sobre círculos e circunferências para alunos do 8o ano. A aula inclui 15 atividades que abordam conceitos como raio, diâmetro, corda e centro, bem como exemplos práticos envolvendo rodas, anéis de Saturno e jogos olímpicos. O objetivo é que os alunos reconheçam esses elementos e saibam identificá-los.
GEOMETRIA ESPACIAL - POLIEDROS E CORPOS REDONDOS - PROF TARCÍSIO - www.profta...Tarcísio Filho
This document discusses geometric solids including polyhedra, prisms, pyramids, cylinders, cones, and their properties. It states Euler's formula for convex polyhedra that the number of vertices plus the number of faces equals the number of edges plus two. Formulas are provided for calculating the volume of prisms, pyramids, parallelepipeds, cylinders, cones, and converting between units of volume like cubic meters, liters and cubic centimeters.
Este documento contém resoluções de exercícios sobre esferas. Inclui cálculos de área e volume de esferas, expressões algébricas para área de fuso esférico e cunha, determinação de raio a partir de distância do plano ao centro e vice-versa.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
Este documento apresenta exercícios sobre probabilidade e estatística. Inclui definições da lei de Laplace para calcular a probabilidade de um acontecimento e apresenta vários exemplos numéricos para calcular probabilidades em diferentes cenários, como tirar bolas de uma caixa ou cartas de um baralho.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
Este documento resume 15 problemas resolvidos de física sobre dinâmica de fluidos extraídos do livro Resnick, Halliday, Krane - Física 2. Os problemas abordam tópicos como diferença de pressão em ventos fortes, força sobre janelas em edifícios, lei de Torricelli para jatos de fluidos e cálculo do volume de água que escoará por um cano.
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1) O documento apresenta uma lista de exercícios de revisão sobre fatoração de polinômios e produtos notáveis do 8o ano. 2) A lista inclui exercícios de fatoração de polinômios, identificação de igualdades trigonométricas, resolução de equações e obtenção de produtos notáveis. 3) As questões variam em nível de dificuldade e abordam diferentes técnicas matemáticas relacionadas ao conteúdo.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre trigonometria que envolvem redução de ângulos ao primeiro quadrante, cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio e expressões trigonométricas.
2. Os exercícios abordam tópicos como medida de ângulos centrais correspondentes a arcos, cálculo de valores trigonométricos, redução de ângulos ao primeiro quadrante e cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio.
3. As questões variam entre
Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contáb...Luiz Carlos
Este documento apresenta a solução de vários exercícios de estatística propostos em um livro didático. As soluções envolvem cálculos de probabilidade, construção de árvores de decisão e determinação de funções de probabilidade para diferentes experimentos aleatórios.
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Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
O documento discute a Teoria dos Grafos, incluindo: (1) O problema das sete pontes de Königsberg que inspirou Euler a desenvolver a teoria; (2) A definição formal de grafo e elementos básicos como vértices, arestas e graus; (3) O teorema de Euler sobre a existência de caminhos eulerianos.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
Este documento apresenta de forma animada a construção de um plano cartesiano e suas aplicações. Explica como é composto por dois eixos ortogonais, define pares ordenados e como localizar pontos. Apresenta como construir gráficos a partir de tabelas de dados e equações de 1o grau no plano cartesiano.
O documento apresenta a fórmula resolvente para resolver equações do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c = 0. A fórmula é x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. Exemplos mostram como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de equações do tipo proposto.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
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Jorma Ollila, CEO of Nokia, aims to create a "Mobile Information Society" by connecting people anywhere without wires. He promotes a culture of risk-taking and learning from mistakes at Nokia. While Nokia faced challenges like falling stock prices in 2000, Ollila remains determined to achieve his vision of an "unwired world". He emphasizes the importance of empowering employees to speak their minds and take responsibility to drive the company forward.
Este documento ofrece un tutorial sobre cómo usar Mecanet, un programa de diseño mecánico. Explica las principales funciones como crear piezas y ensamblajes, realizar análisis de elementos finitos y generar planos. Además, proporciona consejos sobre cómo aprovechar al máximo las capacidades del programa para diseñar productos mecánicos de manera eficiente.
HTML (Hypertext Markup Language) is the standard markup language used to create web pages. HTML uses tags to define elements like paragraphs, headings, links, images, and tables. Common tags include <p> for paragraphs, <h1> - <h6> for headings, <a> for links, <img> for images, and <table> for tables. HTML pages can also include styles, lists, forms, iframes and other elements. Well-formed HTML code ensures web pages display properly across different browsers.
This document discusses various networking protocols and technologies. It describes common network protocols like IP, TCP, UDP, FTP, and HTTP that define rules for communication between devices. It also explains protocols like DHCP that assign IP addresses and AppleTalk for Apple networks. The document outlines different internet connection types including dial-up, DSL, Wi-Fi, and defines the World Wide Web as a system of interconnected sites that allows sharing of text, images and other media through the internet. It provides brief descriptions of common internet tools for email, messaging, file transfer, cloud computing, telephony, video conferencing and online discussion forums.
El documento discute los temas recurrentes en las negociaciones de paz entre el gobierno colombiano y las FARC en La Habana, incluyendo el tema agrario y la distribución de tierras, así como el acuerdo sobre drogas ilícitas. Existen diferentes perspectivas sobre estos temas entre el gobierno, las FARC, y partidos políticos como el Centro Democrático. El documento también analiza las posiciones de varios líderes políticos sobre el plebiscito para ratificar el acuerdo final de paz.
You must know media in order to make the media work for you. The media can be an efficiency and effective tool for business growth and development. You can use the media to leverage your business.
The document summarizes a presentation about a study on using imitation of English oral texts to improve pronunciation. The study found that:
1) Students showed moderate improvement in pronunciation when reading texts aloud, based on evaluator scores.
2) Students were able to transfer some pronunciation improvements to free speech, but free speeches did not have more native-like suprasegmental features.
3) Students found the imitation practice to be very useful for improving pronunciation, based on survey responses.
However, the study had weaknesses like a small sample size and lack of a control group that limit conclusions about the effectiveness of the imitation method.
L5 assignment: How to integrate the modern 70 year-old into a connected society.Agustín Schelstraete
The document discusses how to integrate 70-year-olds into a connected society. It notes various limitations older adults face including visual, memory, motor, and hearing disabilities. It also notes that most older adults are unaware of new communication technologies and there is a gap between their engagement and new technologies. However, older adults want intuitive products, education on technologies, and to stay connected to doctors and relatives. To integrate older adults, the summary states that technologies need to be accessible, older adults need to be engaged and trained on technologies, and technologies need to be intuitive to translate traditional interactions online.
This document is a curriculum vitae for Dr. Cherrie-Ann Mattis, an ophthalmologist from Trinidad and Tobago. It details her educational background and medical training, including degrees from the University of the West Indies and internships in ophthalmology. It also lists her research experience, publications, and ongoing educational activities like courses and memberships in ophthalmology societies. References are provided from two experienced ophthalmologists.
This document discusses measuring data in bits and bytes. It explains that a bit is the smallest unit of data a computer can understand, representing a 1 or 0. Eight bits make up a byte, which can represent a single character. Computer memory and storage are usually measured in kilobytes, megabytes, gigabytes, and larger units. The document also provides conversions between decimal, binary, and hexadecimal numbering systems and units of data storage.
Influence of Mobile Money on Transactions in Africa; Focus East AfricaKelvin Kizito Kiyingi
The rapid growth of mobile money in East Africa is a phenomenon which has few precedents in the region’s financial and banking history and has far reaching implications on transactions. Four main areas of focus: The history and growth of Mobile Money; The financial sector; Business; and Influence on transactions
Communication monetary policy, especially under the Inflation Targeting Lite monetary policy framework, poses certain challenges. Bank of Uganda's experience is quite insightful..
Media interaktif berbasis komputer untuk materi luas permukaan dan volume tabung dan kerucut untuk siswa SMP kelas IX dikembangkan untuk memvisualisasikan konsep secara jelas dan menarik. Media ini divalidasi oleh ahli media, ahli materi, dan uji coba pada siswa, menunjukkan bahwa media ini valid dan layak digunakan karena mampu meningkatkan pemahaman siswa terhadap konsep-konsep matematika.
This short document promotes creating presentations using Haiku Deck, a tool for making slideshows. It encourages the reader to get started making their own Haiku Deck presentation and sharing it on SlideShare. In a single sentence, it pitches the idea of using Haiku Deck to easily create and publish online presentations.
La Fundación Forjando Futuros ayuda a campesinos víctimas del desplazamiento forzado en el proceso de restitución de tierras. El proyecto busca llegar a 7,500 víctimas en el área metropolitana de Medellín y Barcelona a través de atención psicosocial, denuncia e información sobre el conflicto armado colombiano durante 36 meses. La fundación ha presentado casos de restitución de tierras ante los jueces, pero el proceso ha sido lento y ha habido amenazas de paramilitares contra re
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
Este documento apresenta um resumo sobre seções cônicas. Ele define e discute as principais propriedades geométricas e algébricas da elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações canônicas. O documento também mostra como essas curvas podem ser obtidas através da interseção de um cone com um plano e caracteriza-as em termos de distâncias fixas em relação a focos e diretrizes.
1) O documento discute identificação de curvas do segundo grau no plano, incluindo elipses, hipérboles e parábolas. 2) Fornece as definições geométricas dessas curvas e deriva suas equações algébricas canônicas por meio de mudanças de coordenadas. 3) Explica como os coeficientes nas equações se relacionam com características geométricas como focos, vértices e assíntotas.
Este documento fornece informações sobre geometria analítica, incluindo definições e equações de circunferências, elipses, hipérboles e parábolas. É apresentado o graduado em Matemática e Ciências Naturais da UFBA e seus endereços online.
1) O documento apresenta informações sobre um professor de matemática e biologia do ensino médio, incluindo sua formação acadêmica e sites sobre ensino de matemática. 2) Em seguida, explica conceitos geométricos como circunferência, elipse, hipérbole e parábola, incluindo suas equações e elementos. 3) Fornece detalhes sobre como determinar a posição de pontos e retas em relação a circunferências.
1) Uma elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante. 2) A equação de uma elipse geral é (x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1, onde (h,k) é o centro e 2a e 2b são os comprimentos dos eixos maior e menor. 3) As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elipses, com o Sol localizado em um dos focos.
O documento descreve as propriedades geométricas e algébricas da hipérbole, incluindo sua definição como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante. Detalha como obter a equação da hipérbole colocando os focos no eixo x e determinar as coordenadas dos vértices e assíntotas. Apresenta exemplos resolvidos de encontrar focos, vértices e assíntotas dadas equações de hipérboles.
O documento descreve as propriedades e equações das parábolas. Uma parábola é definida como o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma reta (diretriz). A equação geral de uma parábola é dada em termos de seu vértice, foco e diretriz. Exemplos e exercícios ilustram como encontrar estas características e traçar parábolas a partir de suas equações.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
O documento descreve três figuras geométricas:
1) Uma elipse é definida como o lugar onde a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante;
2) Uma parábola é o lugar onde os pontos estão equidistantes de uma reta e um ponto fora da reta;
3) Uma hipérbole é a interseção de um cone circular com um plano que corta ambos os lados do cone.
1) Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.
2) Uma elipse possui dois eixos, maior e menor, e centro localizado no ponto médio entre os focos.
3) O documento apresenta a dedução da equação de uma elipse quando seu eixo maior é paralelo aos eixos coordenados ou quando seu centro está deslocado da origem.
O documento descreve as características de três curvas cônicas: elipse, hipérbole e parábola. A elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. A hipérbole é definida como o conjunto de pontos cuja diferença das distâncias aos focos é constante. A parábola é obtida ao seccionar um cone circular reto obliquamente.
1) Quando um plano intersecta uma superfície cônica, forma uma seção cônica que pode ser uma elipse, hipérbole ou parábola dependendo do ângulo entre o plano e a base do cone.
2) As elipses, hipérboles e parábolas são definidas em termos dos elementos focais e da soma ou diferença das distâncias de um ponto a esses focos.
3) São apresentadas as equações reduzidas de cada uma dessas curvas cônicas em função dos seus elementos principais.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exercícios sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Inclui definições dessas curvas, equações reduzidas e como encontrar seus elementos como focos e vértices. Há também exercícios para construir essas curvas geometricamente e identificar seus focos a partir dos gráficos.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exercícios sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Inclui definições dessas curvas, equações reduzidas e focos. Há exercícios para encontrar equações de curvas passando por pontos dados e interseções entre elipses e hipérboles, além de identificar focos a partir de equações e desenhos de curvas.
Trabalhando cônicas com a o geogebra (professor edson delerre)Delerre
Este documento apresenta exemplos de exercícios para trabalhar cônicas com alunos do ensino médio, incluindo a definição e equações de elipses, hipérboles e parábolas, juntamente com exercícios para encontrar suas equações e focos e fazer seus desenhos.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
Este documento fornece uma breve revisão sobre elipses, definindo-as como o lugar geométrico cuja soma das distâncias de um ponto até dois focos fixos é constante. Explica os elementos básicos de uma elipse, como focos, eixos, vértices e excentricidade. Também mostra como obter a equação reduzida de uma elipse a partir de sua definição.
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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1. CÔNICAS
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas
obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso,
são conhecidas pelo nome de cônicas.
PARÁBOLA
Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes
de uma reta dada d e de um ponto dado F, F ∉ d, do plano.
O ponto F chama-se foco e a reta d chama-se diretriz da parábola. A distância entre F e d,
que vamos representar por 2p, chama-se parâmetro da parábola.
O ponto V da parábola, tal que dVF = p, é o vértice e a reta VF é denominada eixo da
parábola (é o eixo de simetria).
A propriedade característica dos pontos P da curva é:
Equação da parábola
Vamos obter a equação da parábola de foco F(x0, y0 + p) e diretriz (d)y – (y0 – p) = 0.
Observe que o vértice é V(x0, y0) e a parábola tem “concavidade para cima”. Apliquemos a
P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
2. dP, d = dPF
= (y – y0 + p)2 = (x – x0)2 + (y – y0 – p)2
(y - y0)2 + 2p(y – y0) + p2 = x2 – 2x0x + x02 + (y – y0)2 – 2p(y – y0) + p2
4py – 4py0 = x2 – 2x0x + x02
que podemos colocar na forma:
y = x2 + x +
ou ainda
onde a = (portanto a > 0), b = e c =
Observações:
1) Quando a parábola tem “concavidade para baixo” também obtemos equação da
forma y = ax2 + bx + c, mas com a < 0.
2) Toda equação da forma y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem como gráfico uma
parábola de concavidade para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). As
coordenadas do vértice são dadas por xV = e yV = .
3) No caso de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x, obtemos uma
equação da forma com a ≠ 0. Neste caso, as coordenadas do vértice são y V = e xV
=.
3. 4) Para obter a equação de uma parábola da qual conhecemos o foco F e a diretriz d
empregamos o método dos lugares geométricos: aplicamos a um ponto genérico
P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola (dP, d = dPF).
5) Quando o eixo da parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a
equação é “mais complicada”, mas também se enquadra na forma geral da equação
do 2.º grau a duas incógnitas: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A parábola é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma
reta geratriz do cone.
Figura: Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo:
Obter a equação da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0.
Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
4. dP, d = dPF
=
=
y2 – 2y + 1 = x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9
4y = x2 – 4x + 12
A equação é y = x2 – x + 3 (a = , b = –1 e c = 3).
ELIPSE
Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das
distâncias a dois pontos dados, F1 e F2, do plano, é igual a uma constante 2a, maior que a
distância F1F2.
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles, que vamos representar por 2c,
é a distância focal da elipse.
dF1F2 = 2c (distância focal)
O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro.
5. A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A1 e A2 tais que
a distância entre eles é 2a. O seguimento A1A2 é chamado eixo maior da elipse.
dA1A2 = 2a (eixo maior)
A reta perpendicular F1F2, pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a
elipse nos pontos B1 e B2. O segmento B1B2 é chamado eixo menor da elipse e vamos
representar sua medida por 2b.
dB1B2 = 2b (eixo menor)
Do triângulo retângulo OF2B2 decorre que:
Chamamos excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo
maior. Decorre que:
A propriedade característica dos pontos P da curva é
Equação da elipse
Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os
focos no eixo das abscissas. Notemos que:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)
A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)
B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)
Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da elipse:
dPF1 + dPF2 = 2a
6. + = 2a
= (2a – )2
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a + x2 – 2cx + c2 + y2
4a = 4a2 – 4cx
(a )2 = (a2 – cx)2
a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 – a2c2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
Como a2 – c2 = b2, vem que
b2x2 + a2y2 = a2b2
e dividindo por (a2b2) fica
que é a chamada equação reduzida da elipse.
Observações
1) Para y = 0, na equação acima, obtemos x2 = a2; logo x = ±a, que são as abscissas dos
pontos onde a curva corta o eixo x.
Para x = 0 obtemos y2 = b2; logo, y = ±b, que são as ordenadas dos pontos de
intersecção com o eixo y.
2) No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação
7. 3) Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de
simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”,
porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na
forma geral
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu
eixo.
Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo
Obter a equação da elipse de focos F1(–3, 0) e F2(3, 0) e eixo maior 2a = 10.
Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F1F2, é a origem
O(0, 0). Então, a equação é
8. Temos a = 5 e c = = 3
Da relação a2 = b2 + c2 vem b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16
Logo, a equação é , ou ainda, 16x2 + 25y2 = 400
HIPÉRBOLE
Denominamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos de uma plano pra os quais a
diferença das distâncias a dois pontos dados, F1 e F2, do plano é em valor absoluto
igual a uma constante 2a, menor que a distância F1F2.
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e dF1F2 = 2c é a distância focal.
O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro.
A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva. Ela intercepta a hipérbole nos pontos A 1 e A2. O
segmento A1A2 é chamado eixo real (ou eixo transverso) e sua medida é
dA1A2 = 2a.
9. A reta perpendicular a F1F2 pelo centro O é outro eixo de simetria da hipérbole. Nela
indicamos os pontos B1e B2 que distam c unidades dos pontos A1 e A2. O segmento B1B2 é
chamado eixo conjugado (ou eixo imaginário) e indicamos sua medida por 2b.
Do triângulo retângulo indicado na figura decorre que:
A excentricidade é o número e definido por:
A propriedade característica dos pontos P da curva é:
Na figura indicamos também um retângulo de centro 0, um lado de medida 2a paralelo ao
eixo real e outro lado da medida 2b. As retas que contêm as diagonais desse
retângulosão as assíntotas da hipérbole. (Quando prolongamos a curva, ela se
aproxima cada vez mais das assíntotas, sem nelas tocar). Quando este retângulo tem
os lados iguais, isto é, quando a = b, dizemos que a hipérbole é equilátera. Uma
hipérbole equilátera tem excentricidade e = .
Equação da hipérbole
Vamos obter a equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e
os focos situados no eixo das abscissas. Notemos que:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)
A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)
Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da hipérbole:
– = ±2a
= (±2a + )2
10. x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 ± 4a + x2 – 2cx + c2 + y2
±4a = 4a2 – 4cx
(±a )2 = (a2 – cx)2
a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 – a2c2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
Como a2 – c2 = –b2, vem que –b2x2 + a2y2 = –a2b2
e dividindo por (–a2b2) fica
que é a chamada equação reduzida da hipérbole.
Observações
1) Para y = 0, na equação acima, obtemos x 2 = a2; logo, x = ±a, que são abscissas dos
pontos de intersecção da hipérbole com o eixo x. Não existe ponto de intersecção
com o eixo y.
2) No caso da hipérbole de centro O(0, 0) e focos no eixo y obtemos a equação
3) Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não
paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma
equação do 2o grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey +
F = 0.
A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu
eixo.
11. Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo:
Obter a equação da hipérbole de focos F1(–4, 0) e F2(4, 0) e eixo real 2a = 4.
Notemos que os focos estão no eixo x e o centro, que é o ponto médio de F 1F2, é O(0, 0).
Então, a equação é
Temos a = 2 e c = = 4
Da relação c2 = a2 + b2 vem que b2 = c2 – a2 = 42 – 22 = 12
A equação é , portanto, , ou ainda, 3x2 – y2 = 12
12. CÔNICAS NO PLANO
Definição: Uma cônica em R2 é um conjunto de pontos cujas coordenads em relação à base
canônica satisfazem a equação:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
onde A ou B ou C ≠ 0.
Observe que a equação da cônica envolve uma forma quadrática, Q(x,y) = Ax 2 + Bxy +
Cy2, uma forma linear, L(x,y) = Dx + Ey, e um termo constante F. Isto é, a equação que
define a cônica é:
Exemplos
Circunferência
A=C=1
B=D=E=0
F = -r2
Elipse
A= ,C= ;a>0,b>0
B=D=E=0
F = –1
Hipérbole
A= ,C= ;a>0,b>0
B=D=E=0
F = –1
13. Parábola
Temos ainda os casos chamados degenerados
Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)
Par de retas paralelas (parábola degenerada)
Uma reta (parábola degenerada)
14. Um ponto (elipse degenerada)
Vazio (elipse ou parábola degenerada)
As equações das cônicas aquí representadas estão na “forma reduzida”, isto é, B = 0, se A ≠
0, D = 0 e se C ≠ 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial
conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima.
As cônicas aquí, estão definidas algébricamente.
Exemplo 1:
2x2 – 5y2 –7 = 0
2x2 – 5y2 = 7
, que é uma hipérbole
Exemplo 2:
x2 + y2 – 6x – 2y + 8 = 0
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 2
x12 + y12 = 2
onde
x1 = x – 3 e
y1 = y – 1
15. circunferência de raio e centro(3, 1).
Exemplo 3:
Dada a equação na base canônica α em R2:
2x2 + 2y2 + 4xy + 4x + 12y – 8 = 0
nosso objetivo, mais uma vez, será determinar que figura esta cônica representa no plano.
Para isto, precisamos inicialmente eliminar os termos mistos, do tipo xy, através da
diagonalização da forma quadrática.
1º. Passo: Escrevendo a equação anterior na forma matricial, temos:
[x y] + [4 12] – 8 = 0
2º. Passo: Vamos calcular os autovalores e os autovetores ortonormais da matriz .
P(λ) = = (2 – λ)2 – 4 = –4λ + λ2
Então os autovalores são 0 e 4.
Para λ1 = 0, = , e v1 =
Para λ2 = 4, = , donde v2 =
Sabemos que nesta nova base de autovetores β = {v1, v2}, a forma quadrática
Q(v) = [x y] onde [v]α =
se reduz a
Q(v) = [x1 y1] se [v]β =
16. 3º. Passo: Agora precisamos determinar a relação que existe entre e e substituir o resultado
na parte linear da equação dada.
L(v) = [4 12]
Mas, = [ I ]
Logo =
4º. Passo: A equação original se reduz a
[x1 y1] + [4 12] – 8 = 0
0x12 + 4y12 + 4 + 12 – 8 = 0
4y12 – 4x1 + 4y1 + 12x1 + 12y1 – 8 = 0
4y12 + 8x1 + 16y1 – 8 = 0
y12 + 2x1 + 4y1 – 2 = 0
Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial formado pelas retas
suporte de v1 e v2, como mostra a figura.
Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica. Ela
será dada por uma translação do referencial acima.
5º. Passo: Para “eliminar” os termos lineares onde isto é possível (λ ≠ 0), agrupamos os
termos de y12 + 2x1 + 4y1 –2 = 0 convenientemente.
(y12 + 4y1 + 4) – 4 + 2x1 – 2 = 0
(y1 + 2)2 + 2(x1 – 3) = 0
17. Tornando x2 = x1 – 3 e y2 = y1 + 2, obtemos y22 + 2x2 – 6 = 0 ou finalmente
x2 = – y22
Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R3, obtido
por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola, conforme
indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R3 será x2 = 0 e y2 = 0, isto é, x1 –
3 = 0 e y1 + 2 = 0.
Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas, estabelecendo
em detalhes o que deve ser feito em cada passo.
Procedimento Geral de Classificação das Cônicas:
Dada a equação (em coordenadas canônicas de R2)
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (A ou B ou C ≠ 0), para achar que figura ela
representa no plano, devemos proceder do seguinte modo:
1º. Passo: Escrevemos a equação na forma matricial:
[x y] + [D E] + F = 0
2º. Passo: Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto,
precisamos encontrar os autovalores λ1 e λ2 e os autovetores ortonormais v1 e v2 de
3º. Passo: Obtemos as novas coordenadas. Para isto, precisamos para substituir na equação
de = [ I ]
18. 4º. Passo: Substituimos as novas coordenadas na equação, obtendo a equação na nova base
{v1, v2}
[x1 y1] + [D E] [ I ] + F = 0
ou seja, λ1x12 + λ2y12 + ax1 + by1 + F = 0
5º. Passo: Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos.
Temos então três casos:
i)
λ1 e λ2 ≠ 0
λ1x12 + ax1 + λ2y12 + by1 + F = 0
λ1 – + λ + λ2 – + F = 0
Seja x2 = x1 + e y2 = y1 + , temos então λ1x22 + λ2x22 + f = 0
(que é uma das equações típicas) onde
f=F––
ii)
λ1 ≠ 0 e λ1 = 0
λ1x12 + ax1 + by1 + F = 0
λ1 + by1 + F = 0
Tornando x2 = x1 + e y2 = y1, temos
λ1x22 + by2 + f = 0
(que é uma das equações típicas) onde
f=F–
iii)
λ1 = 0 e λ2 ≠ 0 (similar ao anterior)
Como vimos, este procedimento permite-nos, através de uma mudança de
referencial, colocar qualquer cônica na forma de uma das equações típicas. Neste
processo classificamos a cônica, damos suas dimensões e posições no plano.
Muitas vezes, no entanto, estaremos interessados apenas em classificar a cônica dada por
uma equação Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, sem determinar suas dimensões e
19. localização. Visando solucionar este problema de uma forma mais rápida, vamos discutir as
possibilidades que temos em função dos sinais doas autovalores associados à forma
quadrática.
Consideremos, portanto, os autovalores λ1 e λ2 de . Como já vimos, obteremos depois da
eliminação do termo misto uma equação da forma
(*) λ1x12 + λ2y12 + ax1 + by1 + F = 0
(I)
Vamos analisar inicialmente a situação em que λ1 ≠ 0 e λ2 ≠ 0. Neste caso, através
de uma translação que é feita no 5º. Passo, obtemos
λ1x22 + λy22 + f = 0
Note que se:
i)
ii)
iii)
(II)
λ1 e λ2 forem ambos positivos, teremos f < 0 uma elipse; para f = 0 teremos um
ponto (x2 = y2 = 0) e para f > 0 teremos o conjunto vazio.
Se λ1 e λ2 forem ambons negativos, também teremos uma elipse, um ponto ou
vazio, conforme f seja positivo, nulo ou negativo.
Se λ1 e λ2 tiverem sinais opostos, poderemos ter uma hipérbole, quando f ≠ 0, ou um
par de retas concorrentes se f = 0.
Consideremos agora a situação em que λ1 = 0 (e, portanto λ2 ≠ 0). Como vimos,
partindo da equação (*), chegamos a sua equação.
λ2y22 + ax2 + f = 0
Note que:
i)
ii)
se a ≠ 0, teremos uma parábola.
Se a = 0, poderemos ter um par de retas paralelas, uma reta ou o vazio.
(III)
O caso em que λ2 = 0 é discutido de maneira análoga ao (II).
Podemos resumir os resultados até aquí obtidos no seguinte teorema:
Teorema: Dada uma cônica definida pela equação (*) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Seja λ1 e λ2 os autovalores associados à sua forma quadrática; então:
i)
Se λ1 . λ2 > 0 esta equação representa uma elipse, ou suas degenerações (um ponto
ou o vazio)
ii)
Se λ1 . λ2 < 0 esta equação representa uma hipérbole ou sua degeneração (par de
retas concorrentes).
iii)
Se λ1 . λ2 = 0 esta equação representa uma parábola ou suas degenerações (par de
retas paralelas, uma reta ou o vazio).
20. Podemos afirmar que o determinante associado à forma quadrática
é igual ao produto de seus autovalores λ1 . λ2. Assim o sinal de λ1 . λ2 é o mesmo
de , que por sua vez tem o mesmo sinal de – (B 2 – 4AC). Podemos assim reescrever
o teorema anterior em função do “discriminante”
B2 – 4AC.
Teorema: Dada a equação: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, esta equação no plano
representará:
i)
ii)
iii)
uma elipse ou suas degenerações, se B2 – 4AC < 0
uma parábola ou suas degenerações, se B2 – 4AC = 0
uma hipérbole, se B2 – 4AC > 0
QUÁDRICAS EM R3
Definição: Uma quádrica em R3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à
base canônica satisfazem a equação:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
com A ou B ou C ou D ou E ou F ≠ 0.
Exemplos
Elipsóide
Hiperbolóide de uma folha
22. Parabolóide hiperbólico
Cone quadrático
Cilindro
Se nenhum termo com z aparece na equação da quádrica, temos o cilindro. O cilindro
“padrão” é formado por retas ortogonais ao plano z = 0 que passam por uma cônica neste
plano. Por exemplo:
a) Cilindro elíptico
23. b) Cilindro hiperbólico
c) Cilindro parabólico
A equação que define a quádrica pode representar o conjunto vazio (x 2 = –1) , um ponto (x2
+ y2 + z2 = 0), uma reta (x2 + y2 = 0), um plano (z2 = 0), dois planos paralelos (z2 = 1) ou
24. dois planos que se inteceptam (xy = 0). Estes casos são denominados degenerados. Quando
nos é dada uma equação do 2º. Grau em x, y, z, e precisamos saber que figura ela
representa em R3 (classificar a quádrica) procedemos de modo análogo à situação em R 2,
reduzindo a equação e interpretando-a no final.
Exemplo:
Para classificar a quádrica
–x2 + 2yz + z – y = 100
escrevemos a equação acima na forma matricial, obtendo:
[x y z] + [0 –1 1] = 100
Calculando os autovalores e os autovetores já normalizados da matriz
obtemos:
para λ1 = –1; v1 = (1, 0, 0) e v2 = e
para λ2 = 1; v3 =
Temos ainda
=[I]
onde
[I] =
Então a equação da quádrica em relação ao referencial dado pelos autovetores será:
[x1 y1 z1] + [0 –1 1]
= 100
Isto é,
x12 – y12 + z12 – y1 = 100
Faremos agora uma nova mudança de coordenadas para eliminar os termos lineares onde
isto é possível.
Z12 = x12 – + – 100 = 0
25. Seja x2 = x1, y2 = y1 + e z2 = z1; assim, temos a seguinte equação:
– – + =1
que representa a quádrica em relação ao referencial obtido por translação a partir daquele
dos autovetores, cuja origem é dada por x2 = 0, y2 = 0 e z2 = 0. Então
x1 = 0, y1 + = 0 e z1 = 0
Comparando a equação obtida com as equações das quadráticas vemos que esta quádrica é
um hiperbolóide de duas folhas.
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas
desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia,
na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o
interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
26. Suponhamos que temos uma lanterna
direcionada para uma parede, então o feixe de
luz emitido desenhará nessa parede uma curva
cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz
emitido pela lanterna forma um cone, e também
porque a parede funciona como um plano que
corta o cone formado. Dependendo da
inclinação da lanterna relativamente à parede,
assim se obtém uma circunferência, uma elipse,
uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma
circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem
candeiros, lanternas, etc...
O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao
chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do
avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria
usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a
velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de
um copo é elíptica, sendo circular apenas no
caso em que o copo está direito, isto é, está
alinhado com o nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um
movimento rotativo sobre si próprio,
a superfície do líquido nele inserido
será a de um paraboloide. Esta
técnica é frequentemente usada para
se obter este tipo de superficie.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema
solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num
dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o
espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os
objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas.
Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os
quais ao passarem perto de algum planeta com grande
densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com
um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso
27. de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é
igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula.
Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são
parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajectórias são
elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as
trajetórias eliptícas e as parabólicas são quase indiscerniveis, pelo que, pode-se facilmente
verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja a abertura
está inclinada para cima. A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso
deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos eletrons em torno
do núcleo são elípticas.
Fazendo uso da propriedade reflectora da parábola, Arquimedes construiu espelhos
parabólicos, os quais por reflectirem a luz solar para um só ponto, foram usados para
incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a
concentração de energia gera calor.
De faco, as propriedades reflectoras das cônicas, e não
somente as da parábola, tem contribuido para a construção
de telescópios, antenas, radares, farois, ópticas dos carros,
lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados
também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta
propriedade está intimamente ligada à propriedade
reflectora, pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só
para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a
propriedade refratora das cônicas, mencionamos os
seguintes: os oculos graduados, as lupas e os microscópios.
A partir da propriedade reflectora das parábolas, os
engenheiros civis construiram pontes de suspensão
parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o
tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente
verificamos que o cabo principal, aquele que passa
pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião
britanico spitfire, usado com grande sucesso na
I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao
fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuia a
resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.
28. O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge Navigation),
faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na
diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de
radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construido apresenta
curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos
japoneses.
Bibliografia:
-
Matemática temas e metas vol. 5 – Geometria Analítica e Polinômios
Antonio dos Santos Machado
Atual Editora
-
Algebra linear 3ª edição
Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler
Ed. HABRA
-
UFMG – Departamento de matemática
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
-
Universidade de Coimbra – Departamento de matemática
http://www.mat.uc.pt/~ed9702/conicas/