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Identifica¸c˜ao de Cˆonicas
Uma equa¸c˜ao do segundo grau
ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey + f = 0
define de maneira impl´ıcita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equa¸c˜ao.
Por exemplo, o conjunto dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equa¸c˜ao
5x2
− 6xy + 5y2
− 30
√
2x + 18
√
2y + 82 = 0
´e uma elipse. O gr´afico desta elipse ´e
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
y
3 3.5 4 4.5 5 5.5x
Figura 1: Elipse de equa¸c˜ao 5x2
− 6xy + 5y2
− 30
√
2x + 18
√
2y + 82 = 0.
Nem sempre uma equa¸c˜ao do segundo grau representa uma curva suave. Por exemplo, embora a equa¸c˜ao
x2
+ y2
= 1 represente o c´ırculo com centro na origem e raio 1, a equa¸c˜ao x2
+ y2
= 0 representa apenas um
ponto (a origem (0, 0)), a equa¸c˜ao x2
+ y2
= −1 n˜ao representa nada (pois n˜ao existe nenhum ponto (x, y)
que satisfa¸ca esta equa¸c˜ao; outra maneira de dizer isso ´e que ela representa o conjunto vazio), e a equa¸c˜ao
x2
− y2
= 0 representa duas retas que se interceptam na origem (as retas de equa¸c˜oes y = x e y = −x).
Por outro lado, os tipos de curvas no plano que uma equa¸c˜ao do segundo grau pode representar s˜ao em
n´umero limitado. Dependendo dos valores dos coeficientes a, b, c, d, e, f a curva poder´a ser um c´ırculo, uma
elipse, uma hip´erbole, uma par´abola ou um caso degenerado, que pode ser o conjunto vazio, um ponto ou
um par de retas. N˜ao h´a outras possibilidades.
Desenvolveremos um m´etodo alg´ebrico para identificar a curva representada pela equa¸c˜ao, sem precisar
tra¸car o seu gr´afico. Para isso, realizaremos uma s´erie de mudan¸cas de coordenadas at´e que a curva esteja
colocada na melhor posi¸c˜ao poss´ıvel, ou seja, onde a sua equa¸c˜ao ´e simples e de f´acil identifica¸c˜ao.
A primeira coisa a fazer ´e saber quais s˜ao as equa¸c˜oes das curvas quando elas j´a se encontram na melhor
posi¸c˜ao poss´ıvel.
1
Elipse
Defini¸c˜ao. Uma elipse ´e o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distˆancias de P a dois
pontos fixos (chamados focos) ´e constante.
dist(P, F1) + dist(P, F2) = constante.
Figura 2: Elipse e seus focos.
Equa¸c˜ao da Elipse: O sistema de coordenadas que escolhemos, a fim de que a equa¸c˜ao da elipse assuma a
forma mais simples poss´ıvel ´e o seguinte: os eixos coordenados s˜ao escolhidos de maneira que os focos F1, F2
da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente; em outras palavras, os focos est˜ao situados
no eixo x, ocupando posi¸c˜oes sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem. Deste modo, a distˆancia entre os focos ´e
dist(F1, F2) = 2c. A constante que d´a a soma das distˆancias de um ponto da elipse aos focos ´e escolhida
como sendo 2a. Note que necessariamente a > c, pois o comprimento do lado de um triˆangulo ´e sempre
menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados (veja a Figura 3).
Figura 3: dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a < 2c.
Portanto, a equa¸c˜ao da elipse neste sistema de coordenadas ´e
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a,
2
ou
(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a.
Vamos eliminar os radicais para obter uma express˜ao mais simples. Observe que simplesmente elevar ambos
os lados desta equa¸c˜ao ao quadrado n˜ao ´e a melhor maneira de proceder; ao contr´ario, fazendo isso criaremos
um novo radical cujo radicando ´e um polinˆomio do quarto grau. Temos que eliminar os radicais um por
um, isolando cada um em um lado da equa¸c˜ao e elevando a equa¸c˜ao ao quadrado para elimin´a-lo. Mais
precisamente, isolamos o primeiro radical no lado esquerdo da equa¸c˜ao, escrevendo
(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2.
Em seguida, elevamos ambos os lados da equa¸c˜ao ao quadrado, obtendo
(x + c)2
+ y2
= 4a2
− 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2
+ y2
∴
x2
+ 2cx + c2
+ y2
= 4a2
− 4a (x − c)2 + y2 + x2
− 2cx + c2
+ y2
∴
4cx = 4a2
− 4a (x − c)2 + y2,
e conseguimos assim eliminar um dos radicais. Isolando o radical que sobrou novamente no lado esquerdo
da equa¸c˜ao, temos
a (x − c)2 + y2 = a2
− cx,
e elevando ambos os lados da equa¸c˜ao ao quadrado, obtemos finalmente
a2
[(x − c)2
+ y2
] = a4
− 2a2
cx + c2
x2
∴
a2
x2
− 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
= a4
− 2a2
cx + c2
x2
∴
(a2
− c2
)x2
+ a2
y2
= a2
(a2
− c2
).
Matematicamente n˜ao h´a como simplificar mais esta ´ultima equa¸c˜ao, mas visualmente h´a. Chamando
b =
√
a2 − c2 (como a > c, esta defini¸c˜ao faz sentido porque a2
−c2
> 0) e dividindo a ´ultima equa¸c˜ao obtida
por a2
b2
= a2
(a2
− c2
), obtemos a equa¸c˜ao para a elipse neste sistema de coordenadas privilegiado
x2
a2
+
y2
b2
= 1. (1)
Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, encontramos y = ±b. Isso d´a uma interpreta¸c˜ao
geom´etrica para os n´umeros a e b: a ´e o comprimento do semieixo maior da elipse, enquanto que b ´e
o comprimento do semieixo menor da elipse. Os pontos (−a, 0), (a, 0), (0, b) e (0, −b) s˜ao chamados os
v´ertices da elipse.
3
Outro sistema de coordenadas em que a equa¸c˜ao da elipse assume uma forma simples ´e quando os seus
focos est˜ao localizados no eixo y; neste sistema de coordenadas, a equa¸c˜ao da elipse passa a ser
x2
b2
+
y2
a2
= 1.
Exemplo. Determine os focos da elipse
x2
16
+
y2
25
= 1.
Solu¸c˜ao: Como 25, que ´e maior que 16, est´a localizado sob y2
, conclu´ımos que os focos est˜ao localizados
no eixo y. Temos c =
√
25 − 16 =
√
9 = 3, logo os focos desta elipse s˜ao F1 = (0, −3) e F2 = (0, 3). Observe
que o semieixo maior desta elipse, localizado no eixo y, tem comprimento 5, enquanto que o semieixo menor,
localizado no eixo x, tem comprimento 4.
–4
–2
2
4
–4 –2 2 4
Figura 4: Elipse
x2
16
+
y2
25
= 1.
Hip´erbole
Defini¸c˜ao. Uma hip´erbole ´e o conjunto dos pontos P do plano tais que o m´odulo da diferen¸ca entre as
distˆancias de P a dois pontos fixos (chamados focos) ´e constante.
|dist(P, F1) − dist(P, F2)| = constante.
Equa¸c˜ao da Hip´erbole: Como no caso da elipse, escolha eixos coordenados tais que os focos F1, F2
da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente, de modo que a distˆancia entre os focos ´e
dist(F1, F2) = 2c, e a constante do m´odulo da diferen¸ca entre as distˆancias de um ponto da hip´erbole aos
focos ´e igual a 2a. Observe que no caso da hip´erbole, desta vez temos a < c, pois o comprimento do lado de
um triˆangulo ´e sempre maior que a diferen¸ca entre os comprimentos dos outros dois lados.
A equa¸c˜ao da hip´erbole neste sistema de coordenadas ´e
|dist(P, F1) − dist(P, F2)| = 2a,
ou
(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a.
4
Figura 5: Hip´erbole e seus Focos
Para simplificar esta equa¸c˜ao, procedemos da mesma maneira que no caso da elipse. Escrevendo
(x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2,
elevamos ambos os lados desta express˜ao ao quadrado, obtendo
(x + c)2
+ y2
= 4a2
± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2
+ y2
∴
x2
+ 2cx + c2
+ y2
= 4a2
± 4a (x − c)2 + y2 + x2
− 2cx + c2
+ y2
∴
4cx = 4a2
± 4a (x − c)2 + y2
donde
±a (x − c)2 + y2 = a2
− cx.
Novamente elevamos ambos os lados desta express˜ao ao quadrado, obtendo
a2
[(x − c)2
+ y2
] = a4
− 2a2
cx + c2
x2
∴
a2
x2
− 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
= a4
− 2a2
cx + c2
x2
∴
(a2
− c2
)x2
+ a2
y2
= a2
(a2
− c2
).
Chamando b =
√
c2 − a2 (como a > c, esta defini¸c˜ao faz sentido porque c2
− a2
> 0) e dividindo a ´ultima
equa¸c˜ao obtida por −a2
b2
= a2
(a2
− c2
), obtemos a seguinte equa¸c˜ao para a hip´erbole
x2
a2
−
y2
b2
= 1. (2)
Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, n˜ao h´a solu¸c˜ao y. Portanto, a hip´erbole com focos no
eixo x n˜ao intercepta o eixo y. Os pontos (−a, 0) e (a, 0) s˜ao chamados os v´ertices da hip´erbole.
Existe apenas um par de retas no plano que n˜ao intercepta a hip´erbole, mas tal que existem pontos da
hip´erbole arbitrariamente pr´oximos a pontos destas retas. Estas duas retas s˜ao chamadas as ass´ıntotas da
hip´erbole. Quando a hip´erbole est´a na posi¸c˜ao privilegiada considerada acima, as ass´ıntotas s˜ao as retas
x2
a2
−
y2
b2
= 0,
5
isto ´e,
y = ±
b
a
x.
De fato, por exemplo, a distˆancia entre um ponto x, b
x2
a2
− 1 da hip´erbole situado na parte superior do
ramo direito e um ponto da reta y =
b
a
x situado exatamente acima deste ponto tende a 0 quando x → ∞,
como pode ser visto atrav´es do c´alculo do limite (use a regra de L’Hˆopital)
lim
x→∞
b
x2
a2
− 1 −
b
a
x =
b
a
lim
x→∞
x2 − a2 − x = 0.
–4
–2
2
4
–4 –2 2 4
Se os focos da hip´erbole est˜ao localizados no eixo y, ent˜ao a equa¸c˜ao da hip´erbole passa a ser
y2
a2
−
x2
b2
= 1
e ela n˜ao intecepta o eixo x.
Par´abola
Defini¸c˜ao. Uma par´abola ´e o conjunto dos pontos P do plano eq¨uidistantes de uma reta (chamada reta
diretriz) e de um ponto n˜ao pertencente a esta reta (chamado foco).
dist(P, F) = dist(P, r).
Equa¸c˜ao da Par´abola: Escolha os eixos coordenados de maneira que o foco F da par´abola tenha coor-
denadas (0, p) e a reta diretriz seja a reta r : y = −p; em outras palavras, o foco da par´abola est´a situado
no eixo y, acima da origem, a diretriz ´e paralela ao eixo x e eles s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `a origem. Neste
sistema de coordenadas, a equa¸c˜ao da par´abola ´e
x2 + (y − p)2 = |y + p| .
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
x2
+ y2
− 2py + p2
= y2
+ 2py + p2
,
6
–2
–1
0
1
2
–3 –2 –1 1 2 3x
Figura 6: Par´abola com Foco e Reta Diretriz
donde
x2
= 4py. (3)
Esta ´e uma par´abola com v´ertice na origem (0, 0) e concavidade para cima. Outras equa¸c˜oes simples para
a par´abola s˜ao
x2
= −4py
para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para baixo,
y2
= 4px
para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para a direita,
y2
= −4px
para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para a esquerda. Veja as figuras a seguir.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–2 –1 1 2
Figura 7: Par´abola x2
= 4py
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
–2 –1 1 2
Figura 8: Par´abola x2
= −4py
7
–2
–1
0
1
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 9: Par´abola y2
= 4px
–2
–1
0
1
2
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2
Figura 10: Par´abola y2
= −4px
Identifica¸c˜ao de Cˆonicas
Veremos agora que as curvas no plano representadas por uma equa¸c˜ao do segundo grau podem ser comple-
tamente classificadas. Ou seja, dada uma equa¸c˜ao do segundo grau, ela representa ou um c´ırculo, ou uma
elipse, ou uma hip´erbole, ou uma par´abola, ou um ponto, ou uma reta, ou um par de retas, ou o conjunto
vazio. N˜ao h´a outras possibilidades. O m´etodo que usaremos para provar isso ser´a o mesmo m´etodo que
empregaremos para identificar uma cˆonica a partir da equa¸c˜ao dada.
Em primeiro lugar, representando, como j´a ´e usual, vetores (x, y) do plano na forma de matrizes-coluna
X =
x
y
,
notamos que qualquer equa¸c˜ao do segundo grau
ax2
+ bxy + cy2
+ dx + ey + f = 0
pode ser reescrita em forma matricial
Xt
AX + BX + f = 0
para alguma matriz sim´etrica A. Para isso, basta escrever
ax2
+ bxy + cy2
= ax2
+
b
2
xy +
b
2
xy + cy2
= x ax +
b
2
y + y cy +
b
2
x
= x y



ax +
b
2
y
cy +
b
2
x



= x y



a
b
2
b
2
c



x
y
,
de modo que a equa¸c˜ao do segundo grau fica representada em forma matricial por
x y



a
b
2
b
2
c



x
y
+ d e
x
y
+ f = 0.
8
Denotando
A =



a
b
2
b
2
c


 e B = d e ,
essa equa¸c˜ao matricial pode ser denotada por
Xt
AX + BX + f = 0
A matriz A ´e uma matriz sim´etrica, logo ela pode ser diagonalizada atrav´es de uma matriz ortogonal P, ou
seja,
A = PDPt
,
onde D ´e a matriz diagonal
D =
λ1 0
0 λ2
,
λ1, λ2 sendo os autovalores de A. Da´ı, substituindo esta express˜ao de A na equa¸c˜ao matricial acima, segue
que
(Pt
X)t
D(Pt
X) + BX = −f.
Fazendo a mudan¸ca de coordenadas
X = Pt
X,
de modo que
X = PX ,
obtemos a equa¸c˜ao matricial correspondente no novo sistema de coordenadas:
(X )t
DX + (BP)X = −f.
Denotando a = λ1, b = λ2 e
BP = d e ,
segue que esta equa¸c˜ao matricial corresponde `a equa¸c˜ao alg´ebrica
a (x )2
+ b (y )2
+ d x + e y = −f.
Ou seja, o efeito da mudan¸ca de coordenadas efetuada atrav´es da matriz ortogonal P ´e eliminar o termo misto
em xy. Porque a mudan¸ca de coordenadas foi efetuada por uma matriz ortogonal, a cˆonica representada por
esta equa¸c˜ao ´e a mesma representada pela equa¸c˜ao original; n˜ao houve deforma¸c˜oes de nenhuma natureza e
elas diferem apenas por uma rota¸c˜ao ou reflex˜ao. Observe que n˜ao podemos ter simultaneamente a = b = 0
porque A n˜ao ´e a matriz nula (se A fosse a matriz nula, isso significaria que a equa¸c˜ao original seria do
primeiro grau), logo ela deve possuir pelo menos um autovalor n˜ao nulo.
Esta equa¸c˜ao alg´ebrica pode ser simplificada mais ainda atrav´es do processo de completar quadrados. Se
a = 0 e b = 0, escrevemos
a (x )2
+ b (y )2
+ d x + e y = a (x )2
+
d
a
x + b (y )2
+
e
b
y
= a (x )2
+ 2
d
2a
x +
d
2a
2
−
d
2a
2
+ b (y )2
+ 2
e
2b
y +
e
2b
2
−
e
2b
2
= a x +
d
2a
2
−
d
2a
2
+ b y +
e
2b
2
−
e
2b
2
.
9
Fazendo a mudan¸ca de coordenadas
x = x +
d
2a
,
y = y +
e
2b
,
e denotando
f = a
d
2a
2
+ b
e
2b
2
− f
obtemos a equa¸c˜ao alg´ebrica
a (x )2
+ b (y )2
= f .
Podemos facilmente identificar que cˆonica esta equa¸c˜ao representa no novo sistema de coordenadas (x , y ).
Observe que este sistema de coordenadas ´e obtido atrav´es de uma transla¸c˜ao do sistema de coordenadas
(x , y ), logo n˜ao ocorre nenhuma distor¸c˜ao de comprimentos nesta mudan¸ca de sistemas de coordenadas,
apenas a posi¸c˜ao da cˆonica ´e modificada por meio de um transporte paralelo. Agora, se a e b tem o
mesmo sinal, mas f tem sinal oposto ao sinal destes, ent˜ao n˜ao existem pontos (x , y ) que satisfazem esta
equa¸c˜ao; ela representa o conjunto vazio. Se a e b tem o mesmo sinal e f = 0, ent˜ao o ´unico ponto que
satisfaz a equa¸c˜ao ´e o ponto (0, 0); ou seja a equa¸c˜ao representa um ponto. Se a , b , f tem o mesmo sinal,
estamos diante de um c´ırculo ou uma elipse. Se a , b tem sinais opostos e f = 0, ent˜ao estamos diante de
uma hip´erbole; se a , b tem sinais opostos e f = 0, ent˜ao estamos diante de um par de retas concorrentes:
a (x )2
+ b (y )2
= 0 ´e equivalente a
x +
b
a
y x −
b
a
y = 0,
que representa as retas x =
b
a
y e x = −
b
a
y . Geometricamente, um ponto pode ser pensado como
um caso degenerado de uma elipse (um c´ırculo ´e o caso especial de uma elipse cujos eixos maior e menor
coincidem, enquanto que duas retas concorrentes ´e um caso degenerado (ou o caso limite) de uma hip´erbole.
Se a = 0 ou b = 0 (como observado acima, as duas possibilidades n˜ao podem ocorrer ao mesmo tempo),
ent˜ao estamos diante de uma par´abola, um par de retas paralelas, uma ´unica reta, ou o conjunto vazio. Por
exemplo, se b = 0, h´a apenas um quadrado para completar e escrevemos (se e = 0)
a (x )2
+ d x + e y + f = a (x )2
+
d
a
x + e y + f
= a x +
d
2a
2
−
d
2a
2
+ e y + f
= a x +
d
2a
2
+ e y +
1
e
f − a
d
2a
2
e fazemos a mudan¸ca de coordenadas
x = x +
d
2a
,
y = y +
1
e
f − a
d
2a
2
,
para obter a equa¸c˜ao alg´ebrica
a (x )2
= −e y .
10
Se b = 0 e e = 0, ent˜ao obtemos a equa¸c˜ao
a (x )2
= −f,
que representa o par de retas paralelas x = ±
−f
a
se a , f tˆem sinais opostos, a reta x = 0 se f = 0, ou
o conjunto vazio se a , f tˆem o mesmo sinal. Geometricamente, uma reta ´e uma par´abola degenerada (ou o
caso limite de uma par´abola). Por outro lado, duas retas paralelas s˜ao o caso limite de uma hip´erbole.
Exemplos
Exemplo 1. 5x2
− 4xy + 8y2
+ 4
√
5x − 16
√
5y + 4 = 0
A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e
Xt
AX + BX + 4 = 0,
onde
A =
5 −2
−2 8
e B = 4
√
5 −16
√
5 .
Os autovalores de A s˜ao λ = 4 e λ = 9; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente
2
√
5
,
1
√
5
,
−1
√
5
,
2
√
5
.
Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e
P =



2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5



Substituindo X = Pt
X e X = PX , temos
x y
4 0
0 9
x
y
+ 4
√
5 −16
√
5



2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5



x
y
+ 4 = 0.
Como
x y
4 0
0 9
x
y
= 4(x )2
+ 9(y )2
e
4
√
5 −16
√
5



2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5


 = −8 −36
4(x )2
+ 9(y )2
− 8x − 36y + 4 = 0.
Agora completamos os quadrados:
4(x )2
+ 9(y )2
− 8x − 36y = 4[(x )2
− 2x ] + 9[(y )2
− 4y ]
= 4[(x )2
− 2x + 1 − 1] + 9[(y )2
− 4y + 4 − 4]
= 4[(x − 1)2
− 1] + 9[(y − 2)2
− 4],
11
obtendo
4[(x − 1)2
− 1] + 9[(y − 2)2
− 4] + 4 = 0 ∴
4(x − 1)2
− 4 + 9(y − 2)2
− 36 + 4 = 0,
ou
4(x − 1)2
+ 9(y − 2)2
= 36.
Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸c˜ao)
x = x − 1,
y = y − 2,
obtemos
4x + 9y = 36.
Dividindo esta equa¸c˜ao por 36, obtemos finalmente
x
9
+
y
4
= 1.
Conclu´ımos que a cˆonica ´e uma elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor 2.
Exemplo 2. 2x2
− 4xy − y2
− 4x − 8y + 14 = 0
A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e
Xt
AX + BX + 14 = 0,
onde
A =
2 −2
−2 −1
e B = −4 −8 .
Os autovalores de A s˜ao λ = −2 e λ = 3; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente
1
√
5
,
2
√
5
,
−2
√
5
,
1
√
5
.
Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e
P =



1
√
5
−
2
√
5
2
√
5
1
√
5


 .
Substituindo X = Pt
X e X = PX , como
−4 −8



1
√
5
−
2
√
5
2
√
5
1
√
5


 = −4
√
5 0
temos
−2(x )2
+ 3(y )2
− 4
√
5x + 14 = 0.
12
Completando os quadrados:
−2(x )2
+ 3(y )2
− 4
√
5x + 14 = −2[(x )2
− 2
√
5x ] + 3(y )2
+ 14
= −2[(x )2
− 2
√
5x + 5 − 5] + 3(y )2
+ 14
= −2[(x −
√
5)2
− 5] + 3(y )2
+ 14
= −2(x −
√
5)2
+ 10 + 3(y )2
+ 14
= −2(x −
√
5)2
+ 3(y )2
+ 24.
obtemos
−2(x −
√
5)2
+ 3(y )2
+ 24 = 0.
Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸c˜ao)
x = x −
√
5,
y = y
obtemos
−2x + 3y = −24.
Dividindo esta equa¸c˜ao por −24, obtemos finalmente
x
12
−
y
8
= 1.
Conclu´ımos que a cˆonica ´e uma hip´erbole.
Exemplo 3. 4x2
− 20xy + 25y2
− 15x − 6y = 0
A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e
Xt
AX + BX = 0,
onde
A =
4 −10
−10 25
e B = −15 −6 .
Os autovalores de A s˜ao λ = 0 e λ = 29; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente
5
√
29
,
2
√
29
,
−2
√
29
,
5
√
29
.
Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e
P =



5
√
29
−
2
√
29
2
√
29
5
√
29


 .
Substituindo X = Pt
X e X = PX , como
−15 −6



5
√
29
−
2
√
29
2
√
29
5
√
29


 = −3
√
29 0
temos
29(y )2
− 3
√
29x = 0,
ou
x =
3
√
29
(y )2
,
uma par´abola, portanto.
13
Exemplo 4. 9x2
+ 12xy + 4y2
− 52 = 0
A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e
Xt
AX − 52 = 0,
onde
A =
9 6
6 4
.
Os autovalores de A s˜ao λ = 0 e λ = 13. Substituindo X = Pt
X , obtemos
13(y )2
− 52 = 0,
donde
y = ±2,
ou seja, duas retas paralelas.
Esbo¸co do Gr´afico no Sistema Original de Coordenadas
Podemos usar a equa¸c˜ao da curva no sistema final de coordenadas x y ou x y (se for o caso) e as mudan¸cas
de coordenadas efetuadas no processo, para tra¸car um esbo¸co do gr´afico da curva no sistema de coordenadas
original.
Vamos considerar a curva do Exemplo 1 da se¸c˜ao anterior. No sistema de coordenadas final x y sua
equa¸c˜ao ´e
x
9
+
y
4
= 1,
ou seja, uma elipse de semi-eixo maior 3 e semi-eixo menor 2, centrada na origem (0, 0). Como
√
9 − 4 =
√
5,
os focos da elipse no sistema x y tˆem coordenadas
F1 = (−
√
5, 0) e F2 = (
√
5, 0).
O seu gr´afico no sistema de coordenadas x y ´e
–2
–1
0
1
2
y’’
–3 –2 –1 1 2 3
x’’
Para encontrar os focos desta elipse no sistema de coordenadas anterior x y temos que realizar a
transla¸c˜ao reversa. Ou seja, para voltarmos do sistema de coordenadas x y para o sistema de coorde-
nadas x y , basta notar que como
X = X +
−1
−2
14
segue que
X = X +
1
2
.
Portanto, os focos da elipse no sistema x y tˆem coordenadas
F1 = F1 +
1
2
=
−
√
5 + 1
2
,
F2 = F2 +
1
2
=
√
5 + 1
2
.
´E claro que o efeito desta transla¸c˜ao ´e mover toda a elipse 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima.
Logo, o gr´afico da elipse no sistema de coordenadas x y ´e
0
1
2
3
4
y’
–2 –1 1 2 3 4
x’
Por fim, para voltar do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas original xy, basta
realizar a rota¸c˜ao reversa X = PX :
F1 = PF1 =



2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5



−
√
5 + 1
2
=
−2√
5 − 1
F2 = PF2 =



2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5



√
5 + 1
2
=
2√
5 + 1
Em particular, o centro desta elipse, que ´e o ponto m´edio dos focos, tem coordenadas
0√
5
no sistema original. O efeito de P ´e girar a elipse no sentido anti-hor´ario de um ˆangulo de arccos
2
√
5
∼ 26, 6◦
.
O eixo maior da elipse (que no sistema x y corresponde ao eixo x ) ´e paralelo `a dire¸c˜ao do autoespa¸co
correspondente ao autovalor 4, isto ´e, na dire¸c˜ao do vetor (2, 1), enquanto que o eixo menor (que no sistema
x y corresponde ao eixo y ) ´e paralelo `a dire¸c˜ao do autoespa¸co correspondente ao autovalor 9, isto ´e, na
15
dire¸c˜ao do vetor (−1, 2). O esbo¸co do gr´afico da elipse no sistema de coordenadas original ´e, portanto,
0
1
2
3
4
y
–2 –1 1 2x
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Identificacao de conicas

  • 1. Identifica¸c˜ao de Cˆonicas Uma equa¸c˜ao do segundo grau ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 define de maneira impl´ıcita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equa¸c˜ao. Por exemplo, o conjunto dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equa¸c˜ao 5x2 − 6xy + 5y2 − 30 √ 2x + 18 √ 2y + 82 = 0 ´e uma elipse. O gr´afico desta elipse ´e –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 y 3 3.5 4 4.5 5 5.5x Figura 1: Elipse de equa¸c˜ao 5x2 − 6xy + 5y2 − 30 √ 2x + 18 √ 2y + 82 = 0. Nem sempre uma equa¸c˜ao do segundo grau representa uma curva suave. Por exemplo, embora a equa¸c˜ao x2 + y2 = 1 represente o c´ırculo com centro na origem e raio 1, a equa¸c˜ao x2 + y2 = 0 representa apenas um ponto (a origem (0, 0)), a equa¸c˜ao x2 + y2 = −1 n˜ao representa nada (pois n˜ao existe nenhum ponto (x, y) que satisfa¸ca esta equa¸c˜ao; outra maneira de dizer isso ´e que ela representa o conjunto vazio), e a equa¸c˜ao x2 − y2 = 0 representa duas retas que se interceptam na origem (as retas de equa¸c˜oes y = x e y = −x). Por outro lado, os tipos de curvas no plano que uma equa¸c˜ao do segundo grau pode representar s˜ao em n´umero limitado. Dependendo dos valores dos coeficientes a, b, c, d, e, f a curva poder´a ser um c´ırculo, uma elipse, uma hip´erbole, uma par´abola ou um caso degenerado, que pode ser o conjunto vazio, um ponto ou um par de retas. N˜ao h´a outras possibilidades. Desenvolveremos um m´etodo alg´ebrico para identificar a curva representada pela equa¸c˜ao, sem precisar tra¸car o seu gr´afico. Para isso, realizaremos uma s´erie de mudan¸cas de coordenadas at´e que a curva esteja colocada na melhor posi¸c˜ao poss´ıvel, ou seja, onde a sua equa¸c˜ao ´e simples e de f´acil identifica¸c˜ao. A primeira coisa a fazer ´e saber quais s˜ao as equa¸c˜oes das curvas quando elas j´a se encontram na melhor posi¸c˜ao poss´ıvel. 1
  • 2. Elipse Defini¸c˜ao. Uma elipse ´e o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distˆancias de P a dois pontos fixos (chamados focos) ´e constante. dist(P, F1) + dist(P, F2) = constante. Figura 2: Elipse e seus focos. Equa¸c˜ao da Elipse: O sistema de coordenadas que escolhemos, a fim de que a equa¸c˜ao da elipse assuma a forma mais simples poss´ıvel ´e o seguinte: os eixos coordenados s˜ao escolhidos de maneira que os focos F1, F2 da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente; em outras palavras, os focos est˜ao situados no eixo x, ocupando posi¸c˜oes sim´etricas em rela¸c˜ao `a origem. Deste modo, a distˆancia entre os focos ´e dist(F1, F2) = 2c. A constante que d´a a soma das distˆancias de um ponto da elipse aos focos ´e escolhida como sendo 2a. Note que necessariamente a > c, pois o comprimento do lado de um triˆangulo ´e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados (veja a Figura 3). Figura 3: dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a < 2c. Portanto, a equa¸c˜ao da elipse neste sistema de coordenadas ´e dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, 2
  • 3. ou (x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a. Vamos eliminar os radicais para obter uma express˜ao mais simples. Observe que simplesmente elevar ambos os lados desta equa¸c˜ao ao quadrado n˜ao ´e a melhor maneira de proceder; ao contr´ario, fazendo isso criaremos um novo radical cujo radicando ´e um polinˆomio do quarto grau. Temos que eliminar os radicais um por um, isolando cada um em um lado da equa¸c˜ao e elevando a equa¸c˜ao ao quadrado para elimin´a-lo. Mais precisamente, isolamos o primeiro radical no lado esquerdo da equa¸c˜ao, escrevendo (x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2. Em seguida, elevamos ambos os lados da equa¸c˜ao ao quadrado, obtendo (x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 ∴ x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ∴ 4cx = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2, e conseguimos assim eliminar um dos radicais. Isolando o radical que sobrou novamente no lado esquerdo da equa¸c˜ao, temos a (x − c)2 + y2 = a2 − cx, e elevando ambos os lados da equa¸c˜ao ao quadrado, obtemos finalmente a2 [(x − c)2 + y2 ] = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Matematicamente n˜ao h´a como simplificar mais esta ´ultima equa¸c˜ao, mas visualmente h´a. Chamando b = √ a2 − c2 (como a > c, esta defini¸c˜ao faz sentido porque a2 −c2 > 0) e dividindo a ´ultima equa¸c˜ao obtida por a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtemos a equa¸c˜ao para a elipse neste sistema de coordenadas privilegiado x2 a2 + y2 b2 = 1. (1) Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, encontramos y = ±b. Isso d´a uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para os n´umeros a e b: a ´e o comprimento do semieixo maior da elipse, enquanto que b ´e o comprimento do semieixo menor da elipse. Os pontos (−a, 0), (a, 0), (0, b) e (0, −b) s˜ao chamados os v´ertices da elipse. 3
  • 4. Outro sistema de coordenadas em que a equa¸c˜ao da elipse assume uma forma simples ´e quando os seus focos est˜ao localizados no eixo y; neste sistema de coordenadas, a equa¸c˜ao da elipse passa a ser x2 b2 + y2 a2 = 1. Exemplo. Determine os focos da elipse x2 16 + y2 25 = 1. Solu¸c˜ao: Como 25, que ´e maior que 16, est´a localizado sob y2 , conclu´ımos que os focos est˜ao localizados no eixo y. Temos c = √ 25 − 16 = √ 9 = 3, logo os focos desta elipse s˜ao F1 = (0, −3) e F2 = (0, 3). Observe que o semieixo maior desta elipse, localizado no eixo y, tem comprimento 5, enquanto que o semieixo menor, localizado no eixo x, tem comprimento 4. –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 Figura 4: Elipse x2 16 + y2 25 = 1. Hip´erbole Defini¸c˜ao. Uma hip´erbole ´e o conjunto dos pontos P do plano tais que o m´odulo da diferen¸ca entre as distˆancias de P a dois pontos fixos (chamados focos) ´e constante. |dist(P, F1) − dist(P, F2)| = constante. Equa¸c˜ao da Hip´erbole: Como no caso da elipse, escolha eixos coordenados tais que os focos F1, F2 da elipse tenham coordenadas (−c, 0) e (c, 0), respectivamente, de modo que a distˆancia entre os focos ´e dist(F1, F2) = 2c, e a constante do m´odulo da diferen¸ca entre as distˆancias de um ponto da hip´erbole aos focos ´e igual a 2a. Observe que no caso da hip´erbole, desta vez temos a < c, pois o comprimento do lado de um triˆangulo ´e sempre maior que a diferen¸ca entre os comprimentos dos outros dois lados. A equa¸c˜ao da hip´erbole neste sistema de coordenadas ´e |dist(P, F1) − dist(P, F2)| = 2a, ou (x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a. 4
  • 5. Figura 5: Hip´erbole e seus Focos Para simplificar esta equa¸c˜ao, procedemos da mesma maneira que no caso da elipse. Escrevendo (x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2, elevamos ambos os lados desta express˜ao ao quadrado, obtendo (x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 ∴ x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ∴ 4cx = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 donde ±a (x − c)2 + y2 = a2 − cx. Novamente elevamos ambos os lados desta express˜ao ao quadrado, obtendo a2 [(x − c)2 + y2 ] = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y2 = a4 − 2a2 cx + c2 x2 ∴ (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Chamando b = √ c2 − a2 (como a > c, esta defini¸c˜ao faz sentido porque c2 − a2 > 0) e dividindo a ´ultima equa¸c˜ao obtida por −a2 b2 = a2 (a2 − c2 ), obtemos a seguinte equa¸c˜ao para a hip´erbole x2 a2 − y2 b2 = 1. (2) Fazendo y = 0, encontramos x = ±a; fazendo x = 0, n˜ao h´a solu¸c˜ao y. Portanto, a hip´erbole com focos no eixo x n˜ao intercepta o eixo y. Os pontos (−a, 0) e (a, 0) s˜ao chamados os v´ertices da hip´erbole. Existe apenas um par de retas no plano que n˜ao intercepta a hip´erbole, mas tal que existem pontos da hip´erbole arbitrariamente pr´oximos a pontos destas retas. Estas duas retas s˜ao chamadas as ass´ıntotas da hip´erbole. Quando a hip´erbole est´a na posi¸c˜ao privilegiada considerada acima, as ass´ıntotas s˜ao as retas x2 a2 − y2 b2 = 0, 5
  • 6. isto ´e, y = ± b a x. De fato, por exemplo, a distˆancia entre um ponto x, b x2 a2 − 1 da hip´erbole situado na parte superior do ramo direito e um ponto da reta y = b a x situado exatamente acima deste ponto tende a 0 quando x → ∞, como pode ser visto atrav´es do c´alculo do limite (use a regra de L’Hˆopital) lim x→∞ b x2 a2 − 1 − b a x = b a lim x→∞ x2 − a2 − x = 0. –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 Se os focos da hip´erbole est˜ao localizados no eixo y, ent˜ao a equa¸c˜ao da hip´erbole passa a ser y2 a2 − x2 b2 = 1 e ela n˜ao intecepta o eixo x. Par´abola Defini¸c˜ao. Uma par´abola ´e o conjunto dos pontos P do plano eq¨uidistantes de uma reta (chamada reta diretriz) e de um ponto n˜ao pertencente a esta reta (chamado foco). dist(P, F) = dist(P, r). Equa¸c˜ao da Par´abola: Escolha os eixos coordenados de maneira que o foco F da par´abola tenha coor- denadas (0, p) e a reta diretriz seja a reta r : y = −p; em outras palavras, o foco da par´abola est´a situado no eixo y, acima da origem, a diretriz ´e paralela ao eixo x e eles s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `a origem. Neste sistema de coordenadas, a equa¸c˜ao da par´abola ´e x2 + (y − p)2 = |y + p| . Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2 , 6
  • 7. –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 1 2 3x Figura 6: Par´abola com Foco e Reta Diretriz donde x2 = 4py. (3) Esta ´e uma par´abola com v´ertice na origem (0, 0) e concavidade para cima. Outras equa¸c˜oes simples para a par´abola s˜ao x2 = −4py para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para baixo, y2 = 4px para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para a direita, y2 = −4px para uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade para a esquerda. Veja as figuras a seguir. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –2 –1 1 2 Figura 7: Par´abola x2 = 4py –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 –2 –1 1 2 Figura 8: Par´abola x2 = −4py 7
  • 8. –2 –1 0 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 9: Par´abola y2 = 4px –2 –1 0 1 2 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 Figura 10: Par´abola y2 = −4px Identifica¸c˜ao de Cˆonicas Veremos agora que as curvas no plano representadas por uma equa¸c˜ao do segundo grau podem ser comple- tamente classificadas. Ou seja, dada uma equa¸c˜ao do segundo grau, ela representa ou um c´ırculo, ou uma elipse, ou uma hip´erbole, ou uma par´abola, ou um ponto, ou uma reta, ou um par de retas, ou o conjunto vazio. N˜ao h´a outras possibilidades. O m´etodo que usaremos para provar isso ser´a o mesmo m´etodo que empregaremos para identificar uma cˆonica a partir da equa¸c˜ao dada. Em primeiro lugar, representando, como j´a ´e usual, vetores (x, y) do plano na forma de matrizes-coluna X = x y , notamos que qualquer equa¸c˜ao do segundo grau ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 pode ser reescrita em forma matricial Xt AX + BX + f = 0 para alguma matriz sim´etrica A. Para isso, basta escrever ax2 + bxy + cy2 = ax2 + b 2 xy + b 2 xy + cy2 = x ax + b 2 y + y cy + b 2 x = x y    ax + b 2 y cy + b 2 x    = x y    a b 2 b 2 c    x y , de modo que a equa¸c˜ao do segundo grau fica representada em forma matricial por x y    a b 2 b 2 c    x y + d e x y + f = 0. 8
  • 9. Denotando A =    a b 2 b 2 c    e B = d e , essa equa¸c˜ao matricial pode ser denotada por Xt AX + BX + f = 0 A matriz A ´e uma matriz sim´etrica, logo ela pode ser diagonalizada atrav´es de uma matriz ortogonal P, ou seja, A = PDPt , onde D ´e a matriz diagonal D = λ1 0 0 λ2 , λ1, λ2 sendo os autovalores de A. Da´ı, substituindo esta express˜ao de A na equa¸c˜ao matricial acima, segue que (Pt X)t D(Pt X) + BX = −f. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas X = Pt X, de modo que X = PX , obtemos a equa¸c˜ao matricial correspondente no novo sistema de coordenadas: (X )t DX + (BP)X = −f. Denotando a = λ1, b = λ2 e BP = d e , segue que esta equa¸c˜ao matricial corresponde `a equa¸c˜ao alg´ebrica a (x )2 + b (y )2 + d x + e y = −f. Ou seja, o efeito da mudan¸ca de coordenadas efetuada atrav´es da matriz ortogonal P ´e eliminar o termo misto em xy. Porque a mudan¸ca de coordenadas foi efetuada por uma matriz ortogonal, a cˆonica representada por esta equa¸c˜ao ´e a mesma representada pela equa¸c˜ao original; n˜ao houve deforma¸c˜oes de nenhuma natureza e elas diferem apenas por uma rota¸c˜ao ou reflex˜ao. Observe que n˜ao podemos ter simultaneamente a = b = 0 porque A n˜ao ´e a matriz nula (se A fosse a matriz nula, isso significaria que a equa¸c˜ao original seria do primeiro grau), logo ela deve possuir pelo menos um autovalor n˜ao nulo. Esta equa¸c˜ao alg´ebrica pode ser simplificada mais ainda atrav´es do processo de completar quadrados. Se a = 0 e b = 0, escrevemos a (x )2 + b (y )2 + d x + e y = a (x )2 + d a x + b (y )2 + e b y = a (x )2 + 2 d 2a x + d 2a 2 − d 2a 2 + b (y )2 + 2 e 2b y + e 2b 2 − e 2b 2 = a x + d 2a 2 − d 2a 2 + b y + e 2b 2 − e 2b 2 . 9
  • 10. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas x = x + d 2a , y = y + e 2b , e denotando f = a d 2a 2 + b e 2b 2 − f obtemos a equa¸c˜ao alg´ebrica a (x )2 + b (y )2 = f . Podemos facilmente identificar que cˆonica esta equa¸c˜ao representa no novo sistema de coordenadas (x , y ). Observe que este sistema de coordenadas ´e obtido atrav´es de uma transla¸c˜ao do sistema de coordenadas (x , y ), logo n˜ao ocorre nenhuma distor¸c˜ao de comprimentos nesta mudan¸ca de sistemas de coordenadas, apenas a posi¸c˜ao da cˆonica ´e modificada por meio de um transporte paralelo. Agora, se a e b tem o mesmo sinal, mas f tem sinal oposto ao sinal destes, ent˜ao n˜ao existem pontos (x , y ) que satisfazem esta equa¸c˜ao; ela representa o conjunto vazio. Se a e b tem o mesmo sinal e f = 0, ent˜ao o ´unico ponto que satisfaz a equa¸c˜ao ´e o ponto (0, 0); ou seja a equa¸c˜ao representa um ponto. Se a , b , f tem o mesmo sinal, estamos diante de um c´ırculo ou uma elipse. Se a , b tem sinais opostos e f = 0, ent˜ao estamos diante de uma hip´erbole; se a , b tem sinais opostos e f = 0, ent˜ao estamos diante de um par de retas concorrentes: a (x )2 + b (y )2 = 0 ´e equivalente a x + b a y x − b a y = 0, que representa as retas x = b a y e x = − b a y . Geometricamente, um ponto pode ser pensado como um caso degenerado de uma elipse (um c´ırculo ´e o caso especial de uma elipse cujos eixos maior e menor coincidem, enquanto que duas retas concorrentes ´e um caso degenerado (ou o caso limite) de uma hip´erbole. Se a = 0 ou b = 0 (como observado acima, as duas possibilidades n˜ao podem ocorrer ao mesmo tempo), ent˜ao estamos diante de uma par´abola, um par de retas paralelas, uma ´unica reta, ou o conjunto vazio. Por exemplo, se b = 0, h´a apenas um quadrado para completar e escrevemos (se e = 0) a (x )2 + d x + e y + f = a (x )2 + d a x + e y + f = a x + d 2a 2 − d 2a 2 + e y + f = a x + d 2a 2 + e y + 1 e f − a d 2a 2 e fazemos a mudan¸ca de coordenadas x = x + d 2a , y = y + 1 e f − a d 2a 2 , para obter a equa¸c˜ao alg´ebrica a (x )2 = −e y . 10
  • 11. Se b = 0 e e = 0, ent˜ao obtemos a equa¸c˜ao a (x )2 = −f, que representa o par de retas paralelas x = ± −f a se a , f tˆem sinais opostos, a reta x = 0 se f = 0, ou o conjunto vazio se a , f tˆem o mesmo sinal. Geometricamente, uma reta ´e uma par´abola degenerada (ou o caso limite de uma par´abola). Por outro lado, duas retas paralelas s˜ao o caso limite de uma hip´erbole. Exemplos Exemplo 1. 5x2 − 4xy + 8y2 + 4 √ 5x − 16 √ 5y + 4 = 0 A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e Xt AX + BX + 4 = 0, onde A = 5 −2 −2 8 e B = 4 √ 5 −16 √ 5 . Os autovalores de A s˜ao λ = 4 e λ = 9; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente 2 √ 5 , 1 √ 5 , −1 √ 5 , 2 √ 5 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e P =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    Substituindo X = Pt X e X = PX , temos x y 4 0 0 9 x y + 4 √ 5 −16 √ 5    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    x y + 4 = 0. Como x y 4 0 0 9 x y = 4(x )2 + 9(y )2 e 4 √ 5 −16 √ 5    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    = −8 −36 4(x )2 + 9(y )2 − 8x − 36y + 4 = 0. Agora completamos os quadrados: 4(x )2 + 9(y )2 − 8x − 36y = 4[(x )2 − 2x ] + 9[(y )2 − 4y ] = 4[(x )2 − 2x + 1 − 1] + 9[(y )2 − 4y + 4 − 4] = 4[(x − 1)2 − 1] + 9[(y − 2)2 − 4], 11
  • 12. obtendo 4[(x − 1)2 − 1] + 9[(y − 2)2 − 4] + 4 = 0 ∴ 4(x − 1)2 − 4 + 9(y − 2)2 − 36 + 4 = 0, ou 4(x − 1)2 + 9(y − 2)2 = 36. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸c˜ao) x = x − 1, y = y − 2, obtemos 4x + 9y = 36. Dividindo esta equa¸c˜ao por 36, obtemos finalmente x 9 + y 4 = 1. Conclu´ımos que a cˆonica ´e uma elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor 2. Exemplo 2. 2x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y + 14 = 0 A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e Xt AX + BX + 14 = 0, onde A = 2 −2 −2 −1 e B = −4 −8 . Os autovalores de A s˜ao λ = −2 e λ = 3; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente 1 √ 5 , 2 √ 5 , −2 √ 5 , 1 √ 5 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e P =    1 √ 5 − 2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5    . Substituindo X = Pt X e X = PX , como −4 −8    1 √ 5 − 2 √ 5 2 √ 5 1 √ 5    = −4 √ 5 0 temos −2(x )2 + 3(y )2 − 4 √ 5x + 14 = 0. 12
  • 13. Completando os quadrados: −2(x )2 + 3(y )2 − 4 √ 5x + 14 = −2[(x )2 − 2 √ 5x ] + 3(y )2 + 14 = −2[(x )2 − 2 √ 5x + 5 − 5] + 3(y )2 + 14 = −2[(x − √ 5)2 − 5] + 3(y )2 + 14 = −2(x − √ 5)2 + 10 + 3(y )2 + 14 = −2(x − √ 5)2 + 3(y )2 + 24. obtemos −2(x − √ 5)2 + 3(y )2 + 24 = 0. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas (transla¸c˜ao) x = x − √ 5, y = y obtemos −2x + 3y = −24. Dividindo esta equa¸c˜ao por −24, obtemos finalmente x 12 − y 8 = 1. Conclu´ımos que a cˆonica ´e uma hip´erbole. Exemplo 3. 4x2 − 20xy + 25y2 − 15x − 6y = 0 A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e Xt AX + BX = 0, onde A = 4 −10 −10 25 e B = −15 −6 . Os autovalores de A s˜ao λ = 0 e λ = 29; autovetores ortonormais correspondentes s˜ao, respectivamente 5 √ 29 , 2 √ 29 , −2 √ 29 , 5 √ 29 . Logo, uma matriz ortogonal que diagonaliza A ´e P =    5 √ 29 − 2 √ 29 2 √ 29 5 √ 29    . Substituindo X = Pt X e X = PX , como −15 −6    5 √ 29 − 2 √ 29 2 √ 29 5 √ 29    = −3 √ 29 0 temos 29(y )2 − 3 √ 29x = 0, ou x = 3 √ 29 (y )2 , uma par´abola, portanto. 13
  • 14. Exemplo 4. 9x2 + 12xy + 4y2 − 52 = 0 A forma matricial desta equa¸c˜ao ´e Xt AX − 52 = 0, onde A = 9 6 6 4 . Os autovalores de A s˜ao λ = 0 e λ = 13. Substituindo X = Pt X , obtemos 13(y )2 − 52 = 0, donde y = ±2, ou seja, duas retas paralelas. Esbo¸co do Gr´afico no Sistema Original de Coordenadas Podemos usar a equa¸c˜ao da curva no sistema final de coordenadas x y ou x y (se for o caso) e as mudan¸cas de coordenadas efetuadas no processo, para tra¸car um esbo¸co do gr´afico da curva no sistema de coordenadas original. Vamos considerar a curva do Exemplo 1 da se¸c˜ao anterior. No sistema de coordenadas final x y sua equa¸c˜ao ´e x 9 + y 4 = 1, ou seja, uma elipse de semi-eixo maior 3 e semi-eixo menor 2, centrada na origem (0, 0). Como √ 9 − 4 = √ 5, os focos da elipse no sistema x y tˆem coordenadas F1 = (− √ 5, 0) e F2 = ( √ 5, 0). O seu gr´afico no sistema de coordenadas x y ´e –2 –1 0 1 2 y’’ –3 –2 –1 1 2 3 x’’ Para encontrar os focos desta elipse no sistema de coordenadas anterior x y temos que realizar a transla¸c˜ao reversa. Ou seja, para voltarmos do sistema de coordenadas x y para o sistema de coorde- nadas x y , basta notar que como X = X + −1 −2 14
  • 15. segue que X = X + 1 2 . Portanto, os focos da elipse no sistema x y tˆem coordenadas F1 = F1 + 1 2 = − √ 5 + 1 2 , F2 = F2 + 1 2 = √ 5 + 1 2 . ´E claro que o efeito desta transla¸c˜ao ´e mover toda a elipse 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima. Logo, o gr´afico da elipse no sistema de coordenadas x y ´e 0 1 2 3 4 y’ –2 –1 1 2 3 4 x’ Por fim, para voltar do sistema de coordenadas x y para o sistema de coordenadas original xy, basta realizar a rota¸c˜ao reversa X = PX : F1 = PF1 =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    − √ 5 + 1 2 = −2√ 5 − 1 F2 = PF2 =    2 √ 5 − 1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5    √ 5 + 1 2 = 2√ 5 + 1 Em particular, o centro desta elipse, que ´e o ponto m´edio dos focos, tem coordenadas 0√ 5 no sistema original. O efeito de P ´e girar a elipse no sentido anti-hor´ario de um ˆangulo de arccos 2 √ 5 ∼ 26, 6◦ . O eixo maior da elipse (que no sistema x y corresponde ao eixo x ) ´e paralelo `a dire¸c˜ao do autoespa¸co correspondente ao autovalor 4, isto ´e, na dire¸c˜ao do vetor (2, 1), enquanto que o eixo menor (que no sistema x y corresponde ao eixo y ) ´e paralelo `a dire¸c˜ao do autoespa¸co correspondente ao autovalor 9, isto ´e, na 15
  • 16. dire¸c˜ao do vetor (−1, 2). O esbo¸co do gr´afico da elipse no sistema de coordenadas original ´e, portanto, 0 1 2 3 4 y –2 –1 1 2x 16