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Triângulo Mineiro – UFTM


      Cônicas
Prof.: Daniel Oliveira Veronese
Hipérbole

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de
um plano cuja diferença das distâncias, em
valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano
é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos, F1
e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um
número real tal que 2a<2c.
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais
que:



dá-se o nome de hipérbole.
Relações de Simetria na Hipérbole
Elementos da Hipérbole
   Focos: são os pontos F1 e F2

    Distância Focal: é a distância 2c entre os focos
   Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2
   Eixo Real ou Transverso: é o seguimento A1A2
    de comprimento 2a

    Eixo Imaginário ou Conjugado: é o seguimento
   B1B2 de comprimento 2b
   Vértices: são os pontos A1 e A2

    Excentricidade: é o número e(e>1) dado por:
                               e=c/a.
Observação
O valor de b é definido pela seguinte relação:
Observação
Mantendo o raio c da figura anterior e tomando
um valor para “a” menor do que o anterior, o
novo retângulo MNPQ será mais “estreito” e,
em consequência a abertura será maior.

Mas, diminuir o valor de “a” mantendo “c” fixo
significa significa aumentar o valor de e=c/a.
Assim, quanto maior for a excentricidade, maior
será a abertura.
Equação da Hipérbole de Centro na
       Origem do Sistema
 1º caso: o eixo real está sobre o eixo dos x
Da definição da hipérbole temos que:




ou seja:
Fazendo as simplificações necessárias e

lembrando que          podemos concluir que:
2º caso: o eixo real está sobre o eixo dos y
Nesse caso, a equação reduzida da hipérbole é
dada por:
Equação da Hipérbole de Centro
  Fora da Origem do Sistema
1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos x
Equação da hipérbole:
2º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos y
Equação da Hipérbole:
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Hipérbole

  • 1. Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM Cônicas Prof.: Daniel Oliveira Veronese
  • 2. Hipérbole Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um número real tal que 2a<2c.
  • 3. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: dá-se o nome de hipérbole.
  • 4.
  • 5. Relações de Simetria na Hipérbole
  • 6. Elementos da Hipérbole  Focos: são os pontos F1 e F2  Distância Focal: é a distância 2c entre os focos  Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2  Eixo Real ou Transverso: é o seguimento A1A2 de comprimento 2a  Eixo Imaginário ou Conjugado: é o seguimento  B1B2 de comprimento 2b  Vértices: são os pontos A1 e A2  Excentricidade: é o número e(e>1) dado por: e=c/a.
  • 7.
  • 8. Observação O valor de b é definido pela seguinte relação:
  • 9.
  • 10. Observação Mantendo o raio c da figura anterior e tomando um valor para “a” menor do que o anterior, o novo retângulo MNPQ será mais “estreito” e, em consequência a abertura será maior. Mas, diminuir o valor de “a” mantendo “c” fixo significa significa aumentar o valor de e=c/a. Assim, quanto maior for a excentricidade, maior será a abertura.
  • 11. Equação da Hipérbole de Centro na Origem do Sistema 1º caso: o eixo real está sobre o eixo dos x
  • 12. Da definição da hipérbole temos que: ou seja:
  • 13. Fazendo as simplificações necessárias e lembrando que podemos concluir que:
  • 14. 2º caso: o eixo real está sobre o eixo dos y
  • 15. Nesse caso, a equação reduzida da hipérbole é dada por:
  • 16. Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema 1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos x
  • 18. 2º caso: o eixo real é paralelo ao eixo dos y
  • 20. Exemplos Veja o seu caderno!!!!!!