1. A taxa com que a região afetada pelo impacto da pedra no lago está crescendo quando seu raio é de 4cm é de 16cm/s, que é a taxa de crescimento das ondas. 2. O documento contém uma prova de cálculo com 6 questões sobre derivadas, integral, máximos e mínimos de funções. 3. A questão extra pede para provar que uma função atinge um máximo ou mínimo em um ponto p caso sua quarta derivada nesse ponto seja negativa ou positiva, respectivamente, e as outras derivadas se

1. Universidade Federal do Espir´ Santo
ıto
Segunda prova de C´lculo I - Engenharia El´trica
a e
Professora Julia Wrobel
Vit´ria, 02 de junho de 2006
o
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. Uma pedra cai num lago de ´gua parada. Imediatamente, ondas circulares
a
concˆntricas espalham-se e o raio da regi˜o afetada cresce a uma taxa de
e a
16cm/s. Qual a taxa com que a regi˜o afetada est´ crescendo quando seu
a a
raio ´ de 4cm?
e
2. A fun¸˜o y = f (x) ´ dada implicitamente pela equa¸˜o xy +3 = 2x. Mostre
ca e ca
dy dy
que x dx = 2 − y. Calcule dx x=2 .
d 1 d
3. Sabendo que dx
arctg(x) = 1+x2
, calcule dx
(arctg(x))x .
2x2
4. Considere a fun¸˜o f (x) =
ca 9−x2
.
a) Dˆ os intervalos de crescimento e decrescimento da fun¸˜o
e ca
b) Estude a concavidade da fun¸˜o
ca
c) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o
c c a ca
5. Durante a tosse h´ um decrescimento no raio da traqu´ia de uma pessoa.
a e
Suponha que o raio da traqu´ia em repouso seja Rcm e o raio da traqu´ia
e e
durante a tosse seja rcm, onde R ´ uma constante e r ´ uma vari´vel. A
e e a
velocidade do ar atrav´s da traqu´ia pode ser considerada como uma fun¸˜o
e e ca
2
de r e, se V (r) for esta velocidade em cm/s, ent˜o V (r) = Kr (R − r),
a
com r ∈ [R/2, R], onde K ´ uma constante positiva. Determine o raio da
e
traqu´ia durante a tosse, para que a velocidade do ar atrav´s da traqu´ia
e e e
seja m´xima.
a
6. Use o polinˆmio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximado
o
de e0,03 . Estime o erro dessa aproxima¸˜o.
ca
Quest˜o extra (0,5 ponto): Sejam f uma fun¸˜o deriv´vel at´ quarta ordem
a ca a e
(4)
no intervalo aberto aberto I e p ∈ I. Suponha f cont´ ınua em p. Prove que se
f ′ (p) = f ′′ (p) = f ′′′ (p) = 0 e f (4) (p) = 0 ent˜o f (x) tˆm um m´ximo no ponto p
a e a
(4) (4)
se f (p) < 0 e f (x) tˆm um m´e ınimo no ponto p se f (p) > 0.
1