1) Cálculos de derivadas de funções: (a) 1/(1+x)^2, (b) d/dx ln(x^3 - sen(3x)), (c) limite de e^2x - e^3x quando x tende a 0. 2) Análise da função f(x)=x/(x-1)^2: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, assíntotas. 3) O maior volume possível de um cilindro inscrito em um cone é 48π cm3.

1. Universidade Federal do Esp´ Santo
ırto
Segunda prova de C´lculo I
a
Vit´ria, 28 de maio de 2010
o
Nome Leg´
ıvel:
Assinatura:
Justifique todas as respostas!
1. (3 pontos) Calcule:
x
d 1
(a) 1+
dx x
d
(b) ln(x3 − sen(3x))
dx
e2x − e3x
(c) lim
x→0 x
2. (3,5 pontos) Considere a fun¸˜o
ca
x
f (x) = .
(x − 1)2
(a) Determine os pontos cr´
ıticos de f (x), se existirem;
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f (x), indicando, caso existam, seus pontos
de m´ximo e de m´
a ınimo locais;
(c) Determine os intervalos em que f (x) tem concavidade para cima e em que f (x) tem concavidade
para baixo e determine os pontos de inflex˜o de f (x), se existirem;
a
(d) Determine as ass´
ıntotas verticais e horizontais, se existirem;
(e) Utilize as informa¸˜es obtidas nos itens anteriores parar esbo¸ar o gr´fico de f (x).
co c a
3. (2 pontos) Determine o maior valor poss´ para o volume de um cilindro circular reto inscrito em um
ıvel
cone circular reto de altura 12 cm e raio da base 4 cm.
4. (1,5 pontos) Um ponto desloca-se sobre a hip´rbole xy = 4, x > 0, de tal modo que a velocidade da
e
ordenada y do ponto ´ 10 m/s. Determine a acelera¸˜o da abcissa x desse ponto, quando x = 2m.
e ca
Boa prova!