O documento discute vários exemplos de aplicações da derivada em física, química e engenharia, incluindo a lei dos gases de Boyle, corrente elétrica, lei de Ohm, lei da indução, fluxo de fluidos em dutos, e tanque de água cônico. A derivada é usada para determinar como variáveis como volume, velocidade e nível de água variam em relação a outras variáveis como pressão, corrente e tempo.

1. APLICAC¸ ˜OES DA DERIVADA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Alguns exemplos de aplica¸c˜oes da derivada
em f´ısica, qu´ımica e engenharia
LEI DOS GASES OU LEI DE BOYLE
A lei dos gases estabelece uma rela¸c˜ao entre volume, press˜ao e temperatura.
Ilustramos o experimento a que iremos nos referir com o dispositivo mostrado
na figura, que possui um ˆembolo ou pist˜ao m´ovel.
A lei de Boyle ´e uma transforma¸c˜ao isot´ermica, ou seja, com temperatura
constante. Assim,
V =
K
P
Onde:
V Volume
P Press˜ao
K Constante de temperatura
1

2. Se desejamos determinar como varia o volume em rela¸c˜ao `a press˜ao, na
transforma¸c˜ao isot´ermica, que ´e a taxa de varia¸c˜ao de V em rela¸c˜ao a P,
∆V/∆P, com K constante, devemos encontrar dV/dP.
lim
∆P→0
∆V
∆P
=
dV
dP
=
d
dP
K
P
= −
K
P2
Observe que o sinal negativo indica que o volume decresce com o aumento
da press˜ao (´e uma fun¸c˜ao decrescente).
CORRENTE EL´ETRICA
Corrente el´etrica existe se cargas el´etricas se movem em um condutor.
Se ∆Q ´e a quantidade de carga l´ıquida que passa atrav´es de uma su-
perf´ıcie, que corta o condutor ortogonalmente, durante um per´ıodo de tempo
∆t, ent˜ao
corrente el´etrica m´edia =
∆Q
∆t
Ent˜ao, a corrente el´etrica instantˆanea ´e dada por
I = lim
∆t→0
∆Q
∆t
=
dQ
dt
LEI DE OHM
Consideremos um circuito el´etrico com uma fonte de tens˜ao e uma re-
sistˆencia, como ilustrado na figura seguinte.
2

3. Sabemos que a rela¸c˜ao entre a corrente (I), a tens˜ao (V ) e a resistˆencia
el´etrica (R) ´e dada por:
V = RI
ou
I =
V
R
Vamos supor que a tens˜ao V ´e constante e desejamos verificar como va-
riam a corrente e a resistˆencia. Assim,
dI
dR
=
d
dR
V
R
= −
V
R2
LEI DA INDUC¸ ˜AO
O fenˆomeno aqui descrito relaciona-se com a eletricidade produzida por
um magneto. Um magneto ´e formado por uma fio condutor enrolado em
uma bobina. No interior da bobina ´e produzido um fluxo magn´etico.
Sabemos, pela lei de Faraday, que a for¸ca eletromotriz induzida sobre um
circuito ´e igual `a taxa de varia¸c˜ao do fluxo magn´etico.
= − lim
t→0
∆Φ
∆t
= −
dΦ
dt
Onde:
For¸ca eletromotriz medida em volts
Φ Fluxo magn´etico
t Tempo
3

4. A derivada dΦ/di representa a taxa de varia¸c˜ao do fluxo em rela¸c˜ao `a
corrente, e ´e chamada de indutˆancia:
L =
dΦ
di
Usando a regra da cadeia sabemos que
= −
dΦ
dt
= −
dΦ
di
di
dt
= −L
di
dt
sendo L uma constante que caracteriza o material f´ısico com o qual o indutor
´e feito. Com isso descobrimos que a tens˜ao em um indutor ´e a derivada da
corrente que circula pelo indutor.
FLUXO DE UM FLUIDO EM UM DUTO
Este problema pode representar tanto o fluxo de sangue em um vaso
sangu´ıneo, quanto o fluxo de petr´oleo em um oleoduto.
Consideramos um tubo ou duto de comprimento l e raio R (raio medido
em rela¸c˜ao ao eixo central do duto). No interior do duto, o fluido circula
em camadas, chamadas de lˆaminas. Cada lˆamina localiza-se em um raio r
do eixo central do duto, como podemos ver na figura que ilustra um corte
ortogonal do duto:
4

5. A rela¸c˜ao entre a velocdade v do fluido no duto e r ´e dada pela lei do
fluxo laminar (Poiseville, 1840).
v =
P
4ηl
(R2
− r2
)
onde:
P Diferen¸ca de press˜ao entre os extremos do tubo
η Viscosidade do fluido
l Comprimento do tubo
R Raio do tubo
r Raio da lˆamina
A velocidade do fluido em cada lˆamina no tubo decresce do centro do
tubo para a borda, chegando a zero na borda, onde r = R.
Queremos estudar a taxa da varia¸c˜ao da velocidade do fluido. Isso sig-
nifica determinar o gradiente de velocidade do fluido, ou seja, a varia¸c˜ao da
velocidade da lˆamina em rela¸c˜ao ao raio r da lˆamina.
gradiente de velocidade = lim
∆r→0
∆v
∆r
=
dv
dr
dv
dr
=
d
dr
P
4ηl
(R2
− r2
) = −
Pr
2ηl
O gradiente ´e negativo, pois a velocidade decresce do centro para a borda
do tubo, sendo proporcional a r e inversamente proporcional `a viscosidade.
TANQUE DE ´AGUA CˆONICO
Um tanque de ´agua tem a forma de um cone invertido, com base de raio 2
metros e altura igual a 4 metros. A ´agua est´a sendo bombeada para dentro
do tanque a uma taxa de 2m3
/min. Encontre a taxa em que o n´ıvel da ´agua
estar´a elevando-se quando a ´agua estiver com 3 m de profundidade.
5

6. Sabemos que dV
dt
= 2m3
/min e queremos obter dh
dt
para h = 3 m.
O volume do cone de ´agua (com raio r e altura h) ´e:
V =
1
3
πr2
h
Entretanto, n˜ao podemos derivar a fun¸c˜ao V pois as vari´aveis r e h s˜ao
dependentes, ou seja, variam uma com a outra. Assim, precisamos obter a
f´ormula do volume expressa apenas em termos de h, independente de r. Para
isso usamos triˆangulos semelhantes,
r
h
=
2
4
r =
h
2
e
V =
1
3
π
h
2
2
h =
π
12
h3
Ent˜ao, podemos derivar V usando a regra da cadeia:
dV
dt
=
dV
dh
dh
dt
=
π
4
h2 dh
dt
ou
dh
dt
=
4
πh2
dV
dt
Substituindo na express˜ao h = 3 e dV/dt=2, obtemos
dh
dt
=
4
π32
2 =
8
9π
≈ 0, 28m/min
6

7. 2 S´eries de Maclaurin
Seja f uma fun¸c˜ao que pode ser expressa na forma de uma s´erie de
potˆencias:
f(x) = c0 + c1x + c2x2
+ c3x3
+ · · · + cixi
+ . . .
Tomando f(0),
f(0) = c0
ou
c0 =
f(0)
0!
Como a s´erie ´e diferenci´avel:
f (x) = c1 + 2c2x + 3c3x2
+ 4c4x3
+ . . .
f (0) = c1
ou
c1 =
f (0)
1!
f (x) = 2c2 + 2.3c3x + 3.4c4x2
+ . . .
f (0) = 2c2
ou
c2 =
f (0)
2!
f (x) = 2.3c3 + 2.3.4c4x + . . .
f (0) = 2.3c3
ou
c3 =
f (0)
3!
Generalizando:
cn =
f(n)
n!
onde f(n)
´e a n-´esima derivada de f.
7

8. EXEMPLO
Deduzindo a s´erie de Maclaurin para o seno:
f(x) = sin x
f(0) = 0 e c0 =
f(0)
0!
= 0
f (x) = cos x
f (0) = 1 e c1 =
f (0)
1!
= 1
f (x) = − sin x
f (0) = 0 e c2 =
f (0)
2!
= 0
f (x) = − cos x
f (0) = −1 e c3 =
f (0)
3!
= −
1
6
f(4)
(x) = sin x
f(4)
(0) = 0 e c4 =
f(4)
(0)
4!
= 0
f(5)
(x) = cos x
f(5)
(0) = 1 e c5 =
f(5)
(0)
5!
=
1
120
Assim,
sin x = x −
x3
6
+
x5
120
− . . .
Calculando uma aproxima¸c˜ao do seno de 0,1 radianos usando a s´erie com
apenas 3 termos, obtemos
sin 0, 1 = 0, 1 −
0, 13
6
+
0, 15
120
= 0, 099833
e calculando a fun¸c˜ao seno do mesmo ˆangulo, usando uma calculadora, ob-
temos
0, 099833
8

9. 3 M´aximos e m´ınimos de fun¸c˜ao
Uma das mais importantes aplica¸c˜oes do c´alculo ´e a determina¸c˜ao de
valores m´aximos e valores m´ınimos de uma fun¸c˜ao.
A ciˆencia e a engenharia apresenta in´umeros casos em que a determina¸c˜ao
de m´aximos e m´ınimos ´e importante: obter a m´axima velocidade de processa-
mento no projeto de um microprocessador; obter m´ınima dissipa¸c˜ao de calor
de um circuito; m´axima potˆencia de um motor de combust˜ao interna; m´ınimo
consumo de combust´ıvel; minimizar o uso de material na manufatura de uma
pe¸ca; encontrar o momento no tempo em que ocorre m´axima contamina¸c˜ao
por uma doen¸ca em uma popula¸c˜ao; etc.
Os valores m´aximos e m´ınimos de uma fun¸c˜ao podem ser locais e/ou
globais:
• M´aximo absoluto ou global de f em c ocorre quando
f(c) ≥ f(x)
para todo x em dom(f).
• M´ınimo absoluto ou global de f em c ocorre quando
f(c) ≤ f(x)
para todo x em dom(f).
• M´aximo local ou relativo de f em c ocorre quando
f(c) ≥ f(x)
para os n´umeros x na proximidade de c, ou seja, para os n´umeros x em
um intervalo aberto contendo c.
• M´ınimo local ou relativo de f em c ocorre quando
f(c) ≤ f(x)
para os n´umeros x na proximidade de c, ou seja, para os n´umeros x em
um intervalo aberto contendo c.
9

10. EXEMPLOS
O seguinte gr´afico ilustra uma fun¸c˜ao que possui um m´aximo local em
a = 0 e um m´ınimo local em a = 2. Por´em, n˜ao possui nenhum m´aximo ou
m´ınimo global.
A fun¸c˜ao ilustrada no seguinte gr´afico n˜ao apresenta m´aximos e m´ınimos
locais ou globais.
10

11. A seguinte fun¸c˜ao apresenta um m´aximo local e global em a = 0.
Finalmente, observe que esta ´ultima fun¸c˜ao apresenta um m´aximo local
e dois m´ınimos locais, um dos quais ´e m´ınimo local e global.
11

12. TEOREMA DO VALOR EXTREMO
Se f for uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b], ent˜ao f assume um valor m´aximo
f(c) e um valor m´ınimo f(d), para c, d ∈ [a, b].
TEOREMA DE FERMAT
Se f tiver um m´aximo ou um m´ınimo local em c e se f (c) existir, ent˜ao
f (c) = 0.
N ´UMERO CR´ITICO
Um n´umero cr´ıtico de uma fun¸c˜ao f ´e um n´umero c no dom´ınio de f tal
que f (c) = 0 ou f (c) n˜ao existe.
Por exemplo, y = x2
, com y = 2x e temos f (0) = 0, o que significa um
m´ınimo em a = 0.
Outro exemplo, y = |x|, em que a = 0 ´e um n´umero cr´ıtico pois sabemos
que f (0) n˜ao existe.
12

13. M´ETODO DO INTERVALO FECHADO
Usado para encontrar os valores m´aximos e m´ınimos absolutos (absoluto
em rela¸c˜ao ao intervalo!) de uma fun¸c˜ao f em um intervalo [a, b].
1. Encontre os n´umeros cr´ıticos de f em (a, b) e tome seus valores.
2. Determine os valores de f nas extremidades do intervalo: f(a) e f(b).
3. O maior valor obtido ´e o valor m´aximo absoluto no intervalo e o menor
valor obtido ´e o valor m´ınimo absoluto no intervalo.
Tomemos como exemplo a fun¸c˜ao f(x) = x3
− 3x2
+ 1, no intervalo
[−1/2, 4].
Como f ´e cont´ınua e diferenci´avel em [−1/2, 4] podemos usar o m´etodo
do intervalo fechado.
1. f (x) = 3x2
−6x = 3x(x−2). Como f existe para todos os n´umeros do
intervalo, seus ´unicos n´umeros cr´ıticos s˜ao x = 0 e x = 2, que anulam
f . Assim,
f(0) = 1 e f(2) = −3
2. Os valores nas extremidades s˜ao:
f(1/2) = 3/8 e f(4) = 17
3. O valor m´aximo absoluto ´e f(4) = 17 e o valor m´ınimo absoluto ´e
f(2) = −3.
13

14. Podemos constatar isso no gr´afico da fun¸c˜ao:
Seja a fun¸c˜ao f(x) = (sin x)2
− (cos x)2
, no intervalo [−π/4, 3π/4].
1. f ´e cont´ınua e diferenci´avel em [−π/4, 3π/4]. Assim,
f (x) = 2 sin x cos x − 2 cos x(− sin x) = 4 sin x cos x
e
4 sin x cos x = 0
que resulta, no intervalo dado, em x = 0 e x = π/2.
Ent˜ao, f(0) = −1 e f(π/2) = 1.
2. Para os extremos do intervalo:
f(−π/4) = (
√
2/2)2
− (−
√
2/2)2
= 0
e
f(3π/4) = (−
√
2/2)2
− (
√
2/2)2
= 0
3. Assim, o valor m´aximo absoluto ´e f(π/2) = 1 e o valor m´ınimo absoluto
´e f(0) = −1.
14

15. TEOREMA DE ROLLE
Seja f uma fun¸c˜ao que satisfaz:
1. f ´e cont´ınua no intervalo [a, b]
2. f ´e diferenci´avel no intervalo [a, b]
3. f(a) = f(b)
Ent˜ao, existe um n´umero c tal que f (c) = 0.
Por exemplo, uma bola lan¸cada para cima, saindo da m˜ao e retornando.
Seja f(t) a fun¸c˜ao que fornece a posi¸c˜ao da bola no espa¸co em cada momento
t. H´a um momento em que a a velocidade anula-se, f (c) = 0 (no alto, altura
m´axima).
TEOREMA DO VALOR M´EDIO
Seja f satisfazendo:
1. f ´e cont´ınua em [a, b]
2. f ´e diferenci´avel em [a, b]
Ent˜ao, existe um n´umero c ∈ (a, b) tal que
f (c) =
f(b) − f(a)
b − a
ou
f(b) − f(a) = f (c)(b − a)
Por exemplo, f(x) = x3
− x em [0, 2].
6 − 0 = (3x2
− 1)(2 − 0)
3x2
− 1 = 3
x = ±
2
√
3
3
O resultado negativo ´e descartado por estar fora do intervalo [0, 2].
15

16. Observe no gr´afico da fun¸c˜ao que a reta que passa pelos pontos (0, 0)
e (2, 6) ´e paralela (tem a mesma inclina¸c˜ao) que a reta tangente ao ponto
x = 2
√
3/3.
4 Efeito de f e f no gr´afico da fun¸c˜ao f
O comportamento da fun¸c˜ao f pode ser determinado pelas suas derivadas
f e f :
• Se f (x) > 0 em um intervalo, ent˜ao f ´e crescente neste intervalo.
Tomemos como exemplo a fun¸c˜ao f(x) = x2
. Ent˜ao, f (x) = 2x,
f (x) = 2x > 0 e x > 0.
16

17. • Se f (x) < 0 em um intervalo, ent˜ao f ´e decrescente neste intervalo.
Seja f(x) = x2
. Ent˜ao, f (x) = 2x, f (x) = 2x < 0 e x < 0.
Este gr´afico ilustra os exemplos apresentados, com a par´abola pos-
suindo inclina¸c˜ao negativa para os valores x < 0 e positiva para os
valores x > 0.
• Se o sinal de f muda de negativo para positivo em c, ent˜ao f apresenta
um m´ınimo local em c.
O gr´afico anterior ilustra isso, onde a fun¸c˜ao apresenta um m´ınimo local
em x = 0.
• Se o sinal de f muda de positivo para negativo em c, ent˜ao f apresenta
um m´aximo local em c.
O seguinte gr´afico ilustra esta defini¸c˜ao.
17

18. • Se f (x) > 0 em um intervalo, ent˜ao o gr´afico de f apresenta uma
concavidade para cima no intervalo.
Por exemplo, f(x) = x2
, com dom(f) = [0, +∞). Ent˜ao, f (x) = 2x e
f (x) = 2 > 0. Este exemplo ´e ilustrado no gr´afico a seguir.
• Se f (x) < 0 em um intervalo, ent˜ao o gr´afico de f apresenta uma
concavidade para baixo no intervalo.
Por exemplo, f(x) =
√
x, com dom(f) = [0, +∞). Ent˜ao, f (x) =
1
2
√
x
e f (x) = − 1
4
√
x3
< 0 para o intervalo (0, +∞). Este exemplo ´e
ilustrado no gr´afico a seguir.
• Um ponto de inflex˜ao ´e um ponto em que a curva da fun¸c˜ao muda de
concavidade (de concavidade para cima para concavidade para baixo
ou vice-versa).
18

19. Por exemplo, o seguinte gr´afico de fun¸c˜ao apresenta um ponto de in-
flex˜ao em a = 1.
Pontos de inflex˜ao ocorrem onde f muda de sinal. Por exemplo, no
gr´afico anterior, claramente a inclina¸c˜ao da reta tangente aos pontos
da curva da fun¸c˜ao ´e decrescente antes de a = 1 (f (x) < 0) e crescente
ap´os a = 1 (f (x) > 0).
• Se f (c) = 0 e f (c) > 0, ent˜ao f tem um m´ınimo local em c.
• Se f (c) = 0 e f (c) < 0, ent˜ao f tem um m´aximo local em c.
EXEMPLOS
A) Seja y = x3
− 5x2
. Ent˜ao y = 3x2
− 10x = x(3x − 10) e y anula-se em
x = 0 e x = 10/3.
A segunda derivada ´e y = 6x − 10, com f (0) = −10 e f (10/3) = 10.
19

20. Assim, temos um m´aximo local em x = 0 e um m´ınimo local em x = 10/3,
como ilustrado no seguinte gr´afico.
B) Seja a fun¸c˜ao f que representa a concentra¸c˜ao do hormˆonio insulina
no sangue, em rela¸c˜ao ao tempo em horas, ap´os a ingest˜ao de comida rica
em carboidratos.
f(t) = 10e−1
2
(t−2)2
+ 2e− 1
10
(t−10)2
+ 1
para t ≥ 0, cujo gr´afico ´e mostrado na seguinte figura.
20

21. A derivada da fun¸c˜ao ´e:
f (t) = −10(t − 2)e−1
2
(t−2)2
−
2
5
(t − 10)e− 1
10
(t−10)2
Na solu¸c˜ao de f (t) = 0, as ra´ızes t ≈ 2, 00053, t ≈ 5, 19929 e t ≈ 10 s˜ao
dif´ıceis de obter algebricamente, tendo sido obtidas computacionalmente.
C) Uma caixa d’´agua sem tampa tem base quadrada. A caixa deve ser
constru´ıda de forma a possuir um volume de 2.500 m3
. O material para a
constru¸c˜ao da base custa R$ 1.200,00 por m2
e o material dos lados R$ 980,00
por m2
. Encontre as dimens˜oes da caixa de modo que o custo de material
seja m´ınimo.
Seja C a fun¸c˜ao custo,
C = 1200x2
+ 4xy980
Para colocar a fun¸c˜ao C dependendo apenas de x, devemos usar a f´ormula
do volume,
V = x2
y = 2500
ou
y =
2500
x2
e
C(x) = 1200x2
+
9800000
x
C (x) =
2400x3
− 9800000
x2
21

22. C (x) = 0 ´e 2400x3
− 9800000 = 0 e resulta em x ≈ 15, 983 m.
C (x) = 2400 +
19600000
x3
e
C (15, 983) > 0
Logo, x ≈ 15, 983 m ´e a medida para o custo m´ınimo e y ≈ 9, 786 m.
5 Regra de L’Hˆospital
Suponha que f e g sejam deriv´aveis e g(x) = 0 em um intervalo aberto
que cont´em a, exceto em a. Suponha que
lim
x→a
f(x) = 0 e lim
x→a
g(x) = 0
ou
lim
x→a
f(x) = ±∞ e lim
x→a
g(x) = ±∞
Ent˜ao,
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
se o limite existir.
EXEMPLOS
1. limx→1
ln x
x−1
Devemos primeiro testar as condi¸c˜oes para aplicar a regra de L’Hˆospital:
lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
(x − 1) = 0
O limite da fra¸c˜ao f/g ´e uma indetermina¸c˜ao 0
0
. As fun¸c˜oes f(x) = ln x
e g(x) = x − 1 s˜ao cont´ınuas e deriv´aveis em um intervalo aberto
que cont´em o n´umero 1. Logo, o limite respeita as condi¸c˜oes para a
aplica¸c˜ao da regra de L’Hˆospital.
Ent˜ao,
lim
x→1
ln x
x − 1
= lim
x→1
(ln x)
(x − 1)
= lim
x→1
1
x
1
= 1
22

23. 2. limx→+∞
ex
x2
lim
x→+∞
ex
= +∞ e lim
x→+∞
x2
= +∞
O limite da fra¸c˜ao f/g ´e uma indetermina¸c˜ao ∞
∞
. As fun¸c˜oes f(x) = ex
e g(x) = x2
s˜ao cont´ınuas e deriv´aveis.
Aplicando a regra de L’Hˆospital:
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
(ex
)
(x2)
= lim
x→+∞
ex
2x
Observe que permanece a indetermina¸c˜ao ∞
∞
e a regra de L’Hˆospital
pode ser aplicada novamente.
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
(ex
)
(2x)
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞
3. limx→0
sin x
x
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→0
sin x
x
= lim
x→0
cos x
1
= 1
4. limx→0
1−cos x
x
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→0
1 − cos x
x
= lim
x→0
− sin x
1
= 0
5. limx→0
ax−1
x
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→0
ax
− 1
x
= lim
x→0
(ax
− 1)
x
= lim
x→0
ax
ln a
1
= ln a
23

24. 6. limx→+∞ 1 + 1
x
x
Da forma como est´a expresso, este limite n˜ao corresponde `as condi¸c˜oes
da regra de L’Hˆospital. Ent˜ao, apliquemos o logaritmo no limite.
z = lim
x→+∞
1 +
1
x
x
ln z = ln lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= lim
x→+∞
ln 1 +
1
x
x
=
lim
x→+∞
x ln 1 +
1
x
= lim
x→+∞
ln 1 + 1
x
1
x
Observe que
lim
x→+∞
ln 1 +
1
x
= 0
lim
x→+∞
1
x
= 0
Logo, podemos aplicar a regra de L’Hˆospital:
ln z = ln lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= lim
x→+∞
ln 1 + 1
x
1
x
= lim
x→+∞
ln 1 + 1
x
1
x
= lim
x→+∞
1
(1+ 1
x )
1 + 1
x
− 1
x2
= lim
x→+∞
−
x3
x + 1
(1) +
1
x
=
lim
x→+∞
−
x3
x + 1
0 −
1
x2
= lim
x→+∞
x
x + 1
= 1
Concluimos que ln z = 1 e z = e.
7. limx→4
√
x−2
x−4
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→4
√
x − 2
x − 4
= lim
x→4
(
√
x − 2)
(x − 4)
= lim
x→4
1
2
√
x
1
=
1
4
24

25. 8. limx→1
1−x+ln x
x3−3x+2
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→1
1 − x + ln x
x3 − 3x + 2
= lim
x→1
(1 − x + ln x)
(x3 − 3x + 2)
= lim
x→1
−1 + 1
x
3x2 − 3
Permanece a indetermina¸c˜ao 0
0
e aplicamos novamente a regra de L’Hˆospital.
lim
x→1
−1 + 1
x
3x2 − 3
= lim
x→1
−1 + 1
x
(3x2 − 3)
= lim
x→1
− 1
x2
6x
= −
1
6
9. limx→+∞
ex−1
x3+4x
Indetermina¸c˜ao ∞
∞
.
lim
x→+∞
ex
− 1
x3 + 4x
= lim
x→+∞
(ex
− 1)
(x3 + 4x)
= lim
x→+∞
ex
3x2 + 4
= lim
x→+∞
(ex
)
(3x2 + 4)
= lim
x→+∞
ex
6x
= lim
x→+∞
(ex
)
(6x)
= lim
x→+∞
ex
6
= +∞
10. limx→0
1−cos x
sin x
Indetermina¸c˜ao 0
0
.
lim
x→0
1 − cos x
sin x
= lim
x→0
(1 − cos x)
(sin x)
= lim
x→0
−(− sin x)
cos x
= lim
x→0
tan x = 0
25