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02 Campos Escalares e Vectoriais

O documento aborda o estudo de funções de várias variáveis, focando em suas propriedades de continuidade, domínios e linhas de nível. Também são apresentados exemplos de campos escalares e vetoriais, além de definições importantes dentro da topologia e análise matemática. Exercícios práticos são incluídos para auxiliar na compreensão dos conceitos discutidos.

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AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Campos escalares e vectoriais - Parte 1 Topologia Limites An´lise Matem´tica 2 a a Continuidade 2o Semestre 2011/12 Vers˜o de 16 de Maio de 2012 a 1/1
AM2 Fun¸oes c˜ Fun¸˜es co Neste cap´ ıtulo trabalhamos com fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, n˜o simultˆneamente iguais a 1) a a Topologia Limites Se m = n = 1 estas fun¸˜es designam-se por fun¸˜es reais de co co Continuidade vari´vel real e foram estudadas em AM1. a f : R −→ R Se m = 1 estas fun¸˜es designam-se por campos escalares ou co fun¸˜es escalares. co f : Rn −→ R (n > 1) Se m > 1 estas fun¸˜es designam-se por campos vectoriais ou co fun¸˜es vectoriais. co f : Rn −→ Rm (n ≥ 1) 2/1
AM2 Exemplos: Fun¸˜es co Dom´ ınio 1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y , z) = x + y + z Linhas de n´ ıvel Topologia 2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que Limites x Continuidade f (x, y ) = x + y , x − y , xy , y 3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que f (latitude, longitude) = (altitude) 4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura) 5 f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que f (latitude, longitude) = vector que indica a direc¸˜o e intensidade do vento ca 6 f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que f (x, y , z) = vector que indica a direc¸˜o de escoamento de um flu´ em ca ıdo movimento 3/1
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AM2 Dado o campo vectorial Fun¸˜es co Dom´ ınio f : R2 −→ R4 Linhas de n´ ıvel Topologia x Limites f (x, y ) = xy , x 2 − y , x − 3y , √ Continuidade y ´ composto por 4 fun¸˜es componentes ou fun¸˜es e co co coordenadas que s˜o: a f1 (x, y ) = xy f2 (x, y ) = x 2 − y f3 (x, y ) = x − 3y x f4 (x, y ) = √ y Nota: estas fun¸˜es s˜o campos escalares. co a 14/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das seguintes fun¸˜es: c c a co Linhas de n´ ıvel Topologia 1 f (x, y ) = 5 Limites 2 f (x, y ) = x Continuidade 3 f (x, y ) = x + y 4 f (x, y ) = y 2 5 f (x, y ) = 2 + cos(x) 6 f (x, y ) = x 2 + y 2 7 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3 8 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3 9 f (x, y ) = 9 − x2 − y2 √ 10 f (x, y ) = − 25 − x 2 15/1
AM2 Dom´ ınio Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o (Dom´ de uma fun¸˜o) ca ınio ca Limites Dada uma fun¸˜o f : Rn −→ Rm (n, m ≥ 1) define-se o ca Continuidade dom´ınio de f por Df = {x ∈ Rn : ∃1 y ∈ IR m , f (x) = y } Exemplo: x f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que f (x, y ) = x + y , x − y , xy , y tem como dom´ D = {(x, y ) ∈ R2 : y = 0} ınio 16/1
AM2 1 ⇒ a ∈ R {0} Fun¸˜es co a √ Dom´ ınio a ⇒ a ∈ R+ 0 Linhas de n´ ıvel ln(a) ⇒ a ∈ R+ Topologia Limites |a| ⇒ a ∈ R Continuidade an ⇒ a ∈ R (n ∈ N) cos(a) ⇒ a ∈ R sin(a) ⇒ a ∈ R π tan(a) ⇒ a ∈ R + kπ, k ∈Z 2 arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1] arcsin(a) ⇒ a ∈ [−1, 1] arctan(a) ⇒ a ∈ R ... 17/1
AM2 Fun¸˜es co Determine o dom´ das seguintes fun¸˜es e represente-o ınio co Dom´ ınio geometricamente: Linhas de n´ ıvel 1 f (x, y ) = (ln(x), ln(y ), x − y ) Topologia x Limites 2 f (x, y ) = y Continuidade 3 f (x, y ) = √ 1 2 2 4−x −y √ 4 f (x, y ) = ( −x 2 + 1, 4 − y 2) −3 5 f (x, y , z) = ( √ , ze x , y ) x 2 +y 2 +z 2 −9 √ 6 f (x, y ) = arcsin( x ) + xy 2 7 f (x, y ) = ln( x−y ) 2x 8 f (x, y ) = y − 2x 2 18/1
AM2 Linhas e Superf´ ıcies de N´ ıvel Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de n´ k ao ıvel Limites Continuidade conjunto: Nk = {(x, y ) ∈ R2 : k = f (x, y ), (x, y ) ∈ Df } (k ∈ Df ) Se f : R3 −→ R chama-se superf´ de n´ k ao ıcie ıvel conjunto: Nk = {(x, y , z) ∈ R3 : k = f (x, y , z), (x, y , z) ∈ Df } (k ∈ Df ) http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html 19/1
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AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Calcule algumas linhas de n´ das fun¸˜es que se seguem at´ ıvel co e Topologia conseguir fazer um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o: c a ca Limites 1 f (x, y ) = xy Continuidade 2 f (x, y ) = x 2 − y 2 3 f (x, y ) = y − cos(x) 1 4 f (x, y ) = e x 2 +y 2 5 f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ) 6 f (x, y ) = |x| + |y | 7 f (x, y , z) = x2 + y2 − z2 (ver figuras) 28/1
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AM2 Distˆncia a Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o (Distˆncia) ca a Limites Continuidade Dados dois pontos de Rn , P = (x1 , ..., xn ) e P = (x1 , ...xn ) a distˆncia euclideana entre eles ´ dada por a e d(P, P ) = (x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 + ... + (xn − xn )2 −→ − Nota: d(P, P ) = ||PP || ´ a norma ou comprimento do vector e −→ − PP . 42/1
AM2 Bola aberta ou Vizinhan¸a c Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Defini¸˜o (Bola aberta ou Vizinhan¸a) ca c Continuidade Diz-se vizinhan¸a ε de um ponto a ∈ Rn (Bola aberta de c centro em a e raio ε) ao conjunto Bε (a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < ε} ou Bε (a) = {x ∈ Rn : ||x − a|| < ε}. 43/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Calcule: Linhas de n´ ıvel B5 (3) = Topologia Limites Continuidade B2 (2, −3) = B3 (1, 2, 3) = 44/1
AM2 Defini¸˜o ca Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn . Fun¸˜es co Dom´ ınio a ´ interior a X se e Linhas de n´ ıvel Topologia ∃ε : Bε (a) ⊂ X ; Limites Continuidade se existe uma Bola de centro em a toda contida em X . a ´ exterior a X se e ∃ε : Bε (a) ⊂ Rn X ; se existe uma Bola de centro a que n˜o tem pontos de X . a a ´ fronteiro a X se ∀ε > 0 e Bε (a) ∩ X = ∅ e Bε (a) ∩ (Rn X ) = ∅, se qualquer Bola de centro em a tem pontos de X e de Rn X . 45/1
AM2 Defini¸˜o ca Fun¸˜es co Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn . Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel a ´ ponto de acumula¸˜o de X se e ca Topologia Limites ∀ε > 0, Bε (a) ∩ (X {a}) = ∅; Continuidade se qualquer vizinhan¸a de a tem infinitos pontos de X c distintos de a. a ´ ponto isolado de X se e ∃ε > 0, : Bε (a) ∩ X = {a}; se existe uma Bola de centro em a que o unico ponto que ´ tem de X ´ o pr´prio a. e o a ´ aderente a X se a ∈ X ou a ∈ fr (X ) e 46/1
AM2 Defini¸˜o ca Fun¸˜es co Interior de X : int(X ) ´ o conjunto dos pontos interiores e Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel aX Topologia Exterior de X :ext(X ) ´ o conjunto dos pontos exteriores e Limites aX Continuidade Fronteira de X : fr (X ) ´ o conjunto dos pontos fronteiros e de X Derivado de X : X ´ o conjunto dos pontos de e acumula¸˜o de X ca ¯ e Aderˆncia de X : X ´ o conjunto dos pontos aderentes a e X Teorema int(X ) ∪ ext(X ) ∪ fr (X ) = Rn e s˜o disjuntos 2 a 2 a 47/1
AM2 Fun¸˜es co Defini¸˜o ca Dom´ ınio Um conjunto X de Rn ´ e Linhas de n´ ıvel Topologia aberto se X = int(X ) (⇔ X ∩ fr (x) = ∅) Limites ¯ fechado se X = X (⇔ fr (X ) ⊂ X ) Continuidade limitado se existir uma bola que o contenha. compacto se for limitado e fechado. Nota: Existem conjuntos que n˜o s˜o abertos nem fechados a a ∅ e Rn s˜o abertos e fechados. a 48/1
AM2 Seja X o conjunto de R2 colorido a vermelho: Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade Complete: { } ∈ int(X ) { } ∈ ext(X ) { } ∈ fr (X ) { }∈X { ¯ }∈X { } ∈ Pontos Isolados de X 49/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel 1 Classifique topologicamente os conjuntos: Topologia 1 A = (x, y ) ∈ R2 : −x 2 + 1 < y < −2x 2 + 2 Limites 2 B = (x, y ) ∈ R2 : |x| ≤ 1 ∧ |y | ≤ e x Continuidade 3 C = (x, y ) ∈ R2 : (x 2 + y 2 − 1)(4 − x 2 − y 2 ) > 0 2 Calcule o dom´ ınio, Df , das seguintes fun¸˜es. Represente co geometricamente e classifique topologicamente Df . 1 f (x, y ) = x(1 − |y |) x 2 +y 2 (x, y ) = (0, 0) 2 f (x, y ) = x−y 1 (x, y ) = (0, 0) x 3 f (x, y ) = ln( y ) + arcsin(x 2 + y 2 ) 4 f (x, y ) = ln(y − x) 9 − x 2 − (y + 1)2 50/1
AM2 Limite Fun¸˜es co Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em R2 ) ca Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (x0 , y0 ) um ponto de acumula¸˜o do ca Topologia dom´ Df . ınio Limites O limite de f (x, y ) quando (x, y ) tende para (x0 , y0 ) ´ l, e e Continuidade escreve-se lim f (x, y ) = l (x,y )→(x0 ,y0 ) se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(x0 , y0 )}, (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (l) ou seja, (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε =⇒ |f (x, y ) − l| < δ) 51/1
AM2 Geometricamente Fun¸˜es co Este limite implica que, Dom´ ınio para qualquer ponto (x, y ) = (x0 , y0 ) do dom´ de f , ınio Linhas de n´ ıvel no disco de raio ε, Topologia o valor de f (x, y ) esteja entre os planos de equa¸˜o z = l − δ e ca Limites z = l + δ, Continuidade ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ. 52/1
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AM2 Exemplo: Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Vejamos se Topologia lim 5+4 x2 + y2 = 5 (x,y )→(0,0) Limites Continuidade ou seja, vejamos se ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(0, 0)}, (x, y ) ∈ Bε (0, 0) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (5) ou seja, (x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x, y ) − 5| < δ) 1 1 Determine ε sendo δ = 10, δ = 10 , δ= 100 , δ qualquer... 56/1
AM2 Revis˜es: o |ab| = |a| |b| a |a| Fun¸˜es co = Dom´ ınio b |b| Linhas de n´ ıvel |a + b| ≤ |a| + |b| Topologia Limites Continuidade ab = |a|b √ |a| = a2 |a| ≤ a2 + b 2 a2 0≤ ≤1 a2 + b2 | sin(a)| ≤ 1 π | arctan(a)| ≤ 2 57/1
AM2 Exerc´ ıcios: I Fun¸˜es co Dom´ ınio Mostre, por defini¸˜o de limite, que: ca Linhas de n´ ıvel 1 lim f (x, y ) = 0 onde f (x, y ) = 3 x 2 + y 2 cos(xy ) (x,y )→(0,0) Topologia Limites Continuidade 2 lim f (x, y ) = 0 onde (x,y )→(0,0) f (x, y ) = 2 sin(x + y ) x 2 + y 2 3 lim f (x, y ) = 7 onde f (x, y ) = 2x + y (x,y )→(2,3) 4 lim x =2 (x,y )→(2,1) 5 lim 4xy = 0 (x,y )→(0,0) 58/1
AM2 Exerc´ ıcios: II Fun¸˜es co x 2y 2 6 lim = 0 (ver fig.) Dom´ ınio (x,y )→(0,0) x2 + y2 Linhas de n´ ıvel Topologia 4x 3 Limites 7 lim =0 Continuidade (x,y )→(0,0) x 2 + y2 1 8 lim = 0 (se poss´ - ver fig.) ıvel (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 4 + 2y 3 9 lim =0 (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 y 10 lim xy sin( ) = 0 (x,y )→(0,0) x 59/1
AM2 Exerc´ ıcios: III Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 11 lim (x 2 + y 2 ) arctan(xy ) = 0 (x,y )→(0,0) 60/1
AM2 Limite Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em Rn ) ca Linhas de n´ ıvel Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a um ponto de acumula¸˜o do ca Topologia dom´ Df . ınio Limites O limite de f (x) quando x tende para a ´ l, e escreve-se e Continuidade lim f (x) = l x→a se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ Df {a}, x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l) ou seja, (x1 − a1 )2 + ...(xn − an )2 < ε =⇒ |f (x) − l| < δ) 61/1
AM2 Proposi¸˜o (Propriedades dos limites) ca Fun¸˜es co Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas fun¸˜es co Dom´ ınio escalares e a um ponto de acumula¸˜o de Df ∩ Dg . ca Linhas de n´ ıvel Se limx→a f (x) = l1 e limx→a g (x) = l2 ent˜o a Topologia Limites O limite ´ unico. e´ Continuidade lim (f (x) + g (x)) = l1 + l2 x→a lim (f (x).g (x)) = l1 .l2 x→a f (x) l1 lim = x→a g (x) l2 lim (cf (x)) = c.l1 x→a 62/1
AM2 Limite relativo Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limite relativo a um conjunto) ca Linhas de n´ ıvel Topologia Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e a um Limites ponto de acumula¸˜o do dom´ Df . O limite de f (x) ca ınio Continuidade relativo a S quando x tende para a ´ l, e escreve-se e lim f (x) = l x→a x∈S se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ S {a}, x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l) No caso em que S = (x, y ) ∈ R2 : y = mx + b a estes limites chamam-se os limites direccionais. 63/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Proposi¸˜o ca Linhas de n´ ıvel Se o limite existir ent˜o o limite relativo a qualquer conjunto a Topologia existe e tem o mesmo valor. Limites Continuidade Exerc´ ıcio: Que pode concluir se encontrar dois limites relativos diferentes? iguais? 64/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Utilize limites relativos para estudar os limites: Dom´ ınio x2 1 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 Linhas de n´ ıvel Topologia Limites xy Continuidade 2 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 3 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x −y 4 lim (x,y )→(0,0) x + y 4xy 5 lim (x,y )→(0,0) x 2+ y2 xy 2 6 lim(x,y )→(0,0) (x+y 2 )2 65/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 66/1
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AM2 Limites e propriedades Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limites iterados ou sucessivos) ca Linhas de n´ ıvel Topologia Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸˜o do ca Limites dom´ Df , ent˜o os limites ınio a Continuidade lim lim f (x, y ) , lim lim f (x, y ) x→a y →b y →b x→a dizem-se limites iterados ou sucessivos. Nota: o caso geral, de uma fun¸˜o definida em Rn , ´ ca e limx1 →a1 (· · · (limxn →an f (x1 , · · · , xn ))). Proposi¸˜o ca Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e forem finitos) ent˜o n˜o existe limite. a a 69/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Utilize limites iterados para estudar os limites: Continuidade x − 2y 1 lim (x,y )→(0,0) x + y 4xy 2 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )5 70/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites I Fun¸˜es co Dom´ ınio Estude a existˆncia dos seguintes limites. e Linhas de n´ ıvel x 4 + 2y 2 Topologia 1 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 Limites Continuidade y2 2 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 2y 3 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )2 y −2 4 lim (x,y )→(−3,2) x + 3 72/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites II Fun¸˜es co xy + 3 5 lim Dom´ ınio (x,y )→(0,0) 1 − 2x 2 Linhas de n´ ıvel Topologia xy 2 Limites 6 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y 4 Continuidade 1 7 lim x sin (x,y )→(0,0) y xy 8 lim (x,y )→(0,0) x 2 + 3y 2 x 2y 9 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y )2 73/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites III Fun¸˜es co x 4y Dom´ ınio 10 lim (x,y )→(0,0) y 3 − x 6 Linhas de n´ ıvel Topologia Limites x 2y 11 lim Continuidade (x,y )→(0,0) (y + x 2 )2 x +y −2 12 lim (x,y )→(1,1) x −y 13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo   1 − 2y + x se x + y < 1 f (x, y ) = 1 se x + y = 1 2 − x + y se x + 1 > 1.  74/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites IV Fun¸˜es co Dom´ ınio 14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo Linhas de n´ ıvel  Topologia  x +y se x > 0 Limites f (x, y ) = 2 se x = 0 x − y + 2 se x < 0.  Continuidade 15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite de f , sendo   1 − 2y + x se x + y < 0 f (x, y ) = 4 se x + y = 0 6−x +y se x + 1 > 0.  75/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites V Fun¸˜es co Dom´ ınio 16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo Linhas de n´ ıvel Topologia 2x − y se y < x f (x, y ) = Limites x2 se y ≥ x. Continuidade 17 lim g (x, y ) e lim g (x, y ) onde (x,y )→(0,0) (x,y )→(0,2)  4−x 2 −y 2  e se x 2 + y 4 ≥ 4 g (x, y ) = e se (x, y ) = (0, 0) 1 se x 2 + y 2 < 4  x 2 +y 2 76/1
AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites VI Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites 18 lim f (x, y ) onde Continuidade (x,y )→(0,−4) x2 x 2 +(y +4)2 se (x, y ) = (0, −4) f (x, y ) = 1 se (x, y ) = (0, −4) 77/1
AM2 Limite Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o (Limite de fun¸˜es vectoriais) ca co Topologia Seja Limites Continuidade f : Df ⊆ Rn −→ Rm x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x)) e a um ponto de acumula¸˜o do dom´ Df =D ca ınio . f1 ∩Df2 ∩...∩Dfm O limite de f (x) quando x tende para a ´ um vector de m e coordenadas onde cada uma corresponde ao limite da fun¸˜o ca coordenada respectiva. Assim lim f (x) = lim f1 (x), ... lim fm (x) x→a x→a x→a 78/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade Calcule: 1 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = (x 2 , xy 2 ) (x,y )→(1,2) 3xy 2 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ), x 2 +y 2 (x,y )→(0,0) 79/1
AM2 Fun¸˜o composta (campos ca Fun¸˜es co escalares) Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas fun¸˜es co Limites escalares. Define-se a fun¸˜o composta de f com g como ca Continuidade f : D ⊆ Rn −→ R x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) sendo D = {x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df } 80/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites √ Continuidade 1 Seja f (t) = t e g (x, y ) = x 2 + y 2 + 2. Calcule (f ◦ g )(1, 3), (f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ). 2 Seja f (t) = t 3 e g (x, y ) = x − 4y . Calcule (f ◦ g )(1, 3), (f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ). 81/1
AM2 Fun¸˜o composta (campos ca Fun¸˜es co vectoriais) Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ Rp e f : Df ⊆ Rp −→ Rm duas Limites fun¸˜es vectoriais. Define-se a fun¸˜o composta de f com g co ca Continuidade como f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) sendo D = x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df 82/1
AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites 1 Seja f (u, v ) = (e u , e v ) e g (x, y , z) = (x 2 + 2y 2 + z 2 , xyz). Continuidade Calcule, se existir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1), (f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ). 2 Seja f (u, v ) = (u + v , u − v , uv ) e g (x, y , z) = (xy , yz). Calcule, se exisitir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1), (f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ). 83/1
AM2 Continuidade Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o ca Limites Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e a um ponto de Df . Diz-se que f ´ e Continuidade cont´ınua em a se e s´ o ∃ lim f (x) e lim f (x) = f (a) x→a x→a Defini¸˜o ca f diz-se cont´ ınua num dado conjunto S se f ´ cont´ e ınua em todos os pontos de S. Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f ´ cont´ e ınua. 84/1
AM2 Propriedades das fun¸˜es co Fun¸˜es co cont´ ınuas Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Proposi¸˜o ca Topologia Limites Sejam f e g duas fun¸˜es escalares com dom´ contido em co ınio Continuidade Rn e cont´ ınuas em a. Ent˜o, a f f + g, f − g, f .g e (g (a) = 0) g s˜o cont´ a ınuas em a. Proposi¸˜o ca Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R cont´ ınua em a e f : Df ⊆ R −→ R cont´ ınua em g (a). Ent˜o a f ◦ g ´ cont´ e ınua em a. 85/1
AM2 Exerc´ ıcios I Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Estude quanto ` continuidade:1 (ver figuras) a Topologia 1 Limites x2 + sin(x + y ) − e cos(y ) f (x, y ) = Continuidade x −3 2  2xy se (x, y ) = (0, 0)  f (x, y ) = x2+ y2  0 se (x, y ) = (0, 0) 3 xy 2  se (x, y ) = (0, 0)  f (x, y ) = x2 + y2 0 se (x, y ) = (0, 0)  86/1
AM2 Exerc´ ıcios II Fun¸˜es co 4  xy x 2 − y 2  Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) = x2 + y2 Topologia 0 se (x, y ) = (0, 0)  Limites Continuidade 5   2x + 3y se x = y f (x, y ) = x −y  5 se x = y 6   xy + 1 se y = x 2 f (x, y ) = x2 − y  0 se y = x 2 7 1 − x 2 − y 2 se x 2 + y 2 ≤ 1 f (x, y ) = 0 se x 2 + y 2 > 1 87/1
AM2 Exerc´ ıcios III Fun¸˜es co 8 Dom´ ınio x +y se x = y Linhas de n´ ıvel f (x, y ) = 0 se x = y Topologia Limites 9 xy Continuidade se x 2 = y 2 f (x, y ) = x2 − y2 0 se x 2 = y 2 10 (x − 1)y 2  se (x, y ) = (1, 0)  f (x, y ) = (x − 1)2 + y 2 10 se (x, y ) = (1, 0)  11 x + y se y ≤ x 2 f (x, y ) = 3x − 1 se y > x 2 88/1
AM2 Exerc´ ıcios IV Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia 12 Limites e y − 2x se y ≤ 2x Continuidade f (x, y ) = ln(y − 2x) se y > 2x 13   1 − 2y + x se y + x < 0 f (x, y ) = 4 se y + x = 0 6−x +y se y + x > 0  1 Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/ 89/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 90/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 91/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 92/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 93/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 94/1
AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 95/1
AM2 Prolongamento cont´ ınuo Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Uma fun¸˜o f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolong´vel por ca a Topologia continuidade ao ponto a ( a ∈ Df ), Limites se e s´ se o Continuidade a ∈ Df e existe lim f (x) . (x)→a O Prolongamento (cont´ ınuo) de f a a ´ e f (x) se x ∈ Df f (x) = lim f (x) se x = a x→a Nota: esta fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua. 96/1
AM2 Exerc´ ıcios I Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Determine, se existirem, prolongamentos cont´ ınuos de: Limites 1 − 1 f (x, y ) = e x 2 +y 2 Continuidade 1 2 f (x, y ) = x 2 cos x 2 +y 2 x 2y 3 f (x, y ) = x 4 +y −sin(x) ao ponto (0, 0) x2 4 f (x, y ) = x 3 +y −tan(x) ao ponto (0, 0) x 3 cos(y )+y 3 cos(x) 5 f (x, y ) = x 2 +y 2 ao ponto (0, 0) 97/1
AM2 Continuidade de fun¸oes vectoriais c˜ Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Uma fun¸˜o vectorial ´ cont´ ca e ınua num ponto se e s´ se todas o Limites as suas fun¸˜es coordenadas forem cont´ co ınuas nesse ponto. Continuidade Exerc´ ıcios: Estude quanto ` continuidade a fun¸˜o vectorial a ca f (x, y ) = (f1 (x, y ), f2 (x, y )) onde x5  se (x, y ) = (0, 0)  f1 (x, y ) = x2 + y2 1 se (x, y ) = (0, 0)  e f2 (x, y ) = cos(x + y ) 98/1
AM2 Fa¸a um esbo¸o das seguintes regi˜es c c o Fun¸˜es co 1 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 3, z ≥ 0 Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel 2 (x, y , z) ∈ R3 : −9 ≤ − x 2 + y 2 , y ≥ 0 Topologia 3 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4, y ≤ 0 Limites Continuidade 4 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16, z ≤ 0, x ≥ 0 5 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0 6 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 2 − x 2 + y 2, y ≥ 0 7 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z 2 + 3, y ≤ x 8 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x 2 + y 2, y ≥ 0 9 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≥ 4, z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 9, x ≤ 0 99/1

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02 Campos Escalares e Vectoriais

  • 1.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Campos escalares e vectoriais - Parte 1 Topologia Limites An´lise Matem´tica 2 a a Continuidade 2o Semestre 2011/12 Vers˜o de 16 de Maio de 2012 a 1/1
  • 2.
    AM2 Fun¸oes c˜ Fun¸˜es co Neste cap´ ıtulo trabalhamos com fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, n˜o simultˆneamente iguais a 1) a a Topologia Limites Se m = n = 1 estas fun¸˜es designam-se por fun¸˜es reais de co co Continuidade vari´vel real e foram estudadas em AM1. a f : R −→ R Se m = 1 estas fun¸˜es designam-se por campos escalares ou co fun¸˜es escalares. co f : Rn −→ R (n > 1) Se m > 1 estas fun¸˜es designam-se por campos vectoriais ou co fun¸˜es vectoriais. co f : Rn −→ Rm (n ≥ 1) 2/1
  • 3.
    AM2 Exemplos: Fun¸˜es co Dom´ ınio 1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y , z) = x + y + z Linhas de n´ ıvel Topologia 2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que Limites x Continuidade f (x, y ) = x + y , x − y , xy , y 3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que f (latitude, longitude) = (altitude) 4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura) 5 f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que f (latitude, longitude) = vector que indica a direc¸˜o e intensidade do vento ca 6 f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que f (x, y , z) = vector que indica a direc¸˜o de escoamento de um flu´ em ca ıdo movimento 3/1
  • 4.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 4/1
  • 5.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 5/1
  • 6.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 6/1
  • 7.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 7/1
  • 8.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 8/1
  • 9.
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  • 10.
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  • 11.
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  • 12.
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  • 13.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 13/1
  • 14.
    AM2 Dado o campo vectorial Fun¸˜es co Dom´ ınio f : R2 −→ R4 Linhas de n´ ıvel Topologia x Limites f (x, y ) = xy , x 2 − y , x − 3y , √ Continuidade y ´ composto por 4 fun¸˜es componentes ou fun¸˜es e co co coordenadas que s˜o: a f1 (x, y ) = xy f2 (x, y ) = x 2 − y f3 (x, y ) = x − 3y x f4 (x, y ) = √ y Nota: estas fun¸˜es s˜o campos escalares. co a 14/1
  • 15.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das seguintes fun¸˜es: c c a co Linhas de n´ ıvel Topologia 1 f (x, y ) = 5 Limites 2 f (x, y ) = x Continuidade 3 f (x, y ) = x + y 4 f (x, y ) = y 2 5 f (x, y ) = 2 + cos(x) 6 f (x, y ) = x 2 + y 2 7 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3 8 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3 9 f (x, y ) = 9 − x2 − y2 √ 10 f (x, y ) = − 25 − x 2 15/1
  • 16.
    AM2 Dom´ ınio Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o (Dom´ de uma fun¸˜o) ca ınio ca Limites Dada uma fun¸˜o f : Rn −→ Rm (n, m ≥ 1) define-se o ca Continuidade dom´ınio de f por Df = {x ∈ Rn : ∃1 y ∈ IR m , f (x) = y } Exemplo: x f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que f (x, y ) = x + y , x − y , xy , y tem como dom´ D = {(x, y ) ∈ R2 : y = 0} ınio 16/1
  • 17.
    AM2 1 ⇒ a ∈ R {0} Fun¸˜es co a √ Dom´ ınio a ⇒ a ∈ R+ 0 Linhas de n´ ıvel ln(a) ⇒ a ∈ R+ Topologia Limites |a| ⇒ a ∈ R Continuidade an ⇒ a ∈ R (n ∈ N) cos(a) ⇒ a ∈ R sin(a) ⇒ a ∈ R π tan(a) ⇒ a ∈ R + kπ, k ∈Z 2 arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1] arcsin(a) ⇒ a ∈ [−1, 1] arctan(a) ⇒ a ∈ R ... 17/1
  • 18.
    AM2 Fun¸˜es co Determine o dom´ das seguintes fun¸˜es e represente-o ınio co Dom´ ınio geometricamente: Linhas de n´ ıvel 1 f (x, y ) = (ln(x), ln(y ), x − y ) Topologia x Limites 2 f (x, y ) = y Continuidade 3 f (x, y ) = √ 1 2 2 4−x −y √ 4 f (x, y ) = ( −x 2 + 1, 4 − y 2) −3 5 f (x, y , z) = ( √ , ze x , y ) x 2 +y 2 +z 2 −9 √ 6 f (x, y ) = arcsin( x ) + xy 2 7 f (x, y ) = ln( x−y ) 2x 8 f (x, y ) = y − 2x 2 18/1
  • 19.
    AM2 Linhas e Superf´ ıcies de N´ ıvel Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de n´ k ao ıvel Limites Continuidade conjunto: Nk = {(x, y ) ∈ R2 : k = f (x, y ), (x, y ) ∈ Df } (k ∈ Df ) Se f : R3 −→ R chama-se superf´ de n´ k ao ıcie ıvel conjunto: Nk = {(x, y , z) ∈ R3 : k = f (x, y , z), (x, y , z) ∈ Df } (k ∈ Df ) http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html 19/1
  • 20.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 20/1
  • 21.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 21/1
  • 22.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 22/1
  • 23.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 23/1
  • 24.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 24/1
  • 25.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 25/1
  • 26.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 26/1
  • 27.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 27/1
  • 28.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Calcule algumas linhas de n´ das fun¸˜es que se seguem at´ ıvel co e Topologia conseguir fazer um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o: c a ca Limites 1 f (x, y ) = xy Continuidade 2 f (x, y ) = x 2 − y 2 3 f (x, y ) = y − cos(x) 1 4 f (x, y ) = e x 2 +y 2 5 f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 ) 6 f (x, y ) = |x| + |y | 7 f (x, y , z) = x2 + y2 − z2 (ver figuras) 28/1
  • 29.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 29/1
  • 30.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 30/1
  • 31.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 31/1
  • 32.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 32/1
  • 33.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 33/1
  • 34.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 34/1
  • 35.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 35/1
  • 36.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 36/1
  • 37.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 37/1
  • 38.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 38/1
  • 39.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 39/1
  • 40.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 40/1
  • 41.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 41/1
  • 42.
    AM2 Distˆncia a Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o (Distˆncia) ca a Limites Continuidade Dados dois pontos de Rn , P = (x1 , ..., xn ) e P = (x1 , ...xn ) a distˆncia euclideana entre eles ´ dada por a e d(P, P ) = (x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 + ... + (xn − xn )2 −→ − Nota: d(P, P ) = ||PP || ´ a norma ou comprimento do vector e −→ − PP . 42/1
  • 43.
    AM2 Bola aberta ou Vizinhan¸a c Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Defini¸˜o (Bola aberta ou Vizinhan¸a) ca c Continuidade Diz-se vizinhan¸a ε de um ponto a ∈ Rn (Bola aberta de c centro em a e raio ε) ao conjunto Bε (a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < ε} ou Bε (a) = {x ∈ Rn : ||x − a|| < ε}. 43/1
  • 44.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Calcule: Linhas de n´ ıvel B5 (3) = Topologia Limites Continuidade B2 (2, −3) = B3 (1, 2, 3) = 44/1
  • 45.
    AM2 Defini¸˜o ca Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn . Fun¸˜es co Dom´ ınio a ´ interior a X se e Linhas de n´ ıvel Topologia ∃ε : Bε (a) ⊂ X ; Limites Continuidade se existe uma Bola de centro em a toda contida em X . a ´ exterior a X se e ∃ε : Bε (a) ⊂ Rn X ; se existe uma Bola de centro a que n˜o tem pontos de X . a a ´ fronteiro a X se ∀ε > 0 e Bε (a) ∩ X = ∅ e Bε (a) ∩ (Rn X ) = ∅, se qualquer Bola de centro em a tem pontos de X e de Rn X . 45/1
  • 46.
    AM2 Defini¸˜o ca Fun¸˜es co Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn . Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel a ´ ponto de acumula¸˜o de X se e ca Topologia Limites ∀ε > 0, Bε (a) ∩ (X {a}) = ∅; Continuidade se qualquer vizinhan¸a de a tem infinitos pontos de X c distintos de a. a ´ ponto isolado de X se e ∃ε > 0, : Bε (a) ∩ X = {a}; se existe uma Bola de centro em a que o unico ponto que ´ tem de X ´ o pr´prio a. e o a ´ aderente a X se a ∈ X ou a ∈ fr (X ) e 46/1
  • 47.
    AM2 Defini¸˜o ca Fun¸˜es co Interior de X : int(X ) ´ o conjunto dos pontos interiores e Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel aX Topologia Exterior de X :ext(X ) ´ o conjunto dos pontos exteriores e Limites aX Continuidade Fronteira de X : fr (X ) ´ o conjunto dos pontos fronteiros e de X Derivado de X : X ´ o conjunto dos pontos de e acumula¸˜o de X ca ¯ e Aderˆncia de X : X ´ o conjunto dos pontos aderentes a e X Teorema int(X ) ∪ ext(X ) ∪ fr (X ) = Rn e s˜o disjuntos 2 a 2 a 47/1
  • 48.
    AM2 Fun¸˜es co Defini¸˜o ca Dom´ ınio Um conjunto X de Rn ´ e Linhas de n´ ıvel Topologia aberto se X = int(X ) (⇔ X ∩ fr (x) = ∅) Limites ¯ fechado se X = X (⇔ fr (X ) ⊂ X ) Continuidade limitado se existir uma bola que o contenha. compacto se for limitado e fechado. Nota: Existem conjuntos que n˜o s˜o abertos nem fechados a a ∅ e Rn s˜o abertos e fechados. a 48/1
  • 49.
    AM2 Seja X o conjunto de R2 colorido a vermelho: Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade Complete: { } ∈ int(X ) { } ∈ ext(X ) { } ∈ fr (X ) { }∈X { ¯ }∈X { } ∈ Pontos Isolados de X 49/1
  • 50.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel 1 Classifique topologicamente os conjuntos: Topologia 1 A = (x, y ) ∈ R2 : −x 2 + 1 < y < −2x 2 + 2 Limites 2 B = (x, y ) ∈ R2 : |x| ≤ 1 ∧ |y | ≤ e x Continuidade 3 C = (x, y ) ∈ R2 : (x 2 + y 2 − 1)(4 − x 2 − y 2 ) > 0 2 Calcule o dom´ ınio, Df , das seguintes fun¸˜es. Represente co geometricamente e classifique topologicamente Df . 1 f (x, y ) = x(1 − |y |) x 2 +y 2 (x, y ) = (0, 0) 2 f (x, y ) = x−y 1 (x, y ) = (0, 0) x 3 f (x, y ) = ln( y ) + arcsin(x 2 + y 2 ) 4 f (x, y ) = ln(y − x) 9 − x 2 − (y + 1)2 50/1
  • 51.
    AM2 Limite Fun¸˜es co Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em R2 ) ca Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (x0 , y0 ) um ponto de acumula¸˜o do ca Topologia dom´ Df . ınio Limites O limite de f (x, y ) quando (x, y ) tende para (x0 , y0 ) ´ l, e e Continuidade escreve-se lim f (x, y ) = l (x,y )→(x0 ,y0 ) se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(x0 , y0 )}, (x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (l) ou seja, (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε =⇒ |f (x, y ) − l| < δ) 51/1
  • 52.
    AM2 Geometricamente Fun¸˜es co Este limite implica que, Dom´ ınio para qualquer ponto (x, y ) = (x0 , y0 ) do dom´ de f , ınio Linhas de n´ ıvel no disco de raio ε, Topologia o valor de f (x, y ) esteja entre os planos de equa¸˜o z = l − δ e ca Limites z = l + δ, Continuidade ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ. 52/1
  • 53.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 53/1
  • 54.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 54/1
  • 55.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 55/1
  • 56.
    AM2 Exemplo: Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Vejamos se Topologia lim 5+4 x2 + y2 = 5 (x,y )→(0,0) Limites Continuidade ou seja, vejamos se ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(0, 0)}, (x, y ) ∈ Bε (0, 0) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (5) ou seja, (x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x, y ) − 5| < δ) 1 1 Determine ε sendo δ = 10, δ = 10 , δ= 100 , δ qualquer... 56/1
  • 57.
    AM2 Revis˜es: o |ab| = |a| |b| a |a| Fun¸˜es co = Dom´ ınio b |b| Linhas de n´ ıvel |a + b| ≤ |a| + |b| Topologia Limites Continuidade ab = |a|b √ |a| = a2 |a| ≤ a2 + b 2 a2 0≤ ≤1 a2 + b2 | sin(a)| ≤ 1 π | arctan(a)| ≤ 2 57/1
  • 58.
    AM2 Exerc´ ıcios: I Fun¸˜es co Dom´ ınio Mostre, por defini¸˜o de limite, que: ca Linhas de n´ ıvel 1 lim f (x, y ) = 0 onde f (x, y ) = 3 x 2 + y 2 cos(xy ) (x,y )→(0,0) Topologia Limites Continuidade 2 lim f (x, y ) = 0 onde (x,y )→(0,0) f (x, y ) = 2 sin(x + y ) x 2 + y 2 3 lim f (x, y ) = 7 onde f (x, y ) = 2x + y (x,y )→(2,3) 4 lim x =2 (x,y )→(2,1) 5 lim 4xy = 0 (x,y )→(0,0) 58/1
  • 59.
    AM2 Exerc´ ıcios: II Fun¸˜es co x 2y 2 6 lim = 0 (ver fig.) Dom´ ınio (x,y )→(0,0) x2 + y2 Linhas de n´ ıvel Topologia 4x 3 Limites 7 lim =0 Continuidade (x,y )→(0,0) x 2 + y2 1 8 lim = 0 (se poss´ - ver fig.) ıvel (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 4 + 2y 3 9 lim =0 (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 y 10 lim xy sin( ) = 0 (x,y )→(0,0) x 59/1
  • 60.
    AM2 Exerc´ ıcios: III Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 11 lim (x 2 + y 2 ) arctan(xy ) = 0 (x,y )→(0,0) 60/1
  • 61.
    AM2 Limite Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em Rn ) ca Linhas de n´ ıvel Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a um ponto de acumula¸˜o do ca Topologia dom´ Df . ınio Limites O limite de f (x) quando x tende para a ´ l, e escreve-se e Continuidade lim f (x) = l x→a se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ Df {a}, x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l) ou seja, (x1 − a1 )2 + ...(xn − an )2 < ε =⇒ |f (x) − l| < δ) 61/1
  • 62.
    AM2 Proposi¸˜o (Propriedades dos limites) ca Fun¸˜es co Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas fun¸˜es co Dom´ ınio escalares e a um ponto de acumula¸˜o de Df ∩ Dg . ca Linhas de n´ ıvel Se limx→a f (x) = l1 e limx→a g (x) = l2 ent˜o a Topologia Limites O limite ´ unico. e´ Continuidade lim (f (x) + g (x)) = l1 + l2 x→a lim (f (x).g (x)) = l1 .l2 x→a f (x) l1 lim = x→a g (x) l2 lim (cf (x)) = c.l1 x→a 62/1
  • 63.
    AM2 Limite relativo Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limite relativo a um conjunto) ca Linhas de n´ ıvel Topologia Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e a um Limites ponto de acumula¸˜o do dom´ Df . O limite de f (x) ca ınio Continuidade relativo a S quando x tende para a ´ l, e escreve-se e lim f (x) = l x→a x∈S se e s´ se o ∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ S {a}, x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l) No caso em que S = (x, y ) ∈ R2 : y = mx + b a estes limites chamam-se os limites direccionais. 63/1
  • 64.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Proposi¸˜o ca Linhas de n´ ıvel Se o limite existir ent˜o o limite relativo a qualquer conjunto a Topologia existe e tem o mesmo valor. Limites Continuidade Exerc´ ıcio: Que pode concluir se encontrar dois limites relativos diferentes? iguais? 64/1
  • 65.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Utilize limites relativos para estudar os limites: Dom´ ınio x2 1 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 Linhas de n´ ıvel Topologia Limites xy Continuidade 2 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 3 lim (ver fig.) (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x −y 4 lim (x,y )→(0,0) x + y 4xy 5 lim (x,y )→(0,0) x 2+ y2 xy 2 6 lim(x,y )→(0,0) (x+y 2 )2 65/1
  • 66.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 66/1
  • 67.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 67/1
  • 68.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 68/1
  • 69.
    AM2 Limites e propriedades Fun¸˜es co Dom´ ınio Defini¸˜o (Limites iterados ou sucessivos) ca Linhas de n´ ıvel Topologia Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸˜o do ca Limites dom´ Df , ent˜o os limites ınio a Continuidade lim lim f (x, y ) , lim lim f (x, y ) x→a y →b y →b x→a dizem-se limites iterados ou sucessivos. Nota: o caso geral, de uma fun¸˜o definida em Rn , ´ ca e limx1 →a1 (· · · (limxn →an f (x1 , · · · , xn ))). Proposi¸˜o ca Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e forem finitos) ent˜o n˜o existe limite. a a 69/1
  • 70.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Utilize limites iterados para estudar os limites: Continuidade x − 2y 1 lim (x,y )→(0,0) x + y 4xy 2 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )5 70/1
  • 72.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites I Fun¸˜es co Dom´ ınio Estude a existˆncia dos seguintes limites. e Linhas de n´ ıvel x 4 + 2y 2 Topologia 1 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 Limites Continuidade y2 2 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y2 x 2y 3 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )2 y −2 4 lim (x,y )→(−3,2) x + 3 72/1
  • 73.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites II Fun¸˜es co xy + 3 5 lim Dom´ ınio (x,y )→(0,0) 1 − 2x 2 Linhas de n´ ıvel Topologia xy 2 Limites 6 lim (x,y )→(0,0) x 2 + y 4 Continuidade 1 7 lim x sin (x,y )→(0,0) y xy 8 lim (x,y )→(0,0) x 2 + 3y 2 x 2y 9 lim (x,y )→(0,0) (x 2 + y )2 73/1
  • 74.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites III Fun¸˜es co x 4y Dom´ ınio 10 lim (x,y )→(0,0) y 3 − x 6 Linhas de n´ ıvel Topologia Limites x 2y 11 lim Continuidade (x,y )→(0,0) (y + x 2 )2 x +y −2 12 lim (x,y )→(1,1) x −y 13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo   1 − 2y + x se x + y < 1 f (x, y ) = 1 se x + y = 1 2 − x + y se x + 1 > 1.  74/1
  • 75.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites IV Fun¸˜es co Dom´ ınio 14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo Linhas de n´ ıvel  Topologia  x +y se x > 0 Limites f (x, y ) = 2 se x = 0 x − y + 2 se x < 0.  Continuidade 15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite de f , sendo   1 − 2y + x se x + y < 0 f (x, y ) = 4 se x + y = 0 6−x +y se x + 1 > 0.  75/1
  • 76.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites V Fun¸˜es co Dom´ ınio 16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo Linhas de n´ ıvel Topologia 2x − y se y < x f (x, y ) = Limites x2 se y ≥ x. Continuidade 17 lim g (x, y ) e lim g (x, y ) onde (x,y )→(0,0) (x,y )→(0,2)  4−x 2 −y 2  e se x 2 + y 4 ≥ 4 g (x, y ) = e se (x, y ) = (0, 0) 1 se x 2 + y 2 < 4  x 2 +y 2 76/1
  • 77.
    AM2 Exerc´ ıcios Globais de Limites VI Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites 18 lim f (x, y ) onde Continuidade (x,y )→(0,−4) x2 x 2 +(y +4)2 se (x, y ) = (0, −4) f (x, y ) = 1 se (x, y ) = (0, −4) 77/1
  • 78.
    AM2 Limite Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o (Limite de fun¸˜es vectoriais) ca co Topologia Seja Limites Continuidade f : Df ⊆ Rn −→ Rm x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x)) e a um ponto de acumula¸˜o do dom´ Df =D ca ınio . f1 ∩Df2 ∩...∩Dfm O limite de f (x) quando x tende para a ´ um vector de m e coordenadas onde cada uma corresponde ao limite da fun¸˜o ca coordenada respectiva. Assim lim f (x) = lim f1 (x), ... lim fm (x) x→a x→a x→a 78/1
  • 79.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade Calcule: 1 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = (x 2 , xy 2 ) (x,y )→(1,2) 3xy 2 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ), x 2 +y 2 (x,y )→(0,0) 79/1
  • 80.
    AM2 Fun¸˜o composta (campos ca Fun¸˜es co escalares) Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas fun¸˜es co Limites escalares. Define-se a fun¸˜o composta de f com g como ca Continuidade f : D ⊆ Rn −→ R x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) sendo D = {x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df } 80/1
  • 81.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites √ Continuidade 1 Seja f (t) = t e g (x, y ) = x 2 + y 2 + 2. Calcule (f ◦ g )(1, 3), (f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ). 2 Seja f (t) = t 3 e g (x, y ) = x − 4y . Calcule (f ◦ g )(1, 3), (f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ). 81/1
  • 82.
    AM2 Fun¸˜o composta (campos ca Fun¸˜es co vectoriais) Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ Rp e f : Df ⊆ Rp −→ Rm duas Limites fun¸˜es vectoriais. Define-se a fun¸˜o composta de f com g co ca Continuidade como f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) sendo D = x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df 82/1
  • 83.
    AM2 Exerc´ ıcios Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites 1 Seja f (u, v ) = (e u , e v ) e g (x, y , z) = (x 2 + 2y 2 + z 2 , xyz). Continuidade Calcule, se existir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1), (f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ). 2 Seja f (u, v ) = (u + v , u − v , uv ) e g (x, y , z) = (xy , yz). Calcule, se exisitir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1), (f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ). 83/1
  • 84.
    AM2 Continuidade Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Defini¸˜o ca Limites Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e a um ponto de Df . Diz-se que f ´ e Continuidade cont´ınua em a se e s´ o ∃ lim f (x) e lim f (x) = f (a) x→a x→a Defini¸˜o ca f diz-se cont´ ınua num dado conjunto S se f ´ cont´ e ınua em todos os pontos de S. Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f ´ cont´ e ınua. 84/1
  • 85.
    AM2 Propriedades das fun¸˜es co Fun¸˜es co cont´ ınuas Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Proposi¸˜o ca Topologia Limites Sejam f e g duas fun¸˜es escalares com dom´ contido em co ınio Continuidade Rn e cont´ ınuas em a. Ent˜o, a f f + g, f − g, f .g e (g (a) = 0) g s˜o cont´ a ınuas em a. Proposi¸˜o ca Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R cont´ ınua em a e f : Df ⊆ R −→ R cont´ ınua em g (a). Ent˜o a f ◦ g ´ cont´ e ınua em a. 85/1
  • 86.
    AM2 Exerc´ ıcios I Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Estude quanto ` continuidade:1 (ver figuras) a Topologia 1 Limites x2 + sin(x + y ) − e cos(y ) f (x, y ) = Continuidade x −3 2  2xy se (x, y ) = (0, 0)  f (x, y ) = x2+ y2  0 se (x, y ) = (0, 0) 3 xy 2  se (x, y ) = (0, 0)  f (x, y ) = x2 + y2 0 se (x, y ) = (0, 0)  86/1
  • 87.
    AM2 Exerc´ ıcios II Fun¸˜es co 4  xy x 2 − y 2  Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) = x2 + y2 Topologia 0 se (x, y ) = (0, 0)  Limites Continuidade 5   2x + 3y se x = y f (x, y ) = x −y  5 se x = y 6   xy + 1 se y = x 2 f (x, y ) = x2 − y  0 se y = x 2 7 1 − x 2 − y 2 se x 2 + y 2 ≤ 1 f (x, y ) = 0 se x 2 + y 2 > 1 87/1
  • 88.
    AM2 Exerc´ ıcios III Fun¸˜es co 8 Dom´ ınio x +y se x = y Linhas de n´ ıvel f (x, y ) = 0 se x = y Topologia Limites 9 xy Continuidade se x 2 = y 2 f (x, y ) = x2 − y2 0 se x 2 = y 2 10 (x − 1)y 2  se (x, y ) = (1, 0)  f (x, y ) = (x − 1)2 + y 2 10 se (x, y ) = (1, 0)  11 x + y se y ≤ x 2 f (x, y ) = 3x − 1 se y > x 2 88/1
  • 89.
    AM2 Exerc´ ıcios IV Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia 12 Limites e y − 2x se y ≤ 2x Continuidade f (x, y ) = ln(y − 2x) se y > 2x 13   1 − 2y + x se y + x < 0 f (x, y ) = 4 se y + x = 0 6−x +y se y + x > 0  1 Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/ 89/1
  • 90.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 90/1
  • 91.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 91/1
  • 92.
    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 92/1
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    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 93/1
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    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 94/1
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    AM2 Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Limites Continuidade 95/1
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    AM2 Prolongamento cont´ ınuo Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Uma fun¸˜o f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolong´vel por ca a Topologia continuidade ao ponto a ( a ∈ Df ), Limites se e s´ se o Continuidade a ∈ Df e existe lim f (x) . (x)→a O Prolongamento (cont´ ınuo) de f a a ´ e f (x) se x ∈ Df f (x) = lim f (x) se x = a x→a Nota: esta fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua. 96/1
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    AM2 Exerc´ ıcios I Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Topologia Determine, se existirem, prolongamentos cont´ ınuos de: Limites 1 − 1 f (x, y ) = e x 2 +y 2 Continuidade 1 2 f (x, y ) = x 2 cos x 2 +y 2 x 2y 3 f (x, y ) = x 4 +y −sin(x) ao ponto (0, 0) x2 4 f (x, y ) = x 3 +y −tan(x) ao ponto (0, 0) x 3 cos(y )+y 3 cos(x) 5 f (x, y ) = x 2 +y 2 ao ponto (0, 0) 97/1
  • 98.
    AM2 Continuidade de fun¸oes vectoriais c˜ Fun¸˜es co Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel Defini¸˜o ca Topologia Uma fun¸˜o vectorial ´ cont´ ca e ınua num ponto se e s´ se todas o Limites as suas fun¸˜es coordenadas forem cont´ co ınuas nesse ponto. Continuidade Exerc´ ıcios: Estude quanto ` continuidade a fun¸˜o vectorial a ca f (x, y ) = (f1 (x, y ), f2 (x, y )) onde x5  se (x, y ) = (0, 0)  f1 (x, y ) = x2 + y2 1 se (x, y ) = (0, 0)  e f2 (x, y ) = cos(x + y ) 98/1
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    AM2 Fa¸a um esbo¸o das seguintes regi˜es c c o Fun¸˜es co 1 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 3, z ≥ 0 Dom´ ınio Linhas de n´ ıvel 2 (x, y , z) ∈ R3 : −9 ≤ − x 2 + y 2 , y ≥ 0 Topologia 3 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4, y ≤ 0 Limites Continuidade 4 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16, z ≤ 0, x ≥ 0 5 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0 6 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 2 − x 2 + y 2, y ≥ 0 7 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z 2 + 3, y ≤ x 8 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x 2 + y 2, y ≥ 0 9 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≥ 4, z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 9, x ≤ 0 99/1