Este documento apresenta soluções de exercícios de geometria plana e espacial para o curso de nivelamento de engenharia química da UFAL. Os exercícios incluem determinar ângulos, áreas e volumes utilizando teoremas geométricos como Pitágoras e semelhança de triângulos.

1. Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Unidade Acadêmica Centro de Tecnologia – U.A. CTEC
Curso de Engenharia Química
Curso de Nivelamento 2010
Geometria Plana e Espacial
Solução dos Exercícios
Hélvio de Farias Costa Peixoto
6º período de Engenharia Civil

2. Exercício
• Determine o ângulo θ.
Resp: 93°

3. Solução
Prolonga-se o segmento t até
que este toque a reta r. O ângulo agudo
formado entre os dois é igual ao ângulo
formado por t e s (48°). Prolonga-se o
segmento w e nota-se que o ângulo de
51° é oposto pelo vértice ao ângulo α,
que, portanto também é 51°. O ângulo β é
suplementar de α, logo é 129º.
γ
Sendo assim, faz-se o somatório
t dos ângulos internos do quadrilátero
β formado pelos prolongamentos e esta
α deve ser igual a 360°. É achado então o
ângulo γ que é de 87º, mas este é
suplementar de θ, que vale então 93º.

4. Exercício
Resp:

5. Solução
Utiliza-se o teorema de pitágoras no triângulo ADE
e no triângulo EFB, obtendo as equações e
, respectivamente. O sistema é
L resolvido para L². O valor obtido é .
A área do triângulo é calculada através da fórmula
para a área de um triângulo equilátero ( ).
1 O valor obtido é .
L
L x-1
x x-1

6. Exercício
• Ache a área colorida na figura:
Resp: 12cm²

7. Solução
A área dos retângulos em azul é igual a
4cm². A área em roxo deve ser dividida
em duas partes, um semi círculo completo
e a área de um retângulo menos a de um
semi círculo.
A área do semi círculo é .
Sendo assim, a área do retângulo menos
a do semi círculo é .
E a área total é a soma de todas as
parcelas, que é igual a 12cm².

8. Exercício
• Determine o volume de um cubo inscrito
numa esfera de 8 cm de raio.
Resp:

9. Solução
Note que a diagonal principal do cubo
é igual a duas vezes o raio da esfera,
ou seja, o seu diâmetro. Mas sabe-se
que a diagonal de um cubo é dada
por , onde “a” é a dimensão dos
r lados do cubo. Sabendo que d =
r
centro 16cm, pode-se calcular “a” como
Calcula-se então o volume como
sendo . Que fornece

10. Exercício
Resp: 3 m

11. Solução
Inicialmente deve ser calculado o volume
2m
4m
total de água disponível, que é o volume
do cilindro dado por .
A altura de água “h” é igual nos dois cones
r2
devido ao vaso comunicante entre eles.
6m r1
Realizando semelhança de triângulo nos
dois cones, vemos as seguintes
h
h proporções: e . Assim, o volume
dos cones pode ser calculado em função
dos raios r1 e r2. Sabendo que o volume
inicial de água não se alterou, temos que
, que fornece .
Resolvendo para h, temos que h=3m.

12. Exercício
Resp:. 94

13. Solução
x A soma da área do quadrado com a do
trapézio é dada por
x x
Se considerarmos A uma função de x, A(x),
x podemos esboçar seu gráfico e perceber
que seu valor mínimo se dá quando ,
isto é, no vértice da função.
12-x O valor de y mínimo é y=94.

14. Exercício
Resp:.
376 +18π

15. Solução
A área lateral é calculada através de
A área das bases é obtida pela área dos
retângulos de base, menos o furo
E, por fim, a área do cilindro interno que é
dada por
A área total é dada pela soma destas 3
áreas, sendo .

16. Exercício
Resp:.

17. Solução
O volume contido no cilindro, na primeira
situação, é o volume da esfera grande (r=2)
mais o volume de líquido. Sendo assim, temos
que o volume total é
r Então .
No segundo caso, temos que o volume Raio do Altura do
cilindro
total é o do líquido mais o da esfera clinidro
menor (r=?) o que fornece
2r
Resolvendo para r, chegamos à seguinte
2r função . Sabendo que 2 é raizRaio do Altur do
cilindro
desta equação, podemos utilizar o método de clinid
briot ruffini para solucionar a equação. Obtendo
o valor r =

18. Obrigado Pela Atenção!!!!!!