O documento contém 4 questões de uma prova de Cálculo I. A Questão 1 contém 7 itens sobre análise de função, incluindo determinar domínio, derivadas, intervalos de crescimento/decrescimento e esboçar o gráfico. A Questão 2 pede dois limites. A Questão 3 pede calcular a taxa de elevação da água em um copo de papel em diferentes profundidades. A Questão 4 pede encontrar a maior área possível de um trapézio inscrito em semicírculo.

1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Segunda Prova de Cálculo I – 2010/2
Aluno:___________________________________________________________________
Data: 29/10/2010
Questão 1 (3,5 pontos)
Considere a função f ( x ) =
2x
.
x3 − 2
a) Determine o domínio de f .
b) Determine as assíntotas verticais e horizontais de f .
x3 + 1
c) Mostre que f ' ( x ) = −4
(x − 2 )
.
3 2
x 2 (x3 + 4 )
d) Mostre que f ' ' ( x ) = 12
(x − 2 )
.
3 3
e) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , e os pontos de extremos
locais de f.
f) Determine os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem
concavidade para baixo, e os pontos de inflexão de f.
g) Utilize as informações obtidas nos itens anteriores parar esboçar o gráfico de f .
Questão 2 (3,0 pontos)
Determine:
a) lim ( 2 − x ) tg (π x 2 ) ;
x →1
b) y ' ' , sendo que x 3 + y 3 = 1 .
Questão 3 (1,5 ponto)
Um copo de papel tem a forma de um cone circular reto com 10 cm de altura e 3 cm de raio
(no topo). Água é colocada dentro do copo a uma taxa (vazão) constante. A rapidez com
que o nível da água se eleva, quando ela tem 2 cm de profundidade, é 1 cm/s. Determine a
rapidez com que o nível da água se eleva, quando ela tem 6 cm de profundidade.
Questão 4 (2,0 pontos)
Um trapézio ABCD está inscrito em um semicírculo de raio 2, de modo que o lado AB
coincida com o diâmetro. Determine o maior valor possível para a área de ABCD.
ˆ
(Sugestão: expresse a área de ABCD em função do ângulo AOD , sendo O o centro do
semicírculo.)