Este documento apresenta exemplos de funções de várias variáveis e discute o conceito de domínio de uma função. Apresenta seis exemplos de funções que mapeiam espaços Rn para Rm, onde n e m podem ser iguais ou diferentes. Também define formalmente o domínio de uma função e ilustra com um exemplo onde o domínio é restrito a valores onde a função é bem definida.

1. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Campos Escalares e Vetoriais
An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2
2013/14 - Semestre de Ver˜ao
1/86

2. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Fun¸c˜oes
Neste cap´ıtulo trabalhamos com fun¸c˜oes
f : Rn
−→ Rm
(n, m ∈ N, n˜ao simultˆaneamente iguais a 1)
Se m = n = 1 estas fun¸c˜oes designam-se por fun¸c˜oes reais de
vari´avel real e foram estudadas em AM1.
f : R −→ R
Se m = 1 estas fun¸c˜oes designam-se por campos escalares ou
fun¸c˜oes escalares.
f : Rn
−→ R (n > 1)
Se m > 1 estas fun¸c˜oes designam-se por campos vetoriais ou
fun¸c˜oes vetoriais.
f : Rn
−→ Rm
(n ≥ 1)
2/86

3. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
3/86

4. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
3/86

5. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
3/86

6. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que
f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)
3/86

7. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que
f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)
5 f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que f (latitude, longitude) =
vetor que indica a direc¸c˜ao e intensidade do vento
3/86

8. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplos:
1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y, z) = x + y + z
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que
f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)
5 f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que f (latitude, longitude) =
vetor que indica a direc¸c˜ao e intensidade do vento
6 f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que f (x, y, z) =
vetor que indica a direc¸c˜ao de escoamento de um flu´ıdo em
movimento
3/86

9. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
4/86

10. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
5/86

11. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
6/86

12. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
7/86

13. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
8/86

14. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
9/86

15. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
10/86

16. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
11/86

17. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
12/86

18. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
13/86

19. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Dado o campo vetorial
f : R2
−→ R4
f (x, y) = xy, x2
− y, x − 3y,
x
√
y
´e composto por 4 fun¸c˜oes componentes ou fun¸c˜oes
coordenadas que s˜ao:
f1(x, y) = xy
f2(x, y) = x2
− y
f3(x, y) = x − 3y
f4(x, y) =
x
√
y
Nota: estas fun¸c˜oes s˜ao campos
14/86

20. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Dado o campo vetorial
f : R2
−→ R4
f (x, y) = xy, x2
− y, x − 3y,
x
√
y
´e composto por 4 fun¸c˜oes componentes ou fun¸c˜oes
coordenadas que s˜ao:
f1(x, y) = xy
f2(x, y) = x2
− y
f3(x, y) = x − 3y
f4(x, y) =
x
√
y
Nota: estas fun¸c˜oes s˜ao campos escalares.
14/86

21. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios
Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes:
1 f (x, y) = 5
2 f (x, y) = x
3 f (x, y) = x + y
4 f (x, y) = y2
5 f (x, y) = 2 + cos(x)
6 f (x, y) = x2 + y2
7 f (x, y) = − x2 + y2 + 3
8 f (x, y) = − x2 + y2 + 3
9 f (x, y) = 9 − x2 − y2
10 f (x, y) = −
√
25 − x2
15/86

22. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Dom´ınio
Defini¸c˜ao (Dom´ınio de uma fun¸c˜ao)
Dada uma fun¸c˜ao f : Rn −→ Rm (n, m ≥ 1) define-se o
dom´ınio de f por
Df
= {x ∈ Rn
: ∃1
y ∈ IRm
, f (x) = y}
Exemplo:
f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
tem como dom´ınio
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23. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Dom´ınio
Defini¸c˜ao (Dom´ınio de uma fun¸c˜ao)
Dada uma fun¸c˜ao f : Rn −→ Rm (n, m ≥ 1) define-se o
dom´ınio de f por
Df
= {x ∈ Rn
: ∃1
y ∈ IRm
, f (x) = y}
Exemplo:
f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que f (x, y) = x + y, x − y, xy,
x
y
tem como dom´ınio D = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}
16/86

24. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒
17/86

25. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒
17/86

26. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒
17/86

27. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒
17/86

28. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒
17/86

29. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒
17/86

30. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒
17/86

31. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
tan(a) ⇒
17/86

32. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
tan(a) ⇒ a ∈ R
π
2
+ kπ, k ∈ Z
arccos(a) ⇒
17/86

33. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
tan(a) ⇒ a ∈ R
π
2
+ kπ, k ∈ Z
arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arcsin(a) ⇒
17/86

34. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
tan(a) ⇒ a ∈ R
π
2
+ kπ, k ∈ Z
arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arcsin(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arctan(a) ⇒
17/86

35. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
1
a
⇒ a ∈ R {0}
√
a ⇒ a ∈ R+
0
ln(a) ⇒ a ∈ R+
|a| ⇒ a ∈ R
an
⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
tan(a) ⇒ a ∈ R
π
2
+ kπ, k ∈ Z
arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arcsin(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arctan(a) ⇒ a ∈ R
...
17/86

36. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Determine o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes e represente-o
geometricamente:
1 f (x, y) = (ln(x), ln(y), x − y)
2 f (x, y) = x
y
3 f (x, y) = 1√
4−x2−y2
4 f (x, y) = (
√
−x2 + 1, 4 − y2)
5 f (x, y, z) = ( −3√
x2+y2+z2−9
, zex , y)
6 f (x, y) = arcsin(x
2 ) +
√
xy
7 f (x, y) = ln(x−y
2x )
8 f (x, y) = y − 2x2
18/86

37. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Linhas e Superf´ıcies de N´ıvel
Defini¸c˜ao
Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de n´ıvel k ao
conjunto:
Nk = {(x, y) ∈ R2
: k = f (x, y), (x, y) ∈ Df}, (k ∈ Df )
Se f : R3 −→ R chama-se superf´ıcie de n´ıvel k ao
conjunto:
Nk = {(x, y, z) ∈ R3
: k = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Df} (k ∈ Df )
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html
19/86

38. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
20/86

39. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
21/86

40. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
22/86

41. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
23/86

42. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
24/86

43. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
25/86

44. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
26/86

45. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
27/86

46. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios
Calcule algumas linhas de n´ıvel das fun¸c˜oes que se seguem at´e
conseguir fazer um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao:
1 f (x, y) = xy
2 f (x, y) = y − cos(x)
3 f (x, y) = e
1
x2+y2
4 f (x, y) = ln(x2 + y2)
5 f (x, y) = |x| + |y|
6 f (x, y) = (x−y)2
x2+y2 (aten¸c˜ao: dom´ınio em k=1)
7 f (x, y, z) = x2 + y2 − z2
(ver figuras)
28/86

47. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
29/86

48. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
30/86

49. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
31/86

50. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
32/86

51. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
33/86

52. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
34/86

53. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
35/86

54. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
36/86

55. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
37/86

56. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
38/86

57. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
39/86

58. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Distˆancia
Defini¸c˜ao (Distˆancia)
Dados dois pontos de Rn, P = (x1, ..., xn) e P = (x1, ...xn) a
distˆancia euclideana entre eles ´e dada por
d(P, P ) = (x1 − x1)2 + (x2 − x2)2 + ... + (xn − xn)2
Nota: d(P, P ) = ||
−−→
PP || ´e a norma ou comprimento do vetor
−−→
PP .
40/86

59. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Bola aberta ou Vizinhan¸ca
Defini¸c˜ao (Bola aberta ou Vizinhan¸ca)
Diz-se vizinhan¸ca ε de um ponto a ∈ Rn (Bola aberta de
centro em a e raio ε) ao conjunto
Bε(a) = {x ∈ Rn
: d(x, a) < ε}
41/86

60. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Bola aberta ou Vizinhan¸ca
Defini¸c˜ao (Bola aberta ou Vizinhan¸ca)
Diz-se vizinhan¸ca ε de um ponto a ∈ Rn (Bola aberta de
centro em a e raio ε) ao conjunto
Bε(a) = {x ∈ Rn
: d(x, a) < ε}
ou
Bε(a) = {x ∈ Rn
: ||x − a|| < ε}.
41/86

61. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Calcule:
B5(3) =
B2(2, −3) =
B3(1, 2, 3) =
42/86

62. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Defini¸c˜ao (Limite de campo escalar definido em R2
)
Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınio Df .
O limite de f (x, y) quando (x, y) tende para (a, b) ´e l, e
escreve-se
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = l
se e s´o se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y) ∈ Df {(a, b)},
(x, y) ∈ Bε(a, b) =⇒ f (x, y) ∈ Bδ(l)
43/86

63. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Defini¸c˜ao (Limite de campo escalar definido em R2
)
Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınio Df .
O limite de f (x, y) quando (x, y) tende para (a, b) ´e l, e
escreve-se
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = l
se e s´o se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y) ∈ Df {(a, b)},
(x, y) ∈ Bε(a, b) =⇒ f (x, y) ∈ Bδ(l)
ou seja,
(x − a)2 + (y − b)2 < ε =⇒ |f (x, y) − l| < δ)
43/86

64. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Geometricamente
Este limite implica que,
para qualquer ponto (x, y) = (a, b) do dom´ınio de f ,
no disco de raio ε,
o valor de f (x, y) esteja entre os planos de equa¸c˜ao z = l − δ e
z = l + δ,
ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ.
44/86

65. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
45/86

66. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
46/86

67. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
47/86

68. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplo:
Vejamos se
lim
(x,y)→(0,0)
5 + 4 x2 + y2 = 5
ou seja, vejamos se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y) ∈ Df {(0, 0)},
(x, y) ∈ Bε(0, 0) =⇒ f (x, y) ∈ Bδ(5)
48/86

69. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exemplo:
Vejamos se
lim
(x,y)→(0,0)
5 + 4 x2 + y2 = 5
ou seja, vejamos se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y) ∈ Df {(0, 0)},
(x, y) ∈ Bε(0, 0) =⇒ f (x, y) ∈ Bδ(5)
ou seja,
(x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x, y) − 5| < δ)
Determine ε sendo δ = 10, δ = 1
10, δ = 1
100, δ qualquer...
48/86

70. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab|
49/86

71. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
49/86

72. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b|
49/86

73. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
49/86

74. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a|
49/86

75. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a| =
√
a2
|a|
49/86

76. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a| =
√
a2
|a| ≤ a2 + b2
0 ≤
a2
a2 + b2
≤
49/86

77. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a| =
√
a2
|a| ≤ a2 + b2
0 ≤
a2
a2 + b2
≤ 1
| sin(a)| ≤
49/86

78. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a| =
√
a2
|a| ≤ a2 + b2
0 ≤
a2
a2 + b2
≤ 1
| sin(a)| ≤ 1
| arctan(a)| ≤
49/86

79. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Revis˜oes: |ab| = |a| |b|
a
b
=
|a|
|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
ab
= |a|b
|a| =
√
a2
|a| ≤ a2 + b2
0 ≤
a2
a2 + b2
≤ 1
| sin(a)| ≤ 1
| arctan(a)| ≤
π
2 49/86

80. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios: I
Mostre, por defini¸c˜ao de limite, que:
1 lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0 onde f (x, y) = 3 x2 + y2 cos(xy)
2 lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0 onde
f (x, y) = 2 sin(x + y) x2 + y2
3 lim
(x,y)→(2,3)
f (x, y) = 7 onde f (x, y) = 2x + y
4 lim
(x,y)→(2,1)
x = 2
5 lim
(x,y)→(0,0)
4xy = 0
50/86

81. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios: II
6 lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2 + y2
= 0 (ver fig.)
7 lim
(x,y)→(0,0)
4x3
x2 + y2
= 0
8 lim
(x,y)→(0,0)
1
x2 + y2
= 0 (se poss´ıvel - ver fig.)
9 lim
(x,y)→(0,0)
x4 + 2y3
x2 + y2
= 0
10 lim
(x,y)→(0,0)
xy sin(
y
x
) = 0
51/86

82. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios: III
11 lim
(x,y)→(0,0)
(x2
+ y2
) arctan(xy) = 0
52/86

83. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Defini¸c˜ao (Limite de campo escalar definido em Rn
)
Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınio Df .
O limite de f (x) quando x tende para a ´e l, e escreve-se
lim
x→a
f (x) = l
se e s´o se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ Df {a},
x ∈ Bε(a) =⇒ f (x) ∈ Bδ(l)
53/86

84. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Defini¸c˜ao (Limite de campo escalar definido em Rn
)
Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınio Df .
O limite de f (x) quando x tende para a ´e l, e escreve-se
lim
x→a
f (x) = l
se e s´o se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ Df {a},
x ∈ Bε(a) =⇒ f (x) ∈ Bδ(l)
ou seja,
(x1 − a1)2 + ...(xn − an)2 < ε =⇒ |f (x) − l| < δ)
53/86

85. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Proposi¸c˜ao (Propriedades dos limites)
Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas fun¸c˜oes
escalares e a um ponto de acumula¸c˜ao de Df ∩ Dg .
Se limx→a f (x) = l1 e limx→a g(x) = l2 ent˜ao
O limite ´e ´unico.
lim
x→a
(f (x) + g(x)) = l1 + l2
lim
x→a
(f (x).g(x)) = l1.l2
lim
x→a
f (x)
g(x)
=
l1
l2
lim
x→a
(cf (x)) = c.l1
54/86

86. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite relativo
Defini¸c˜ao (Limite relativo a um conjunto)
Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e a um
ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio Df . O limite de f (x)
relativo a S quando x tende para a ´e l, e escreve-se
lim
x→a
x∈S
f (x) = l
se e s´o se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ S {a},
x ∈ Bε(a) =⇒ f (x) ∈ Bδ(l)
No caso em que S = (x, y) ∈ R2 : y = mx + b a estes
limites chamam-se os limites direccionais.
55/86

87. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Proposi¸c˜ao
Se o limite existir ent˜ao o limite relativo a qualquer conjunto
existe e tem o mesmo valor.
Exerc´ıcio:
Que pode concluir se encontrar dois limites relativos
diferentes?
iguais?
56/86

88. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios
Utilize limites relativos para estudar os limites:
1 lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(ver fig.)
2 lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
(ver fig.)
3 lim
(x,y)→(0,0)
x
x2 + y2
(ver fig.)
4 lim
(x,y)→(0,0)
x − y
x + y
5 lim
(x,y)→(0,0)
4xy
x2 + y2
6 lim(x,y)→(0,0)
xy2
(x+y2)2
57/86

89. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
58/86

90. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
59/86

91. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
60/86

92. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limites e propriedades
Defini¸c˜ao (Limites iterados ou sucessivos)
Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸c˜ao do
dom´ınio Df , ent˜ao os limites
lim
x→a
lim
y→b
f (x, y) , lim
y→b
lim
x→a
f (x, y)
dizem-se limites iterados ou sucessivos.
Nota: o caso geral, de uma fun¸c˜ao definida em Rn, ´e
limx1→a1 (· · · (limxn→an f (x1, · · · , xn))).
Proposi¸c˜ao
Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e forem
finitos) ent˜ao n˜ao existe limite.
61/86

93. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios
Utilize limites iterados para estudar os limites:
1 lim
(x,y)→(0,0)
x − 2y
x + y
2 lim
(x,y)→(0,0)
4xy
(x2 + y2)5
62/86

95. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites I
Estude a existˆencia dos seguintes limites.
1 lim
(x,y)→(0,0)
x4 + 2y2
x2 + y2
2 lim
(x,y)→(0,0)
y2
x2 + y2
3 lim
(x,y)→(0,0)
x2y
(x2 + y2)2
4 lim
(x,y)→(−3,2)
y − 2
x + 3
64/86

96. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites II
5 lim
(x,y)→(0,0)
xy + 3
1 − 2x2
6 lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4
7 lim
(x,y)→(0,0)
x sin
1
y
8 lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + 3y2
9 lim
(x,y)→(0,0)
x2y
(x2 + y)2
65/86

97. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites III
10 lim
(x,y)→(0,0)
x4y
y3 − x6
11 lim
(x,y)→(0,0)
x2y
(y + x2)2
12 lim
(x,y)→(1,1)
x + y − 2
x − y
13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo
f (x, y) =



1 − 2y + x se x + y < 1
1 se x + y = 1
2 − x + y se x + y > 1.
66/86

98. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites IV
14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo
f (x, y) =



x + y se x > 0
2 se x = 0
x − y + 2 se x < 0.
15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite de
f , sendo
f (x, y) =



1 − 2y + x se x + y < 0
4 se x + y = 0
6 − x + y se x + y > 0.
67/86

99. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites V
16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo
f (x, y) =
2x − y se y < x
x2 se y ≥ x.
17 lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) e lim
(x,y)→(0,2)
g(x, y) onde
g(x, y) =



e4−x2−y2
se x2 + y4 ≥ 4
e se (x, y) = (0, 0)
1
x2+y2 se 0 < x2 + y2 < 4
68/86

100. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios Globais de Limites VI
18 lim
(x,y)→(0,−4)
f (x, y) onde
f (x, y) =
x2
x2+(y+4)2 se (x, y) = (0, −4)
1 se (x, y) = (0, −4)
69/86

101. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Limite
Defini¸c˜ao (Limite de fun¸c˜oes vetoriais)
Seja
f : Df ⊆ Rn −→ Rm
x −→ y = f (x) = (f1(x), ..., fm(x))
e a um ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio O limite de f (x)
quando x tende para a ´e um vetor de m coordenadas onde
cada uma corresponde ao limite da fun¸c˜ao coordenada
respetiva. Assim
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
f1(x), ... lim
x→a
fm(x)
70/86

102. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios
Calcule:
1 lim
(x,y)→(1,2)
f (x, y) onde f (x, y) = (x2, xy2)
2 lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) onde f (x, y) = ln(4 − x2 − y2), 3xy
x2+y2
71/86

103. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Continuidade
Defini¸c˜ao
Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e a um ponto de Df . Diz-se que f ´e
cont´ınua em a se e s´o
∃ lim
x→a
f (x) e lim
x→a
f (x) = f (a)
Defini¸c˜ao
f diz-se cont´ınua num dado conjunto S se f ´e cont´ınua em
todos os pontos de S.
Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f ´e cont´ınua.
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104. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Propriedades das fun¸c˜oes
cont´ınuas
Proposi¸c˜ao
Sejam f e g duas fun¸c˜oes escalares com dom´ınio contido em
Rn e cont´ınuas em a. Ent˜ao,
f + g, f − g, f .g e
f
g
(g(a) = 0)
s˜ao cont´ınuas em a.
Proposi¸c˜ao
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R cont´ınua em a e f : Df ⊆ R −→ R
cont´ınua em g(a). Ent˜ao
f ◦ g ´e cont´ınua em a.
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105. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios I
Estude quanto `a continuidade:1(ver figuras)
1
f (x, y) =
x2 + sin(x + y) − ecos(y)
x − 3
2
f (x, y) =



2xy
x2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
3
f (x, y) =



xy2
x2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
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106. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios II
4
f (x, y) =



xy x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
5
f (x, y) =



2x + 3y
x − y
se x = y
5 se x = y
6
f (x, y) =



xy + 1
x2 − y
se y = x2
0 se y = x2
7
f (x, y) =
1 − x2 − y2 se x2 + y2 ≤ 1
0 se x2 + y2 > 1
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107. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios III
8
f (x, y) =
x + y se x = y
0 se x = y
9
f (x, y) =
xy
x2 − y2
se x2 = y2
0 se x2 = y2
10
f (x, y) =



(x − 1)y2
(x − 1)2 + y2
se (x, y) = (1, 0)
10 se (x, y) = (1, 0)
11
f (x, y) =
x + y se y ≤ x2
3x − 1 se y > x2
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108. AM2/C2
An´alise
Matem´atica
2/ C´alculo 2
Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios IV
12
f (x, y) =
ey − 2x se y ≤ 2x
ln(y − 2x) se y > 2x
13
f (x, y) =



1 − 2y + x se y + x < 0
4 se y + x = 0
6 − x + y se y + x > 0
1
Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/
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109. AM2/C2
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
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Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Prolongamento cont´ınuo
Uma fun¸c˜ao f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolong´avel por
continuidade ao ponto a ( a ∈ Df ),
se e s´o se
a ∈ Df e existe lim
(x)→a
f (x) .
O Prolongamento (cont´ınuo) de f a a ´e
f (x) =
f (x) se x ∈ Df
lim
x→a
f (x) se x = a
Nota: esta fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Exerc´ıcios I
Determine, se existirem, prolongamentos cont´ınuos de:
1 f (x, y) = e
− 1
x2+y2
2 f (x, y) = x2 cos 1
x2+y2
3 f (x, y) = x2y
x4+y−sin(x)
ao ponto (0, 0)
4 f (x, y) = x2
x3+y−tan(x)
ao ponto (0, 0)
5 f (x, y) = x3 cos(y)+y3 cos(x)
x2+y2 ao ponto (0, 0)
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117. AM2/C2
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Fun¸c˜oes
Dom´ınio
Linhas de n´ıvel
Vizinhan¸ca
Limites
Continuidade
Continuidade de fun¸c˜oes vetoriais
Defini¸c˜ao
Uma fun¸c˜ao vetorial ´e cont´ınua num ponto se e s´o se todas
as suas fun¸c˜oes coordenadas forem cont´ınuas nesse ponto.
Exerc´ıcios:
Estude quanto `a continuidade a fun¸c˜ao vetorial
f (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) onde
f1(x, y) =



x5
x2 + y2
se (x, y) = (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
e
f2(x, y) = cos(x + y)
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