1) A questão 1 pede para calcular a expansão em séries de potência da função f(x) = xex em torno dos pontos x = 0 e x = 1, além de estudar a convergência de duas séries. 2) A questão 2 pede para analisar um ponto ordinário de uma equação diferencial, calcular sua relação de recorrência e os primeiros termos da solução geral. 3) As questões 3 e 4 pedem para calcular transformadas de Laplace de funções dadas e resolver um problema de valor inicial usando essa transformada.

1. d
d d
d
Universidade Federal do Rio de Janeiro
d
d
d
d d
d
d
d Instituto de Matem´tica
a
Departamento de M´todos Matem´ticos
e a
Disciplina: C´lculo Diferencial e Integral IV
a 1o Prova Unificada
Unidades: Escola Polit´cnica e Escola de Qu´
e ımica Turmas: Engenharias 2o Sem/2011
C´digo:
o MAC 248 Data: 11/10/2011
Quest˜o 1. (2,5 pontos)
a
(a) (1,5 pontos) Seja f (x) = xex . Pede-se:
• Ache a expans˜o em s´ries de potˆncia de f (x) = xex em torno do ponto x = 0.
a e e
• Escreva xex em funcao de (x − 1)ex−1 e ex−1 .
• Usando os resultados dos itens anteriores, ache a expans˜o em s´ries de potˆncia de f (x) =
a e e
xex em torno do ponto x = 1.
• Calcule o raio de convergˆncia da s´rie encontrada no item anterior.
e e
(b) (1,0 ponto) Estude a convergˆncia das seguintes s´ries:
e e
∞ n+2sen(n)
• n=1 n3 +n ln(n) .
√
∞ n
• n √
n=1 (−1) 1+ n .
Quest˜o 2. (2,5 pontos)
a
Considere a equa¸˜o diferencial
ca
(1 − x)y (x) − xy (x) − y(x) = 1.
(a) (0,5 ponto) Mostre que o ponto x = 0 ´ um ponto ordin´rio da equa¸˜o diferencial e dˆ um
e a ca e
valor m´
ınimo para o raio de convergˆncia da solu¸˜o em serias de potˆncia em torno de x = 0.
e ca e
(b) (1,5 pontos) Determine a rela¸˜o de recorrˆncia geral para n ≥ 1.
ca e
(c) (0,5 ponto) Determine os cinco primeiros termos da solu¸˜o geral.
ca
Quest˜o 3. (2,0 pontos)
a
Encontre a transformada de Laplace das fun¸˜es:
co
(a) f (t) = u2 (t)δ(t − 10) + u10 (t)δ(t − 2);
t se t<1
(b) f (t) = .
2−t se t≥1
Quest˜o 4. (3,0 pontos)
a
Resolva o seguinte problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace
y (t) + y(t) = 5et sent,
y(0) = 0, y (0) = 5.
Transformadas de Laplace NO VERSO

2. Tabela b´sica de transformada de Laplace.
a
Suponha que L {g(t)} = G(s) se s>α
• L ebt g(t) = G(s − b) se s > α + b
1 s
• L {g(ct)} = G( ) se s > cα e c > 0
c c
a
• L{sin(at)} = se s > 0
s2 + a2
s
• L{cos(at)} = se s > 0
s2 + a2
a
• L{sinh(at)} =
s2 − a2
s
• L{cosh(at)} = se s > |a|
s2 − a2
∞
• δ(t − a)h(t) dt = h(a) se ınua em [0, ∞[.
h(t) for cont´
0
t
G(s)
• L{ g(ξ) dξ } =
0 s
• L g (n) (t) = sn G(s) − sn−1 g(0) − · · · − g (n−1) (0)
1
• L{eat } = para s>a
s−a
d
• L{ t g(t) } = − G(s)
ds
2