(1) O documento contém uma prova de cálculo I com 6 questões. As questões abordam tópicos como funções injetoras e crescentes, gráficos de funções, movimento circular e variação de resistência elétrica e volume de água com a temperatura.

1. A
1ra
prova de MAT-104 Cálculo I
04.04.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
p
(1) (3pts)Seja f (x) = x2 x, x 2 [1; 3]
(a) É f injetora. Justi…que analiticamente sua resposta
(b) É f crescente p decrescente. Justi…que analiticamente sua resposta
ou
(2) (3pts)Seja f (x) = x x2 , x 2 [0; 1].
(a) É f injetora. Justi…que analiticamente sua resposta
(b) É f crescente ou decrescente. Justi…que analiticamente sua resposta
(3) (3pts)Em um triángulo isóceles ABC (AB = BC) se inscribe uma circunferencia de raio r, en-
contre o raio da circunferencia como função do lado AC = x se BC = 1.
(4) (3pts)Em um triángulo isóceles ABC (AB = BC) se inscribe uma circunferencia de raio r, en-
contre o raio da circunferencia como função do lado AC = x se AB = 1.
(5) .
(a) Esboçe o gra…co da função
8 2
< x 2 se x 2 [ 2; 0]
f (x) = sin x se x 2 h0; 1]
:
ex se x 2 h1; 4]
(b) Encontre o valor máximo e mínimo de f (x) no intervalo [ 2; 4]
(6) .
(a) Esboçe o gra…co da função
8 2
< x jxj se x 2 [ 2; 0]
f (x) = cos x se x 2 h0; 1]
:
ln x se x 2 h1; 4]
(b) Encontre o valor máximo e mínimo de f (x) no intervalo [ 2; 4]
1

2. 2
A
1ra
prova de MAT-104 Cálculo I
04.04.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
p
(1) (3pts)Encontre o dominio da função f (x) = p1 ln (x + 1)
(2) (3pts)Encontre o dominio da função R (x) = 1 + ln (1 x)
(3) (4pts)Em cada instante t um ciclista se encontra no ponto (x (t) ; y (t)) do plano cartesiano; onde
x (t) = 5 sin t
2
y (t) = 5 cos t
2
(t: minutos, x e y em metros)
(a) Em que ponto se encontra ao inicio do movimento, t = 0?
(b) Em que ponto se encontra logo de t = 1 min e t = 2 min :
2 2
(c) Veri…que que (x (t)) + (y (t)) = 25. Qual é a curva que descreve o ciclista?
(d) Qual é o periodo de x (t) e y (t)?. A cada quanto tempo o ciclista passa por um mesmo ponto
duas veces?
(4) (4pts)Em cada instante t um ciclista se encontra no ponto (x (t) ; y (t)) do plano cartesiano; onde
x (t) = 2 sin ( t)
y (t) = 2 cos ( t)
(t: minutos, x e y em metros)
(a) Em que ponto se encontra ao inicio do movimento, t = 0.?
(b) Em que ponto se encontra logo de t = 1 min e t = 2 min
2 2
(c) Veri…que que x (t) + y (t) = 4. Qual é a curva que descreve o ciclista?
(d) Qual é o periodo de x (t) e y (t)?. A cada quanto tempo o ciclista passa por um mesmo ponto
duas veces?
(5) (3pts)Uma fórmula para a variação da resistencia eléctrica R do platinum com temperatura
é R = R0 1 + + 2 onde > 0, < 0 e R0 > 0 são constantes. Encontre a resistencia
máxima e o valor de para esta resistencia.
(6) (3pts)O volume de um gramo de agua é aproximadamente V = 1 + a 2 8a + 16a onde denota
a temperatura, a uma constante igual a 8:38 10 6 . Para que valor a temperatura o volume é
minimo?. Qual é este valor mínimo?