1) Usando o polinômio de Taylor de segunda ordem, calcula-se um valor aproximado de e0,03, com erro estimado. 2) Determina-se uma função y = f(x) definida em um intervalo I contendo π, tal que f(0) = 0 e dy/dx = -πsen(πx). 3) Prova-se que, se f''(x) - f(x) = 0 para todo x em R, então g(x) = e[f(x) - f(x)] é constante em R.

1. Universidade Federal do Espir´ Santo
ıto
Terceira prova de C´lculo I - Ciˆncia da Computa¸˜o
a e ca
Professora Julia Wrobel
Vit´ria, 6 de julho de 2006
o
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. (1.25 pontos) Use o polinˆmio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximado
o
de e0,03 . Estime o erro dessa aproxima¸˜o.
ca
2. (1.25 pontos) Determine uma fun¸˜o y = f (x) definida num intervalo aberto I, com π ∈ I
ca
tal que f (0) = 0 e para todo x ∈ I,
dy
= −π sen(πx).
dx
3. (1.25 ponto) Seja f : R → R deriv´vel at´ segunda ordem com f ′′ (x) − f (x) = 0 para
a e
x ′
todo x ∈ R. Prove que g(x) = e [f (x) − f (x)] ´ constante para x ∈ R.
e
4. (1.25 pontos) Desenhe o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x + 1.
Calcule a sua ´rea.
a
2
5. (1.25 pontos) Suponha f cont´
ınua em [0, 4]. Calcule −2
xf (x2 ) dx.
6. Calcule:
a) (1.25 pontos) lim (x + 1)1/ ln x
x→+∞
1
x2
b) (1.25 pontos) √ dx
0 1 + x3
2
1 + t2
c) (1.25 pontos) dt
1 t4