1. O documento apresenta exercícios sobre cálculo 1, incluindo encontrar derivadas de funções como ex, senx e cosx, definir séries de Taylor e Maclaurin, e provar propriedades sobre convergência dessas séries. 2. Ele pede para provar analiticamente relações entre integrais e séries, como que se uma série converge a uma função f então seu integral pode ser escrito como uma série. 3. Por fim, pede para listar séries de Maclaurin comuns e provar identidades envolvendo séries e fun

1. Exercicios de Cálculo 1
(Data máxima de entrega 11-07-2014: 11:30am)
1. Encontre as derivadas n esimas, f(n)
(x), de ex
; sin x, cos x, ln (1 + x).
2. O que é uma serie de Taylor? O que é uma serie de Maclurin?
3. Que condições debe satisfazer f : (a; b) ! R a…m que a sua série de Taylor
convirja a propia f. ?
4. Prove analiticamente que se
P1
n=0 anxn
converge a f em ( r; r) entãoR x
0
f (t) dt =
P1
n=0
an
n+1 xn+1
em este intervalo
5. *Prove analiticamente que se
P1
n=0 anxn
converge a f em ( r; r) então
f0
(x) =
P1
n=1 nanxn 1
em este intervalo
6. Faça uma lista das series de MaClaurin das seguintes funções ex
, sin x,
cos x, log (1 + x), sinh x, cosh x, arctan x, indicando o intervalo de conver-
gencia.
7. Prove que
1X
n=0
xn
(2n)!
=
cos
p
x
cosh (
p
x)
se
se
x < 0
x 0
8. Prove que
1
2
ln
1 + x
1 x
=
1X
n=0
x2n+1
2n + 1
; x 2 ( 1; 1) :
9. Calcular
P1
n=0
( 1)n
n+1 e
P1
n=0
( 1)n
2n+1 .
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