1. O documento é uma prova de cálculo diferencial e integral com 3 questões. 2. A primeira questão pede para determinar uma função f que satisfaça certas condições. 3. As outras duas questões pedem para calcular integral definida de funções dadas e escolher uma entre duas subquestões.

1. C´lculo Diferencial e Integral I
a
3a. Prova
Engenharia El´trica
e
29 de novembro de 2006
Nome do Aluno:
Apresente todos os c´lculos e justificativas
a
1. (2 pontos) Determine a fun¸˜o f que verifica as seguintes condi¸oes:
ca c˜
ex
f :R→R f (x) = f (0) = 0.
1 + ex
2. Calcule:
1 √
a) (2 pontos) x ln x dx
0
4
a) (2 pontos) 9 − (y − 1)2 (y + 4) dy
−2
x2 + 2x + 3
b) (2 pontos) dx
x2 + 4x + 13
3. (2 pontos) Escolha e fa¸a apenas uma das duas quest˜es abaixo:
c o
a) Corta-se um peda¸o de arame de 1,50m de comprimento em duas partes.
c
Com uma das partes forma-se um c´ ırculo e com a outra forma-se um triˆngulo
a
equil´tero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das areas do
a ´
c´
ırculo e do triˆngulo seja m´
a ınima? E m´xima?
a
√
1,50 3/18
Use √
1/2π+ 3/18
≈ 0, 565.
b) Use a f´rmula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar que para todo
o
x ∈ [0, 1],
x2 1
ex − 1 + x + < .
2 2
Quest˜o Extra (0.5 ponto): Seja f : [a, b] → R uma fun¸ao cont´
a c˜ ınua. Em
cada ´
ıtem abaixo, determine se a proposi¸ao ´ falsa ou verdadeira. Justifique sua
c˜ e
resposta.
b
a) Se a f (x) dx = 0 ent˜o f (x) = 0 para x ∈ [a, b].
a
b c b
b) Suponha a f (x) dx = 0. Se c ∈ (a, b) e a f (x) dx = 1 ent˜o c f (x) dx = −1
a

2. Tabela de Primitivas (n = 0 e c, k constantes reais)
c dx = cx + k
ex dx = ex + k
xα+1
α α+1
+ k, α = −1
x dx =
ln |x| + k, α = −1
cos x dx = sen(x) + k
sen x dx = − cos(x) + k
sec2 x dx = tg(x) + k
sec x tg x dx = sec(x) + k
sec x dx = ln | sec(x) + tg(x)| + k
tg x dx = − ln | cos(x)| + k
1
dx = arctg(x) + k
1 + x2
1
√ dx = arcsen(x) + k
1 − x2
2