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Geometria Prof.:Carlinhos.
Lista n° 12 20/05/2013
RETAS, PLANOS E POLIEDROS
1. (G1 - ifsp 2013) A figura mostra uma peça feita em
1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no
Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse
instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e,
em cada uma de suas faces pentagonais, há a
gravação de um tipo diferente de relógio.
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783)
descobriu o teorema conhecido por relação de Euler:
em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e
F faces, vale a relação V A F 2.   Ao se aplicar a
relação de Euler no poliedro da figura, o número de
arestas não visíveis é
a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18.
2. (Uem 2012) Sabendo que r, s e t são três retas no
espaço tridimensional com r e s paralelas distintas,
assinale o que for correto.
01) Se a reta r é perpendicular a um plano α , então a
reta s também é perpendicular ao plano α .
02) Se a reta t é concorrente com a reta s, então t
também é concorrente com a reta r.
04) Se um plano β contém a reta s, então o plano β
também contém a reta r.
08) Se a reta t é perpendicular à reta r, então t é
perpendicular ou ortogonal à reta s.
16) Se as três retas r, s e t são paralelas distintas,
então existe um plano α que contém as três retas.
3. (Espcex (Aman) 2012) Considere as seguintes
afirmações:
I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então
as retas 1r α e 2r β são sempre paralelas.
II. Se α e β são planos não paralelos distintos,
existem as retas 1r α e 2r β tal que 1r e 2r são
paralelas.
III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no
ponto P, então qualquer reta de α que passa por P
é perpendicular a r.
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s)
a) Somente II b) I e II c) I e III
d) II e III e) I, II e III
4. (Uem 2011) O fulereno é uma molécula de carbono
descoberta em 1985, e sua utilização tem sido
proposta em muitas áreas, como medicina, bioquímica
e física, devido à sua grande estabilidade. O modelo
tridimensional da molécula do fulereno 60C é um
poliedro convexo de faces regulares, que possui 12
faces pentagonais, 20 faces hexagonais e três arestas
se encontrando em cada vértice, formando ângulos
triédricos.
Em cada vértice, está situado um átomo de carbono.
Baseando-se nessas informações, assinale o que for
correto.
01) O poliedro que representa a molécula possui 120
arestas.
02) Se A é o número de arestas do poliedro e V o
número de vértices do poliedro que representa a
molécula, então 3A = 2V.
04) A soma dos ângulos internos de todas as faces é
58 radπ .
08) O fulereno 60C apresenta carbonos com
hibridização 2
sp .
16) O poliedro que representa a molécula possui 60
vértices.
5. (Upe 2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito)
faces, todas triangulares. Nestas condições,
assumindo que tal poliedro exista, o número esperado
de vértices para este será
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
6. (Uepg 2010) Considerando dois planos α e β e
uma reta r, assinale o que for correto.
01) Se r é perpendicular a α e a β então α é
paralelo a qualquer plano que contenha r.
02) Se r é perpendicular a α e a β então α e β são
paralelos entre si.
04) Se α e β são perpendiculares e α reta r está
contida em α , então r é também perpendicular a
β .
08) Se r é paralelo a α então todo plano contendo r é
paralelo a α .
16) Se r  α =  então r e α são paralelos.
7. (Uepg 2010) Dado que um poliedro convexo tem 2
faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces
triangulares, assinale o que for correto.
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então
n = 4.
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então
n = 10.
04) O menor valor possível para n é 1.
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do
poliedro é 3600º, então n = 6.
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então
n = 8.

2. 2
8. (Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1),
construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos
médios de todas as arestas estão marcados.
A partir dos pontos médios, quatro triângulos
equiláteros congruentes foram formados em cada face
do icosaedro.
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os
pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma
esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de
circunferências, como ilustrado na figura 2.
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por
segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura
poliédrica de faces triangulares, denominada
geodésica. (Fig. 3)
O número de arestas dessa estrutura é igual a:
a) 90 b) 120 c) 150 d) 180
9. (Ufc 2008) O número de faces de um poliedro
convexo com 20 vértices e com todas as faces
triangulares é igual a:
a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36
10. (Fatec 2007) A reta r é a intersecção dos planos á
e â, perpendiculares entre si. A reta s, contida em á,
intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a
â, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r.
Nessas condições, é verdade que as retas
a) r e s são perpendiculares entre si.
b) s e t são paralelas entre si.
c) r e t são concorrentes.
d) s e t são reversas.
e) r e t são ortogonais.
11. (Uel 2007) Sobre os conhecimentos de geometria
tridimensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas
são concorrentes.
II. Três pontos distintos entre si determinam um único
plano.
III. Duas retas paralelas distintas determinam um
plano.
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um
único plano á que contém r e é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas
é:
a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV
12. (Ueg 2005) Observe e
classifique as afirmações abaixo
como sendo verdadeiras ou falsas:
I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos,
então as interseções são retas paralelas.
II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um
deles é paralela a qualquer reta do outro.
III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses
planos são paralelos.
IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um
deles pode ser reversa a uma reta do outro.
Marque a alternativa CORRETA:
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.
13. (Uerj 2005)
O poliedro acima, com exatamente trinta faces
quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como
um dado, em um jogo.
Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado
e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma
probabilidade de ser sorteada.
Calcule:
a) a probabilidade de obter um número primo ou
múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;
b) o número de vértices do poliedro.
14. (Pucpr 2005) O tetra-hexaedro é um sólido
convexo limitado por 4 faces triangulares e 6
hexagonais, todas regulares.
O número de arestas e vértices desse sólido é:
a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16
c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24
e) A = 34 V = 24
15. (G1 - cftce 2004) Observe as afirmações:
I) O espaço é o conjunto de todos os pontos.
II) Dois pontos distintos determinam uma reta.
III) Três pontos não-pertencentes a uma mesma reta
definem um plano.
É correto concluir que:
a) somente I é verdadeira
b) apenas I e II são verdadeiras
c) apenas II e III são verdadeiras
d) todas são falsas
e) todas as afirmações são verdadeiras

3. 3
16. (Ufc 2004) Um poliedro convexo só tem faces
triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e
10 vértices, então, o número de faces triangulares é:
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
17. (Pucpr 2004) Um poliedro convexo é formado por
faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma
dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos.
Qual o número de arestas desse poliedro?
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
18. (Pucrs 2003) Um poliedro convexo possui duas
faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número
de vértices deste poliedro é
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
19. (Uel 2001) Considere uma reta s, contida em um
plano  , e uma reta r perpendicular a s. Então,
necessariamente:
a) r é perpendicular a .
b) r e s são coplanares.
c) r é paralela a .
d) r está contida em .
e) Todas as retas paralelas a r interceptam s.
20. (Pucpr 2001) Um poliedro convexo tem 7 faces.
De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada
um dos vértices restantes partem 3 arestas.
Quantas arestas tem esse poliedro?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
21. (Ufc 2000) Um poliedro convexo de nove vértices
possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulos
tetraédricos. Então o número de faces deste poliedro
é:
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
22. (Fatec 1999) Seja A um ponto pertencente à reta
r, contida no plano á.
É verdade que
a) existe uma única reta que é perpendicular à reta r
no ponto A.
b) existe uma única reta, não contida no plano á, que
é paralela à reta r.
c) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos
ao plano á, que contêm a reta r.
d) existem infinitos planos distintos entre si,
perpendiculares ao plano á e que contêm a reta r.
e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no
plano á e que são paralelas à reta r.
23. (Ufal 1999) Analise as afirmativas a seguir.
( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempre
são paralelas.
( ) Duas retas distintas sempre determinam um
plano.
( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos.
( ) Três pontos distintos sempre
determinam um plano.
( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou
concorrentes.
24. (Uel 1999) As afirmações seguintes podem ser
verdadeiras ou falsas.
I . A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma
reta.
II. Distância entre duas retas reversas é a
perpendicular comum a essas retas.
III. A distância entre dois planos só é definida se esses
planos são paralelos.
É correto afirmar que SOMENTE
a) II é verdadeira. b) III é verdadeira.
c) I e II são verdadeiras. d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
25. (Fuvest 1999) O número de faces triangulares de
uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta
pirâmide possui
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
26. (Pucpr 1999) Quantas arestas tem um poliedro
convexo de faces triangulares em que o número de
vértices é 3/5 do número de faces?
a) 60 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15
27. (Uerj 1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e
12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides
congruentes. As medidas das arestas dessas
pirâmides são iguais a
1
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da aresta do icosaedro. O
que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação
de bolas. Observe as figuras.
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão
usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma
face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do
poliedro, ele gasta 7 cm de linha.
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo,
um comprimento de linha igual a:
a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m
28. (Ufsm 1999) Um poliedro convexo tem 12 faces
triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o
número de arestas é o triplo do número de faces
pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as
faces pentagonais é, em radianos, igual a
a) 3 π b) 12 π c) 36 π d) 64 π e) 108 π

4. 4
29. (Uff 1997) Marque a opção que indica quantos
pares de retas reversas são formados pelas retas
suportes das arestas de um tetraedro.
a) Um par. b) Dois pares. c) Três pares.
d) Quatro pares. e) Cinco pares.
30. (Ufrgs 1997) Um poliedro convexo de onze faces
tem seis faces triangulares e cinco faces
quadrangulares. O número de arestas e de vértices do
poliedro é, respectivamente,
a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20
d) 12 e 10 e) 19 e 12
31. (Unirio 1997) Um geólogo encontrou, numa de
suas explorações, um cristal de rocha no formato de
um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60
faces triangulares. O número de vértices deste cristal
é igual a:
a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31
32. (Faap 1996) A única proposição FALSA é:
a) no espaço, duas retas paralelas a uma terceira são
paralelas entre si
b) uma reta ortogonal a duas retas de um plano é
ortogonal ao plano
c) dois planos perpendiculares à mesma reta são
paralelos entre si
d) um plano perpendicular a uma reta de outro plano é
perpendicular a este plano
e) um plano perpendicular a dois planos que se
interceptam é perpendicular à reta de intersecção
destes
33. (Mackenzie 1996) r, s e t são retas distintas tais
que s é perpendicular a r e t é perpendicular a r.
Relativamente às retas s e t, podemos afirmar que:
a) elas podem ser unicamente paralelas ou
concorrentes.
b) elas podem ser unicamente paralelas ou reversas.
c) elas podem ser unicamente concorrentes ou
reversas.
d) elas podem ser paralelas, concorrentes ou
reversas.
e) elas podem ser unicamente reversas.
34. (Faap 1996) Duas retas são reversas quando:
a) não existe plano que contém ambas
b) existe um único plano que as contém
c) não se interceptam
d) não são paralelas
e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos
35. (Puccamp 1996) Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
é correto afirmar que APENAS
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
36. (Puccamp 1995) Considere as afirmações a
seguir.
I. Duas retas distintas determinam um plano.
II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano,
então elas são paralelas entre si.
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de
um deles é paralela a alguma reta do outro.
É correto afirmar que
a) apenas II é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) apenas I e II são verdadeiras.
d) apenas I e III são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
37. (Ufpe 1995) Um poliedro convexo possui 10 faces
com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face
com dez lados. Determine o número de vértices deste
poliedro.
38. (Unitau 1995) A soma dos ângulos das faces de
um poliedro convexo vale 720
°
. Sabendo-se que o
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-
se dizer que o número de faces vale.
a) 6. b) 4. c) 5. d) 12. e) 9.
39. (Cesgranrio 1995) Um poliedro convexo tem 14
vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas,
em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos
demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de
faces desse poliedro é igual a:
a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44
40. (Cesgranrio 1992) Um poliedro convexo é
formado por 4 faces triangulares, 2 faces
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de
vértices desse poliedro é de:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
41) (UNIFESO)
Um poliedro convexo é formado por 2 faces
triangulares, 2 quadrangulares e 10 pentagonais. O
número de vértices desse poliedro é:
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 30
(E) 32