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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE
9º ANO ANO LECTIVO 2011-2012
Geometria no Espaço
NOME: _________________________________________________ Nº _____ TURMA: _____
Geometria é o ramo da Matemática que estuda as propriedades e as relações entre pontos, rectas, curvas e
superfícies, no plano e no espaço.
Euclides foi um matemático que viveu em Alexandria, Egipto e que se distinguiu no séc. III A.C.. Escreveu uma obra
famosa intitulada “ Elementos “ constituída por 13 volumes. Esta obra continua a ser a base do estudo da Geometria
Euclidiana (geometria que tem por base os axiomas de Euclides).
Geometria no Espaço é a parte da geometria que estuda as relações sobre as posições de pontos, rectas e planos no
espaço e a sua representação no plano.
De um modo geral, em Geometria, representam-se:
 os pontos  por letras maiúsculas
 as rectas  por dois dos seus pontos, ou por letras minúsculas
 os planos  por letras gregas como , , , .....  
Rectas e planos são conjuntos ilimitados de pontos e por isso, nunca se
podem representar completamente.
Convencionou-se representar um plano por um paralelogramo e designar-se
por uma letra grega ( , , ,...) ou por três dos seus pontos, não
colineares.
Conceitos primitivos são aqueles que não carecem de definição, ou seja, que se imaginam intuitivamente (não se
definem).
Termos primitivos são aqueles que designam os conceitos primitivos. (exemplo: ponto, recta, plano).
Termos derivados são aqueles que precisam de definição. (exemplo: semi-reta; segmento de reta; ângulo; polígono;
triângulo, etc.).
Axiomas são afirmações cuja veracidade se aceita como evidente (sem prova).
Euclides, a partir de um conjunto de conceitos primitivos, definições e axiomas, deduz toda uma série de
propriedades que demonstra logicamente (TEOREMAS).
Teorema é uma afirmação que para ser aceite precisa de ser demonstrada (a partir de axiomas aceites e outros
teoremas).
Num teorema é necessário distinguir:
 Hipótese  Do que partimos num teorema (proposição de partida, que se considera verdadeira).
 Tese  Onde queremos chegar num teorema (proposição que se pretende provar).
AXIOMAS
Dois pontos definem uma reta.
Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta) definem um plano.
Uma reta com dois pontos num mesmo plano está contida nesse plano.
Axioma de Euclides: Por um ponto exterior a uma reta passa uma e só uma reta paralela à reta dada.
A intersecção de dois planos, não paralelos, é uma reta.
A
B
C

(1) Diz, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições:
(1.1) Numa recta existem dois pontos.
(1.2) Um ponto divide uma recta em duas semi-rectas.
(1.3) Os vértices de um triângulo definem um plano.
(2) Considera, no plano , as rectas PQ e RS, que se intersectam no ponto I.
(2.1) Justifique que os pontos P, I e S definem um plano.
(2.2) A recta RQ está ou não contida em ?
(2.3) Seja T um ponto, tal que T  . Justifique que:
(2.3.1) Há um único plano a que pertencem os pontos T, S, e P;
(2.3.2) Há uma recta paralela a RS à qual pertence o ponto T.
Posição relativa de dois planos no espaço
Dois planos no espaço podem ser
Dois planos quando são PARALELOS podem ser:
 Estritamente paralelos ou não coincidentes se não têm nenhum ponto
em comum.
Os planos β e µ são paralelos.
 Coincidentes se têm todos os pontos em comum.
Os planos β e µ são coincidentes.
Dois planos são CONCORRENTES ou secantes se têm uma única recta em comum.
 Dois planos são concorrentes perpendiculares se dividem o espaço em
quatro secções iguais.
Os planos β e µ são concorrentes perpendiculares.
 Dois planos são concorrentes oblíquos se dividem o espaço em quatro
secções diferentes.
Os planos β e µ são concorrentes oblíquos.
I
Q

R
P S
Estritamente paralelos
Coincidentes
Perpendiculares
Oblíquos
Paralelos
Concorrentes
Posição relativa entre retas e planos no espaço
Uma recta em relação a um plano pode ser
Uma recta que é PARALELA pode ser:
 Estritamente paralela a um plano se não tem nenhum ponto em comum
com o plano.
A reta r é paralela ao plano α.
 Aposta a um plano se está contida no plano, ou seja, se pertence
ao plano.
A reta r está contida no plano α.
Uma recta é CONCORRENTE ou SECANTE a um plano se tem um único ponto em
comum com o plano.
 Uma recta é concorrente perpendicular a um plano se é perpendicular a
todas as rectas contidas no plano.
 Uma recta é concorrente oblíqua a um plano se é oblíqua a todas as
rectas contidas no plano.
A reta r é secante (concorrente) ao plano α.
Posição relativa entre duas retas no espaço
Duas rectas no espaço podem ser
Duas rectas são complanares se estão situadas no mesmo plano.
Duas rectas são não complanares se não estão situadas no mesmo plano.
Estritamente paralela
Aposta
Perpendicular
Oblíqua
Paralela
Concorrente
Complanares
Não complanares
Estritamente paralelas
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Duas rectas são NÃO COMPLANARES se não estão situadas no mesmo plano, ou seja, as
retas não complanares não têm nenhum ponto em comum e não são paralelas.
Não se consegue arranjar nenhum plano que
contenha simultaneamente a reta r e a reta s.
Duas rectas são COMPLANARES se estão situadas no mesmo plano.
PARALELAS
 Duas rectas são estritamente paralelas ou não coincidentes se não
têm nenhum ponto em comum.
A reta r e a reta s não têm pontos em comum.  =sr
 Duas rectas são coincidentes se têm todos os pontos em comum.
A reta r e a reta s têm todos os pontos em comum. sr=sr 
CONCORRENTES
Duas rectas são concorrentes ou secantes se têm um único ponto em comum.
 Duas rectas são concorrentes perpendiculares se dividem o plano
em quatro ângulos iguais (rectos).
A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si
um ângulo de 90º.
 Duas rectas são concorrentes oblíquas se dividem o plano em
quatro ângulos diferentes.
A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si
um ângulo diferente de 90º.
Modos de definir um plano
Um plano fica definido por:
 Três pontos não colineares (não alinhados).
 Um ponto e uma reta que não o contenha.
 Duas retas paralelas não coincidentes.
 Duas retas concorrentes.
(3) Quantos planos podem passar por:
(3.1) Um ponto no espaço?
(3.2) Dois pontos no espaço?
(3.3) Três pontos no espaço?
(3.4) Três pontos no espaço não
colineares (não alinhados)?
(3.5) Uma reta no espaço?
(3.6) Uma reta e um ponto exterior à
recta?
(3.7) Duas retas paralelas?
(3.8) Duas retas concorrentes?
r
s
s
r

r
s

sr = 
r
s

(4) Indica, justificando, se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:
(4.1) Duas retas sem pontos comuns são paralelas.
(4.2) Duas retas concorrentes são complanares.
(4.3) Duas retas complanares são concorrentes.
(4.4) Os quatro vértices de um quadrado  LUIS  definem quatro retas paralelas.
(4.5) Duas retas definem sempre um plano.
Os critérios são teoremas que utilizamos para justificar o paralelismo ou perpendicularidade entre rectas e planos ou
entre planos.
Critérios de paralelismo entre reta e plano
Critérios de paralelismo entre planos
A
B
C
D
E
F
G
H
(5) A figura representa um
paralelepípedo retângulo.
Justifica que a reta EF é
paralela à face [ABCD].
Critérios de perpendicularidade entre reta e plano
Num prisma triangular regular reto, cada aresta é perpendicular às bases. Porquê?
Observa o paralelepípedo da figura.
 A reta AC é perpendicular à reta CD do plano BCD e, no
entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria de ser
perpendicular a duas retas concorrentes e não a uma só.
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 Podemos afirmar que a reta AB é perpendicular ao plano
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06 retas-e-planos

  • 1. ESCOLA SECUNDÁRIA COM 2º E 3º CICLOS ANSELMO DE ANDRADE 9º ANO ANO LECTIVO 2011-2012 Geometria no Espaço NOME: _________________________________________________ Nº _____ TURMA: _____ Geometria é o ramo da Matemática que estuda as propriedades e as relações entre pontos, rectas, curvas e superfícies, no plano e no espaço. Euclides foi um matemático que viveu em Alexandria, Egipto e que se distinguiu no séc. III A.C.. Escreveu uma obra famosa intitulada “ Elementos “ constituída por 13 volumes. Esta obra continua a ser a base do estudo da Geometria Euclidiana (geometria que tem por base os axiomas de Euclides). Geometria no Espaço é a parte da geometria que estuda as relações sobre as posições de pontos, rectas e planos no espaço e a sua representação no plano. De um modo geral, em Geometria, representam-se:  os pontos  por letras maiúsculas  as rectas  por dois dos seus pontos, ou por letras minúsculas  os planos  por letras gregas como , , , .....   Rectas e planos são conjuntos ilimitados de pontos e por isso, nunca se podem representar completamente. Convencionou-se representar um plano por um paralelogramo e designar-se por uma letra grega ( , , ,...) ou por três dos seus pontos, não colineares. Conceitos primitivos são aqueles que não carecem de definição, ou seja, que se imaginam intuitivamente (não se definem). Termos primitivos são aqueles que designam os conceitos primitivos. (exemplo: ponto, recta, plano). Termos derivados são aqueles que precisam de definição. (exemplo: semi-reta; segmento de reta; ângulo; polígono; triângulo, etc.). Axiomas são afirmações cuja veracidade se aceita como evidente (sem prova). Euclides, a partir de um conjunto de conceitos primitivos, definições e axiomas, deduz toda uma série de propriedades que demonstra logicamente (TEOREMAS). Teorema é uma afirmação que para ser aceite precisa de ser demonstrada (a partir de axiomas aceites e outros teoremas). Num teorema é necessário distinguir:  Hipótese  Do que partimos num teorema (proposição de partida, que se considera verdadeira).  Tese  Onde queremos chegar num teorema (proposição que se pretende provar). AXIOMAS Dois pontos definem uma reta. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta) definem um plano. Uma reta com dois pontos num mesmo plano está contida nesse plano. Axioma de Euclides: Por um ponto exterior a uma reta passa uma e só uma reta paralela à reta dada. A intersecção de dois planos, não paralelos, é uma reta. A B C 
  • 2. (1) Diz, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições: (1.1) Numa recta existem dois pontos. (1.2) Um ponto divide uma recta em duas semi-rectas. (1.3) Os vértices de um triângulo definem um plano. (2) Considera, no plano , as rectas PQ e RS, que se intersectam no ponto I. (2.1) Justifique que os pontos P, I e S definem um plano. (2.2) A recta RQ está ou não contida em ? (2.3) Seja T um ponto, tal que T  . Justifique que: (2.3.1) Há um único plano a que pertencem os pontos T, S, e P; (2.3.2) Há uma recta paralela a RS à qual pertence o ponto T. Posição relativa de dois planos no espaço Dois planos no espaço podem ser Dois planos quando são PARALELOS podem ser:  Estritamente paralelos ou não coincidentes se não têm nenhum ponto em comum. Os planos β e µ são paralelos.  Coincidentes se têm todos os pontos em comum. Os planos β e µ são coincidentes. Dois planos são CONCORRENTES ou secantes se têm uma única recta em comum.  Dois planos são concorrentes perpendiculares se dividem o espaço em quatro secções iguais. Os planos β e µ são concorrentes perpendiculares.  Dois planos são concorrentes oblíquos se dividem o espaço em quatro secções diferentes. Os planos β e µ são concorrentes oblíquos. I Q  R P S Estritamente paralelos Coincidentes Perpendiculares Oblíquos Paralelos Concorrentes
  • 3. Posição relativa entre retas e planos no espaço Uma recta em relação a um plano pode ser Uma recta que é PARALELA pode ser:  Estritamente paralela a um plano se não tem nenhum ponto em comum com o plano. A reta r é paralela ao plano α.  Aposta a um plano se está contida no plano, ou seja, se pertence ao plano. A reta r está contida no plano α. Uma recta é CONCORRENTE ou SECANTE a um plano se tem um único ponto em comum com o plano.  Uma recta é concorrente perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as rectas contidas no plano.  Uma recta é concorrente oblíqua a um plano se é oblíqua a todas as rectas contidas no plano. A reta r é secante (concorrente) ao plano α. Posição relativa entre duas retas no espaço Duas rectas no espaço podem ser Duas rectas são complanares se estão situadas no mesmo plano. Duas rectas são não complanares se não estão situadas no mesmo plano. Estritamente paralela Aposta Perpendicular Oblíqua Paralela Concorrente Complanares Não complanares Estritamente paralelas Coincidentes Perpendiculares Oblíquas Paralelas Concorrentes
  • 4. Duas rectas são NÃO COMPLANARES se não estão situadas no mesmo plano, ou seja, as retas não complanares não têm nenhum ponto em comum e não são paralelas. Não se consegue arranjar nenhum plano que contenha simultaneamente a reta r e a reta s. Duas rectas são COMPLANARES se estão situadas no mesmo plano. PARALELAS  Duas rectas são estritamente paralelas ou não coincidentes se não têm nenhum ponto em comum. A reta r e a reta s não têm pontos em comum.  =sr  Duas rectas são coincidentes se têm todos os pontos em comum. A reta r e a reta s têm todos os pontos em comum. sr=sr  CONCORRENTES Duas rectas são concorrentes ou secantes se têm um único ponto em comum.  Duas rectas são concorrentes perpendiculares se dividem o plano em quatro ângulos iguais (rectos). A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º.  Duas rectas são concorrentes oblíquas se dividem o plano em quatro ângulos diferentes. A reta r e a reta s têm um ponto em comum e formam entre si um ângulo diferente de 90º. Modos de definir um plano Um plano fica definido por:  Três pontos não colineares (não alinhados).  Um ponto e uma reta que não o contenha.  Duas retas paralelas não coincidentes.  Duas retas concorrentes. (3) Quantos planos podem passar por: (3.1) Um ponto no espaço? (3.2) Dois pontos no espaço? (3.3) Três pontos no espaço? (3.4) Três pontos no espaço não colineares (não alinhados)? (3.5) Uma reta no espaço? (3.6) Uma reta e um ponto exterior à recta? (3.7) Duas retas paralelas? (3.8) Duas retas concorrentes? r s s r  r s  sr =  r s 
  • 5. (4) Indica, justificando, se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: (4.1) Duas retas sem pontos comuns são paralelas. (4.2) Duas retas concorrentes são complanares. (4.3) Duas retas complanares são concorrentes. (4.4) Os quatro vértices de um quadrado  LUIS  definem quatro retas paralelas. (4.5) Duas retas definem sempre um plano. Os critérios são teoremas que utilizamos para justificar o paralelismo ou perpendicularidade entre rectas e planos ou entre planos. Critérios de paralelismo entre reta e plano Critérios de paralelismo entre planos A B C D E F G H (5) A figura representa um paralelepípedo retângulo. Justifica que a reta EF é paralela à face [ABCD].
  • 6. Critérios de perpendicularidade entre reta e plano Num prisma triangular regular reto, cada aresta é perpendicular às bases. Porquê? Observa o paralelepípedo da figura.  A reta AC é perpendicular à reta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria de ser perpendicular a duas retas concorrentes e não a uma só. (Ler critério).  Podemos afirmar que a reta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas retas do plano: BE e BC. Critérios de perpendicularidade entre planos