1) O documento descreve conceitos básicos de geometria espacial como pontos, retas, planos e suas posições relativas no espaço, além de poliedros. 2) São apresentados cinco postulados ou axiomas iniciais da geometria sobre a existência e determinação de pontos, retas e planos. 3) Também são definidas posições relativas possíveis entre retas e planos como paralelas, concorrentes, perpendiculares e suas propriedades.

1. Conceitos primitivos
Os conceitos primitivos da geometria são os
seguintes:
PONTO RETA PLANO
.P
GEOMETRIA ESPACIAL - POSIÇÃO

2. Postulados ou Axiomas
• Os postulados são propriedades aceitas sem
demonstração
• Postulados iniciais
• P1 - Postulado de existência
• Em uma reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos.

3. • P2 - Postulado de existência
• Em um plano, bem como fora dele, existem
infinitos pontos.

4. • P3 - Por um ponto passam infinitas retas.

5. • P4 - Postulado de determinação
• Dois pontos distintos determinam uma única
reta (retas coincidentes são uma única reta).

6. • P5 - Postulado da inclusão
• Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a
reta está contida no plano.
• 1) se vários pontos pertencem a uma mesma reta, então
• eles são ditos colineares.
• 2) se vários pontos pertencem a um mesmo plano, então
• eles são ditos coplanares.

7. Posição relativa de duas retas no
espaço
• Duas retas são coplanares quando estão no
mesmo plano e podem ser:
• CONCORRENTES
• r e s têm um só ponto em comum.

8. PARALELAS DISTINTAS
• r e s não têm ponto em comum.

9. PARALELAS COINCIDENTES

10. Reversas
• São reversas quando não existe um plano que
as contêm.

11. Resumo

12. POSTULADO DAS PARALELAS
(EUCLIDES)
• Existe somente uma reta paralela a uma reta
dada r, passando por um ponto P que não lhe
pertence.

13. RETAS PERPENDICULARES
• Duas retas são perpendiculares quando são
concorrentes e formam um ângulo reto.

14. RETAS ORTOGONAIS
• Duas retas reversas são ortogonais quando o
ângulo formado pelas suas paralelas partindo
de um mesmo ponto é reto.

15. Exemplo
• Para melhor entendimento, observe a situação abaixo:
• 01) as retas r e s são ortogonais.
• 02) o segmento AB representa a distância entre as duas
• retas reversas.
• AB é a única reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.
• A medida do segmento AB é, por definição, a distância entre
• as retas reversas r e s.

16. Determinação do plano
Um plano fica determinado de quatro modos
diferentes.
01) Três pontos não-colineares.

17. 02) Uma reta e um ponto fora
dela.

18. 03) Duas retas concorrentes.

19. 04) Duas retas paralelas.

20. Posições relativas de dois planos
PLANOS
• PLANOS PARALELOS
• Dois planos são ditos paralelos quando não têm ponto em
comum ou se coincidem.
• Observações:
• Alguns autores não consideram um plano paralelo a si mesmo.

21. PLANOS SECANTES OU
CONCORRENTES
• Dois planos são concorrentes quando
possuem em comum uma única reta.

22. PLANOS PERPENDICULARES
• Dois planos são perpendiculares se um deles
contém alguma reta perpendicular ao outro.

23. Posições relativas de uma reta e um
plano no espaço
• RETA CONTIDA NO PLANO
• Uma reta está contida em um plano quando
todos os seus pontos pertencem ao plano.

24. RETA SECANTE
• A reta e o plano possuem apenas um ponto
em comum.
P é o traço da reta com o plano.

25. RETA PARALELA A UM PLANO
• Uma reta é paralela a um plano quando não possuem ponto
em comum.
• Uma reta é paralela a um plano quando, não estando contida
• nele, ela é paralela a alguma reta desse plano.

26. RETA PERPENDICULAR AO PLANO
• Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é
perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo
ponto comum.
• P é o PE da perpendicular sobre o plano.
• Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes,
• então ela é perpendicular ao plano determinado por essas
• duas retas.

27. • 01) (FACTUR ) Entre retas e planos no espaço, verifica-se
• que:
• a) uma reta paralela a um plano é paralela a uma e só
• uma reta desse plano.
• b) dois pontos distintos determinam infinitas retas.
• c) três pontos determinam um plano.
• d) uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
• e) dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.

28. • 02)
• (UESC) Sejam uma reta r e um plano α do espaço,
• concorrentes.
• Com base nessa informação, pode-se afirmar:
• 01) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são
reversas.
• 02) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são
• concorrentes.
• 03) Existe uma reta r1, contida em α, que é paralela a r.
• 04) Se uma reta r1 está contida em α e é ortogonal a r,
• então r é perpendicular a α.
• 05) Se r é perpendicular a α e uma reta r1 está contida
• em α, então r é ortogonal a r1.

29. • 02. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre
• geometria espacial, pode-se afirmar:
• (01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então
• toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular
• ao plano α.
• (02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe
• um único plano passando por P, paralelo à reta s.
• (04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s
• é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α.
• (08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma
• perpendicular a α, que não está contida em β, então
• r é paralela a β.
• (16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta
• de um deles é perpendicular ao outro.
• (32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma
• reta ou um ponto.

30. POLIEDROS
• Poliedro é o sólido limitado exclusivamente
por polígonos convexos.

31. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES
• A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é tantas
vezes 360º quantos são os vértices, menos dois.
• EXEMPLO:
• Os dois poliedros representados possuem, cada um, 6
• vértices. Portanto, a soma dos ângulos das faces é:
• Sa = (6 - 2) . 3600
= 14400
.

32. TEOREMA DE EULER
• No poliedro convexo é válida a relação.

33. • Cada aresta de um poliedro é formada pelo concurso
de dois lados de duas faces. Portanto, o número de
arestas de um poliedro é igual à metade do número
total dos lados apresentados pelas diversas faces.
• No caso de F faces, com n lados cada uma, teremos:

34. EXERCÍCIOS
• 01) (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12
vértices e 30 arestas?
• a) Hexaedro d) Icosaedro
• b) Dodecaedro e) Tridecaedro
• c) Octaedro

35. • 02)
• (ITA) Considere um prisma regular em que a
soma dos ângulos internos de todas as faces é
7200o. O número de vértices deste prisma é
igual a:
• a) 11. d) 20.
• b) 32. e) 22.
• c) 10.

36. • 03) Qual a soma dos ângulos das faces de um
poliedro convexo que apresenta 20 arestas e
12 faces?