Apostila Geometria Espacial -2013

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LICEU MUNICIPAL PREFEITO CORDOLINO AMBRÓSIO
Apostila de Matemática – 3º Bimestre
3001 – 3002 – 3003
1 PRISMA
1.1 Conceito
 Suas superfícies são constituídas de polígonos;
 Cada um tem pelo menos duas faces contidas
em planos paralelos;
 Os planos que contêm as outras faces
interceptam-se dois a dois em retas paralelas
entre si.
Considerando α e β como sendo dois planos
paralelos diferentes, podemos considerar uma região
poligonal contendo n lados que está contida em α e
uma reta r que interrompe os planos α e β nos pontos
A e B respectivamente.
Podemos chamar de prisma, a união dos diversos
segmentos paralelos ao segmento da reta AB.
1.2 Elementos
 bases (polígonos);
 faces (paralelogramos);
 arestas das bases (lados das bases);
 arestas laterais (lados das faces que não
pertencem às bases);
 vértices (pontos de encontro das arestas);
 altura (distância entre os planos das bases).

2
1.3 Classificação
1.3.1 Quanto ao número de lados
Classifica-se quanto ao número de lados dos polígonos de cada base: triangular, quadrangular, pentagonal, etc.
1.3.2 Quanto à inclinação
Classifica-se devido à inclinação de suas arestas laterais em relação aos planos das bases.
1.4 Paralelepípedo
Um prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo.
O paralelepípedo pode ser:
 Oblíquo: a superfície total é a reunião de seis paralelogramos.
 Reto: a superfície total é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).

3
 Retângulo ou reto-retângulo: a superfície total é a reunião de seis retângulos.
 Cubo (paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes): a superfície total é a reunião de seis
quadrados.
1.4.1 Paralelepípedo Retângulo
Vamos considerar o paralelepípedo representado na figura abaixo, no qual os lados do retângulo da base medem
a e b e a altura mede c; dizemos que a, b e c são as dimensões do paralelepípedo.
1.4.1.1 Cálculo da área total
Fazendo uma planificação do paralelepípedo
retângulo dado, observa-se que a sua área total S é
igual à soma das áreas de seis retângulos, dois a dois
congruentes.
Assim:
321 .2.2.2 AAAS 
ou seja:
bcacabS 222 
Note que:
Área lateral bcacSl 22 
Área das bases abSb 2

4
1.4.1.2 Cálculo da diagonal
Sejam d a medida da diagonal do paralelepípedo e d’ a medida da diagonal da base, observe que os triângulos
BAD e D’DB são retângulos:
Temos:
No ∆BAD: 222
' bad   (1)
No ∆D’DB: 222
' cdd   (2)
Substituindo (1) em (2) temos: 2222
cbad 
ou seja 
222
cbad 
1.4.1.3 Cálculo do volume
O volume V de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado pela fórmula:
cbaV ..
Sendo ba. a área da base bA e c a altura h do
paralelepípedo, temos:
 cbaV ..  hAV b .

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Exemplo 1
Um marceneiro deve construir um tabuleiro de xadrez na forma de um paralelepípedo retângulo, para construí-
lo recebeu as seguintes instruções:
 As dimensões do tabuleiro deveriam ser de 40 cm de comprimento por 20 cm de largura, por 5 cm de
altura;
 Ele deveria ser envernizado apenas na superfície superior e nas superfícies laterais;
 A madeira deveria ser o ipê.
a) Se esse marceneiro gasta, em média, R$ 15,00 para revestir de verniz uma superfície de 1m², quanto gastará
para envernizar o tabuleiro?
Primeiro, calculemos a área S da superfície a ser envernizada.
Essa superfície é composta de uma das bases e das quatro
faces laterais do paralelepípedo retângulo de dimensões
a=40cm, b=20cm e c=5cm.
Assim, bcacabS 22  , e temos:
22
14,01400
200400800
5.20.25.40.220.40
mcmS
S
S



O custo para envernizar o tabuleiro pode ser obtido pela regra de três simples:
xm
reaism


2
2
14,0
151
reaisxx 10,215.14,0 
b) Se por 1m³ de ipê ele paga R$ 900,00 ao seu fornecedor, qual será o custo da madeira a ser usada na
confecção do tabuleiro?
O volume V da madeira a ser usada na confecção do tabuleiro é igual ao volume do paralelepípedo retângulo de dimensões a=40cm,
b=20cm e c=5cm.
Assim, cbaV .. , e temos:
33
004,04000
5.20.40
mcmV
V


O custo da madeira pode ser obtido pela regra de três:
xm
reaism


3
3
004,0
9001
reaisxx 60,3900.004,0 

6
1.4.2 Cubo
O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces
são quadrados. Assim, suas 12 arestas são congruentes
entre si.
Já temos as fórmulas da área, da diagonal e do
volume de um paralelepípedo retângulo que são:
bcacabS 222  222
cbad 
hAV b .
Fazendo cba  , em cada fórmula temos:
1.4.2.1 Área do cubo S
aaaaaaS 222   2
6aS 
1.4.2.2 Diagonal do cubo d
222
cbad  = 2
3a  3ad 
1.4.2.3 Volume do cubo V
aaaV ..  3
aV 
Exemplo 2
Na figura ao lado tem-se um peso feito de ferro.
Ele tem a forma de um cubo, cuja área total é de 150
cm².
Sabendo-se que a densidade do ferro é 7,8 g/cm³,
qual é a massa desse peso?
 Sabe-se que a área total de um cubo de aresta a é dada por:
cmaaaaS 52561506 222

 O volume do peso (cubo) é:
333
1255 cmVVaV 
 Como a densidade do ferro é 7,8g/cm³, isto é, a massa de 1cm³ de ferro é igual a 7,8g, a regra de três nos permite obter a
massa do peso:
xm
gcm


3
3
125
8,71
gxx 9758,7.125 

7
Exercícios propostos
1- Calcule a diagonal, a área e o volume de cada um dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo:
a) cubo b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo
2- Represente, por meio de expressões algébricas, a diagonal, a área total e o volume de cada um dos
paralelepípedos cujas medidas estão indicadas abaixo:
a) cubo b) paralelepípedo retângulo c) paralelepípedo retângulo
3- Calcule a terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 cm e que sua
diagonal mede 103 cm.
4- Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62cm² sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões.
5- Para revestir a superfície do cubo representado na
figura ao lado, um artesão usou 300 cm² de papel. Se
ele usou a menor quantidade possível de papel,
determine:
a) a aresta do cubo;
b) o volume do cubo.
5- Calcule a aresta de um cubo de 27 m³ de volume.
6- Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo cuja soma das medidas das arestas vale 30 cm.

8
7- (UF-PR, adaptado) Pelo regulamento de uma companhia de transportes aéreos, é permitido levar a bordo
objetos de tamanho tal que a soma de suas dimensões (comprimento, largura e altura) não exceda a 115 cm.
Assim, quais das afirmações seguintes estão corretas?
a) É permitido levar uma caixa em forma de cubo com altura de 0,35 m.
b) É permitido levar um pacote com 55 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura.
c) Para que possa ser levada a bordo uma caixa de comprimento, largura e altura, respectivamente indicados
por a, b e c, em centímetros, é necessário que as medidas verifiquem a condição 115 cba .
d) Um pacote com formato de paralelepípedo reto de base quadrada de lado 30 cm poderá ser levado a bordo
se qualquer face lateral tiver uma de suas diagonais medindo 530 cm.
e) Se um objeto a bordo tem formato de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm,
então o seu volume é 100% maior do que o volume de outro objeto com mesmo formato e de dimensões
10 cm, 15 cm e 80 cm.
8- (UF-AL, adaptado) Considere o paralelepípedo retangular representado abaixo.
Assinale V ou F, conforme as proposições seguintes sejam, respectivamente, verdadeiras ou falsas.
a) ( ) Seu volume é xxx 107 23
 .
b) ( ) A área da face ABCD é xx 22
 .
c) ( ) Se a área da face ABCD é 24cm², então x = 6 cm.
d) ( ) A área total é 10216 2
 xx .
e) ( ) Se x = 2 cm, então a área total é 10 cm².
1.5 Áreas e Volumes de um Prisma
1.5.1 Área da base ( bA )
Como a base de um prisma é um polígono, a área da base de um prisma é a área de um polígono.
Por exemplo, se a base de um prisma for um quadrado de lado a, então 2
aAb  ; se a base do prisma for um
triângulo de base b e altura h, então
2
.hb
Ab  .
1.5.2 Área lateral ( lA )
Como a superfície lateral de um prisma é a reunião de suas faces laterais, então a área dessa superfície é a soma
das áreas das faces laterais.
lA = soma das áreas das faces laterais

9
1.5.3 Área total ( tA )
Como a superfície total de um prisma é a reunião da superfície lateral com as bases, a área total de um prisma é
dada por:
blt AAA .2
1.5.4 Volume (V )
O volume de um prisma, como o de um paralelepípedo retângulo, é igual ao produto da área da base pela medida
da altura:
hAV b .
Exemplo 3
Uma marmoraria fabrica mesas como a mostrada
na figura ao lado, a qual é composta de dois
prismas de mármore acoplados:
 O tampo, com 0,5 m de altura, é um
prisma regular hexagonal cuja aresta da
base mede 0,70 m;
 O suporte do tampo é um paralelepípedo
retângulo que tem 0,70m de altura e cuja
base é um quadrado com 0,50 m de lado.
Considerando esses dados, responda:
a) Qual o volume do mármore que compõe a estrutura da mesa?
Devemos calcular o volume dos dois prismas.
V1: volume do prisma regular hexagonal
4
3
2
2
3
.
2
3
2
.
2
.
l
A
l
l
A
l
h
hl
A
eq


















, assim
2
3
.3
4
3
.6
22
ll
Ahex 
Logo, a área da base é:
2
2
3735,0
2
349,0
.3
2
3.7,0
.3 mAhex 
2
27,1 mAhex 
Como hAV b .1  , então:
3
11 064,005,0.3735,0 mVV 

10
V2: volume do paralelepípedo retângulo
  222
25,050,0 mlAb 
3
222 175,070,0.25,0. mVVhAV b 
Volume total do mármore:
3
21 239,0175,0064,0 mVVVVV 
b) Se para aplicar uma resina impermeabilizante na pedra o fabricante cobra R$ 20,00 o metro quadrado, quanto
custaria aplicar essa resina na superfície dos dois prismas que compõem a mesa?
Vamos calcular as áreas totais dos dois prismas.
At:área total do prisma regular hexagonal
)____.(2)____.(6 regularhexágonoumdeárealateralfaceumadeáreaAt 
Como






),___(27,1___
035,005,0.70,0____
2
2
anterioritemnocalculadamregularheágonodoárea
mmmlateralfaceumadeárea
Temos:
2
75,227,1.2035,0.6 mAA tt 
A’t:área total do paralelepípedo retângulo
   
2
2
90,1'
50,0.270,0.50,0.4'
)___.(2)____.(4'
mA
A
quadradoumdeárealateralfaceumadeáreaA
t
t
t



Logo, a área total a ser impermeabilizada é:
2
65,490,175,2' mAA tt 
Se o fabricante cobra R$ 20,00 para aplicar a resina em uma superfície de 1 m², então pagará pela aplicação nas superfícies dos
prismas: 9320.65,4  reais.

11
9- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas abaixo.
a) prisma reto (triangular) b) prisma regular (hexagonal) c) prisma oblíquo (base
quadrado)
10- Represente, por meio de expressões algébricas, a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas.
a) prisma regular (triangular) b) prisma regular (hexagonal) c) prisma reto (triangular)
11- A base de um prisma de 10 cm de altura é um triângulo retângulo isósceles de 6 cm de hipotenusa. Calcule a
área lateral e o volume do prisma.
12- Determine a área lateral e o volume de um prisma reto de 25 cm de altura, cuja base é um hexágono regular
de apótema 34 cm.
13- Determine a aresta da base de um prisma triangular regular, sendo seu volume 8 m³ e sua altura 80 cm.
14- Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono e a altura do prisma, sabendo-
se que o volume é de 4 m³ e a superfície lateral de 12 m²?
15- Um prisma pentagonal regular tem 8 cm de altura, sendo 7 cm a medida da aresta da base. Calcule a área
lateral desse prisma.

12
16- (UF-GO) A figura ao lado representa um prisma
reto, de altura 10 cm e cuja base é um pentágono
ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD =
DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma.
17- (Vunesp-SP) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura abaixo.
Em que ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e EFGHII, um prisma cuja base EHI é um triângulo
retângulo (com ângulo reto no vértice H e ângulo α no vértice I tal que
5
3
sen ). A superfície interna do tanque
será pintada com material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado necessita de 2 litros de
impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro.Sabendo-se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine:
a) as medidas EI e HI;
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais.
18- (UF-MG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros é:
a) 38,0
b) 6
c) 60
d) 360
e) 3900

13
2.0 PIRÂMIDE
2.1 Conceito
Consideremos um polígono num plano α e um
ponto V fora de α. Tomemos segmentos de reta, cada
um com uma extremidade em V e a outra num ponto
do polígono: a reunião desses segmentos é um sólido
chamado pirâmide.
Note que, na figura ao lado, o polígono ABCD é
um quadrilátero – daí a pirâmide ser chamada de
pirâmide quadrangular.
2.2 Elementos
Considerando a pirâmide VABCDE, temos:
 V (vértice da pirâmide);
 O polígono ABCDE (base da pirâmide);
 Os lados AB, BC, CD, DE e EA (arestas da base);
 Os segmentos VA, VB, VC, VD e VE (arestas
laterais);
 Os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VEA
(faces laterais);
 Distância de V ao plano da base (altura da pirâmide)
2.3 Classificação
São classificadas de acordo com as bases.
2.3.1 Pirâmide regular
Sua base é um polígono regular e suas arestas laterais são congruentes entre si.

14
Uma pirâmide regular tem as seguintes características:
 A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base;
 As faces laterais são triângulos isósceles congruentes;
 O apótema da pirâmide regular, indicado por g, é a altura de uma face lateral.
 Relação notável: 222
hmg 
2.3.1.1 Áreas e Volume
2.3.1.1 Área da base ( bA )
Calcula-se pela área do polígono de base.
2.3.1.2 Área lateral ( lA )
A superfície lateral de uma pirâmide é constituída de triângulos, então:
lateraisfacesdasáreasdassomaAl _____
2.3.1.3 Área total ( tA )
lbt AAA 

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2.3.1.4 Volume ( V )
)__).(__(
3
1
alturadamedidabasedaáreaV 
hAV b .
3
1

2.4 Tetraedro regular
Tetraedro regular é uma pirâmide que tem as quatro
faces congruentes. Observe na figura:
 As seis arestas são congruentes;
 As faces ABC, ACD, ABD e BCD são
triângulos eqüiláteros, e qualquer uma delas
pode ser considerada base do tetraedro
regular.
tA é quatro vezes a área de uma face, que é um triângulo equilátero de lado a.









4
3
.4.4
2
a
AAA tfacet
32
aAt 
2.4.2 Altura ( h )
Para calcular a altura, olhando a pirâmide, temos:      222
BOAOAB  , onde procuramos AO.
3
3
..
a
h equiltriang  Como:











3
3a
OB
hAO
aAB
Aplicando no teorema de Pitágoras temos:
9
6
9
6
9
39
9
3
9
3.
3
3 22
2
22
2
2
22
2
22
2
22 a
h
a
h
aa
h
a
ah
a
ha
a
ha 










3
6a
h 

16
2.4.3 Volume (V )
Temos a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide hAV b .
3
1
 , assim:









3
6
4
3
)__(___
2
a
h
a
equiláterotriângulofaceumadeáreaAb
Aplicando na fórmula:

3.4.3
23
3.4.3
18
3
6
.
4
3
.
3
1
.
3
1 332
a
V
a
V
aa
VhAV b
12
23
a
V 
Exemplo
Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser
construída tinha 146 m de altura e 233 m de aresta da
base.
Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular
quadrangular, vamos calcular sua área e seu volume.
Área
A área da base é:     222
289.54233 mmABAb 
A área lateral é a soma dos quatro triângulos isósceles:
     
   
 
2
2
2
22
222
78,186
25,34888
25,1357221316
2
233
146
mVM
VM
VM
VM
MHVHVM











  
  
2
48,039.8778,186.2332
..2
2
.
.4
.4
mA
VMABA
VMAB
A
AA
l
l
l
AVBl



 
A área total é:
2
48,328.14148,039.87289.54 mAAA lbt 
Volume
   32
67,064.642.2146.289.54.
3
1
.
3
1
mmmhAV b 

17
1- Classifique em cada caso a pirâmide, sabendo que possui:
a) 6 faces b) 8 faces c) 12 arestas d) 20 arestas
2- Calcule a área lateral, a área total e o volume da cada uma das pirâmides regulares.
a) b)
3- Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule sua altura, sua área total e seu volume.
4- Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide regular triangular de 7 cm de apótema, sendo 2 cm o
raio do círculo circunscrito à base.
5- Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões valem 10 cm e 24 cm, respectivamente. As arestas
laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide.
6- A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule seu volume.
7- Pretende-se construir um obelisco de concreto, de forma piramidal regular, no qual a aresta da base
quadrangular mede 6 m e a aresta lateral mede 53 m. Determine:
a) a área total do obelisco;
b) o volume do obelisco;
c) o ângulo α, de inclinação, entre cada face lateral e a base do obelisco.
8- Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 cm e
10 cm.

18
9- De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm² e que o apótema da pirâmide
mede 6 dm. Calcule:
a) a aresta da base(l);
b) o apótema da base(m)
c) a altura da pirâmide(h);
d) a aresta lateral(a);
e) a área lateral(Al);
f) a área total(At).
10- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos
comprimentos de todas as arestas laterais.
11- Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo
3
310
cm. Calcule:
a) o apótema da base;
b) o apótema da pirâmide (g);
c) a aresta lateral;
d) a área da base (Ab);
e) a areal lateral (Al);
f) a área total (At);
g) o volume (V).
12- Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma
pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base media 2 m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava
um volume de 35 m³, quantos metros quadrados de lona tinha a barraca?
13- Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta
lateral, 10 cm.
14- (Ucsal-BA) A aresta de um Tetraedro regular mede 4 cm. Sua área total, em centímetros quadrados, é:
a) 32
b) 34
c) 38
d) 316
e) 332

19
3 CILINDRO
3.1 Conceito
Um cilindro possui as seguintes características:
 Apresenta duas superfícies regulares de
raios congruentes, que se situam em planos
paralelos;
 Sua superfície lateral é constituída de todos
os segmentos congruentes que têm
extremidades nas circunferências dos
círculos e são paralelos à reta que contém
os centros desses círculos.
3.2 Elementos
No cilindro representado abaixo, temos:
 Os círculos de centro O e O’ e raio r (bases
do cilindro);
 Os segmentos paralelos a OO’, com
extremidades em pontos das circunferências
das bases (geratrizes do cilindro);
 A reta OO’ (eixo do cilindro);
 A distância h, entre os planos das bases
(altura do cilindro).
3.3 Classificação
Quanto à inclinação da geratriz em relação aos planos de suas bases, os cilindros classificam-se em:
 Cilindro oblíquo – geratriz oblíqua às
bases;
 Cilindro reto – geratriz perpendicular às
bases. Nesse caso, a geratriz é a altura do
cilindro.

20
Obs.: O cilindro reto é também
chamado de cilindro de revolução,
por ser gerado pela rotação de um
retângulo em torno de um de seus
lados.
3.4 Áreas e volume
A área de um círculo de raio r é a área da base:
2
.rAb 
Área lateral refere-se à um retângulo de base r.2 ,
em que r é o raio do cilindro e h é sua altura.
Isso pode ser visualizado se planificarmos a
superfície lateral do cilindro.
Assim, retânguloumdelateraláreaAl ____
hrAl ..2
A superfície total de um cilindro é a reunião da
superfície lateral com os cículos das bases.
Assim, a área total é:
blt AAA .2
Temos:





2
.
..2
rA
hrA
b
l


Substituindo na fórmula:
 2
..2..2 rhrAt  )(.2 rhrAt  
3.4.4 Volume (V )
Seu volume é obtido da mesma forma que o volume de um prisma: hAV b .
Como 2
.rAb  , temos:
hrV .. 2


21
3.5 Seção meridiana e cilindro eqüilátero
Seção meridiana de um cilindro é a interseção deste com um plano que contém o segmento OO’.
 A seção meridiana de um cilindro oblíquo é
um paralelogramo.
 A seção meridiana de um cilindro reto é um
retângulo.
Cilindro eqüilátero é um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado, onde rhg .2
Como obter a área lateral( lA ), a área total ( tA ) e o volume (V) de um cilindro eqüilátero de raio r:
Área lateral
 





rrA
rh
hrA
l
l
.2..2
.2
..2

 2
.4 rAl 
Área total
 








22
2
2
..2.4
.
.4
2
rrA
rA
rA
AAA
t
b
l
blt


 2
.6 rAt 
Volume
 





rrV
rh
hrV
.2..
.2
. 2
2

 3
.2 rV 
Exemplo
Uma vela tem a forma de um cilindro reto, com área
total de 108π cm² e raio de base igual a
5
1
da altura.
Vamos determinar sua área lateral e seu volume.
Sendo r a medida do raio da base e h a medida da altura, temos:






108
5
1
tA
hr
Se blt AAA .2 , então
 
 
2
2
54
54
..2108
..2...2108
rrh
rhr
rhr
rhr







22
Substituindo hr
5
1
 :
1522561350
2525
5
54
255
54
5
1
.
5
1
54
54
2
22
22
2
2











hhh
hh
hh
hhh
rrh
Agora calculamos o raio:
315.
5
1
5
1


rr
hr
Logo






322
2
_13515.3...
_9015.3.2..2
cmVVhrV
cmAAhrA lll


1- Calcule a área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm e a geratriz, 10 cm.
2- O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e a altura, 3 cm. Determine a área lateral, a área total e o volume
desse cilindro.
3- Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900π m² sua área lateral?
4- Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos abaixo.
a) cilindro equilátero b) cilindro reto c) semicilindro reto

23
5- Na decoração de uma festa foram usadas
lanterninhas orientais, como as mostradas na figura
ao lado. Determine a área da superfície lateral de
uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um
cilindro eqüilátero cuja geratriz mede 15 cm.
6- Determine a área total de um cilindro, sabendo que sua área lateral é de 80 cm² e sua seção meridiana é um
quadrado.
7- A cúpula do abajur mostrado na figura ao lado tem a
forma de um cilindro reto cuja área da base é 144π cm².
Se a altura da cúpula é igual a
3
5
do raio da base,
determine a área de sua superfície lateral.
8- Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 cm, sabendo que a área total excede em 50π
cm² sua área lateral.
9- O bolo mostrado na figura ao lado tem a forma de
um cilindro reto cuja área total é 720π cm². Se a
altura desse bolo é igual a
5
3
do raio da base, qual é
o seu volume?
10- Determine a altura e o raio de um cilindro reto, sendo
5
9
sua razão, nessa ordem, e 270π cm² a área lateral.

24
11- Um fabricante de goiabada vende seu produto em latas cilíndricas (figura 1), ao preço de R$ 2,40 a lata. Ele
pretende substituir a embalagem que usa por outra lata, também cilíndrica, mostrada na figura 2. Se o preço de
venda de uma lata é diretamente proporcional ao volume de goiabada no seu interior, por quanto ele deverá
vender a nova lata?
12- O volume de um cilindro de revolução é 96π cm³ e a área de sua seção meridiana é 48 cm². Qual é a área total
desse cilindro?
13- Uma lata, cheia de manteiga, tem a forma de um cilindro eqüilátero de 8 cm de altura. Que volume ocupa a
manteiga no seu interior? (Use π = 3,14.)
14- O desenvolvimento de uma superfície cilíndrica de revolução é um retângulo de 4 cm de altura e 7 cm de
diagonal. Calcule o raio do cilindro.
15- (Ucsal-BA) Pode-se fabricar um cilindro reto, de volume V1, curvando-se uma placa metálica retangular de
maneira que coincidam os dois lados maiores:
Pode-se fabricar outro cilindro reto, de volume V2, com outra placa de mesmas dimensões, curvando-a de maneira
que coincidam os lados menores:
Nessas condições, de acordo com as medidas dadas nas figuras, expresse V2 em função de V1.

25
4 CONE
4.1 Conceito
Consideremos um círculo de centro O e raio r,
situado num plano α, e um ponto V, fora de α.
Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos
segmentos com uma extremidade em V e a outra em
um ponto do círculo.
4.2 Elementos
 Ponto V ( vértice do cone );
 Círculo de raio r ( base do cone );
 Cada segmento com uma extremidade em V
e outra num ponto da circunferência da
base ( geratriz do cone );
 Distância h do vértice ao plano da base (
altura do cone ).
4.3 Classificação
Classifica-se quanto à inclinação da reta OV em relação ao plano da base.
 Cone oblíquo:  Cone reto:
Obs.: O cilindro reto é também
chamado de cilindro de revolução,
por ser gerado pela rotação de um
retângulo em torno de um de seus
lados.

26
4.4 Áreas e volume
É a área de um círculo de raio r:
2
.rAb 
É a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é r.2 (perímetro da
base):
Observe que o raio do setor é g e o comprimento do arco do setor é r.2 .
A área do setor circular de raio g e comprimento de arco r.2 , isto é, a área lateral lA , é obtida pela regra de
três:
   
g
rg
Al


2
.22
rgAl .
É a reunião da superfície lateral com o círculo da
base:
lbt AAA 
Substituindo rgAl . e 2
 2
.. rrgAt   rgrAt  .
4.4.4 Volume (V)
Assim como a pirâmide:
hAV b .
3
1

Como 2
hrV ..
3
1 2


27
4.5 Seção meridiana e cone eqüilátero
Seção meridiana de um cone é a interseção dele
com um plano que contém o segmento OV .
Cada seção meridiana de um cone reto é um
triângulo isósceles.
Cone equilátero é um cone reto cuja seção
meridiana é um triângulo eqüilátero.
Num cone eqüilátero, rg 2 .
4.5.1 Áreas e volume do cone eqüilátero
4.5.1.1 Área lateral






rrA
rg
grA
l
l
.2..
.2
..

 2
.2 rAl 
4.5.1.2 Área total





 22
2
..2
.
rrA
rA
AAA
t
b
blt


2
.3 rAt 
4.5.1.3 Volume
hrV ..
3
1 2

Obs.: Para calcular a altura h:
   22222222
32 rhrrhgrh 3rh 
Exemplo 1
O receptáculo da taça mostrada a seguir tem a
forma de um cone reto de geratriz 7,5 cm e raio da
base 4,5 cm. Vamos determinar quantos milímetros
de uma bebida ocupariam
3
2
de sua capacidade.

28
Vamos primeiro determinar a altura h da taça, visto no esquema abaixo.
No AVOret :
        cmhhhh 6365,45,75,75,4 2222222

Logo:
  mlcmVVhrV 17,12717,1276.5,4.14,3.
3
1
..
3
1 322
 
Agora temos:
mlV 78,8417,127.
3
2
3
2

Resposta: 84,78 ml da bebida ocupariam
3
2 da capacidade do receptáculo.
Exemplo 2
A superfície lateral de um cone reto desenvolvida num plano é um setor circular de 120º e 6 cm de raio.
Calculemos a área lateral, a área total e o volume desse cone.
Área lateral


12
360
6..120
______120
6.______360 22





lo
o
l
l
o
o
AA
A
Para calcular a área total precisamos ter o valor do raio.
Raio
Como grAl .. e 6g , vem:
cmrrrgrAl 2
6
12
6..12.. 



Área total
Como
2
.rAb  e 2r , vem:
22
_164122.12 cmAAAAAA tttblt  
Para calcular o volume, precisamos antes calcular a altura.
Altura (h)
Como
222
ghr  , temos:
cmhhhh 243236462 22222

Volume
    322
_
3
216
24.4.
3
1
24.2..
3
1
...
3
1
..
3
1
cmVVVhrVhAV b  
Resposta: A área lateral é 12π cm², a área total é 16π cm² e o volume é 
3
216 cm³

29
1- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base.
2- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm.
3- A geratriz de um cone reto mede 14 cm e a área da base, 80π cm². Calcule a medida da altura e o volume desse
cone.
4- O chapéu do bruxo mostrado na figura ao lado
tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de
altura e 100π cm³ de volume. Se ele é feito de
cartolina, quanto desse material foi usado para fazer
a superfície lateral?
5- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das figuras.
a) cone equilátero b) cone reto c) semicone
6- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é 54π cm².
7- Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm².
8- Determine a altura de um cone, sendo 42 cm o diâmetro da base e 1050π cm² sua área total.

30
9- Em uma festa foi servido doce de leite em cones
retos, cada um com 2 cm de raio da base e geratriz
medindo 53 cm. Determine quantos litros de doce
de leite foram necessários para encher 600 cones que
foram servidos nessa festa. 


.
.
Use 



7
22

10- Determine a área total de um cone, sendo 40 cm o diâmetro de sua base e 420 cm² a área de sua seção
meridiana.
11- Determine a geratriz de um cone de revolução, sabendo que a área da base é equivalente à seção meridiana do
cone e que sua altura é 9π cm.
12- Determine o volume de um cone de revolução, sendo 126π cm² sua área lateral e 200π cm² sua área total.
13- Um semicone reto tem altura igual ao raio e seu volume é 576π cm³. Calcule a área lateral do semicone.
14- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2 e um de seus ângulos agudos mede 60°. Girando-se o
triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone. Qual é o volume desse cone?
15- Determine a área lateral, a área total e o volume do sólido que segue.

31
5 ESFERA
5.1 Conceito
1º) A superfície esférica é gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu
diâmetro.
2º) A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o
diâmetro.
5.2 Elementos
A nomenclatura seguinte deve-se ao fato de a Terra ser considerada aproximadamente uma esfera, tomando-se e
como eixo de rotação.
 Interseções da superfície com o eixo (Pólos 1P e 2P ).
 Seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo
centro da superfície (Equador).
 Seção (circunferência) paralela ao Equador (Paralelo)
 Seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo
(Meridiano)

32
5.3 Seção da esfera
Toda seção plana de uma esfera é um círculo.
Na figura ao lado, o plano α determina uma seção
plana na esfera de centro O e raio r.
Sendo d a distância de α ao centro O e s o raio da
seção, temos: MOA é retângulo 222
dsr 
Se o plano secante passa pelo
centro da esfera, temos como
seção um círculo máximo da
esfera.
5.4 Área e volume
5.4.1 Área da esfera (A)
2
.4 rA 
5.4.2 Volume da esfera (V)
3
.
3
4
rV 
Exemplo 1
Considere que as superfícies das bolhas de sabão
mostradas na figura têm áreas de 64π cm² e 100π cm².
Vamos calcular:
a) a razão entre os raios da menor e da maior
bolha;
b) o volume de ar contido no interior de cada
bolha.
a) Temos 1A e 2A as áreas das superfícies das bolhas maior e menor:
cmrrrrrA
cmrrrrrA
525
4
100
100.4.4
416
4
64
64.4.4
2
2
2
2
2
2
2
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
11








Logo:
5
4
2
1

r
r

33
b) Temos 1V e 2V os volumes das esferas representadas pelas bolhas menor e maior:
3
22
3
2
3
22
3
11
2
1
3
11
3
500
125.
3
4
5.
3
4
.
3
4
3
256
64.
3
4
4.
3
4
.
3
4
cmVVVrV
cmVVVrV






Logo, o volume de ar no interior da bolha menor é 3
3
265
cm
 e na bolha maior é 3
3
500
cm
 .
Exemplo 2
Duas esferas são concêntricas, e a menor tem 9 cm de raio. A área da seção feita na esfera maior por um plano
tangente à esfera menor é 144π cm².
Calculemos a área e o volume da esfera maior e o comprimento de sua circunferência máxima.
Interpretando o problema, temos a figura ao lado, na qual:
 d – raio da esfera menor = 9cm
 s – raio da seção
 r – raio da esfera maior
12
144
144.144 22
 sssAseção



Substituindo d=9 e s=12 na relação
222
dsr  , vem:
1522514481129 22222222
 rrrrdsr
Substituindo r=15 nas expressões dos valores pedidos, vem:
Área da esfera  900225.415.4.4 22
 AAArA
Volume da esfera  4500
3
13500
3375.
3
4
15.
3
4
.
3
4 33
 VVVVrV
Circunferência máxima  3015.2.2  CCrC
Logo, a área é 900 cm², o volume é 4500 cm³ e a circunferência mede 30 cm.

34
1- Calcule a área e o volume de cada uma das esferas.
a) b)
2- Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.
3- Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e
12 cm de altura. Ele pretende substituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâmetro
da nova embalagem para que possa conter a mesma quantidade de suco que a primeira?
4- Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm².
5- Determine a área uma esfera, sendo 2 304π cm³ o seu volume.
6- Considerando a Terra uma esfera cujo diâmetro é
12 800 km e considerando a Lua uma esfera cujo
diâmetro é
4
1
do da Terra, calcule a razão entre os
volumes dos dois astros.
7- Considere uma esfera de 6 cm de raio, feita com massa de modelar. Divide-se essa massa em quatro partes
iguais e são construídas quatro novas esferas. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas?

35
8- Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um cículo de raio 20 cm, sendo 21
cm a distância do plano ao centro da esfera.
9- Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância
do plano ao centro da esfera.
10- Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro
com duas semiesferas acopladas em suas
extremidades, conforme mostra a figura ao lado. Se o
diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento
total é 1,50 m, calcule:
a) a área de sua superfície;
b) o volume máximo de gás que o seu interior
pode conter.
11- A seção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo
dessa esfera.
12- Determine a área de uma superfície esférica, sendo 26π cm o comprimento da circunferência do círculo
máximo.
13- Determine a área da superfície e o volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede
5
1
do raio de outra
esfera cujo volume é 4 500π cm³.
14- Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a areada seção feita na
esfera maior por um plano tangente à outra esfera.
15- (UF-CE) Um silo tem a forma de um cilindro
circular reto (com fundo) encimado por uma
semiesfera, como na figura ao lado.
Determine o volume e a área da superfície desse silo,
sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a
altura do silo mede 8 m.

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