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Axiomatização da geometria
Compilando todo o conhecimento geométrico na sua obra Os Elementos, Euclides
tenta construir axiomaticamente a geometria, hoje designada por Geometria
Euclidiana.
Euclides baseia-se em dez proposições, separadas em dois grupos: cinco foram
classificadas como axiomas e as outras cinco como postulados. Os axiomas
consistiam basicamente em verdades aplicáveis a todas as ciências, enquanto os
postulados eram verdades acerca da disciplina em estudo, neste caso, a
geometria.
Axiomatização da geometria
Os cinco axiomas eram:
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si.
2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais.
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
4. Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais.
5. O todo é maior do que qualquer uma das suas partes.
Embora atualmente não se faça distinção entre axioma e postulado, na época de
Euclides (330 a.c. – 260 a.c.) entendia-se que os axiomas eram evidentes e por isso
naturalmente aceites, enquanto que os postulados eram menos óbvios, e por isso
se pedia que fossem aceites.
Axiomatização da geometria
Os cinco postulados eram:
1. Traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2. Prolongar continuamente uma linha reta numa linha reta.
3. Traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.
5. Se duas retas num plano, intersetadas por uma terceira, determinam com esta
ângulos internos do mesmo lado da secante cuja soma é inferior a um ângulo
raso, então as retas intersetam-se do lado determinado pela secante que
contém esses dois ângulos.
Nota-se, à primeira vista que o enunciado do 5.º postulado é diferente do dos
anteriores. Ao longo dos séculos, foram várias as tentativas de provar o 5.º
postulado de Euclides a partir dos restantes ou então de o substituir por um
axioma mais simples.
Axiomatização da geometria
É possível construir axiomáticas modificando determinados axiomas da geometria
euclidiana que incluem o 5.º postulado de Euclides substituindo-o pela sua
negação. Essas teorias denominam-se geometrias não euclidianas.
Substituindo o 5.º postulado de Euclides por outro equivalente surgiu o
denominado axioma euclidiano de paralelismo:
Por um ponto P fora de uma reta r passa, no máximo, uma
reta a ela paralela .
O axioma euclidiano de paralelismo permite demonstrar os seguintes teoremas:
Posições relativas de retas no plano
Teorema 1: Se uma reta t interseta uma de duas retas paralelas, r ou s, e é com
elas complanar, então interseta a outra.
Teorema 2: Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas
retas paralelas são iguais.
Teorema 3: Duas retas paralelas a uma terceira, num dado plano, são paralelas
entre si.
Teorema 1: Se uma reta t interseta uma de duas retas paralelas, r ou s, e é com
elas complanar, então interseta a outra.
Hipótese: r e s são duas retas paralelas; t é uma reta complanar com r e s; t
interseta a reta r num ponto P.
Tese: A reta t interseta a reta s.
Demonstração:
Sejam r e s duas retas paralelas. No mesmo plano, seja t uma reta que interseta
a reta r num ponto P.
Pelo axioma eulidiano de paralelismo, sabe-se que por P passa uma única reta
paralela a s.
Como as retas r e s são paralelas e t é distinta de r, a reta t não pode ser
paralela a s.
Então, se t não é paralela a s, sendo com ela complanar, interseta-a.
Hipótese: a e b são dois ângulos correspondentes determinados por uma secante t
em duas retas paralelas r e s.
Tese: Os ângulos a e b são iguais.
Demonstração:
Seja c um ângulo suplementar de b.
Teorema 2: Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas
retas paralelas são iguais.
𝑎 + 𝑐 não é inferior a 180° pois, nesse caso, as retas r
e s intersetavam-se no semiplano determinado pela
secante t que contém os ângulos a e b (5. ° postulado
de Euclides).
𝑎 + 𝑐 não é superior a 180° pois, nesse caso, as retas r e s
intersetavam-se no semiplano determinado pela secante t
que contém os ângulos d e e, suplementares e adjacentes a
a e b, do outro lado da secante (5. ° postulado de Euclides).
Então 𝑎 + 𝑐 =180 °. Como, 𝑏 + 𝑐 =180 °, tem-se que 𝑎 = 𝑏.
Hipótese: Num dado plano, duas retas distintas r e s são paralelas a uma terceira
reta t.
Tese: As retas r e s são paralelas.
Demonstração:
Na figura estão representadas as retas r, s e t complanares. Sabe-se que r//t,
s//t e pretende-se demonstrar que r//s.
Vamos supor que as retas r e s não são paralelas. Deste modo r e s intersetam-
se num ponto P, uma vez que são complanares. Então r e s são duas retas
paralelas a t passando pelo ponto P, o que é impossível pelo axioma euclidiano
de paralelismo.
Então r e s são paralelas.
Teorema 3: Duas retas paralelas a uma terceira, num dado plano, são paralelas
entre si.
Modos de definir um plano:
Paralelismo de retas e planos no espaço
Três pontos não colineares definem um plano.
Neste exemplo podemos dizer plano ABC ou plano 𝛼.
Desta definição resulta que também se pode definir um plano de uma das formas
seguintes.
Planos concorrentes:
Posição relativa de dois planos
Dois planos são concorrentes quando se intersetam numa reta.
Planos paralelos:
Dois planos são paralelos quando não se intersetam.
Planos coincidentes:
Dois planos são coincidentes quando têm todos os pontos em comum.
Reta paralela a um plano:
Posição relativa de retas e planos
Uma reta é paralela a um plano quando não o interseta.
Reta secante a um plano:
Uma reta é secante a um plano se tem com ele um único ponto em
comum.
Reta contida num plano:
Uma reta está contida num plano quando tem com este todos os
pontos em comum.
Reta secante a planos paralelos:
Se uma reta é secante a um de dois planos paralelos,
então também é secante ao outro.
Plano concorrente com planos paralelos:
Se um plano é concorrente com um de dois planos
paralelos, então também é concorrente com o outro
e as retas de interseção do primeiro com cada um
dos outros dois são paralelas.
Retas concorrentes:
Posição relativa de retas no espaço
Duas retas são concorrentes se se intersetam exatamente num ponto.
Retas paralelas:
Duas retas são paralelas se são complanares e não têm nenhum ponto
em comum.
Retas não complanares:
Duas retas são não complanares se não são concorrentes nem paralelas.
Retas coincidentes:
Duas retas são coincidentes se têm todos os pontos comuns.
Retas paralelas a uma terceira:
Duas retas paralelas a uma terceira (as três não são necessariamente
complanares) são paralelas entre si.
Reta e plano paralelos:
É condição necessária e suficiente para que uma
reta seja paralela a um plano que exista nesse
plano uma reta paralela à dada.
Planos paralelos:
É condição necessária e suficiente para que dois
planos (distintos) sejam paralelos que exista um
par de retas concorrentes em cada plano, duas a
duas paralelas .
Teorema : Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.
Hipótese: Os planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos ao plano 𝜃.
Tese: Os planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos .
Demonstração:
Sejam 𝛼 e 𝛽 dois planos, ambos paralelos a um plano 𝜃.
Se os dois planos não fossem paralelos entre si, então intersetar-se-iam.
Portanto, 𝛽, por exemplo, intersataria também 𝜃 que é paralelo a 𝛼 (Se um
plano é concorrente com um de dois planos paralelos, então também é
concorrente com o outro). Mas por hipótese 𝛽 também é paralelo a 𝜃, pelo
que não o pode intersetar. Logo, 𝛼 e 𝛽 são paralelos.
Teorema : Por um ponto exterior a um plano passa um único plano paralelo ao
primeiro.
Hipótese: P é um ponto exterior a um plano 𝛼; 𝛽 é um plano
que passa por P; 𝛽 é um plano paralelo a 𝛼.
Tese: 𝛽 é único.
Demonstração:
Qualquer outro plano que passe por P é concorrente com 𝛽
e portanto concorrente com 𝛼 (Se um plano é concorrente
com um de dois planos paralelos, então também é
concorrente com o outro), não podendo ser paralelo a 𝛼.
Logo, 𝛽 é o único plano paralelo a 𝛼 que passa por P.
Semiplanos:
Uma reta divide o plano em dois semiplanos.
Semiplanos perpendiculares:
Se o ângulo de dois semiplanos é um ângulo reto, os dois semiplanos
são perpendiculares.
Reta perpendicular a um plano:
Perpendicularidade de retas e planos
Uma reta é perpendicular a um plano num ponto P quando é
perpendicular em P a um par de retas distintas desse plano.
Planos perpendiculares:
É condição necessária e suficiente para que dois planos sejam
perpendiculares que um deles contenha uma reta perpendicular ao
outro.
Demonstração pág. 137
Reta que passa num ponto e é perpendicular a um plano:
Por um ponto exterior a um plano passa uma única reta
perpendicular a esse plano.
Demonstração pág. 138
Seja A um ponto e 𝛼 um plano.
Seja r a reta que passa por A e é perpendicular ao plano 𝛼. Ao
ponto A’, interseção de r com 𝛼, chama-se pé da perpendicular,
ou projeção ortogonal do ponto A no plano 𝛼.
Se dois planos são paralelos, qualquer reta perpendicular a um
deles também é perpendicular ao outro.
Reta perpendicular a dois planos:
Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
Plano mediador :
Plano mediador de um segmento de reta [AB]
Chama-se plano mediador de um segmento de reta [AB] ao plano
perpendicular a AB e que passa no ponto médio de [AB].
Plano mediador de um segmento de reta [AB] é o lugar geométrico
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Distância de um ponto a um plano:
Distâncias
Dado um ponto P e um plano 𝜶, a distância entre o ponto P e o plano
𝜶 é a distância de P à respetiva projeção ortogonal em 𝜶.
Distância de uma reta a um plano:
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plano 𝜶, é a distância entre a reta r e a sua projeção ortogonal no
plano 𝜶.
Distância entre planos paralelos:
A distância entre dois planos paralelos 𝜶 e 𝜷 é a distância de
qualquer ponto de um deles ao outro.
Altura de uma pirâmide ou de um cone:
Altura de sólidos
A altura de uma pirâmide ou de um cone é a distância do vértice ao
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Geometria euclidiana 2

  • 1. Axiomatização da geometria Compilando todo o conhecimento geométrico na sua obra Os Elementos, Euclides tenta construir axiomaticamente a geometria, hoje designada por Geometria Euclidiana. Euclides baseia-se em dez proposições, separadas em dois grupos: cinco foram classificadas como axiomas e as outras cinco como postulados. Os axiomas consistiam basicamente em verdades aplicáveis a todas as ciências, enquanto os postulados eram verdades acerca da disciplina em estudo, neste caso, a geometria.
  • 2. Axiomatização da geometria Os cinco axiomas eram: 1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si. 2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais. 3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais. 4. Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais. 5. O todo é maior do que qualquer uma das suas partes. Embora atualmente não se faça distinção entre axioma e postulado, na época de Euclides (330 a.c. – 260 a.c.) entendia-se que os axiomas eram evidentes e por isso naturalmente aceites, enquanto que os postulados eram menos óbvios, e por isso se pedia que fossem aceites.
  • 3. Axiomatização da geometria Os cinco postulados eram: 1. Traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto. 2. Prolongar continuamente uma linha reta numa linha reta. 3. Traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 4. Todos os ângulos retos são iguais entre si. 5. Se duas retas num plano, intersetadas por uma terceira, determinam com esta ângulos internos do mesmo lado da secante cuja soma é inferior a um ângulo raso, então as retas intersetam-se do lado determinado pela secante que contém esses dois ângulos. Nota-se, à primeira vista que o enunciado do 5.º postulado é diferente do dos anteriores. Ao longo dos séculos, foram várias as tentativas de provar o 5.º postulado de Euclides a partir dos restantes ou então de o substituir por um axioma mais simples.
  • 4. Axiomatização da geometria É possível construir axiomáticas modificando determinados axiomas da geometria euclidiana que incluem o 5.º postulado de Euclides substituindo-o pela sua negação. Essas teorias denominam-se geometrias não euclidianas. Substituindo o 5.º postulado de Euclides por outro equivalente surgiu o denominado axioma euclidiano de paralelismo: Por um ponto P fora de uma reta r passa, no máximo, uma reta a ela paralela . O axioma euclidiano de paralelismo permite demonstrar os seguintes teoremas:
  • 5. Posições relativas de retas no plano Teorema 1: Se uma reta t interseta uma de duas retas paralelas, r ou s, e é com elas complanar, então interseta a outra. Teorema 2: Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas retas paralelas são iguais. Teorema 3: Duas retas paralelas a uma terceira, num dado plano, são paralelas entre si.
  • 6. Teorema 1: Se uma reta t interseta uma de duas retas paralelas, r ou s, e é com elas complanar, então interseta a outra. Hipótese: r e s são duas retas paralelas; t é uma reta complanar com r e s; t interseta a reta r num ponto P. Tese: A reta t interseta a reta s. Demonstração: Sejam r e s duas retas paralelas. No mesmo plano, seja t uma reta que interseta a reta r num ponto P. Pelo axioma eulidiano de paralelismo, sabe-se que por P passa uma única reta paralela a s. Como as retas r e s são paralelas e t é distinta de r, a reta t não pode ser paralela a s. Então, se t não é paralela a s, sendo com ela complanar, interseta-a.
  • 7. Hipótese: a e b são dois ângulos correspondentes determinados por uma secante t em duas retas paralelas r e s. Tese: Os ângulos a e b são iguais. Demonstração: Seja c um ângulo suplementar de b. Teorema 2: Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas retas paralelas são iguais. 𝑎 + 𝑐 não é inferior a 180° pois, nesse caso, as retas r e s intersetavam-se no semiplano determinado pela secante t que contém os ângulos a e b (5. ° postulado de Euclides). 𝑎 + 𝑐 não é superior a 180° pois, nesse caso, as retas r e s intersetavam-se no semiplano determinado pela secante t que contém os ângulos d e e, suplementares e adjacentes a a e b, do outro lado da secante (5. ° postulado de Euclides). Então 𝑎 + 𝑐 =180 °. Como, 𝑏 + 𝑐 =180 °, tem-se que 𝑎 = 𝑏.
  • 8. Hipótese: Num dado plano, duas retas distintas r e s são paralelas a uma terceira reta t. Tese: As retas r e s são paralelas. Demonstração: Na figura estão representadas as retas r, s e t complanares. Sabe-se que r//t, s//t e pretende-se demonstrar que r//s. Vamos supor que as retas r e s não são paralelas. Deste modo r e s intersetam- se num ponto P, uma vez que são complanares. Então r e s são duas retas paralelas a t passando pelo ponto P, o que é impossível pelo axioma euclidiano de paralelismo. Então r e s são paralelas. Teorema 3: Duas retas paralelas a uma terceira, num dado plano, são paralelas entre si.
  • 9. Modos de definir um plano: Paralelismo de retas e planos no espaço Três pontos não colineares definem um plano. Neste exemplo podemos dizer plano ABC ou plano 𝛼. Desta definição resulta que também se pode definir um plano de uma das formas seguintes.
  • 10. Planos concorrentes: Posição relativa de dois planos Dois planos são concorrentes quando se intersetam numa reta. Planos paralelos: Dois planos são paralelos quando não se intersetam. Planos coincidentes: Dois planos são coincidentes quando têm todos os pontos em comum.
  • 11. Reta paralela a um plano: Posição relativa de retas e planos Uma reta é paralela a um plano quando não o interseta. Reta secante a um plano: Uma reta é secante a um plano se tem com ele um único ponto em comum. Reta contida num plano: Uma reta está contida num plano quando tem com este todos os pontos em comum.
  • 12. Reta secante a planos paralelos: Se uma reta é secante a um de dois planos paralelos, então também é secante ao outro. Plano concorrente com planos paralelos: Se um plano é concorrente com um de dois planos paralelos, então também é concorrente com o outro e as retas de interseção do primeiro com cada um dos outros dois são paralelas.
  • 13. Retas concorrentes: Posição relativa de retas no espaço Duas retas são concorrentes se se intersetam exatamente num ponto. Retas paralelas: Duas retas são paralelas se são complanares e não têm nenhum ponto em comum. Retas não complanares: Duas retas são não complanares se não são concorrentes nem paralelas. Retas coincidentes: Duas retas são coincidentes se têm todos os pontos comuns.
  • 14. Retas paralelas a uma terceira: Duas retas paralelas a uma terceira (as três não são necessariamente complanares) são paralelas entre si. Reta e plano paralelos: É condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que exista nesse plano uma reta paralela à dada. Planos paralelos: É condição necessária e suficiente para que dois planos (distintos) sejam paralelos que exista um par de retas concorrentes em cada plano, duas a duas paralelas .
  • 15. Teorema : Dois planos paralelos a um terceiro são paralelos entre si. Hipótese: Os planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos ao plano 𝜃. Tese: Os planos 𝛼 e 𝛽 são paralelos . Demonstração: Sejam 𝛼 e 𝛽 dois planos, ambos paralelos a um plano 𝜃. Se os dois planos não fossem paralelos entre si, então intersetar-se-iam. Portanto, 𝛽, por exemplo, intersataria também 𝜃 que é paralelo a 𝛼 (Se um plano é concorrente com um de dois planos paralelos, então também é concorrente com o outro). Mas por hipótese 𝛽 também é paralelo a 𝜃, pelo que não o pode intersetar. Logo, 𝛼 e 𝛽 são paralelos.
  • 16. Teorema : Por um ponto exterior a um plano passa um único plano paralelo ao primeiro. Hipótese: P é um ponto exterior a um plano 𝛼; 𝛽 é um plano que passa por P; 𝛽 é um plano paralelo a 𝛼. Tese: 𝛽 é único. Demonstração: Qualquer outro plano que passe por P é concorrente com 𝛽 e portanto concorrente com 𝛼 (Se um plano é concorrente com um de dois planos paralelos, então também é concorrente com o outro), não podendo ser paralelo a 𝛼. Logo, 𝛽 é o único plano paralelo a 𝛼 que passa por P.
  • 17. Semiplanos: Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Semiplanos perpendiculares: Se o ângulo de dois semiplanos é um ângulo reto, os dois semiplanos são perpendiculares.
  • 18. Reta perpendicular a um plano: Perpendicularidade de retas e planos Uma reta é perpendicular a um plano num ponto P quando é perpendicular em P a um par de retas distintas desse plano. Planos perpendiculares: É condição necessária e suficiente para que dois planos sejam perpendiculares que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro. Demonstração pág. 137 Reta que passa num ponto e é perpendicular a um plano: Por um ponto exterior a um plano passa uma única reta perpendicular a esse plano. Demonstração pág. 138
  • 19. Seja A um ponto e 𝛼 um plano. Seja r a reta que passa por A e é perpendicular ao plano 𝛼. Ao ponto A’, interseção de r com 𝛼, chama-se pé da perpendicular, ou projeção ortogonal do ponto A no plano 𝛼. Se dois planos são paralelos, qualquer reta perpendicular a um deles também é perpendicular ao outro. Reta perpendicular a dois planos: Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos. Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
  • 20. Plano mediador : Plano mediador de um segmento de reta [AB] Chama-se plano mediador de um segmento de reta [AB] ao plano perpendicular a AB e que passa no ponto médio de [AB]. Plano mediador de um segmento de reta [AB] é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de A e B.
  • 21. Distância de um ponto a um plano: Distâncias Dado um ponto P e um plano 𝜶, a distância entre o ponto P e o plano 𝜶 é a distância de P à respetiva projeção ortogonal em 𝜶. Distância de uma reta a um plano: Dada uma reta r paralela a um plano 𝜶, a distância entre a reta r e o plano 𝜶, é a distância entre a reta r e a sua projeção ortogonal no plano 𝜶. Distância entre planos paralelos: A distância entre dois planos paralelos 𝜶 e 𝜷 é a distância de qualquer ponto de um deles ao outro.
  • 22. Altura de uma pirâmide ou de um cone: Altura de sólidos A altura de uma pirâmide ou de um cone é a distância do vértice ao plano que contém a base. Altura de um prisma ou de um cilindro: A altura de um prisma ou de um cilindro é a distância entre os planos que contêm as respetivas bases.