Este documento descreve os conceitos de perpendicularidade entre planos em geometria descritiva. Explica que um plano é perpendicular a outro se contiver uma reta perpendicular a esse outro plano. Detalha como determinar os traços de planos perpendiculares a planos oblíquos, bissectores e planos horizontais.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Perpendicularidade entre Planos

2. Perpendicularidade entre Planos
Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular
ao outro plano.

3. Planos Perpendiculares - Geral
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e passando
pelo ponto P.
F2 fα
fδ p2
P2
H2
x F1
P1
Uma recta p que
pertence ao plano
δ é perpendicular
hα ao plano α.
Qualquer outro
hδ
p1 plano que
contenha a recta
p é perpendicular
H1 ao plano α.

4. Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e
fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45 (a.e.), respectivamente o traço frontal
e o traço horizontal. Desenha as projecções de um plano de rampa ρ, perpendicular
ao plano α e passando pelo ponto M (-2; 2; 1).
y≡ z fα
fρ F2
p2
M2
F1 H2
x
hρ M1 H1
hα
p1

5. Um plano de topo δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e
corta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. Determina os traços de um plano θ,
em que o seu traço horizontal faz um ângulo de 70º (a.d.) com o eixo x, passa pelo
ponto T (2; 3; 2) e é perpendicular com o plano δ.
fδ y≡ z
fθ p2
T2
x H2
p1 H1
T1
hθ Uma recta frontal auxiliar p,
hδ que pertence ao plano θ vai
permitir determinar os traços
do plano.

6. É dado um plano horizontal ν, com 4 cm de cota. Determina os traços de um plano
perpendicular ao plano ν e contendo o ponto P (3; 2). Que outras soluções são
possíveis?
v2
fα
fν
P2
x
Nesta solução, uma recta
vertical auxiliar v foi
hα P1 ≡ ( v1) utilizada.
Qualquer plano vertical que
passe pelo ponto P será
perpendicular ao plano v.
Ainda seria possível como
solução, um plano frontal ou
um plano de perfil.

7. Planos Perpendiculares aos Planos Bissectores
A mesma regra geral é aplicada: de que um plano é perpendicular a outro
plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano. Com os
bissectores é necessário ter em conta as características das rectas contidas
nos bissectores.
Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém
rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil
(passantes).
No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será
perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre
perpendiculares aos bissectores.

8. Planos Perpendiculares ao Bissector β1,3
Pretendem-se os traços de um plano α, perpendicular ao bissector β1,3;
utilizando uma recta oblíqua (passante) r, pertencente ao bissector.
fα
r2
Uma recta r pertence
ao bissector β1,3, por
ser passante (passa
pelo eixo x) e ser
simétrica.
x O plano α acaba por ser
uma plano simétrico.
Caso a recta do bissector
β1,3 fosse uma recta de
r1 perfil (passante), o plano
hα perpendicular a essa recta
seria um plano de rampa,
com os seus traços
simétricos em relação ao
eixo x.

9. Planos Perpendiculares ao Bissector β2,4
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao bissector β2,4;
utilizando uma recta oblíqua (passante) s, pertencente ao bissector.
fδ ≡ hδ Uma recta s pertence
ao bissector β2,4, por
s1 ≡ s2
ter as suas
projecções
coincidentes.
x O plano δ acaba por ser
uma plano oblíquo com os
seus traços coincidentes
entre si, e concorrentes
com o eixo x.
Caso a recta do bissector
β2,4 fosse uma recta de
perfil (passante), o plano
perpendicular a essa recta
seria um plano de rampa,
com os seus traços
coincidentes entre si.

10. Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção,
e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β1,3, e
que contém a recta f.
f2
fα
H2
x
f1
H1
O traço frontal do plano é
hα
paralelo à projecção frontal
da recta, porque o plano α
contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser
perpendicular ao β1,3 têm os
seus traços simétricos, fα é
simétrico com hα em relação
ao eixo x.

11. Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção,
e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β2,4, e
que contém a recta f.
f2
fα ≡ hα
H2
x
f1
H1
O traço frontal do plano é
paralelo à projecção frontal
da recta, porque o plano α
contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser
perpendicular ao β2,4 têm os
seus traços coincidentes, fα é
coincidente com hα.

12. Um plano α é perpendicular ao β2,4, e o traço frontal do plano faz um ângulo de 60º
(a.d.) com o eixo x. Determina as projecções do ponto A (3; 4), contido no plano.
f2
fα ≡ hα
A2
H2
x
Para o ponto ertencer a um
f1 plano tem que pertencer a
H1 uma recta do plano.
A1
Uma recta frontal do plano
com 3 cm de afastamento será
utilizada.