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Matemática


                                                                                Geometria Plana




                                                            uuu
                                                              r  uuu
                                                                   r
                                            O segmento AB = AB ∩ BA .              ANOTAÇÕES
Geometria plana
1.1. Introdução
1.1.1. Noções Primitivas:Ponto      –      A medida do segmento          será
       Reta – Plano
                                        indicada por
Representação
                                        1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea-
Ponto                                          res
                                           São pontos que pertencem a uma
                                        mesma reta.

Reta

                                        A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares

                                        1.1.5. Conjunto Convexo

Plano




                                             ∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α;     ⊂α
•   O ponto não possui dimensão
•   A reta possui uma só dimensão
•   O plano possui exatamente duas      1.1.6. Conjunto não Convexo
    dimensões
•   Não confundir os conceitos de me-
    dida e dimensão

1.1.2. Semi-reta                              ∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β;    ⊄β
     Qualquer ponto de uma reta a di-
vida em duas semi-retas ditas opos-
                                        1.1.7. Ângulo Geométrico
tas.
                                           É a união de duas semi-retas de
                                        mesma origem
    O ponto O divide a reta r nas se-
         uuuu
            r  uuur
mi-retas O A e O B .

1.1.3. Segmento de Reta

       COLÉGIO VIA MEDICINA                    PSS 1                                           PÁGINA 1
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                        GEOMETRIA PLANA
                O .. vértice                   1                                ANOTAÇÕES
                                                 de 1º = 1 ( 1 minuto)
                ..e     . lados               60
           α = A B . ângulo                    1
                                                 de 1’ = 1” (1 segundo)
                                              60
1.1.8. Congruência
                                         Assim:
    Duas figuras geométricas (conjun-
                                         1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600”
to de pontos) serão ditas congruentes,
se e somente se, coincidirem por su-     1.1.14. ângulo Agudo
perposição.




            ≅         ou AB = CD
                                               α é agudo ⇔ 0º < α < 90º

1.1.9. Ângulo Convexo                    1.1.15. Ângulo Obtuso
    É o ângulo que determina no pla-
no uma região convexa

                                              β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º

                                         1.1.16. ângulo Raso



             α é convexo                          θ é raso ⇔ θ = 180º

                                         1.1.17. Ângulo de uma volta
1.1.10. Ângulo não Convexo
    É o ângulo que determina no pla-
no uma região não convexa                     γ é de uma volta ⇔ γ = 360º

                                         1.1.18. Bissetriz
                                              É a semi-reta que partindo do
                                         vértice divide o ângulo em 2 ângulos
                                         congruentes.

           β é não convexo

1.1.11. Ângulo Reto
    Se duas retas que têm um só pon-
to em comum e determinarem 4 ân-
gulos congruentes, cada um deles se-
rá chamado de ângulo reto                1.1.19. Ângulos Consecutivos
                                             Têm o mesmo vértice e um lado
                                         comum



           α é ângulo reto

1.1.12. Medida de ângulo
    Vamos admitir o ângulo reto, com
um ângulo que mede noventa graus.        1.1.20. Ângulos Adjacentes
Indicaremos 90º.                             São ângulos consecutivos em que
                                         os lados não comuns estão em semi-
1.1.13. Submúltiplos do grau             planos opostos. Na figura anterior
                                         vemos que α e β são adjacentes e γ e
      1
        do ângulo reto = 1º              θ não são.
     90

PÁGINA 2                                                                        COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA PLANA                                                                        MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti-        5.Dois ângulos são suplementares e a ra-          ANOTAÇÕES
        ce
    São ângulos em que o lado de um             zão das medidas é . Quais são as
é o prologamento do lado do outro.              medidas dos ângulos?



                                           6.O ângulo igual a    do seu suplemento
                                               mede:
                                           a) 100º     c) 36º      e) 72º
                                           b) 144º     d) 80º

                                           7.Um ângulo mede a metade do seu com-
1.1.22. Complemento, Suplemento e              plemento. Então esse ângulo mede:
        Replemento                         a) 30º     c) 45º       e) 75º
                                           b) 60º     d) 90º
•   e β são complementares ⇔ α e β =
    90º                                    8.O triplo do complemento de um ângulo
• e β são suplementares ⇔ α e β =              é igual a terça parte do suplemento
    180º                                       desse ângulo. Esse ângulo, em radia-
                                               nos, mede
• e β são replementares ⇔ α e β =
    360º                                      7π          7π            5π
                                           a)          c)          e)
Indicamos:                                     8           4             8
− complemento de x = 90º – x                  5π          7π
                                           b)          d)
− suplemento de x = 180º - x                  16          16
− replemento de x = 360º - x
                                           9.Provar que dois ângulos opostos pelo
                                               vértice são congruentes.
     EXERCÍCIOS
                                           10.Achar o valor de x nas figuras seguin-
                                               tes:
1. Verifique se são convexos ou não con-   a)
    vexos, cada um dos conjuntos seguin-
    tes:
    a) reta
    b) o segmento da reta
    c) a semi-reta
    d) a reta menos um ponto
    e) a circunferência
    f) o círculo                           b)

2. Efetuar as operações indicadas
     a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”)        c)
     b) (20º 40’) + (19º 20’)
     c) (40º 40’) + (20º 25’)
     d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”)
     e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”)
     f) (10º 20’) – (8º 12’)
     g) 40º (12º 20’)
     h) (30] 30’) – (10º 40’)
     i) 15º (10º 20’ 25”)                  d)
     j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”)
     k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”)
     l) (20º 20’) x 4                      e)
     m) (10º 22’ 32”) x 5
     n) (12° 24’ 36”) ÷ 3
     o) (12º 21” 12”) ÷ 5

3. Encontre o complemento e o suplemen-    1.2. Ângulos entre duas retas
    to de:
    a) 12º                                      paralelas e uma transversal
    b) 20º 12’
    c) 35º 43’ 42”                         1.2.1. Retas Paralelas
    d)                                         Duas retas de um mesmo plano
4. Dois ângulos são complementares e a     são paralelas, se e somente se, não
     medida de um excede a do outro        tiverem ponto em comum.
     em 20º. Achar a medida desses ân-
     gulos.
     COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                 PÁGINA 3
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                             GEOMETRIA PLANA
                                       f)                                            ANOTAÇÕES



     r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅

1.2.2. Ângulos entre duas retas pa-
       ralelas cortadas por uma re-
       ta transversal
                                       Na figura abaixo as retas r e s são parale-
                                           las. A medida do ângulo b é:




                                       1.3. Triângulos I
ˆ e 7, 2 e 8 → alternos, externos
1 ˆ ˆ ˆ                                1.3.1. Definição
             (congruentes)
ˆ e 5, 4 e 6 → alternos, internos
3 ˆ ˆ ˆ                                   Dados 3 pontos A, B e C não coli-
             (congruentes)             neares, chama-se retângulo a união
             →correspondentes          dos 3 segmentos       ,       e
             (congruentes)
ˆ e 8, 2 e 7 → colaterais, exter-
1   ˆ ˆ ˆ
             nos (suplementares)
ˆ e ˆ 3 e 6 → colaterais internos
4 5, ˆ ˆ
             (suplementares)


      EXERCÍCIOS                               ∆ ABC =      ∪        ∪

Determine x nas figuras seguintes
a)                                     1.3.2. Elementos do Triângulo




b)


                                          ,   ,   → lados
                                       m, n, p → medidas dos ângulos intei-
                                       ros      ,      ,         , respectivamen-
                                       te
c)

                                       BC = a → medida do lado
                                       AC = b → medida do lado
d)                                     AB = C → medida do lado

                                       1.3.3. Lei Angular de Tales


e)



                                                     m+n+p = 180º


PÁGINA 4                                                                             COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA PLANA                                                                           MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
     “A soma das medidas dos ângulos        c)                                                  ANOTAÇÕES
internos de um triângulo é igual a
180.”

1.3.4. Soma dos ângulos Externos
    “Em qualquer triângulo a medida
de um ângulo externo é igual a soma
das medidas de 2 ângulos internos não
adjacentes.”
                                            d)




                                            2. Na figura AB = AC = CD. Determine α.
                 x+y=z = 360º                    120o
                                                             A


1.3.5. Classificação quanto aos la-
       dos
1. Escaleno: não possui lados con-
      gruentes                                                                    α
Isósceles: possui 2 lados congruentes            B                   C                D
Equilátero: possui 3 lados congruentes      3.Demonstre que num triângulo a soma
                                                das medidas dos ângulos externos é
      Todo triângulo equilátero é isósce-       igual a 360º.
les
                                            4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter-
1.3.6. Classificação quanto aos ân-             no.
       gulos internos
                                            5.No retângulo a seguir, o valor, em graus
1. Retângulo: Possui 1 ângulo.                  de α + β é:
Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso.
Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos.
                                                      40o

1.3.7. Propriedades dos Triângulos
1. Em um triângulo, se houver lados                                                   β
      congruentes, a eles estarão se
      opondo ângulos congruentes, e                      α
      reciprocamente.                       a) 50            c) 120          e) 220
Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o    b) 90            d) 130
   maior ângulo, ao menor lado opõe-se
   o menor ângulo e reciprocamente.         6.Na figura a seguir ABCD indica um qua-
                                                drado de lado unitário e ABE um tri-
                                                ângulo eqüilátero. Prove que
       13. EXERCÍCIOS                                    D                        C
                                                                 α
                                                                         E
1. Determine o valor de x nas figuras:
a)




                                                         A                        B
b)                                                                    2tg x
                                                 Sugestão: tg(2x) =
                                                                    x − tg 2 x
                                                 a)     α = 15º

                                                 b)     α=2–


       COLÉGIO VIA MEDICINA                                                                                  PÁGINA 5
MATEMÁTICA – Jorge Oliveira                                                                                                                  GEOMETRIA PLANA
7.Observe a figura                                                       ORTOCENTRO                                                       ANOTAÇÕES
                               A                                                                 A
                                                                                                         E
                                             D                                           F
                           E                                                                         H
                                                       140o

B                                                       C        F
    Nessa figura ,                       =               bisse-
                                                                                                 D                                C
    triz de                    é 140º. A medida do                           B
                                                                                                     AD
    ângulo                     é 140º. A medida do                                                   BE          alturas
    ângulo     , em graus, é:                                                                        CF
a) 20      c) 40      e) 60                                                                          H: ortocentro
b) 30      d) 50
                                                                         1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO
1.4. Triângulos II                                                       Propriedade
                                                                             A medida relativa à hipotenusa de
1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri-
                                                                         um triângulo retângulo é igual à me-
       ângulo
                                                                         tade da hipotenusa.
BARICENTRO                                                                                   A
              A


                                                                                                                       N
     F                                   E                                                                   R
                           G

                                                                             B               R               O             R      C

B                              D                         C
                      AD
                      BE           medianas
                      CF
                  G: baricentro
                                                                                                                 1
INCENTRO                                                                                         AO =              .BC
                  A                                                                                              2
                                                                                  EXERCÍCIOS
                                     R
     T
                           G                                             1.O segmento da perpendicular traçada de
                                                                             um vértice de um triângulo à reta su-
                                                                             porte do lado oposto é denominado:
                                                                             a) mediana
B                      S                                     C
                      AS                                                         b)   mediatriz
                      BR       bissetrizes internas
                      CT                                                         c)   bissetriz
                      I: Incentro
                                                                                 d)   altura
CIRCUNCENTRO
                        A
                                                                                 e)   base
                                                   mp
         mc
              P                                                          2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo
                                                   N
                                                                                 em A,               é mediana e               é bisse-
                                         O
                                                                                 triz interna. Se o ângulo                      = 20º,
                                                                     C
                                                                                 então o ângulo MDB mede:
     B
                                         M                                             A

                                             ma                                                                  N
                                                                                                 D
         ma
         mb   mediatrizes                    O: circuncentro
                                                                         B                                                            C
         mc                                                                                                  M
PÁGINA 6                                                                                                                                  COLÉGIO VIA MEDICINA
GEOMETRIA PLANA                                                                                                    MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
a) 90º               c) 100º             e) 110º                       a) 30º          c) 60º       e) 120º              ANOTAÇÕES
b) 95º               d) 105º                                           b) 45º          d) 90º

3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo
       em A, M é o ponto médio de                             e        1.5. Triângulos III
            é paralelo do lado                      . Se BC =          1.5.1. Existência do triângulo
       24, então AP vale:
                     C                                                 1.5.2. Condição de Existência do
                                                                              Triângulo
                                                                                  A


                                                                             b            c
                 N                   M

                                 P
                                                                        C                       B
                                                                                   a


                 A                              B
a) 5                 c) 7                e) 9
b) 6                 d) 8                                                    EXERCÍCIOS
4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu-
                                                                       1.Se dois lados de um triângulo medem
       lo, M é ponto médio de                           e o tri-           respectivamente 3 cm e 4 cm, pode-
       ângulo BMC é equilátero. Sendo    =                                 mos afirmar que a mediada do tercei-
       18 cm, calcule a medida do segmento                                 ro lado é:
                                                                           a) igual a 5 cm
            .                                                              b) igual a 1 cm
                 A                              D
                                                                            c)   igual a    cm
                                                                            d)   menor que 7 cm
                                                                            e)   maior que 2 cm
                             P

                                                                       2.Mostre que em qualquer quadrilátero
                                                                           convexo o quociente do perímetro pe-
                                                                           la soma das diagonais é maior que 1 e
                                                                           menor que 2.
                 B                              C
                                                                       3.O semiperímetro de um triângulo é dado
5.Na figura abaixo, a circunferência de                                    por 12,5 m. Dois lados medem res-
    centro O está inscrita no triângulo                                    pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular
    ABC. Sendo DOE paralelo ao lado                                        a medida do terceiro lado.
            ;        =20;   = 25    e = 22:
       a)       mostre que o triângulo BOD é i-                        4.Num triângulo isósceles e semi-
                                                                           perímetro é dado por 19,6m. A base
                sósceles;                                                  mede 5,2m. Determinar a medida dos
                                                                           lados congruentes.
       b)       calcule o perímetro do triângulo
                ADE.
                                                                             EXERCÍCIOS
                         A

                                                                       1. Efetuar as operações seguintes:
                                                                            a)   (12º 22’) + (10º 40’)
                                                                            b)   (15º 6’) + (10º 58’)
        D                                           E                       c)   (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”)
                             O                                              d)   (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”)
                                                                            e)   10º - (9º 30’)

B                                                                  C    2.Na figura, calcular a medida “x”

6.Um triângulo ABC tem ângulos                          = 40º e
         = 50º. Qual é o ângulo formado pe-
       las alturas relativas aos vértices A e B
       desse triângulo?
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3.Na figura, calcular ma medida x.           a) 90º         c) 110º    e) nda              ANOTAÇÕES
                                             b) 100º        d) 120º

                                             10.Determine x nas figuras
                                             a)




4.Na figura, r é paralela a s; determine a   b)
    medida a.



                                             c)



5.Na figura, x vale:

                                             d)




6.Se r // s, α vale:                         11.Os ângulos de um triângulo medem res-
                                                 pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va-
                                                 le em graus:
                                             a) 125º     c) 35º       e) 15º
                                             b) 55º      d) 65º

                                             12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex-
a) 100º      c) 130º       e) 120º               terno vale 30º 10’. Os valores possí-
                                                 veis para os ângulos côgruos são:
b) 110º      d) 150º
                                                 a) somente 15º5’
                                                 b) 15º5’ e 140º50’
7.Se r // s, determine     na figura             c) impossível
                                                 d) 20º e 140º
                                                 e) nda

                                             13.Num triângulo isósceles o ângulo do
                                                vértice mede 58º. Calcular a medida
                                                dos ângulos externos da base.

                                             14.Um ângulo externo da base de um tri-
                                                 ângulo isósceles mede 108. Calcular a
                                                 medida do ângulo interno do vértice.

8.Se r // s, então     vale:                 15.Num triângulo isósceles a soma dos ân-
                                                 gulos da base é oito vezes o ângulo do
                                                 vértice. Calcular as medidas dos ân-
                                                 gulos internos do triângulo.

                                             16.Na figura, N é ponto médio AB,        é
                                                  paralelo a       , Sendo      = 60 cm,
a) 90º       c) 110º       e) 22º40’              calcule      .
b) 100º      d) 120º
9.Na figura r // s então       vale:




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GEOMETRIA PLANA                                                                                MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
17.Em um triângulo retângulo ABC, tra-           26.Se o triângulo é equilatero, o que a-            ANOTAÇÕES
                                                     contece com seus pontos notáveis?
    çam-se as bissetriz           e       dos
    ângulos agudos       e     . Calcule a me-   27.Na figura, ABCD é um paralelogramo,
                                                     em que M é o ponto médio do lado
    dida do ângulo B      C.
                                                         . Sendo DP=24 cm, determine o
18.Na figura abaixo, temos:                          valor de x.
          = 30 cm
          = 30 cm
    BE é bissetriz do ângulo
    CE é bissetriz do ângulo e DF//BC.
    Calcule o perímetro do triângulo ADF.
                                                 28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon-
                                                     to I. Sendo B C = 125º, determine a
                                                     medida do ângulo Â.

                                                 29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é
                                                     o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y
                                                     ; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor
                                                     de x + y.

19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo
    A C. Se α 40º e β = 30º, calcule       .




                                                 30.Determine o valor de x na figura se-
                                                     guinte


20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD
    é mediana. Traçam-se BE perpendicu-
    lar a AC. Se       = 70º, então o ângulo
    E D mede:
a) 20º    c) 40º             e) 50º
b) 25º    d) 45º

21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte-
                                                 31.Em um triângulo, dois lados medem,
    ro,       é bissetriz do ângulo A C e             respectivamente, 5 e 8. O menor va-
          é bissetriz do ângulo A D. O ân-            lor possível para a medida do terceiro
                                                      lado é:
    gulo B C mede:                               a) 3          c) 5        e) nda
                                                 b) 4          d) 12

                                                 32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e
                                                      10 são os lados de um triângulo, en-
                                                      tão o número de possibilidades de x
                                                      é:
                                                 a) 3         c) 5        e) nda
                                                 b) 4         d) 6
a) 20º        c) 30º         e) 40º
b) 25º        d) 35º                             33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde
22.Se um triângulo é retângulo, o que po-            Â = 90º. Se a altura      forma com a
    demos concluir a respeito do circun-             mediana        um ângulo de 20º, en-
    centro e do ortocentro?                          tão os ângulos agudos desse triângulo
                                                     são:
23.Se um triângulo é obtusângulo, o que          a) 40º e 50º       d) 25 e 65º
    podemos concluir a respeito do cir-          b) 35º e 55º       e) 45º e 45º
    cuncentro e do ortocentro?                   c) 30º e 60º
24.Quais pontos notáveis do triângulo, são       34.A mediana de um triângulo retângulo
    sempre internos a ele?
                                                     relativa à hipotenusa forma com a
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bissetriz de um dos ângulos agudos em ân-      ANOTAÇÕES
     gulo de 120º. Calcular os ângulos agu-
     dos do triângulo.

35.Num triângulo retângulo, a altura rela-
    tiva à hipotenusa forma com a bisse-
    triz do ângulo reto um ângulo de 15º.
    Calcular os ângulos agudos.

36.As medidas dos três lados de um triân-
     gulo formam uma PA de primeiro
     termo e a razão r tal que r > 0. Então:
a) r = 3a           d) r < a
b) r = 2a           e) nada podemos
c) r = a               afirmar sobre
                       os valores de a
                       e r.
37.Em um triângulo acutângulo, se a me-
     dida α de um ângulo é menor que a
     de seu complemento. Pode-se afirmar
     que:
     a) α > 80º
     b) 75º <
     c) 60º < α < 75º
     d) 45º < α < 60º
     e) α < 45º
               GABARITO
1)   a)   21º 2’
     b)   26º 4’
     c)   31 º
     d)   43º 4” 24”
     e)   30’

2) 41º 42’ 43’’
3) 96º 18’
4) 120º
5) 30º
6) E
7) 90º
8) E
9) 9
10) a) 30º b) 100º c) 100º  d) 60º
11) E
12) A
13) 119º
14) 36º
15) 45º, 50º, 85º
16) 20º, 80º, 80º
17) OM = 10cm
18) 135º
19) 66 cm
20) 5º
21) 50º
22) 30º
23) ponto médio da hipotenusa e vértice ,
       respectivamente
24) ambos são externos
25) baricentro e incentro
26) coincidem
27) 12 cm
28) 70º
29) 10
30) 1/16
31) B
32) B
33) E
34) B
35) 40º e 50º ou 10º e 80º
36) 30º e 60º
37) E




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Mat geometria plana 001

  • 1. Matemática Geometria Plana uuu r uuu r O segmento AB = AB ∩ BA . ANOTAÇÕES Geometria plana 1.1. Introdução 1.1.1. Noções Primitivas:Ponto – A medida do segmento será Reta – Plano indicada por Representação 1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea- Ponto res São pontos que pertencem a uma mesma reta. Reta A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares 1.1.5. Conjunto Convexo Plano ∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α; ⊂α • O ponto não possui dimensão • A reta possui uma só dimensão • O plano possui exatamente duas 1.1.6. Conjunto não Convexo dimensões • Não confundir os conceitos de me- dida e dimensão 1.1.2. Semi-reta ∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β; ⊄β Qualquer ponto de uma reta a di- vida em duas semi-retas ditas opos- 1.1.7. Ângulo Geométrico tas. É a união de duas semi-retas de mesma origem O ponto O divide a reta r nas se- uuuu r uuur mi-retas O A e O B . 1.1.3. Segmento de Reta COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 1 PÁGINA 1
  • 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA O .. vértice 1 ANOTAÇÕES de 1º = 1 ( 1 minuto) ..e . lados 60 α = A B . ângulo 1 de 1’ = 1” (1 segundo) 60 1.1.8. Congruência Assim: Duas figuras geométricas (conjun- 1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600” to de pontos) serão ditas congruentes, se e somente se, coincidirem por su- 1.1.14. ângulo Agudo perposição. ≅ ou AB = CD α é agudo ⇔ 0º < α < 90º 1.1.9. Ângulo Convexo 1.1.15. Ângulo Obtuso É o ângulo que determina no pla- no uma região convexa β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º 1.1.16. ângulo Raso α é convexo θ é raso ⇔ θ = 180º 1.1.17. Ângulo de uma volta 1.1.10. Ângulo não Convexo É o ângulo que determina no pla- no uma região não convexa γ é de uma volta ⇔ γ = 360º 1.1.18. Bissetriz É a semi-reta que partindo do vértice divide o ângulo em 2 ângulos congruentes. β é não convexo 1.1.11. Ângulo Reto Se duas retas que têm um só pon- to em comum e determinarem 4 ân- gulos congruentes, cada um deles se- rá chamado de ângulo reto 1.1.19. Ângulos Consecutivos Têm o mesmo vértice e um lado comum α é ângulo reto 1.1.12. Medida de ângulo Vamos admitir o ângulo reto, com um ângulo que mede noventa graus. 1.1.20. Ângulos Adjacentes Indicaremos 90º. São ângulos consecutivos em que os lados não comuns estão em semi- 1.1.13. Submúltiplos do grau planos opostos. Na figura anterior vemos que α e β são adjacentes e γ e 1 do ângulo reto = 1º θ não são. 90 PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 3. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti- 5.Dois ângulos são suplementares e a ra- ANOTAÇÕES ce São ângulos em que o lado de um zão das medidas é . Quais são as é o prologamento do lado do outro. medidas dos ângulos? 6.O ângulo igual a do seu suplemento mede: a) 100º c) 36º e) 72º b) 144º d) 80º 7.Um ângulo mede a metade do seu com- 1.1.22. Complemento, Suplemento e plemento. Então esse ângulo mede: Replemento a) 30º c) 45º e) 75º b) 60º d) 90º • e β são complementares ⇔ α e β = 90º 8.O triplo do complemento de um ângulo • e β são suplementares ⇔ α e β = é igual a terça parte do suplemento 180º desse ângulo. Esse ângulo, em radia- nos, mede • e β são replementares ⇔ α e β = 360º 7π 7π 5π a) c) e) Indicamos: 8 4 8 − complemento de x = 90º – x 5π 7π b) d) − suplemento de x = 180º - x 16 16 − replemento de x = 360º - x 9.Provar que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. EXERCÍCIOS 10.Achar o valor de x nas figuras seguin- tes: 1. Verifique se são convexos ou não con- a) vexos, cada um dos conjuntos seguin- tes: a) reta b) o segmento da reta c) a semi-reta d) a reta menos um ponto e) a circunferência f) o círculo b) 2. Efetuar as operações indicadas a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”) c) b) (20º 40’) + (19º 20’) c) (40º 40’) + (20º 25’) d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”) e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”) f) (10º 20’) – (8º 12’) g) 40º (12º 20’) h) (30] 30’) – (10º 40’) i) 15º (10º 20’ 25”) d) j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”) k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”) l) (20º 20’) x 4 e) m) (10º 22’ 32”) x 5 n) (12° 24’ 36”) ÷ 3 o) (12º 21” 12”) ÷ 5 3. Encontre o complemento e o suplemen- 1.2. Ângulos entre duas retas to de: a) 12º paralelas e uma transversal b) 20º 12’ c) 35º 43’ 42” 1.2.1. Retas Paralelas d) Duas retas de um mesmo plano 4. Dois ângulos são complementares e a são paralelas, se e somente se, não medida de um excede a do outro tiverem ponto em comum. em 20º. Achar a medida desses ân- gulos. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
  • 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA f) ANOTAÇÕES r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ 1.2.2. Ângulos entre duas retas pa- ralelas cortadas por uma re- ta transversal Na figura abaixo as retas r e s são parale- las. A medida do ângulo b é: 1.3. Triângulos I ˆ e 7, 2 e 8 → alternos, externos 1 ˆ ˆ ˆ 1.3.1. Definição (congruentes) ˆ e 5, 4 e 6 → alternos, internos 3 ˆ ˆ ˆ Dados 3 pontos A, B e C não coli- (congruentes) neares, chama-se retângulo a união →correspondentes dos 3 segmentos , e (congruentes) ˆ e 8, 2 e 7 → colaterais, exter- 1 ˆ ˆ ˆ nos (suplementares) ˆ e ˆ 3 e 6 → colaterais internos 4 5, ˆ ˆ (suplementares) EXERCÍCIOS ∆ ABC = ∪ ∪ Determine x nas figuras seguintes a) 1.3.2. Elementos do Triângulo b) , , → lados m, n, p → medidas dos ângulos intei- ros , , , respectivamen- te c) BC = a → medida do lado AC = b → medida do lado d) AB = C → medida do lado 1.3.3. Lei Angular de Tales e) m+n+p = 180º PÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 5. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira “A soma das medidas dos ângulos c) ANOTAÇÕES internos de um triângulo é igual a 180.” 1.3.4. Soma dos ângulos Externos “Em qualquer triângulo a medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas de 2 ângulos internos não adjacentes.” d) 2. Na figura AB = AC = CD. Determine α. x+y=z = 360º 120o A 1.3.5. Classificação quanto aos la- dos 1. Escaleno: não possui lados con- gruentes α Isósceles: possui 2 lados congruentes B C D Equilátero: possui 3 lados congruentes 3.Demonstre que num triângulo a soma das medidas dos ângulos externos é Todo triângulo equilátero é isósce- igual a 360º. les 4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter- 1.3.6. Classificação quanto aos ân- no. gulos internos 5.No retângulo a seguir, o valor, em graus 1. Retângulo: Possui 1 ângulo. de α + β é: Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso. Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos. 40o 1.3.7. Propriedades dos Triângulos 1. Em um triângulo, se houver lados β congruentes, a eles estarão se opondo ângulos congruentes, e α reciprocamente. a) 50 c) 120 e) 220 Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o b) 90 d) 130 maior ângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo e reciprocamente. 6.Na figura a seguir ABCD indica um qua- drado de lado unitário e ABE um tri- ângulo eqüilátero. Prove que 13. EXERCÍCIOS D C α E 1. Determine o valor de x nas figuras: a) A B b) 2tg x Sugestão: tg(2x) = x − tg 2 x a) α = 15º b) α=2– COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
  • 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA 7.Observe a figura ORTOCENTRO ANOTAÇÕES A A E D F E H 140o B C F Nessa figura , = bisse- D C triz de é 140º. A medida do B AD ângulo é 140º. A medida do BE alturas ângulo , em graus, é: CF a) 20 c) 40 e) 60 H: ortocentro b) 30 d) 50 1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO 1.4. Triângulos II Propriedade A medida relativa à hipotenusa de 1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri- um triângulo retângulo é igual à me- ângulo tade da hipotenusa. BARICENTRO A A N F E R G B R O R C B D C AD BE medianas CF G: baricentro 1 INCENTRO AO = .BC A 2 EXERCÍCIOS R T G 1.O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta su- porte do lado oposto é denominado: a) mediana B S C AS b) mediatriz BR bissetrizes internas CT c) bissetriz I: Incentro d) altura CIRCUNCENTRO A e) base mp mc P 2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo N em A, é mediana e é bisse- O triz interna. Se o ângulo = 20º, C então o ângulo MDB mede: B M A ma N D ma mb mediatrizes O: circuncentro B C mc M PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 7. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 90º c) 100º e) 110º a) 30º c) 60º e) 120º ANOTAÇÕES b) 95º d) 105º b) 45º d) 90º 3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, M é o ponto médio de e 1.5. Triângulos III é paralelo do lado . Se BC = 1.5.1. Existência do triângulo 24, então AP vale: C 1.5.2. Condição de Existência do Triângulo A b c N M P C B a A B a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8 EXERCÍCIOS 4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu- 1.Se dois lados de um triângulo medem lo, M é ponto médio de e o tri- respectivamente 3 cm e 4 cm, pode- ângulo BMC é equilátero. Sendo = mos afirmar que a mediada do tercei- 18 cm, calcule a medida do segmento ro lado é: a) igual a 5 cm . b) igual a 1 cm A D c) igual a cm d) menor que 7 cm e) maior que 2 cm P 2.Mostre que em qualquer quadrilátero convexo o quociente do perímetro pe- la soma das diagonais é maior que 1 e menor que 2. B C 3.O semiperímetro de um triângulo é dado 5.Na figura abaixo, a circunferência de por 12,5 m. Dois lados medem res- centro O está inscrita no triângulo pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular ABC. Sendo DOE paralelo ao lado a medida do terceiro lado. ; =20; = 25 e = 22: a) mostre que o triângulo BOD é i- 4.Num triângulo isósceles e semi- perímetro é dado por 19,6m. A base sósceles; mede 5,2m. Determinar a medida dos lados congruentes. b) calcule o perímetro do triângulo ADE. EXERCÍCIOS A 1. Efetuar as operações seguintes: a) (12º 22’) + (10º 40’) b) (15º 6’) + (10º 58’) D E c) (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”) O d) (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”) e) 10º - (9º 30’) B C 2.Na figura, calcular a medida “x” 6.Um triângulo ABC tem ângulos = 40º e = 50º. Qual é o ângulo formado pe- las alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
  • 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA 3.Na figura, calcular ma medida x. a) 90º c) 110º e) nda ANOTAÇÕES b) 100º d) 120º 10.Determine x nas figuras a) 4.Na figura, r é paralela a s; determine a b) medida a. c) 5.Na figura, x vale: d) 6.Se r // s, α vale: 11.Os ângulos de um triângulo medem res- pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va- le em graus: a) 125º c) 35º e) 15º b) 55º d) 65º 12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex- a) 100º c) 130º e) 120º terno vale 30º 10’. Os valores possí- veis para os ângulos côgruos são: b) 110º d) 150º a) somente 15º5’ b) 15º5’ e 140º50’ 7.Se r // s, determine na figura c) impossível d) 20º e 140º e) nda 13.Num triângulo isósceles o ângulo do vértice mede 58º. Calcular a medida dos ângulos externos da base. 14.Um ângulo externo da base de um tri- ângulo isósceles mede 108. Calcular a medida do ângulo interno do vértice. 8.Se r // s, então vale: 15.Num triângulo isósceles a soma dos ân- gulos da base é oito vezes o ângulo do vértice. Calcular as medidas dos ân- gulos internos do triângulo. 16.Na figura, N é ponto médio AB, é paralelo a , Sendo = 60 cm, a) 90º c) 110º e) 22º40’ calcule . b) 100º d) 120º 9.Na figura r // s então vale: PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
  • 9. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 17.Em um triângulo retângulo ABC, tra- 26.Se o triângulo é equilatero, o que a- ANOTAÇÕES contece com seus pontos notáveis? çam-se as bissetriz e dos ângulos agudos e . Calcule a me- 27.Na figura, ABCD é um paralelogramo, em que M é o ponto médio do lado dida do ângulo B C. . Sendo DP=24 cm, determine o 18.Na figura abaixo, temos: valor de x. = 30 cm = 30 cm BE é bissetriz do ângulo CE é bissetriz do ângulo e DF//BC. Calcule o perímetro do triângulo ADF. 28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon- to I. Sendo B C = 125º, determine a medida do ângulo Â. 29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y ; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor de x + y. 19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo A C. Se α 40º e β = 30º, calcule . 30.Determine o valor de x na figura se- guinte 20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD é mediana. Traçam-se BE perpendicu- lar a AC. Se = 70º, então o ângulo E D mede: a) 20º c) 40º e) 50º b) 25º d) 45º 21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte- 31.Em um triângulo, dois lados medem, ro, é bissetriz do ângulo A C e respectivamente, 5 e 8. O menor va- é bissetriz do ângulo A D. O ân- lor possível para a medida do terceiro lado é: gulo B C mede: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 12 32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são os lados de um triângulo, en- tão o número de possibilidades de x é: a) 3 c) 5 e) nda b) 4 d) 6 a) 20º c) 30º e) 40º b) 25º d) 35º 33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde 22.Se um triângulo é retângulo, o que po- Â = 90º. Se a altura forma com a demos concluir a respeito do circun- mediana um ângulo de 20º, en- centro e do ortocentro? tão os ângulos agudos desse triângulo são: 23.Se um triângulo é obtusângulo, o que a) 40º e 50º d) 25 e 65º podemos concluir a respeito do cir- b) 35º e 55º e) 45º e 45º cuncentro e do ortocentro? c) 30º e 60º 24.Quais pontos notáveis do triângulo, são 34.A mediana de um triângulo retângulo sempre internos a ele? relativa à hipotenusa forma com a COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
  • 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA bissetriz de um dos ângulos agudos em ân- ANOTAÇÕES gulo de 120º. Calcular os ângulos agu- dos do triângulo. 35.Num triângulo retângulo, a altura rela- tiva à hipotenusa forma com a bisse- triz do ângulo reto um ângulo de 15º. Calcular os ângulos agudos. 36.As medidas dos três lados de um triân- gulo formam uma PA de primeiro termo e a razão r tal que r > 0. Então: a) r = 3a d) r < a b) r = 2a e) nada podemos c) r = a afirmar sobre os valores de a e r. 37.Em um triângulo acutângulo, se a me- dida α de um ângulo é menor que a de seu complemento. Pode-se afirmar que: a) α > 80º b) 75º < c) 60º < α < 75º d) 45º < α < 60º e) α < 45º GABARITO 1) a) 21º 2’ b) 26º 4’ c) 31 º d) 43º 4” 24” e) 30’ 2) 41º 42’ 43’’ 3) 96º 18’ 4) 120º 5) 30º 6) E 7) 90º 8) E 9) 9 10) a) 30º b) 100º c) 100º d) 60º 11) E 12) A 13) 119º 14) 36º 15) 45º, 50º, 85º 16) 20º, 80º, 80º 17) OM = 10cm 18) 135º 19) 66 cm 20) 5º 21) 50º 22) 30º 23) ponto médio da hipotenusa e vértice , respectivamente 24) ambos são externos 25) baricentro e incentro 26) coincidem 27) 12 cm 28) 70º 29) 10 30) 1/16 31) B 32) B 33) E 34) B 35) 40º e 50º ou 10º e 80º 36) 30º e 60º 37) E PÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA