1. Matemática
Geometria Plana
uuu
r uuu
r
O segmento AB = AB ∩ BA . ANOTAÇÕES
Geometria plana
1.1. Introdução
1.1.1. Noções Primitivas:Ponto – A medida do segmento será
Reta – Plano
indicada por
Representação
1.1.4. Pontos Alinhados ou Colinea-
Ponto res
São pontos que pertencem a uma
mesma reta.
Reta
A ∈ r, B ∈ r e C ∈ r são colineares
1.1.5. Conjunto Convexo
Plano
∀ A ∈ α, ∀ B ∈ α; ⊂α
• O ponto não possui dimensão
• A reta possui uma só dimensão
• O plano possui exatamente duas 1.1.6. Conjunto não Convexo
dimensões
• Não confundir os conceitos de me-
dida e dimensão
1.1.2. Semi-reta ∃ A ∈ β, ∃ B ∈ β; ⊄β
Qualquer ponto de uma reta a di-
vida em duas semi-retas ditas opos-
1.1.7. Ângulo Geométrico
tas.
É a união de duas semi-retas de
mesma origem
O ponto O divide a reta r nas se-
uuuu
r uuur
mi-retas O A e O B .
1.1.3. Segmento de Reta
COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 1 PÁGINA 1

2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
O .. vértice 1 ANOTAÇÕES
de 1º = 1 ( 1 minuto)
..e . lados 60
α = A B . ângulo 1
de 1’ = 1” (1 segundo)
60
1.1.8. Congruência
Assim:
Duas figuras geométricas (conjun-
1º = 60’ e 1’ = 60”, logo 1º = 3600”
to de pontos) serão ditas congruentes,
se e somente se, coincidirem por su- 1.1.14. ângulo Agudo
perposição.
≅ ou AB = CD
α é agudo ⇔ 0º < α < 90º
1.1.9. Ângulo Convexo 1.1.15. Ângulo Obtuso
É o ângulo que determina no pla-
no uma região convexa
β é obtuso ⇔ 90º < β < 180º
1.1.16. ângulo Raso
α é convexo θ é raso ⇔ θ = 180º
1.1.17. Ângulo de uma volta
1.1.10. Ângulo não Convexo
É o ângulo que determina no pla-
no uma região não convexa γ é de uma volta ⇔ γ = 360º
1.1.18. Bissetriz
É a semi-reta que partindo do
vértice divide o ângulo em 2 ângulos
congruentes.
β é não convexo
1.1.11. Ângulo Reto
Se duas retas que têm um só pon-
to em comum e determinarem 4 ân-
gulos congruentes, cada um deles se-
rá chamado de ângulo reto 1.1.19. Ângulos Consecutivos
Têm o mesmo vértice e um lado
comum
α é ângulo reto
1.1.12. Medida de ângulo
Vamos admitir o ângulo reto, com
um ângulo que mede noventa graus. 1.1.20. Ângulos Adjacentes
Indicaremos 90º. São ângulos consecutivos em que
os lados não comuns estão em semi-
1.1.13. Submúltiplos do grau planos opostos. Na figura anterior
vemos que α e β são adjacentes e γ e
1
do ângulo reto = 1º θ não são.
90
PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA

3. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
1.1.21. Ângulos Opostos Pelo Vérti- 5.Dois ângulos são suplementares e a ra- ANOTAÇÕES
ce
São ângulos em que o lado de um zão das medidas é . Quais são as
é o prologamento do lado do outro. medidas dos ângulos?
6.O ângulo igual a do seu suplemento
mede:
a) 100º c) 36º e) 72º
b) 144º d) 80º
7.Um ângulo mede a metade do seu com-
1.1.22. Complemento, Suplemento e plemento. Então esse ângulo mede:
Replemento a) 30º c) 45º e) 75º
b) 60º d) 90º
• e β são complementares ⇔ α e β =
90º 8.O triplo do complemento de um ângulo
• e β são suplementares ⇔ α e β = é igual a terça parte do suplemento
180º desse ângulo. Esse ângulo, em radia-
nos, mede
• e β são replementares ⇔ α e β =
360º 7π 7π 5π
a) c) e)
Indicamos: 8 4 8
− complemento de x = 90º – x 5π 7π
b) d)
− suplemento de x = 180º - x 16 16
− replemento de x = 360º - x
9.Provar que dois ângulos opostos pelo
vértice são congruentes.
EXERCÍCIOS
10.Achar o valor de x nas figuras seguin-
tes:
1. Verifique se são convexos ou não con- a)
vexos, cada um dos conjuntos seguin-
tes:
a) reta
b) o segmento da reta
c) a semi-reta
d) a reta menos um ponto
e) a circunferência
f) o círculo b)
2. Efetuar as operações indicadas
a) (2º 20’ 30º) + (10º 10 10”) c)
b) (20º 40’) + (19º 20’)
c) (40º 40’) + (20º 25’)
d) (10º 42’ 50”) + (30º 20’ 20”)
e) (20º 20’ 20”) + (10º 39” 40”)
f) (10º 20’) – (8º 12’)
g) 40º (12º 20’)
h) (30] 30’) – (10º 40’)
i) 15º (10º 20’ 25”) d)
j) (22º 18’ 10”) – (4º 20’ 2”)
k) (32º 42’ 42”) – (10º 50’ 50”)
l) (20º 20’) x 4 e)
m) (10º 22’ 32”) x 5
n) (12° 24’ 36”) ÷ 3
o) (12º 21” 12”) ÷ 5
3. Encontre o complemento e o suplemen- 1.2. Ângulos entre duas retas
to de:
a) 12º paralelas e uma transversal
b) 20º 12’
c) 35º 43’ 42” 1.2.1. Retas Paralelas
d) Duas retas de um mesmo plano
4. Dois ângulos são complementares e a são paralelas, se e somente se, não
medida de um excede a do outro tiverem ponto em comum.
em 20º. Achar a medida desses ân-
gulos.
COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3

4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
f) ANOTAÇÕES
r//s ⇔ r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅
1.2.2. Ângulos entre duas retas pa-
ralelas cortadas por uma re-
ta transversal
Na figura abaixo as retas r e s são parale-
las. A medida do ângulo b é:
1.3. Triângulos I
ˆ e 7, 2 e 8 → alternos, externos
1 ˆ ˆ ˆ 1.3.1. Definição
(congruentes)
ˆ e 5, 4 e 6 → alternos, internos
3 ˆ ˆ ˆ Dados 3 pontos A, B e C não coli-
(congruentes) neares, chama-se retângulo a união
→correspondentes dos 3 segmentos , e
(congruentes)
ˆ e 8, 2 e 7 → colaterais, exter-
1 ˆ ˆ ˆ
nos (suplementares)
ˆ e ˆ 3 e 6 → colaterais internos
4 5, ˆ ˆ
(suplementares)
EXERCÍCIOS ∆ ABC = ∪ ∪
Determine x nas figuras seguintes
a) 1.3.2. Elementos do Triângulo
b)
, , → lados
m, n, p → medidas dos ângulos intei-
ros , , , respectivamen-
te
c)
BC = a → medida do lado
AC = b → medida do lado
d) AB = C → medida do lado
1.3.3. Lei Angular de Tales
e)
m+n+p = 180º
PÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA

5. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
“A soma das medidas dos ângulos c) ANOTAÇÕES
internos de um triângulo é igual a
180.”
1.3.4. Soma dos ângulos Externos
“Em qualquer triângulo a medida
de um ângulo externo é igual a soma
das medidas de 2 ângulos internos não
adjacentes.”
d)
2. Na figura AB = AC = CD. Determine α.
x+y=z = 360º 120o
A
1.3.5. Classificação quanto aos la-
dos
1. Escaleno: não possui lados con-
gruentes α
Isósceles: possui 2 lados congruentes B C D
Equilátero: possui 3 lados congruentes 3.Demonstre que num triângulo a soma
das medidas dos ângulos externos é
Todo triângulo equilátero é isósce- igual a 360º.
les
4.Demonstre o Teorema do ângulo Exter-
1.3.6. Classificação quanto aos ân- no.
gulos internos
5.No retângulo a seguir, o valor, em graus
1. Retângulo: Possui 1 ângulo. de α + β é:
Obtusângulo: Possui 1 ângulo obtuso.
Acutângulo: Possui 3 ângulos agudos.
40o
1.3.7. Propriedades dos Triângulos
1. Em um triângulo, se houver lados β
congruentes, a eles estarão se
opondo ângulos congruentes, e α
reciprocamente. a) 50 c) 120 e) 220
Em um triângulo, ao maior lado opõe-se o b) 90 d) 130
maior ângulo, ao menor lado opõe-se
o menor ângulo e reciprocamente. 6.Na figura a seguir ABCD indica um qua-
drado de lado unitário e ABE um tri-
ângulo eqüilátero. Prove que
13. EXERCÍCIOS D C
α
E
1. Determine o valor de x nas figuras:
a)
A B
b) 2tg x
Sugestão: tg(2x) =
x − tg 2 x
a) α = 15º
b) α=2–
COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5

6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
7.Observe a figura ORTOCENTRO ANOTAÇÕES
A A
E
D F
E H
140o
B C F
Nessa figura , = bisse-
D C
triz de é 140º. A medida do B
AD
ângulo é 140º. A medida do BE alturas
ângulo , em graus, é: CF
a) 20 c) 40 e) 60 H: ortocentro
b) 30 d) 50
1.4.2. TRIÂGULO RETÂNGULO
1.4. Triângulos II Propriedade
A medida relativa à hipotenusa de
1.4.1. Pontos Notáveis de um Tri-
um triângulo retângulo é igual à me-
ângulo
tade da hipotenusa.
BARICENTRO A
A
N
F E R
G
B R O R C
B D C
AD
BE medianas
CF
G: baricentro
1
INCENTRO AO = .BC
A 2
EXERCÍCIOS
R
T
G 1.O segmento da perpendicular traçada de
um vértice de um triângulo à reta su-
porte do lado oposto é denominado:
a) mediana
B S C
AS b) mediatriz
BR bissetrizes internas
CT c) bissetriz
I: Incentro
d) altura
CIRCUNCENTRO
A
e) base
mp
mc
P 2.Na figura, ABC é um triângulo retângulo
N
em A, é mediana e é bisse-
O
triz interna. Se o ângulo = 20º,
C
então o ângulo MDB mede:
B
M A
ma N
D
ma
mb mediatrizes O: circuncentro
B C
mc M
PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA

7. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
a) 90º c) 100º e) 110º a) 30º c) 60º e) 120º ANOTAÇÕES
b) 95º d) 105º b) 45º d) 90º
3.Na figura, o triângulo ABC é retângulo
em A, M é o ponto médio de e 1.5. Triângulos III
é paralelo do lado . Se BC = 1.5.1. Existência do triângulo
24, então AP vale:
C 1.5.2. Condição de Existência do
Triângulo
A
b c
N M
P
C B
a
A B
a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8 EXERCÍCIOS
4.Na figura a seguir, ABCD é um retângu-
1.Se dois lados de um triângulo medem
lo, M é ponto médio de e o tri- respectivamente 3 cm e 4 cm, pode-
ângulo BMC é equilátero. Sendo = mos afirmar que a mediada do tercei-
18 cm, calcule a medida do segmento ro lado é:
a) igual a 5 cm
. b) igual a 1 cm
A D
c) igual a cm
d) menor que 7 cm
e) maior que 2 cm
P
2.Mostre que em qualquer quadrilátero
convexo o quociente do perímetro pe-
la soma das diagonais é maior que 1 e
menor que 2.
B C
3.O semiperímetro de um triângulo é dado
5.Na figura abaixo, a circunferência de por 12,5 m. Dois lados medem res-
centro O está inscrita no triângulo pectivamente 7,6m e 8,4 m. Calcular
ABC. Sendo DOE paralelo ao lado a medida do terceiro lado.
; =20; = 25 e = 22:
a) mostre que o triângulo BOD é i- 4.Num triângulo isósceles e semi-
perímetro é dado por 19,6m. A base
sósceles; mede 5,2m. Determinar a medida dos
lados congruentes.
b) calcule o perímetro do triângulo
ADE.
EXERCÍCIOS
A
1. Efetuar as operações seguintes:
a) (12º 22’) + (10º 40’)
b) (15º 6’) + (10º 58’)
D E c) (10º 40’ 40”) + (20] 19’ 20”)
O d) (32º 43’ 42”) + (10º 20’ 42”)
e) 10º - (9º 30’)
B C 2.Na figura, calcular a medida “x”
6.Um triângulo ABC tem ângulos = 40º e
= 50º. Qual é o ângulo formado pe-
las alturas relativas aos vértices A e B
desse triângulo?
COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7

8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
3.Na figura, calcular ma medida x. a) 90º c) 110º e) nda ANOTAÇÕES
b) 100º d) 120º
10.Determine x nas figuras
a)
4.Na figura, r é paralela a s; determine a b)
medida a.
c)
5.Na figura, x vale:
d)
6.Se r // s, α vale: 11.Os ângulos de um triângulo medem res-
pectivamente: 3x, 4x e 5x. Então, va-
le em graus:
a) 125º c) 35º e) 15º
b) 55º d) 65º
12.Num triângulo isósceles, um ângulo ex-
a) 100º c) 130º e) 120º terno vale 30º 10’. Os valores possí-
veis para os ângulos côgruos são:
b) 110º d) 150º
a) somente 15º5’
b) 15º5’ e 140º50’
7.Se r // s, determine na figura c) impossível
d) 20º e 140º
e) nda
13.Num triângulo isósceles o ângulo do
vértice mede 58º. Calcular a medida
dos ângulos externos da base.
14.Um ângulo externo da base de um tri-
ângulo isósceles mede 108. Calcular a
medida do ângulo interno do vértice.
8.Se r // s, então vale: 15.Num triângulo isósceles a soma dos ân-
gulos da base é oito vezes o ângulo do
vértice. Calcular as medidas dos ân-
gulos internos do triângulo.
16.Na figura, N é ponto médio AB, é
paralelo a , Sendo = 60 cm,
a) 90º c) 110º e) 22º40’ calcule .
b) 100º d) 120º
9.Na figura r // s então vale:
PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA

9. GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
17.Em um triângulo retângulo ABC, tra- 26.Se o triângulo é equilatero, o que a- ANOTAÇÕES
contece com seus pontos notáveis?
çam-se as bissetriz e dos
ângulos agudos e . Calcule a me- 27.Na figura, ABCD é um paralelogramo,
em que M é o ponto médio do lado
dida do ângulo B C.
. Sendo DP=24 cm, determine o
18.Na figura abaixo, temos: valor de x.
= 30 cm
= 30 cm
BE é bissetriz do ângulo
CE é bissetriz do ângulo e DF//BC.
Calcule o perímetro do triângulo ADF.
28.Num triângulo ABC, o incentro é o pon-
to I. Sendo B C = 125º, determine a
medida do ângulo Â.
29.No triângulo ABC da figura, o ponto G é
o baricentro. Sendo CG = x + 2; GE = y
; AG = x e GD = 7 – y, calcule o valor
de x + y.
19.Na figura, r é a bissetriz do ângulo
A C. Se α 40º e β = 30º, calcule .
30.Determine o valor de x na figura se-
guinte
20.Num triângulo ABC, retângulo em B, BD
é mediana. Traçam-se BE perpendicu-
lar a AC. Se = 70º, então o ângulo
E D mede:
a) 20º c) 40º e) 50º
b) 25º d) 45º
21. Na figura, o triângulo ABC é eqüiláte-
31.Em um triângulo, dois lados medem,
ro, é bissetriz do ângulo A C e respectivamente, 5 e 8. O menor va-
é bissetriz do ângulo A D. O ân- lor possível para a medida do terceiro
lado é:
gulo B C mede: a) 3 c) 5 e) nda
b) 4 d) 12
32.Se x ∈ N e os números x – 1, 2x + 1 e
10 são os lados de um triângulo, en-
tão o número de possibilidades de x
é:
a) 3 c) 5 e) nda
b) 4 d) 6
a) 20º c) 30º e) 40º
b) 25º d) 35º 33.Seja ABC um triângulo retângulo, onde
22.Se um triângulo é retângulo, o que po- Â = 90º. Se a altura forma com a
demos concluir a respeito do circun- mediana um ângulo de 20º, en-
centro e do ortocentro? tão os ângulos agudos desse triângulo
são:
23.Se um triângulo é obtusângulo, o que a) 40º e 50º d) 25 e 65º
podemos concluir a respeito do cir- b) 35º e 55º e) 45º e 45º
cuncentro e do ortocentro? c) 30º e 60º
24.Quais pontos notáveis do triângulo, são 34.A mediana de um triângulo retângulo
sempre internos a ele?
relativa à hipotenusa forma com a
COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9

10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
bissetriz de um dos ângulos agudos em ân- ANOTAÇÕES
gulo de 120º. Calcular os ângulos agu-
dos do triângulo.
35.Num triângulo retângulo, a altura rela-
tiva à hipotenusa forma com a bisse-
triz do ângulo reto um ângulo de 15º.
Calcular os ângulos agudos.
36.As medidas dos três lados de um triân-
gulo formam uma PA de primeiro
termo e a razão r tal que r > 0. Então:
a) r = 3a d) r < a
b) r = 2a e) nada podemos
c) r = a afirmar sobre
os valores de a
e r.
37.Em um triângulo acutângulo, se a me-
dida α de um ângulo é menor que a
de seu complemento. Pode-se afirmar
que:
a) α > 80º
b) 75º <
c) 60º < α < 75º
d) 45º < α < 60º
e) α < 45º
GABARITO
1) a) 21º 2’
b) 26º 4’
c) 31 º
d) 43º 4” 24”
e) 30’
2) 41º 42’ 43’’
3) 96º 18’
4) 120º
5) 30º
6) E
7) 90º
8) E
9) 9
10) a) 30º b) 100º c) 100º d) 60º
11) E
12) A
13) 119º
14) 36º
15) 45º, 50º, 85º
16) 20º, 80º, 80º
17) OM = 10cm
18) 135º
19) 66 cm
20) 5º
21) 50º
22) 30º
23) ponto médio da hipotenusa e vértice ,
respectivamente
24) ambos são externos
25) baricentro e incentro
26) coincidem
27) 12 cm
28) 70º
29) 10
30) 1/16
31) B
32) B
33) E
34) B
35) 40º e 50º ou 10º e 80º
36) 30º e 60º
37) E
PÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA