Mat geometria plana 002

Matemática

Geometria Plana

1. Polígonos um polígono de n lados é dada por:
Si = 180º ( n − 2 ) ANOTAÇÕES
Consideremos, num plano, n pon-
tos ( n ≥ 3 ), A1, A2 , A3, ... An, ordena-
das de modo que três desses pontos 1.4. Soma dos ângulos Externos
consecutivos não seja colineares. A soma dos ângulos externos de
Chama-se polígono a reunião dos um polígono de n lados é igual a 360º,
segmentos independente da quantidade de lados.
A1A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , ... , A n A.
1.5. Relação entre ai e ae.

a i + a e = 180º

1.6. Polígonos Regulares
Chamamos um polígono de regu-
lar quando possi todos os lados e ân-
1.1. Nomenclatura: gulos iguais. Assim, temos que a me-
De acordo com o número de lados dida do ângulo interno de um polígo-
temos: no regular de n lados é dada por
Triângulo = 3 lados 180º ( n − 2 )
Quadrilátero = 4 lados ai = e a do ângulo exter-
n
Pentágono = 5 lados no desse mesmo polígono é dada por
Hexágono = 6 lados 360º
Octógono = 8 lados ae = .
Eneágono = 9 lados n
Decágono = 10 lados
Undecágono = 11 lados EXERCÍCIOS 1
Pentadecágono = 15 lados
Icoságono = 20 lados
1. Calcule o número de diagonais de um
heptágono.
1.2. Número de Diagonais
Diagonal é um segmento cujas ex- 2. Cada ângulo interno de um decágono
tremidades são vértices não consecu- regular mede:
tivos do polígono. O número de dia- a) 35º c) 72º e) 144º
gonais é dado por:
n(n − 3)
d= ,
2
onde n é o número de lados do polí-
gono.

1.3. Soma dos ângulos Internos
A soma dos ângulos internos de

COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA PLANA
n ≥ 4, tais que d(n + 1) > 2 d(n), ANOTAÇÕES
b) 60º d) 120º possui infinitos elementos.
IV. O conjunto de valores d (n ) , para
3. O polígono convexo cuja soma dos ân- n = 4, 5, 6, ..., nesta ordem,
gulos internos mede 1440º tem exa- forma uma progressão aritméti-
tamente: ca.
a) 15 diagonais V. Temos que d(n) = n ⇔ n = 5.
b) 20 diagonais
c) 25 diagonais 10. (Ita – SP) Considere as afirmações so-
d) 30 diagonais bre polígonos convexos:
e) 35 diagonais I. Existe apenas um polígono cujo
número de diagonais coincide
4. Se um polígono convexo de n lados com o número de lados.
tem 54 diagonais então n é: II. Não existe polígono cujo número
a) 8 c) 10 e) 12 de diagonais seja o quádruplo do
b) 9 d) 11 número de lados.
III. Se a razão entre o número de di-
5. O polígono regular convexo em que o agonais e o de lados de um polí-
n° de lados é igual ao n° de diagonais gono é um número natural, então
é o: o número de lados do polígono é
a) dodecágono. ímpar.
b) pentágono. a) Todas as afirmações são verda-
c) decágono. deiras.
d) hexágono. b) Apenas I e III são verdadeiras.
e) heptágono. c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas III é verdadeira.
6. (Universidade São Francisco) O polí- e) Apenas II e III são verdadeiras.
gono regular cujo ângulo interno me-
de o triplo do ângulo externo é o 11. (Unesp) A distância entre dois lados
a) pentágono paralelos de um hexágono regular é
b) hexágono igual a 2 3 c m . A medida do lado
c) octógono desse hexágono, em centímetros, é:
d) decágono
a) 3 c) 2,5 e) 4
e) dodecágono
b) 2. d) 3
7. (Faap) A medida mais próxima de ca-
da ângulo externo do heptágono regu- 12. O apótema de um triângulo equilátero
lar da moeda de R$ 0,25 é: mede 3 cm. Determine o lado do tri-
ângulo.

13. (UFES) Um polígono regular possui a
partir de cada um de seus vértices
tantas diagonais quantas são as dia-
gonais de um hexágono. Cada ângulo
interno desse polígono mede em
a) 60° c) 36° e) 51° graus:
b) 45° d) 83° a) 140 c) 155 e) 170
b) 150 d) 160
8. O número de polígonos em que o ân-
gulo interno, medido em graus, é re-
presentado um número inteiro é: EXERCÍCIOS 2
a) 12 c) 14 e) 22
b) 20 d) 24 1. Determine o perímetro dos seguintes
polígonos. (Dê a resposta em m).
9. (UFGO) O número de diagonais de um a) Um triângulo eqüilátero de lado
polígono regular de n lados é dado igual a 15 cm.
n2 − 3n
pela função d (n ) = , definida
2
para todo número natural n ≥ 4 . De
acordo com essa afirmação, julgue os
itens abaixo.
I. Não existe polígono regular com
99 diagonais.
II. O conjunto imagem da função
d(n) é o conjunto de todos os
números naturais.
III. O conjunto dos números naturais

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GEOMETRIA PLANA MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
ANOTAÇÕES
b)

2. Qual é o polígono convexo em que a
soma dos ângulos internos é 1080°? a) y = 90° - x .
b) y = 180° - x .
3. Determine x: c) y = 2x .
d) y = 3x.

8. (UFSC) Considere um hexágono eqüi-
ângulo (ângulos internos iguais) no
qual quatro lados consecutivos me-
dem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura abaixo. Calcule o pe-
4. (Mack – SP) Os ângulos externos de rímetro do hexágono.
um polígono regular medem 20°. En-
tão, o número de diagonais desse po-
lígono é:
a) 90 c) 119 e) 152
b) 104 d) 135

5. (Ufes) Na figura a seguir, as retas r e
s são paralelas. A soma α + β + γ + δ
das medidas dos ângulos indicados na
figura é:

9. (Ita – SP) Seja n o número de lados de
um polígono convexo. Se a soma de n
- 1 ângulos (internos) do polígono é
2004°, determine o número n de la-
dos do polígono.
a) 180° c) 360° e) 540° 10. (Unesp) O número de diagonais de um
b) 270° d) 480° polígono convexo de x lados é dado
por N ( x ) = ( x 2 − 3x ) . Se o polígono
1
6. (Fuvest – SP) Na figura adiante,
ABCDE é um pentágono regular. A 2
medida, em graus, do ângulo α é: possui 9 diagonais, seu número de la-
dos é:
a) 10 c) 8 e) 6
b) 9 d) 7

11. (Ita – SP) De dois polígonos convexos,
um tem a mais que o outro 6 lados e
39 diagonais. Então, a soma total dos
números de vértices e de diagonais
dos dois polígonos é igual a:
a) 32° c) 36° e) 40° a) 63 c) 66 e) 77
b) 34° d) 38° b) 65 d) 70

7. (UEG – 2006) Na figura abaixo, para 12. (Cefet – CE) Um polígono regular tem
quaisquer que sejam x e y, as medi- 4 lados a mais que outro polígono e
das dos ângulos satisfazem a relação seu ângulo interno excede de 15º do
outro. Quais são esses polígonos?


co pontas, conforme destacado na fi- ANOTAÇÕES
13. (Unifesp) A soma de n − 1 ângulos de gura.
um polígono convexo de n lados é i-
gual a 1900º. O ângulo remanescente
mede:
a) 120º c) 95º e) 60º
b) 105º d) 80º

14. (Ita – SP) O comprimento da diagonal
de um pentágono regular de lado me-
dindo 1 unidade é igual à raiz positiva
de: Nestas condições, o ângulo θ mede
a) 108°. c) 54°. e) 18°.
b) 72°. d) 36°.

18. (Ita – SP) Considere três polígonos re-
gulares tais que os números que ex-
pressam a quantidade de lados de ca-
da um constituam uma progressão a-
ritmética. Sabe-se que o produto des-
tes três números é igual a 585 e que a
a) x2 + x − 2 = 0 soma de todos os ângulos internos dos
b) x2 − x − 2 = 0 três polígonos é igual a 3780°. O nú-
x2 − 2x + 1 = 0 mero total das diagonais nestes três
c) polígonos é igual a:
d) x2 + x − 1 = 0 a) 63 c) 90 e) 106
e) x2 − x − 1 = 0 b) 69 d) 97

15. (UFscar) Um polígono regular com e- 19. (Puc – PR) Quatro triângulos congru-
xatamente 35 diagonais tem entes são recortados de um retângulo
a) 6 lados. de 11x13. O octógono resultante tem
b) 9 lados. oito lados iguais.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.

16. (UFAL) Num polígono convexo de n
lados, a soma das medidas dos ângu-
los internos é dada por (n – 2).180°.
O comprimento do lado deste octógo-
Use essa informação e considere as
no é:
afirmativas referentes ao polígono
a) 3 c) 5 e) 7
não regular abaixo representado.
b) 4 d) 6

20. (UFLA) As aranhas são notáveis geô-
metras, já que suas teias revelam va-
riadas relações geométricas. No de-
senho, a aranha construiu sua teia de
maneira que essa é formada por he-
xágonos regulares igualmente espa-
çados. Qual é a menor distância que a
aranha deve percorrer ao longo da
teia para alcançar o infeliz inseto?
Assinale as alternativas verdadeiras.
I. A soma das medidas dos ângulos
internos do polígono é necessari-
amente 540°.
II. A medida a é necessariamente
igual a 108°.
III. A soma de b e b1 dá, necessaria-
mente, 180°.
IV. b1 é igual a 72° obrigatoriamen-
te.
V. a1 + b1 + c1 + d1 + e1 = 360°, ne-
cessariamente.

17. (Unifesp) Pentágonos regulares con-
gruentes podem ser conectados, lado
a lado, formando uma estrela de cin-

ANOTAÇÕES

a) 8 cm
b) 10 cm
c) 8 2 cm
d) 10 3 cm

21. (UEPB) Sabendo que a figura abaixo
nos mostra um mosaico onde todos os
pentágonos são regulares e iguais en-
tre si, então x + y é igual a:

a) 240º c) 224º e) 220º
b) 216º d) 232º

GABARITO
01. a) 0,45m b) 31,4m
02. Octógono 03. x = 110º 04. d
05. e 06. c
07. b 08. 99 cm 09. 14
10. e 11. b
12. octógono e dodecágono
13. d 14. e 15. c
16. V F V F V 17. D
18. d 19. c
20. b 21. b


A M B ANOTAÇÕES

2. Circunferência e cír-
culo O

É o conjunto dos pontos de um
plano eqüidistantes de um ponto fixo
chamado de centro.
Se uma secante intercepta a cir-
cunferência em dois pontos distintos
A e B e M é o ponto médio da corda
AB, então a reta OM é perpendicular
a secante.

Tangente
É a reta que possui apenas um ú-
O – Centro da circunferência nico ponto em comum com a circun-
OP e OR – Raio ferência.
t T
2.1. Corda B
r
Chamamos de corda o segmento
de reta cujas extremidades perten- O
cem à circunferência.

2.2. Diâmetro
A maior corda de uma circunfe- Toda tangente a uma circunferência é
rência é chamada de diâmetro, que é perpendicular ao raio no ponto de
a corda que passa pelo centro da cir- tangência.
cunferência.
B
2.5. Teorema do Bico
corda
A
Se de um ponto P traçarmos os
C D segmentos PA e PB ambos tangentes
O a uma circunferência, com A e B na
diâmetro
circunferência, então PA = PB.
A

2.3. Círculo
C P
Denominamos círculo o conjunto
de todos os pontos do plano limitado
por uma circunferência.
B

2.6. Ângulos na circunferência
Ângulo Central
É o ângulo cujo vértice é o centro
da circunferência e os lados são os
Círculo raios desta circunferência.
A
2.4. Posição Relativa de Reta e
Circunferência med(AB)
α
Temos duas importantes posições O
relativas entre retas e circunferência:
a reta secante e a reta tangente. B
»
α = med(AB)
Secante
É a reta que intercepta a circun-
ferência em dois pontos distintos. Ve-
ja a figura.

Inscritível ANOTAÇÕES
Ângulo inscrito
B
É o ângulo cujo vértice pertence à
circunferência e os lados são cordas
da circunferência. A
C
β C
A
D
O
A + C = B + D = 180o
ˆ ˆ ˆ ˆ
med(AB)

B EXERCÍCIOS 1
»
me d(AB)
β= 1. Nas figuras abaixo, calcule o valor de
2
x.
a
“Todo triângulo inscrito numa se- )
micircunferência é retângulo”.
3
Ângulo de Vértice Interior
O vértice é um ponto interno, dis-
tinto do centro.
C x
A b
P )
x O
6 x

B
D
» ¼
me d(AB) + m e d(CD) 13
x=
2
PA.PB = PC.PD 2. Calcule o perímetro do triângulo PRS,
sabendo que PA = 12 cm.
Ângulo de Vértice Exterior A
R
A
B P T C

x P
O S
D B
C med(AB) a) 12 cm d) 48 cm
b) 24 cm e) 60cm
» ¼
me d(AB) − m ed(CD) c) 36 cm
x=
2
3. ABCD, na figura, está circunscrito à
PA.PB = PC.PD circunferência de centro Q.
Sabendo-se que AB = 3x, BC = 4x +1,
2.7. Quadrilátero CD = 5x e DA = 2x +3, calcule o perí-
metro desse quadrilátero.
Circunscritível (Teorema de Pi-
B
tot)
A

D C

D C

4. Em cada uma das figuras abaixo, cal-
cular o valor de x.
A B
AB + C D = AD + BC



ANOTAÇÕES
a) A

2x
α β θ
R R R
B C

b)
B a) 4α c) 5α
C b) 6α d) 7α
28o
x
8. Três tonéis cilíndricos são arrumados
A D como mostra a figura abaixo. Dois de-
les tem diâmetro iguais a 6 cm e ou-
c) A tro, diâmetro igual a 4cm. Então a al-
x tura h vale:

20o
B C
h

d) A

B o
80
x
a) 10cm c) 8cm
b) 9cm d) 6cm
C
9. (Fuvest – SP) A medida do ângulo ADC
inscrito na circunferência de centro O
5. Em cada uma das figuras abaixo, cal-
é:
cular o valor de x.
C
a)
36
o D
E B x
D

A 35o
A B
x O

B C
o
54
b) A
D
a) 125° c) 120° e) 135°
E
x 91
o 100
o
b) 110° d) 100°

C 10. (Fuvest – SP) Os pontos A, B e C per-
tencem a uma circunferência γ e AC é
B lado de um polígono regular inscrito
em γ. Sabendo-se que o ângulo ABCˆ
6. Em cada uma das seguintes figuras mede 18° podemos concluir que o
abaixo, calcular o valor de x. número de lados do polígono é igual
a) a:
A A

27 o D
o
51
E
B
x
C C
B B
b) C
B a) 5 c) 7 e) 12
B b) 6 d) 10
124o

34
o x 11. Calcule o valor de x na figura a se-
A E
guir.
B D

7. Na figura abaixo, α + β + θ , vale:

ANOTAÇÕES
o
x 45

x
B
O

75
o 35o

a) 60° c) 90° e) 120°
b) 80° d) 100°
EXERCÍCIOS 2
6. (Ufmg) Nessa figura, BD é um diâme-
1. Calcule o valor de x na figura a se- tro da circunferência circunscrita ao
guir. triângulo ABC, e os ângulos ABD e
ˆ
ˆ medem, respectivamente, 20° e
AED
85°. Assim sendo, o ângulo CBD me-
ˆ
de:
o
80
A x B C D
A
R R

B

E
D
2. Calcule o valor de x na figura a se-
guir.
C
A a) 25° c) 30°
b) 35° d) 40°
x
7. (Mack – SP) Na figura a seguir, os ar-
O Q cos QMP e MTQ medem, respectiva-
mente, 170° e 130°. Então, o arco
MSN mede:
P
P

M
3. Na figura, o segmento tangente PA S
mede 15 cm e PR mede 12 cm. N T

R A Q

S O a) 60° c) 80° e) 110°
b) 70° d) 100°
B
P
T
8. (Fatec – SP) Na figura a seguir, o tri-
ângulo APB está inscrito na circunfe-
a) Determine a medida RS rência de centro C. Se os ângulos as-
b) Qual é o perímetro do triângulo sinalados têm as medidas indicadas,
PRT. então x é igual a:
P
4. Um ângulo inscrito é formado por
uma corda e um diâmetro. O arco
subentendido pela corda é o dobro do C
arco compreendido entre os lados.
Determine o ângulo inscrito. o
23 45’
A B
66o 15’
5. O ângulo x, na figura a seguir, mede:

a) 23°45' c) 60° e) 66°15'
b) 30° d) 62°30'



ANOTAÇÕES
9. Determine x nos casos a seguir, onde
os segmentos são tangentes às circun-
ferências:
a) R

O 2x + 10

T
S 3x – 5
b)
x
R
5 cm
O

3 cm S

10. (UFG) A figura a seguir mostra uma
circunferência de raio r = 3 cm, ins-
crita num triângulo retângulo, cuja
hipotenusa mede 18 cm.
A

C B

a) Calcule o comprimento da circun-
ferência que circunscreve o tri-
ângulo ABC.
b) Calcule o perímetro do triângulo
ABC.

GABARITO
β
01. x = 20° 02. x =
2
03. a) 3cm b) 30cm 04. 30º
05. b 06. a 07. a 08. E
09. a) x = 15 b) x = 2. 10. a) 18 π c m
b) 42 c m


ANOTAÇÕES

3. Inscrição Circunscri-
ção de Polígonos Re- C R

gulares a
Lembremos que um polígono é di-
to regular quando, e somente quando
todos os seus lados e ângulos forem
congruentes. Dois resultados serão es-
Hexágono Regular:
tudados neste capítulo:
I. Sempre existirá uma circunferên-
cia em que esse polígono esteja
inscrito.
II. Sempre existirá uma circunferên- C R
cia em que esse polígono esteja
circunscrito. a

Quadro-Resumo para polígonos ins-
critos
Triângulo Quadrado Hexágono
Lado l = 3.R l = 2.R l =R
R R 2 R 3
Apótema a= a= a=
2 2 2

Quadro-Resumo para polígonos cir-
3.1. Elementos Notáveis de um
cunscritos
Polígono Regular Triângulo Quadrado Hexágono
Centro das Circunferências l = 2.R
R 2
Lado l = 2R. 3 l=
2
É o ponto central das duas circun-
Apótema a=R a =R a =R
ferências, que por sua vez são con-
cêntricas.
EXERCÍCIOS 1
Raios das Circunferências (R):
Os raios são tidos como grandezas- 1. Seja L o lado e a o apótema de um
padrão na análise do polígono inscrito triângulo regular inscrito numa cir-
ou circunscrito. cunferência de raio 6 c m . O valor de
(L + a) é:
Apótema (a) (
a) 3 1+ 2 3 )
É o segmento que liga o centro ao b) 2 (1− 2 3 )
ponto médio de qualquer lado do po-
lígono. c) 3 ( 2 + 3 )

3.2. Polígonos Regulares Inscri- d) 2 ( 3 + 5 3 )
tos em uma Circunferência e) 1+ 2 3
Triângulo Eqüilátero
2. Um hexágono regular e um quadrado
estão escritos numa mesma circunfe-
rência. Se o lado do hexágono mede
7 d m , a medida do perímetro do
C
R quadrado, em c m , é:
a a) 510 c) 220 2 e) 200 3
b) 280 2 d) 300 3

Quadrado


a) 220 cm d) 300 cm ANOTAÇÕES
3. Um quadrado e um triângulo equiláte- b) 230 cm e) 400 cm
ro estão inscritos em uma mesma cir- c) 280 cm
cunferência. Se o lado do quadrado
mede 8 2 m , o apótema desse triân- 10. Inscrito a uma circunferência de
mármore um aluno pretendeu fazer
gulo, em c m , mede:
um hexágono regular de um arame
a) 4 c) 7 e) 15
que custa R$ 0,60 o metro. No final
b) 6 d) 10 das contas ele teve que gastar R$
5,52 a mais pois foi obrigado a fazer
4. A medida do diâmetro de uma circun- um hexágono circunscrito à circunfe-
ferência onde está inscrito um triân-
gulo equilátero de apótema medindo rência. Considerando 3 = 1 , na
,73
5 c m , mede: construção do menor hexágono, o a-
luno gastaria:
a) 12 cm c) 14 cm e) 25 cm
a) R$ 34,00 d) R$ 41,00
b) 28 cm d) 20 cm
b) R$ 36,00 e) R$ 45,50
c) R$ 38,50
5. O apótema de um hexágono regular
mede 3 d a m . Seu perímetro me-
de:
EXERCÍCIOS 2
a) 120 dm
b) 1 200 dm 1. (Ita – SP) Um hexágono regular e um
c) 150 dm quadrado estão inscritos no mesmo
d) 1 500 dm círculo de raio R e o hexágono possui
e) 2 000 dm uma aresta paralela a uma aresta do
quadrado. A distância entre estas a-
6. Num círculo estão inscritos um qua- restas paralelas será:
drado e um triângulo equilátero. Se a a) R d) R
diagonal do quadrado mede 6 cm, a ( 3 − 2) ( 2 −1)
2 2
altura do triângulo equilátero mede,
b) R e) R
em cm: ( 2 +1) ( 3 −1)
a) 4,0 c) 5,0 e) 7,0 2 2
b) 4,5 d) 5,5 c) R
( 3 +1)
2
7. Se na figura abaixo, o semiperímetro
do maior quadrado mede 2 x , o lado 2. O lado de um hexágono regular inscri-
do menor quadrado mede: to numa circunferência mede
8 2 c m . Determine o apótema do
quadrado inscrito na mesma circunfe-
rência.

3. O apótema de um triângulo equilátero
mede 3 cm. Determine o lado do tri-
ângulo.
a) x 2 d) x 3
4. (Mack – SP) Sejam r e R, respectiva-
2 mente, os raios das circunferência
b) x 2 e) x inscrita e circunscrita a um polígono
regular de n lados. Então, qualquer
c) 0,8x 3
que seja n, r/R vale:
a) sen (2π/n)
8. A altura de um triângulo equilátero
15 b) tg (π/n)
mede c m . Determine, em c m , o
π
comprimento da circunferência nele c) cos (π/n)
inscrita.
a) 2π c) 1,5π e) 5 d) sen (π/n)
b) 10 d) π
e) cos (2π/n)
9. Se aumentarmos de 346 cm o lado de
um triângulo equilátero, ele deixa de
ser inscrito para ser circunscrito a
uma circunferência. Considerando
3 =1,73 , a medida da maior corda
desta circunferência é:


apótema e por b n o comprimento de ANOTAÇÕES
5. (CEFET – RJ) O perímetro de um he- um lado de P . O valor de n para o
xágono regular inscrito em um círculo n

de 25 π cm2 de área é igual a qual valem as desigualdades b n ≤ a n
a) 150 cm c) 25 cm e) 30 cm e b n −1 > a n −1 , pertence ao intervalo
b) 75 cm d) 15 cm a) 3 < n < 7.
b) 6 < n < 9.
6. (Unirio) Um carimbo com o símbolo c) 8 < n < 11.
de uma empresa foi encomendado a d) 10 < n < 13.
uma fábrica. Ele é formado por um e) 12 < n < 15.
triângulo equilátero que está inscrito
numa circunferência e que circuns-
creve um hexágono regular. Sabendo- 13. (Uff) A razão entre o lado do quadra-
se que o lado do triângulo deve medir do inscrito e o lado do quadrado cir-
3cm, então a soma das medidas, em cunscrito em uma circunferência de
cm, do lado do hexágono com a do raio R é:
diâmetro da circunferência deve ser: a) 1/3 c) 3 /3 e) 2
a) 7 d) 1 + 3 b) 1/2 d) 2 /2
b) 1 + 2 3 e) 77/32
c) 2 3 14. Um quadrilátero ABCD está inscrito
numa circunferência. Sabendo que os
arcos AB, BC e CD valem, respectiva-
7. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio mente, 80°, 110° e 90°, determine
está inscrito em um hexágono regu- todos os ângulos do quadrilátero.
lar, o perímetro do hexágono, em
centímetros, é igual a
15. (UFPB) A figura ao lado representa
a) 20 3 c) 15 3 e) 9 2 um barril totalmente fechado, que foi
d) construído unindo-se 12 tábuas en-
b) 18 3 12 3 curvadas e iguais, encaixadas e presas
a outras 2 tábuas circulares e iguais,
8. (UFU) Sabendo-se que um polígono de raio 10 cm. Com base nessas in-
regular de n lados está inscrito num formações, pode-se concluir que a
círculo de raio 1 e que o polígono medida, em cm, do segmento de reta
possui 9 diagonais, encontre a medida AB é igual a:
do comprimento de seu lado.

9. (PUC – RJ) Qual a razão entre os raios
dos círculos circunscrito e inscrito de
um triângulo eqüilátero de lado a?
a) 2 c) 2 e) 3a 2
b) 3 d) 3a

10. (Cefet – MG) O apótema do quadrado a) 10 c) 7 e) 5
inscrito numa circunferência é igual a b) 8 d) 6
2 cm. O lado do hexágono regular ins-
crito nessa mesma circunferência, em
cm, é GABARITO
a) 2 2 c) 2 3 01. A 02. 4 6 c m 03. 6 3 c m
b) 3 2 d) 3 3 04. C 05. E 06. B
07. A 08. 1 09. A
10. A 11. C 12. B
11. (Cefet – MG) Uma circunferência, ins- 13. D 14. A = 100°, B = 85°,
crita em um quadrado cuja diagonal C = 80° e D = 95° 15. A
mede 20 cm, possui comprimento, em
cm, igual a
a) π 2 c) 10 π 2
b) 5 π 2 d) 20 π 2

EXERCÍCIOS 2

12. (Ita) Seja Pn um polígono regular de n
lados, com n > 2 . Denote por a n o



ANOTAÇÕES
a a
4. Áreas das Figuras Pla-
nas
a

4.1. Triângulo
a2 3
Em função de um lado e da altu- A=
4
ra relativa a ele.
A Triângulo Circunscrito à uma
Circunferência
h A

c b
B C
a
a.h
A= B C
2 a
A = p.r
Em função de dois lados e um
ângulo compreendido entre eles Triângulo Inscrito em uma Cir-
A cunferência

c b b
c
R

B C a
a
ˆ ˆ ˆ
b c.se nA a c.se nB a b.senC
A= = =
2 2 2 abc
A=
4R

Em função dos lados (Fórmula de
Herão)
A
4.2. Quadriláteros
Paralelogramo
c b
A D

h
B C
a
B C
A = p(p − a)(p − b )(p − c ) A = a.b

Obs.: p é o semi-perímetro do triân-
a +b +c Retângulo
gulo e p = .
2

Triângulo Retângulo b

a
a
b
A = a.b

c
b.c
A=
2

Triângulo Eqüilátero

l Setor Circular ANOTAÇÕES
Losango

r
d α
r

D
d.D α
A= A= .π.r 2
2 360o
ou
α.r 2
A=
Quadrado 2
com α dado em graus ou radianos res-
pectivamente.
a

EXERCÍCIOS 1
a
A = a.a = a 2 1. (Puc – RJ) Quais são as dimensões de
um retângulo cujo perímetro é 25 m e
Trapézio cuja área é 25 m2?
b
2. (Faap – SP) A largura e o comprimento
de um terreno retangular estão na ra-
h zão de 4 para 7. Admitindo-se que o
perímetro desse terreno seja 66m. A
B área (em m2) deste terreno é:
a) 250 c) 252 e) 268
(b + B).h
A= b) 300 d) 246
2
3. (Fatec – SP) Um terreno retangular
tem 170 m de perímetro. Se a razão
entre as medidas dos lados é 0,7, en-
4.3. Círculo tão a área desse terreno, em metros
quadrados, é igual a:
Círculo a) 7000 c) 4480 e) 1120
b) 5670 d) 1750
r
4. (Cefet – RJ) A área do triângulo re-
tângulo no qual a medida da hipote-
nusa é 13 cm e a de um dos catetos é
5 cm é igual a:
a) 128 cm2. d) 39 cm2 .
b) 65 cm2. e) 60 cm2 .
2
A = π.r 2 c) 30 cm .

Coroa Circular 5. (PUC – MG) A medida da área da sala
representada na figura, em m2 é:

r

r R

A = π.(R2 − r 2 )



ANOTAÇÕES
a) 28 c) 42
b) 32 d) 48

6. (UFV – MG) A figura abaixo ilustra um
terreno em forma de trapézio, com as
medidas, em quilômetros (km), de
três de seus lados.

10. (UEL) Considere a região hachurada,
no interior do círculo de centro O, li-
mitada por semicircunferências, con-
forme mostra a figura a seguir.

A área do terreno, em km2, é igual a:
a) 215. c) 200. e) 205.
b) 210. d) 220.

7. (Unesp) O menor país do mundo em
extensão é o Estado do Vaticano, com
uma área de 0,4km2. Se o território
do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus la-
Se a área dessa região é 108πcm2 e
dos estaria entre:
AM=MN=NB, então a medida do raio do
a) 200 m e 201 m.
círculo, em centímetros, é
b) 220 m e 221 m.
a) 9 c) 16 e) 24
c) 401 m e 402 m.
b) 12 d) 18
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
EXERCÍCIOS 2
8. (Unesp – SP) A figura adiante mostra a
planta baixa da sala de estar de um
apartamento. Sabe-se que duas pare- 1. (Unicamp) Em um quadrilátero conve-
des contíguas quaisquer incidem uma xo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e
na outra perpendicularmente e que os vértices B e D distam, respectiva-
AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, mente, 3cm e 5cm da diagonal AC.
FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m. a) Faça uma figura ilustrativa da si-
tuação descrita.
b) Calcule a área do quadrilátero.

2. (Fuvest – SP) No quadrilátero ABCD a
seguir, ABC =150°,
ˆ AD=AB=4cm,
BC=10cm, MN=2cm, sendo M e N, res-
pectivamente, os pontos médios de
CD e BC.
A medida, em cm2, da área do triângulo
BCD é:
Qual a área dessa sala em metros quadra-
dos?
a) 37,2 c) 40,2. e) 42,2.
b) 38,2. d) 41,2.

9. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um a) 10 c) 20 e) 40
quadrado de lado 7cm. Sobre cada b) 15 d) 30
lado do quadrado, considera-se a se-
mi-circunferência exterior ao quadra-
do com centro no ponto médio do la-
3. (Puc – SP) Seja o octógono EFGHIJKL
inscrito num quadrado de 12cm de
do e raio 3,5cm, como na figura a se-
lado, conforme mostra a figura a se-
guir. Calcule a área da região hachu-
guir. Se cada lado do quadrado está
rada.
dividido pelos pontos assinalados
em segmentos


área do jardim e a área total do ter- ANOTAÇÕES
congruentes entre si, então a área do reno?
octógono, em centímetros quadrados, a) 30 %. c) 40 %. e) 50 %.
é: b) 36 %. d) 45 %.

10. (Unicamp) Considere dois quadrados
congruentes de lado 4cm. O vértice
de um dos quadrados está no centro
do outro quadrado, de modo que esse
quadrado possa girar em torno de seu
centro. Determine a variação da área
obtida pela intersecção das áreas dos
quadrados durante a rotação.

a) 98 c) 108 e) 120
b) 102 d) 120

4. (Fuvest – SP) A, B e C são pontos de
uma circunferência de raio 3cm,
AB=BC e o ângulo ABC mede 30°.
ˆ
11. (Unesp) O ângulo central AÔB refe-
a) Calcule, em cm, o comprimento
rente ao circulo da figura adiante
do segmento AC.
mede 60° e OX é sua bissetriz. Se M é
b) Calcule, em cm2, a área do triân- o ponto médio do raio OC e
gulo ABC.
OC= 5 cm, calcular a área da figura
5. (Unicamp) Um triângulo escaleno ABC hachurada.
tem área igual a 96m2. Sejam M e N
os pontos médios dos lados AB e AC,
respectivamente. Calcule a área do
quadrilátero BMNC.

6. (Unesp) A área de um triângulo retân-
gulo é 12dm2. Se um dos catetos é
2/3 do outro, calcule a medida da hi-
potenusa desse triângulo.

7. (Unesp) Corta-se um pedaço de arame
de 12dm em duas partes e constrói-
se, com cada uma delas, um quadra- 12. (Unesp) A figura adiante mostra um
do. Se a soma das áreas é 5dm2 , de- triângulo equilátero ABC. Se
termine a que menor distância de AM=MP=PB, AN=NQ=QC e BH=HC, pro-
uma das extremidades do arame foi ve que os triângulos HMN e HPQ têm a
feito o corte. mesma área.

8. (Unitau) Dada a figura a seguir e sa-
bendo-se que os dois quadrados pos-
suem lados iguais a 4cm, sendo O o
centro de um deles, quanto vale a á-
rea da parte preenchida?

a) 100 c) 5 e) 14
b) 20 d) 10 13. (Unicamp) No canto A de uma casa
de forma quadrada ABCD, de 4 metros
9. (Fuvest – SP) O retângulo ABCD repre- de lado, prende-se uma corda flexí-
senta um terreno retangular cuja lar- vel e inextensível,
gura é 3/5 do comprimento. A parte
hachurada representa um jardim re-
tangular cuja largura é também 3/5
do comprimento. Qual a razão entre a



ANOTAÇÕES
em cuja extremidade livre é amarra-
da uma pequena estaca que serve pa-
ra riscar o chão, o qual se supõe que
seja plano. A corda tem 6 metros de
comprimento, do ponto em que está
presa até sua extremidade livre. Man-
tendo-se a corda sempre esticada de
tal forma que inicialmente sua ex- a) 10, 8, 4 e 2.
tremidade livre esteja encostada à b) 10, 9, 3 e 2.
parede BC, risca-se um contorno no c) 12, 6, 4 e 2.
chão, em volta da casa, até que a ex- d) 16, 4, 3 e 1.
tremidade livre toque a parede CD. e) 17, 4, 2 e 1.
a) Faça uma figura ilustrativa da si-
tuação descrita. 18. (Fuvest – SP) No triângulo ABC, AC =
b) Calcule a área da região exterior 5cm, BC=20cm e cos α =3/5. O maior
à casa, delimitada pelo traçado valor possível, em cm2, para a área
da estaca. do retângulo MNPQ, construído con-
forme mostra a figura a seguir, é:
14. (Unicamp) Prove que a soma das dis-
tâncias de um ponto qualquer do in-
terior de um triângulo eqüilátero a
seus três lados é igual à altura desse
triângulo.

15. (Unesp) Considere o triângulo retân-
gulo isósceles ABC (reto em B) e o
trapézio retângulo EFCD cujos ângulos
internos retos são os dos vértices F e
C, conforme a figura a seguir. Sabe-se a) 16 c) 20 e) 24
que a medida do segmento BF é igual b) 18 d) 22
a 8cm, do segmento DC é 4cm e que a
área do trapézio EFCD é 30cm2. 19. (Cesgranrio) Um triângulo tem lados
20, 21 e 29. O raio da circunferência
a ele circunscrita vale:
a) 8 c) 10 e) 14,5
b) 8,5 d) 12,5

20. (Cesgranrio) O polígono a seguir, em
forma de estrela, tem todos os lados
iguais a 1cm e todos os ângulos iguais
a 60° ou 240°. Sua área é:

A medida de AB é:
a) 12 cm d) 18 cm
b) 14 cm e) 20 cm
c) 16 cm

16. (Unicamp) A área A de um triângulo
pode ser calculada pela fórmula: a) 3 cm2 d) 6 3 cm2
A = p (p − a )(p − b )(p − c ) b) 3 3 cm 2 e) 9 cm2
onde a, b, c são os comprimentos dos c) 6 cm2
lados e p é o semi-perímetro.
a) Calcule a área do triângulo cujos
lados medem 21, 17 e 10 centí-
metros.
b) Calcule o comprimento da altura
relativa ao lado que mede 21
centímetros.

17. (Cesgranrio) ABCD é um paralelogra-
mo e M é o ponto médio do lado AB.
As retas CM e BD dividem o paralelo-
gramo em quatro partes. Se a área do
paralelogramo é 24, as áreas de I, II,
III e IV são, respectivamente, iguais a:

26. (UFPE) Na figura a seguir P é o ponto ANOTAÇÕES
21. (Cesgranrio) OPQ é um quadrante de médio do segmento AD do paralelo-
círculo, no qual foram traçados semi- gramo ABCD. Calcule a área, em m2,
círculos de diâmetros OP e OQ. De- do triângulo ÐAPB sabendo-se que a
termine o valor da razão das áreas área do paralelogramo é 136m2.
hachuradas, a/b.

27. (UFPE) A figura a seguir possui x uni-
dades de área. Determine o inteiro
mais próximo de x.
a) 1/ 2 c) π/4 e) π/3
b) 1/2 d) 1

22. (Fatec – SP) Três pedaços de arame
de mesmo comprimento foram mol-
dados: uma na forma de um quadra-
do, outro na forma de um triângulo
eqüilátero e outro na forma de um
círculo. Se Q, T e C são, respectiva-
mente, as áreas das regiões limitadas
por esses arames, então é verdade
que
a) Q < T < C d) T < C < Q
b) C < T < Q e) T < Q < C 28. (Puc – Campinas/SP) A seguir tem-se a
c) C < Q < T representação da planta de um terre-
no quadrangular. A área, em metros
quadrados, desse terreno é:
23. (Fatec – SP) A altura de um triângulo
eqüilátero e a diagonal de um qua-
drado têm medidas iguais. Se a área
do triângulo eqüilátero é 16 3 m2
então a área do quadrado, em metros
quadrados, é
a) 6 c) 54 e) 150
b) 24 d) 96

24. (FEI – SP) Se os triângulos ABC e DEF
são construídos de tal maneira que: a) (360 3 ) + 700 2
DE=2 AB, EF=2 BC e DF=2AC, podemos
afirmar que a divisão da área do tri- b) (360 3 ) + 700
ângulo DEF pela área do triângulo ABC
é igual a: c) 530 3
a) 1 c) 3 e) 3 d) (180 2 ) + 350 3
b) 2 d) 4 e) (180 3 ) + 350 2

25. UFPE) Na figura a seguir CD = (3AB)/2 29. (Unicamp) Uma folha retangular de
e a área do triângulo OAB é 8. Qual o cartolina mede 35cm de largura por
valor da área do triângulo ODC? 75cm de comprimento. Dos quatro
cantos da folha são cortados quatro
quadrados iguais, sendo que o lado de
cada uma desses quadrados mede x
cm de comprimento.

a) 16 c) 9/4 e) 12
b) 18 d) 24



ANOTAÇÕES
a) Calcule a área do retângulo inici-
al.
b) Calcule x de modo que a área da
figura obtida, após o corte dos
quatro cantos, seja igual a
1.725cm2 .

30. (Unicamp) Sejam A, B, C e D os vérti-
ces de um quadrado de lado a=10cm;
sejam ainda E e F pontos nos lados AD
e DC, respectivamente, de modo que
BEF seja um triângulo eqüilátero. a) 30 c) 60 e) 120
a) Qual o comprimento do lado des- b) 50 d) 80
se triângulo?
b) Calcule a área do mesmo. 34. (Uel) Um trapézio, inscrito numa cir-
cunferência de centro O, pode ser di-
31. (Uel) No retângulo da figura a seguir, vidido em três triângulos equiláteros
aumentando-se de 6cm o lado maior e congruentes, como mostra a figura a
de 3cm o lado menor, a área aumenta seguir. Se a área do trapézio é
102cm2. O valor de x, em centíme- 27 3 cm2, então a área do círculo
tros, é limitado por essa circunferência, em
centímetros quadrados, é igual a

a) 5,5 c) 6,5 e) 7,5
b) 6,0 d) 7,0

32. (Uel) Um rolo de tela com 28m de
comprimento será totalmente apro-
veitado para cercar um jardim com
formato de setor circular como mos- a) 9π c) 25π e) 49π
tra a figura a seguir. Se a área do se- b) 16π d) 36π
tor é 40m2 e x é maior que y, então o
raio do setor é um número 35. (Uel) Na figura a seguir, o segmento
BD é a mediana relativa ao lado AC
do triângulo ABC, E e F são pontos
médios dos segmentos AD e BD ,
respectivamente.

a) divisor de 35.
b) menor que 8.
c) múltiplo de 5.
d) quadrado perfeito.
e) ímpar.
Se S é a área do triângulo ABC, então a
33. (Uel) Dois quadrados, com os lados área da região hachurada é
respectivamente paralelos, intercep- a) (1/8).S d) (5/16).S
tam-se como mostra a figura a seguir. b) (3/16).S e) (3/8).S
Se AM=MD, HM=ME e as áreas desses c) (1/4).S
quadrados são 100cm2 e 144m2, a á-
rea do quadrilátero MDNE, em centí- 36. (UFMG) Observe a figura.
metros quadrados, é igual a


39. (UFMG) Observe a figura a seguir. ANOTAÇÕES
Nessa figura, a região hachurada está
delimitada pelos arcos BC, AC e AB
das circunferências de centros A, B e
C, respectivamente, e a medida do
segmento BC é 2 . A área dessa re-
gião é

Nessa figura, o segmento AC é parale-
lo ao segmento ED, AB = BC = 3cm e
BC/ED = 2.
A área do triângulo ABE é igual a 3
cm2. A área do trapézio BCDE, em
cm2, é π - [(3 3 )/8]
a)
a) 9/2 c) 9 e) 12
b) 6 d) 11/2 b) π - [( 3 )/4]

c) π - 3
37. (UFMG) Observe a figura.
d) π + [( 3 )/4]

e) π + 3

40. (UFMG) Observe a figura a seguir.
Nessa figura, DE=HC=2 e a área do
triângulo ABC é o quádruplo da área
do triângulo CDE. A área do triângulo
CDE é

Nessa figura, AB é diâmetro do círcu-
lo de centro O e raio r=4. A reta AD é
tangente ao círculo em A, o segmento
CD é perpendicular ao segmento AD é
a medida da corda AC é 4. A área do
triângulo ADC é
a) 2 3 c) 8 3 e) 16
b) 4 d) 12 3

38. (UFMG) Observe a figura a seguir. a) (3 3 )/4 d) 2 3
Nessa figura, OA=4 3 , OB=2 3 b) (3 3 )/2 e) 3 3
e AB e AC tangenciam a circunfe- c) 3
rência de centro O em B e C.
A área da região hachurada é 41. (UFMG) Observe a figura

a) π -3

b) - 3
π -3 3 Nessa figura, a circunferência de di-
c)
âmetro OC=16 tangencia a reta OA.
d) π -2 3 Para cada ponto P sobre a circunfe-
rência, P distinto de O e C, deno-
e) π - 3



ANOTAÇÕES
te por x a medida do ângulo AÔP, on-
de 0<x< π /2.
a) Determine uma expressão para a
área do triângulo OPC em função
de x.
b) Determine os valores de x para os
quais a área do triângulo OPC se-
ja 32.
c) Determine x para que a área do
triângulo OPC seja a maior possí-
vel.

42. (Unirio) Uma placa de cerâmica com
uma decoração simétrica, cujo dese- 45. (Unaerp) A área de um triângulo re-
nho está na figura a seguir, é usada tângulo é a2, se dobrarmos a medida
para revestir a parede de um banhei- de um cateto, a área do novo triângu-
ro. Sabendo-se que cada placa é um lo será:
quadrado de 30cm de lado, a área da a) 3a2 /2
região hachurada é: b) 2a2 /3
c) 2a2
d) 3a2
e) Os dados são insuficientes para a
determinação da nova área.

46. (Mack – SP) Na figura a seguir
AD / / BC . Então a área do quadrilá-
tero ABCD é:

a) 900 – 125 π
b) 900 (4 – π )
c) 500 π – 900
d) 500 π – 225
e) 225 (4 – π )

43. (Unesp) O mosaico da figura adiante a) 24 3 . d) 30 3 .
foi desenhado em papel quadriculado
1× 1 . A razão entre a área da parte b) 26 3 . e) 32 3
escura e a área da parte clara, na re- c) 28 3 .
gião compreendida pelo quadrado
ABCD, é igual a
47. (Mack – SP) Na figura a seguir, os cír-
culos internos são iguais e a região
assinalada tem área 8( π – 2). Então a
área do círculo externo é:

a) 1/2. c) 3/5. e) 5/8.
b) 1/3. d) 5/7.

44. Unesp) O lado BC do triângulo ABC
mede 20cm. Traça-se o segmento MN, a) 20 π . c) 8 π . e) 2 π .
paralelo a BC conforme a figura, de b) 16 π . d) 4 π .
modo que a área do trapézio MNBC
seja igual a 3/4 da área do triângulo 48. (Faap – SP) Um pequeno escritório
ABC. Calcule o comprimento de MN. instalado num flat do "Residence" é
formado por duas salas quadradas
justapostas, conforme a figura a


52. (Faap – SP) Em torno de um campo de ANOTAÇÕES
seguir. A figura é uma planta simplifi- futebol, construiu-se uma pista de a-
cada. tletismo com 3 metros de largura, cu-
jo preço por metro quadrado é de R$
500,00. O custo total desta constru-
ção é:

Sabendo-se que as diagonais do re-
tângulo ABCD medem 4 5 metros, a
área total "xy" (em metros quadrados) a) R$ 300.000.00
do escritório (despreza-se a espessura b) R$ 202.530,00
das paredes) é; c) R$ 464.500,00
a) 16 c) 40 e) 36 d) R$ 502.530,00
b) 32 d) 28 e) R$ 667.030,00

49. (Faap – SP) Para a instalação de um 53. (FGV – SP) Na figura a seguir têm-se
caixa eletrônico Bradesco Dia e Noite AB é paralela a CD , AB=6cm,
(BDN), dispõe-se de uma área triangu- AD=4cm e os ângulos internos de vér-
lar de esquina com frentes de 6 me- tices A e B têm as medidas indicadas.
tros e 8 metros. As ruas formam um A área do quadrilátero ABCD, em cen-
ângulo de 75°. A área do terreno (em tímetros quadrados, é
metros quadrados) é:
a) 6 2 (1 + 3 )
b) 12 2 (1 + 3)

c) 6Ë3(1 + 2 )
d) (24 2 )/ 3
e) (6Ë3 + 1)/ 2
a) c) 4 3 e) 8 3
50. (Faap – SP) A projeção vertical da co- 3
bertura de uma Churrascaria tem a b) 2 3 d) 6 6
forma de um quadrilátero cujas dia-
gonais são perpendiculares entre si e 54. (UFPE) Na figura a seguir a circunfe-
medem 20 metros e 25 metros. A área
rência é tangente à reta l1 no ponto A
da projeção (em metros quadrados)
é: e é tangente a reta l2 no ponto B. O
a) 500 lado AD do paralelogramo ABCD mede
b) 125 6cm. Se S é a área, em cm2, da região
c) 325 interior ao paralelogramo e exterior à
d) 250 S
e) impossível determinar com os circunferência, quanto vale − π ?
dados 6

51. (Mack – SP) Na figura a seguir, pelo
ponto O, foram traçadas retas parale-
las aos lados do triângulo ABC, obten-
do-se os triângulos assinalados com
áreas 1, 4 e 9. Então a área do triân-
gulo ABC é:

a) 25. c) 49. e) 81.
b) 36. d) 64.


59. (Uel) Na figura a seguir, são dados: ANOTAÇÕES
55. (UFPE) Na figura a seguir temos um AD = 20 cm, BC = 80 cm e AB = 100
retângulo inscrito em uma circunfe- cm
rência com centro O e raio igual a
5cm. Se OP vale 3/5 do raio da cir-
cunferência, determine a área, em
cm2, do retângulo.

A medida do segmento EF, em centí-
metros, é
a) 15 c) 16,5 e) 18,5
b) 16 d) 18
56. (UFPE) Na figura a seguir o retângulo
ABCD tem área igual a 153cm£. Quan- 60. (Cesgranrio) Um cavalo deve ser a-
to mede o lado, em cm, do quadrado marrado a uma estaca situada em um
AB'C'D'? dos vértices de um pasto, que tem a
forma de um quadrado cujo lado me-
de 20m. Para que ele possa pastar em
20% da área total do pasto, o com-
primento da corda que o prende à es-
taca deve ser de, aproximadamente:
a) 1 m c) 5 m e) 10 m
b) 2 m d) 8 m

57. (Fuvest – SP) Os pontos A, B, e C são 61. (Mack – SP) Na figura, AC = BC. Então
vértices consecutivos de um hexágono a área do retângulo assinalado vale:
regular de área igual a 6. Qual a área
do triângulo ABC?

a) 1 c) 3 e) 3
b) 2 d) a) 12 c) 18 e) 24
2
b) 15 d) 20

58. (UEL) A área do triângulo equilátero 62. (Mack – SP) Na figura a seguir, AC e
OAB, representado na figura a seguir BD medem, respectivamente, 8 3
é 9 3 cm2 . A área do círculo de cen- e 5. Então a área do quadrilátero
ABCD é:
tro O e tangente ao lado AB do tri-
ângulo é, em centímetros quadrados,

a) 27 π c) 36 π e) 48 π
b) 32 π d) 42 π


2 2
a) 128 cm d) 39 cm ANOTAÇÕES
a) 30 c) 40 e) 80 b) 65 cm2 e) 60 cm2
b) 35 d) 60 c) 30 cm2

63. (Mack – SP) Na figura a seguir, o pe- 68. (ACAFE – SC) A área compreendida
rímetro do triângulo equilátero ABC é entre uma circunferência de raio a e
12 e o ponto P é médio do lado BC. um hexágono regular inscrito nesta
Então a área do triângulo AED é: circunferência é, em unidades de á-
rea:
a) a2 ( π + 3 3 )
b) a2 ( π - 3 3 )
c) a2 [ π - (2 3 )/3]
d) a2 [ π - (3 3 )/2]
e) n.d.a.

69. (Fuvest – SP) Na figura, BC é paralela
a) c) 4 e) a DE, AB = 4 e BD = 5.
3 /2 2 /2
b) 3 d) 2

64. (Faculdade Osvaldo Cruz) Para pintar
a parede indicada, com certa tinta,
gasta-se uma lata pequena de tinta
para cada 3,6m2. Para pintar a parede
inteira o número de latas necessário
é:

Determine a razão entre as áreas do tri-
ângulo ABC e do trapézio BCDE.

70. (Faap – SP) Um "out - door" retangular
tem área A=base x altura. Se a base
aumenta 50%, e a altura diminui 50%,
a) 12 c) 11 então:
b) 15 d) 1,5 a) a área não se altera.
b) a área diminuirá 25 %.
65. (Universidade Federal do Pará) c) a área aumentará 25 %.
I. Em um quadrado de perímetro d) a área aumentará 50 %.
igual a 30cm, sua área é de e) a área diminuirá 50 %.
56,25cm2
II. A área de um círculo cujos 2/5 do 71. (Unirio) A área da região hachurada
raio medem 14m é 3846m2 vale:
( π =3,14)
III. No losango, cujas diagonais so-
madas medem 175dm, sua área
será 3675dm2 se uma das diago-
nais for 2/3 da outra.
Assinale:
a) se apenas I é verdadeira.
b) se apenas III é verdadeira.
c) se apenas I e III são verdadeiras.
d) se todas as afirmações são falsas.
e) se todas as afirmativas são ver-
dadeiras.
a) 12 π - 2 d) 8 - 2 π
66. (FAAP) As bases de um trapézio são b) 16 - 2 π e) 4 - π
80cm e 60cm e sua altura 40cm. A
10cm da base maior, traça-se uma
paralela às bases, que determina dois
trapézios. Qual é a área de cada um?

67. (CEFET – RJ) A área do triângulo re-
tângulo no qual a medida da hipote-
nusa é 13cm e a de um dos catetos é
5cm é igual a:


ANOTAÇÕES
c) 9 - π

72. (Fuvest – SP) Um triângulo tem 12cm
de perímetro e 6cm2 de área. Quanto
mede o raio da circunferência inscrita Se os catetos do triângulo medem 3cm e
nesse triângulo? 4cm, então a área do quadrado, em cen-
tímetros quadrados, é igual a
73. (Fei – SP) Considerando-se o triângulo a) 169/49 d) 81/49
ABC e um segmento de reta DE para- b) 144/49 e) 25/49
lelo ao lado BC, com extremidades D c) 100/49
e E sobre os lados AB e AC respecti-
vamente, se o comprimento de DE é 79. (Cesgranrio) No futebol de salão, a
igual a um terço do comprimento de área de meta é delimitada por dois
BC e a área do triângulo ABC é de 18 segmentos de reta (de comprimento
cm2, então a área do trapézio BCDE é de 11m e 3m) e dois quadrantes de
de: círculos (de raio 4m), conforme a fi-
a) 12 cm2 d) 10 cm2 gura. A superfície da área de meta
2
b) 16 cm e) 9 cm2 mede, aproximadamente,
c) 15 cm2

74. (Fei – SP) Considerando o retângulo
ABCD e os pontos M, N, P e Q como
pontos médios dos lados AB, BC, CD e
DA, respectivamente, é válido afir-
mar-se que a área do retângulo ABCD
é:
a) o dobro da área do triângulo ABP a) 25 m2 c) 37 m2 e) 61 m2
b) o quádruplo da área do triângulo b) 34 m2 d) 41 m2
AMQ
c) o triplo da área do triângulo BCP
d) o dobro da área do triângulo BDP 80. (Unesp – SP) A área de um triângulo
e) o triplo da área do triângulo MNQ isósceles é 4 15 d m 2 e a altura desse
triângulo, relativa à sua base, mede
75. (Fei – SP) Se a área do paralelogramo 2 15 d m . 0 perímetro desse triângu-
ABCD mede x e M é um ponto do lado
lo é igual a
CD, então a área do triângulo ABM
a) 16 dm c) 20 dm e) 23 dm
mede:
b) 18 dm d) 22 dm
a) x/2 c) x/4 e) x/6
b) x/3 d) x/5
81. (Unesp) A figura foi obtida mediante
rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e
76. (Fei – SP) Se a área de um retângulo 300° aplicadas a um quadrado cujos
2
ABCD mede 72cm e se a medida do
lados medem 1dm, em torno de um
lado AB é o dobro da medida do lado
mesmo vértice desse quadrado e num
BC, então o perímetro do retângulo
mesmo sentido.
mede:
a) 36 cm c) 18 cm e) 60 cm
b) 72 cm d) 12 cm

77. (Faap – SP) Na campanha eleitoral pa-
ra as recentes eleições realizadas no
país, o candidato de um determinado
partido realizou um comício que lotou
uma praça circular com 100 metros
de raio. Supondo que, em média, ha-
via 5 pessoas/m2, uma estimativa do
número de pessoas presentes a esse
comício é de aproximadamente:
a) 78.500 d) 10.000
b) 100.000 e) 157.000
c) 127.000

78. (Fatec – SP) Na figura a seguir tem-se
um quadrado inscrito num triângulo
retângulo ABC, reto em Â.


a) 36/5 c) 44/3 e) 48/5 ANOTAÇÕES
A área da região escura é. b) 27/4 d) 48/3
a) 1 - 2tg (15°).
b) tg (30°). 86. (UnB) Na figura adiante, ABCD é um
c) 1 - 4tg (15°). paralelogramo, DQ é perpendicular à
d) 1 - tg (30°). reta que contém BC e o segmento CP
e) 1 - tg (15°). é perpendicular a AB.

82. (Fei – SP) Uma chapa metálica de
formato triangular (triângulo retângu-
lo) tem inicialmente as medidas indi-
cadas e deverá sofrer um corte reto
(paralelo ao lado que corresponde à
hipotenusa do triângulo) representado
pela linha pontilhada, de modo que
sua área seja reduzida à metade.
Quais serão as novas medidas x e y?

Com base nessas informações, julgue os
seguintes itens.
( A medida de AP é igual a 2 cm.
)
( O triângulo CDQ é semelhante ao
) triângulo BCP.
( A medida de DQ é igual a 8 cm.
)
( A área do trapézio ABQD é igual a
a) x = 30 cm, y = 20 cm ) 144 cm2.
b) x = 40 cm, y = 30 cm
87. (UFRJ) O polígono regular represen-
c) x = 30 2 cm, y = 20 2 cm tado na figura tem lado de medida
d) x = 20 2 cm, y = 30 2 cm igual a 1cm e o ângulo α mede 120°.

e) x = 90 2 cm, y = 60 2 cm

83. (Cesgranrio) Se, no trapézio retângulo
ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e
π
α = , então a sua área vale:
3
a) 3(3 + 3 /2).

b) 3(5 - 3 /2).
a) Determine o raio da circunferên-
c) 3(4 + 2 /3).
cia circunscrita.
2 /3). b) Determine a área do polígono.
d) 3(5 -
e) 6(3 - 2 /3). 88. (Ita – SP) Duas circunferências C 1 e
C 2 , ambas com 1m de raio, são tan-
84. (Ita – SP) Em um triângulo ABC, sabe-
se que o segmento AC mede 2cm. Se- gentes. Seja C 3 outra circunferência
jam α e β , respectivamente, os ân-
gulos opostos aos segmentos BC e AC.
cujo raio mede ( )
2 − 1 m e que tan-

A área do triângulo é (em cm2) igual a gencia externamente C 1 e C 2 . A á-
rea, em m2, da região limitada e ex-
a) 2se n α c o t g β + se n2α
2

terior às três circunferências dadas,
b) 2se n 2α t g β − se n2α é:
c) 2 c o s2 α c o t g β + se n2α

d) 2 c o s2 α t g β + se n2α

e) 2se n 2 α t g β − c o s2α

85. (Ita – SP) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 =
0 são retas suportes das diagonais de
um paralelogramo. Sabendo que estas
diagonais medem 4cm e 6cm, então,
a área deste paralelogramo, em cm2,
vale:



ANOTAÇÕES
2
( )
2
a) 1− π(1− ) d) 2 −1
2
1 π π 1
b) − e) ( 2− )
2 6 16 2
c) π( 2 − 1 − 1
)
a) ( π /2) + 2 d) π + 4
89. (Ita – SP) Duas circunferências de rai- b) π + 2 e) 2 π + 1
os iguais a 9m e 3m são tangentes ex- c) π + 3
ternamente num ponto C. Uma reta
tangencia estas duas circunferências
nos pontos distintos A e B. A área, em 92. (Ita – SP) Considere um triângulo i-
m2 , do triângulo ABC é: sósceles ABC, retângulo em A. Seja D
a intersecção da bissetriz do ângulo Â
a) 27 3 d) 27 2 com o lado BC e E um ponto da reta
b) (27 3 )/2 e) (27 2 )/2 suporte do cateto AC de tal modo que
c) 9 3 os segmentos de reta BE e AD sejam
paralelos. Sabendo que AD mede
2 cm, então a área do círculo ins-
90. (Unioeste) Na figura ABCDE abaixo,
tem-se: AB=1 unidade, BC=6 unida- crito no triângulo EBC é
des, AE=3 unidades e DE=2 unidades. a) π (4 - 2 3 ) cm2.
Sabendo-se, ainda, que o segmento
AB é paralelo ao segmento DE e per- b) 2 π (3 - 2 2 ) cm2 .
pendicular aos segmentos BC e AE, é c) 3 π (4 - 2 3 ) cm2 .
correto afirmar que:
d) 4 π (3 - 2 2 ) cm2 .
e) π (4 - 2 2 ) cm2.

93. (Ita – SP) Sejam r e s duas retas para-
lelas distando entre si 5 cm. Seja P
um ponto na região interior a estas
retas, distando 4 cm de r. A área do
triângulo equilátero PQR, cujos vérti-
ces Q e R estão, respectivamente, so-
(01) O polígono ABCDE é um pentágo- bre as retas r e s, é igual, em cm2, a:
no convexo.
(02) O ângulo C mede 60°. a) 3 15 c) 5 6 e) 7 15
2
(04) A área do polígono ABCDE é 7,5
unidades de área. 15 3
b) 7 3 d)
(08) A área da superfície total do sóli- 2
do gerado pela rotação do polígo-
no ABCDE em torno de BC é 94. (Ita – SP) Duas circunferências con-
(15+9 2 ) π unidades de área. cêntricas C 1 e C 2 têm raios de 6 cm
(16) O perímetro da figura formada
pelo polígono ABCDE e seu simé- e 6 2 cm, respectivamente. Seja AB
trico em relação em relação ao uma corda de C 2 , tangente à C 1 . A
eixo que passa por AB é 20+6 2 área da menor região delimitada pela
unidades corda AB e pelo arco AB mede, em
(32) O volume do sólido gerado pela cm2,
rotação de ABCDE em torno de BC a) 9 ( π - 3)
é 12 π unidades de volume. b) 18 ( π + 3)
(64) O volume do sólido gerado pela
c) 18 ( π - 2)
rotação do polígono ABCDE em
torno do segmento BC é igual ao d) 18 ( π + 2)
volume do sólido gerado pela ro- e) 16 ( π + 3)
tação do polígono ABCDE em tor-
no do segmento AB.
SOMA | |
91. (Fuvest – SP) Na figura seguinte, estão
representados um quadrado de lado
4, uma de suas diagonais e uma semi-
circunferência de raio 2. Então a área
da região hachurada é:


ANOTAÇÕES
95. (Ufrn) A figura abaixo é composta
por 16 circunferências inscritas em 16
quadrados, cujos lados medem 2 cm
de comprimento. Os segmentos de re-
tas que cortam as circunferências são
paralelos e a distância entre dois
segmentos vizinhos quaisquer é sem-
a) 11/4. c) 13/4. e) 21/4.
pre a mesma.
b) 3. d) 4.

98. (Fuvest – SP) A soma das distâncias de
um ponto interior de um triângulo
eqüilátero aos seus lados é 9. Assim,
a medida do lado do triângulo é
a) 5 3 c) 7 3 e) 9 3
b) 6 3 d) 8 3

99. (Ita – SP) Considere o triângulo de
vértices A, B e C, sendo D um ponto
A área sombreada da figura mede do lado AB e E um ponto do lado AC.
a) 6 π cm2. Se m(AB) = 8 cm, m(AC) = 10 cm,
b) 8 π cm2. m(AD) = 4 cm e m(AE) = 6 cm, a razão
c) 9 π cm2. das áreas dos triângulos ADE e ABC é
a) 1/2. c) 3/8. e) 3/4.
d) 11 π cm2.
b) 3/5. d) 3/10.
96. (Ufrn) Um monumento arquitetônico 100. (Ita – SP) Considere um losango
foi construído tendo por base as regi-
ABCD cujo perímetro mede 100 cm e
ões 1 e 2 da figura abaixo, que são cuja maior diagonal mede 40 cm. Cal-
delimitadas por duas semicircunfe-
cule a área, em cm2, do círculo ins-
rências (NFM e MFP) e um quarto de
crito neste losango.
circunferência (NGP). Sabe-se que o
valor da construção sobre a região 1
está para a área da região 1 assim
como o valor da construção sobre a
região 2 está para a área da região 2.

Se, na parte construída sobre a região
1, foram gastos R$5.000,00, podemos
afirmar que, na parte construída so-
bre a região 2, foram gastos
a) R$ 2.500,00.
b) R$ 7.500,00.
c) R$ 5.000,00.
d) R$ 10.000,00.

97. (Ufrs) Os babilônios utilizavam a
fórmula A=(a + c)(b + d)/4 para de-
terminar aproximadamente a área de
um quadrilátero com lados consecuti-
vos de medidas a, b, c, d.
Para o quadrilátero da figura a seguir,
a diferença entre o valor aproximado
da área obtido utilizando-se a fórmu-
la dos babilônios e o valor exato da
área é


79. C 80. C 81. A ANOTAÇÕES
GABARITO 82. C 83. A 84. A
01. a) b) 48 cm2 85. E 86. F V V V
3
87. a) r = b) 3 − 3
2
88. A 89. B 90. F F V V F V
F
91. B 92. D 93. B
94. C 95. A 96. C
97. C 98. B 99. D
100. 144 π c m 2

02. C 03. D
04. a) AC = 3 cm b) Área =
9
4
(2+ 3 )
2
05. 72 m 06. 4 13 dm 07. 4 dm
08. E 09. B
10. Não há variação e a área tem valor 4
5
cm2. 11.
12
( 2π − 3 )
13. a) b) 29π m2

15. B 16. a) A = 84 cm2 b) h =
8 cm
17. A 18. C
19. E 20. B 21. D
22. E 23. B 24. D
25. B 26. 34 27. 15
28. E 29. a) 2625 cm2 b) x =
15cm
30. a) 10 ( 6 − 2 cm ) b)

(
100 2 3 − 3 c m ) 2
31. D
32. C
33. A 34. D 35. E
36. A 37. A 38. C
39. C 40. C
 π 5π 
41. a) A ( x ) = 64se n(2x) b)  , 
12 12 
π
c)  
4
42. E 43. A 44. MN = 10
45. C 46. D
47. B 48. B 49. A
50. B 51. B 52. D
53. E 54. 09 55. 48 cm256.
5 cm 57. A 58. A
59. B 60. E 61. B
62. A 63. A 64. B
65. C 66. 2025 cm2 e 775 cm2
67. C 68. D 69. 16/65
70. B 71. D 72. 1 cm 73. B
74. A 75. A
76. A 77. E 78. B


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