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![7
Introdu¸c˜ao
INTRODUC¸ ˜AO
Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial
euclidiana, e pode ser visto como uma continua¸c˜ao do livro [7]. Na verdade, o que chamamos
“Fundamentos da Geometria Euclidiana” n˜ao deveria ser separado em geometria plana e
geometria espacial, pois ´e um s´o assunto, coeso. Esta separa¸c˜ao ´e apenas uma forma de
apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´atica e pr´atica.
Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e nota¸c˜oes estabelecidas
em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de
geometria euclidiana. Suporemos que todos vocˆes est˜ao familiarizados com os termos utili-zados
nesse livro. Em caso de d´uvidas, consultem-no.
Abaixo, como uma forma de refrescar a mem´oria, listamos as principais nota¸c˜oes que utili-zaremos.
Pontos serao ˜denotados por letras latinas maiusculas ´(A, B, etc.).
Retas serao ˜em geral denotadas por letras latinas minusculas ´(r, s, etc.). No caso
em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma
seta de duas pontas () sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta
determinada pelos pontos A e B sera ´denotada por
AB.
Para semirretas adotamos uma notac¸ao ˜analoga ´a `para retas, mas as demarcaremos
por uma seta com uma ponta (). Por exemplo, o s´ımbolo r denota a semirreta r;
e o s´ımbolo
AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B.
Segmentos de reta ser˜ao demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que no-meiam
os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A
e B ser´a denotado por AB. A medida de um segmento ser´a denotada pelos extremos
do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB ´e AB.
ˆAngulos ser˜ao denotados pelo s´ımbolo . Por exemplo, um ˆangulo chamado ser´a
denotado por ; e um ˆangulo determinado por trˆes pontos A, B, C, com origem
em B, ser´a denotado por ABC. A medida de um ˆangulo , por exemplo, ser´a
denotada por m().
Os nossos novos elementos, os planos, ser˜ao denotados, como manda a tradi¸c˜ao, por
letras gregas min´usculas (, , , etc.). N˜ao h´a perigo de confundir uma letra grega
que represente um plano com a mesma que denote um ˆangulos, pois a segunda sempre
vir´a acompanhada com o s´ımbolo .
Para facilitar a consulta de vocˆes listamos no apˆendice A os axiomas da geometria plana
euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸c˜oes b´asicas.
5
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![aula 1: O Espaço 11
AULA1: O ESPAC¸O
OBJETIVOS
Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana no
espa¸co. Apresentar os axiomas de “incidˆencia” e algumas de suas consequˆencias.
1.1 Introdu¸c˜ao
Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espa¸co”: ´e o ambi-ente
em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo,
o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui trˆes dimens˜oes, uma a mais que o mundo
plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos
neste tal espa¸co. Pois bem, um conceito aparentemente t˜ao simples na verdade esconde uma
complexidade filos´ofica, f´ısica e matem´atica que n˜ao imaginamos1. Neste curso n˜ao vamos
discutir estas profundas quest˜oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se
faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´atico.
Figura 1.1
Nosso ponto de partida neste curso, como j´a o dissemos na Introdu¸c˜ao, ´e o texto [7], onde
apresentamos um modelo axiom´atico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a
todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆes.
Antes de come¸carmos, vamos abordar um problema pr´atico que se tem quando estudamos
geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-guras
planas ´e f´acil, pois as p´aginas de um livro, por exemplo, s˜ao boa representa¸c˜ao de um
plano. Desenhar figuras que vivem no espa¸co, por outro lado, representa um desafio, j´a que
os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imagina¸c˜ao dos
leitores ser´a muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos
mostrar alguns exemplos.
Para come¸car, representaremos um plano no espa¸co em geral como na figura 1.1 (na ver-dade,
uma “por¸c˜ao” de um plano – use a imagina¸c˜ao!). Usaremos, em geral, letras gregas
min´usculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por .
1O leitor interessado poder´a estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espa¸co: a hist´oria das teorias do
espa¸co na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.
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![aula 1: O Espaço 13
1.2 Elementos primitivos e axiomas
Em [7] apresentamos os trˆes elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e
o plano. Quando passamos para o espa¸co “aumentamos” uma “dimens˜ao geom´etrica”, isto
´e, passamos a ver um universo onde temos v´arios planos, todos essencialmente c´opias de
um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista
formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos
primitivos ser˜ao os pontos, as retas, os planos (no plural, e n˜ao mais no singular!) e o
espa¸co. Mas aten¸c˜ao! Esta n˜ao ´e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos –
geometria plana e geometria espacial – por quest˜oes did´aticas, mas s˜ao todas partes de um
conjunto ´unico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam v´alidos,
inclusive os axiomas.
Em [7] apresentamos um sistema axiom´atico da geometria plana dividido em seis grupos
(veja o apˆendice A):
Grupo I: axiomas de incidˆencia.
Grupo II: axiomas de m´etrica na reta e ordem na reta e no plano.
Grupo III: axiomas de medidas de ˆangulos.
Grupo IV: axiomas de congruˆencia de triˆangulos.
Grupo V: axioma das paralelas.
Grupo VI: axiomas sobre ´areas de figuras planas.
Para estudarmos a geometria no espa¸co precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta
opera¸c˜ao n˜ao ser´a muito traum´atica, pois a ´unica modifica¸c˜ao (na verdade uma extens˜ao) que
precisa ser feita ´e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-rela¸c˜oes entre os elementos
primitivos que agora incluem planos e o espa¸co.
Os trˆes axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como est˜ao, apenas trocando-se a
palavra plano por espa¸co.
Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espa¸co passa uma e somente uma reta.
Observa¸c˜ao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´etrica estabelecida em [7].
Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos
distintos do espa¸co ent˜ao existe apenas uma reta que os cont´em.
Axioma I.2. Toda reta do espa¸co possui pelo menos dois pontos distintos.
Axioma I.3. O espa¸co cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a
uma mesma reta.
Em seguida precisamos estabelecer condi¸c˜oes an´alogas `as dadas nos axiomas I.1 e I.2 para
planos – isto ´e as condi¸c˜oes de determina¸c˜ao de um plano por pontos, e o fato de planos
serem conjuntos n˜ao vazios do espa¸co. Primeiro observe o que nossa experiˆencia nos traz:
se vocˆe toma um banco com trˆes pernas e o coloca no ch˜ao, ver´a que ele n˜ao claudica (veja
figura 1.4).
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![AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸O
OBJETIVOS
Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Analisar, com cuidado,
as seguintes propriedades: separa¸c˜ao do espa¸co em semiespa¸cos, congruˆencias no espa¸co, e
paralelismo de retas no espa¸co.
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 21
2.1 Introdu¸c˜ao
Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espa¸co, e os axiomas
que regem as inter-rela¸c˜oes entre pontos, retas, planos e o espa¸co, chamados axiomas de
incidˆencia. Estes s˜ao, essencialmente, os ´unicos axiomas que precisam ser modificados em
rela¸c˜ao a um sistema axiom´atico para a geometria plana. Os outros, como j´a o dissemos,
permanecem v´alidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos
algumas consequˆencias.
2.2 Separa¸c˜ao do espa¸co: semiespa¸cos
Vamos come¸car estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-trodu
¸c˜ao acima:
Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], s˜ao
v´alidos na geometria espacial, salvo algumas adapta¸c˜oes.
Queremos dizer com este axioma que todas as afirma¸c˜oes sobre propriedades da geometria
plana s˜ao v´alidas no espa¸co, com as devidas adapta¸c˜oes. Vamos ent˜ao “passar os olhos” nos
axiomas apresentados em [7], chamando a aten¸c˜ao para os pontos mais complicados.
Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta
e de semirretas. Estas propriedades s˜ao transcritas automaticamente para o espa¸co, como
se pode ver facilmente.
Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiz´a-los no espa¸co.
O axioma II.6, que trata da separa¸c˜ao de um plano em semiplanos por retas, ser´a analisado
com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.
Figura 2.1: – Axioma II.6
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![Axioma II.6. Toda reta l em um plano determina exatamente dois subconjuntos
l e ˜l de , denominados semiplanos de em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes
propriedades:
(a) todos os pontos de est˜ao contidos em l ˜l;
(b) l ˜l = l;
(c) dois pontos A e B de n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano de em
rela¸c˜ao a l se e somente se AB l = ;
(d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos de em
rela¸c˜ao a l se e somente se AB l .
Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7]
e aponte as diferen¸cas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros
axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.
Na figura 2.1 representamos dois planos e no espa¸co. Eles s˜ao cortados pelas retas l
e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano , por
exemplo, os pontos A e B est˜ao do mesmo lado1 em rela¸c˜ao a l, e os pontos B e C est˜ao em
lados opostos.
Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado
est˜ao em cada plano e , em rela¸c˜ao `as retas l e s, respectivamente.
Situa¸c˜ao an´aloga `a descrita no axioma II.6 vale no espa¸co, isto ´e, um plano determina no
espa¸co dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes `as propriedades descritas
neste axioma. No entanto, esta propriedade n˜ao precisa ser estabelecida como um axioma,
mas ´e consequˆencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.
22 Fundamentos de geometria espacial
Figura 2.2: – Separa¸c˜ao do Espa¸co
Teorema 2.1 (Separa¸c˜ao do espa¸co). Todo plano do espa¸co determina exatamente dois
subconjuntos n˜ao vazios E e E
do espa¸co, denominados semiespa¸cos em rela¸c˜ao a ,
satisfazendo as seguintes propriedades:
(a) todos os pontos do espa¸co est˜ao contidos em E E
;
1Lembramos que os lados de um plano em rela¸c˜ao a uma reta l s˜ao os conjuntos l e ˜ l, na
nota¸c˜ao do axioma II.6, onde o s´ımbolo “” – vale a pena recordar – significa diferen¸ca de conjuntos.
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![(b) E E
= ;
(c) dois pontos A e B do espa¸co n˜ao pertencentes a est˜ao num mesmo semiespa¸co em
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 23
rela¸c˜ao a se e somente se AB = ;
(d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a est˜ao em semiespa¸cos distintos (ou opostos)
em rela¸c˜ao a se e somente se AB .
N˜ao demonstraremos este teorema agora – sua demonstra¸c˜ao, cuja leitura ´e opcional, ser´a
apresentada na ´ultima se¸c˜ao desta aula – mas ´e preciso compreender bem o seu significado.
Para explic´a-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, an´aloga `a que vocˆes j´a viram
num curso de geometria plana em rela¸c˜ao a semiplanos:
Defini¸c˜ao 2.2. Se ´e um plano do espa¸co, o conjunto dos pontos de um semiespa¸co
determinado por que n˜ao est˜ao contidos em ´e um lado do espa¸co em rela¸c˜ao a . Os
lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ao chamados de lados opostos em
rela¸c˜ao a .
Na figura 2.2 representamos a situa¸c˜ao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C est˜ao de
um mesmo lado do plano , enquanto que os pontos A e B, e A e D est˜ao em lados opostos.
Usando estes dados podemos concluir que CB . De fato, se CB = , ent˜ao, pelo
item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao
a . Ora, ent˜ao C est´a no mesmo semiespa¸co que A e no mesmo semiespa¸co que B, que
s˜ao semiespa¸cos distintos. Logo C pertence a ambos E e E
, contrariando o item (b) do
teorema, j´a que estamos supondo (implicitamente) que C .
Problema 2.4. Prove, adaptando a argumenta¸c˜ao apresentada no par´agrafo precedente que,
seguindo os dados representados na figura 2.2, BD = .
2.3 ˆAngulos e congruˆencia no espa¸co
Definimos em [7] um ˆangulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem
comum. Esta defini¸c˜ao n˜ao apresenta nenhum problema quando passamos a vˆe-la do ponto
de vista do espa¸co. No entanto devemos nos lembrar que ˆangulos s˜ao essencialmente objetos
planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:
Figura 2.3: – Proposi¸c˜ao 2.3
Proposi¸c˜ao 2.3. Todo ˆangulo no espa¸co determina um ´unico plano.
Problema 2.5. Demonstre a proposi¸c˜ao 2.3 (a figura 2.3 d´a uma dica de como resolver
este problema).
Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regi˜ao angular. Para deixar
isto claro, transcrevemos a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7] com as devidas
modifica¸c˜oes.
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![Defini¸c˜ao 2.4. A regi˜ao angular determinada por um ˆangulo (n˜ao trivial) A = BAC ´e
o subconjunto
24 Fundamentos de geometria espacial
RA = l r,
onde ´e o plano determinado por A, B e C, l =
AB, r =
AC, l ´e o semiplano de relativo
a l que cont´em o ponto C, e r ´e o semiplano de relativo a r que cont´em o ponto B.
Os pontos pertencentes a RA que n˜ao pertencem aos lados de A s˜ao denominados pon-tos
interiores a A, e os pontos que n˜ao pertencem a RA e nem aos lados de A s ˜ao
denominados pontos exteriores a A.
Se D ´e um ponto interior a A dizemos que
AD divide ou separa o ˆangulo A.
Problema 2.6. Compare a defini¸c˜ao acima com a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada
em [7], apontando as diferen¸cas, e fa¸ca um desenho.
Observa¸c˜ao 2.1. As defini¸c˜oes de ˆangulo adjacente, ˆangulo raso e ˆangulo suplementar
tamb´em s˜ao todas relativas ao plano determinado pelo ˆangulo em quest˜ao, ou seja, s˜ao
objetos planos.
Se prestarmos aten¸c˜ao na defini¸c˜ao 2.4 e na observa¸c˜ao acima vemos que os axiomas III.1 e
III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ˆangulos no plano – vistos em [7], s˜ao v´alidos
no espa¸co sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa
de ser reescrito, como se segue.
Axioma III.3. Para toda semirreta
AB, todo n´umero real a tal que 0 a 180, e cada
plano contendo
AB existem exatamente duas semirretas
AD l e
AD ˜l tais que
m(BAD) = m(BAD) = a,
onde l =
AB e l, ˜l s˜ao semiplanos de em rela¸c˜ao a l.
Figura 2.4: – Axioma III.3
Na figura 2.4 representamos a situa¸c˜ao descrita no axioma III.3. No plano temos os pontos
D e D em lados opostos da reta l =
AB como no axioma III.3, isto ´e, tais que
m(BAD) = m(BAD) = a,
para um dado n´umero a com 0 a 180. Analogamente fica garantida a existˆencia de dois
pontos P e P num outro plano passando por l, com
m(BAP) = m(BAP) = a.
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![Figura 2.5: – Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos
Fechamos esta se¸c˜ao com algumas observa¸c˜oes sobre congruˆencias. No sistema axiom´atico
de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruˆencia na ideia de medida.
Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a
geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-ˆangulo-lado”
(LAL) de congruˆencia de triˆangulos ´e v´alido tamb´em ao se comparar triˆangulos em
planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triˆangulos ABC e PQR
nos planos e , respectivamente, tais que
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 25
AB PQ
ABC PQR
BC QR
(LAL)
Nestas condi¸c˜oes, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos tem-se que ABC PQR.
Vamos agora resolver um problema de congruˆencia no espa¸co no exemplo a seguir.
Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D s˜ao pontos n˜ao coplanares, e que B,
C e D est˜ao no plano . Se AB BC, AB BD e BC BD, demonstre que AC AD.
A
B
C
D
Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7
Soluc¸˜ao: Os triˆangulos ABD e ABC s˜ao congruentes pelo caso LAL, pois
AB AB Lado comum aos triˆangulos;
ABD ABC ˆ Angulos retos, por hip´otese;
BD BC Lados congruentes, por hip´otese.
(LAL)
Logo os lados AD e AC s˜ao congruentes.
Resolva vocˆe o problema seguinte.
Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referˆencia, suponha que DAB
CAB, AB BD e AB BC. Nestas condi¸c˜oes, prove que AD AC.
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![2.4 O axioma das paralelas no espa¸co
Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano s˜ao retas que n˜ao tˆem pontos em comum.
No espa¸co, por´em, temos outra situa¸c˜ao em que retas n˜ao tˆem pontos em comum, as retas
reversas:
26 Fundamentos de geometria espacial
Figura 2.7: – Retas reversas
Defini¸c˜ao 2.5. Duas retas no espa¸co s˜ao reversas se n˜ao est˜ao contidas em um mesmo
plano.
Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustra¸c˜oes que as retas s˜ao
reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos
expressar a ideia de que a reta r passa “por tr´as” da reta l em rela¸c˜ao `a nossa vis˜ao.
Problema 2.8. Como vocˆe demonstraria a existˆencia de retas reversas? Isto ´e, tome uma
reta r e um ponto P r e prove que por P passam retas reversas a r.
Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A r e B s e sejam o plano
determinado por r e B, e o plano determinado por s e A. Desenhe a situa¸c˜ao descrita e
diga quem ´e .
A defini¸c˜ao de retas paralelas fica assim:
Figura 2.8: – Retas paralelas
Defini¸c˜ao 2.6. Duas retas r e l no espa¸co s˜ao paralelas se s˜ao coplanares e n˜ao possuem
pontos em comum. Denotaremos esta rela¸c˜ao, como ´e tradicional, por r l.
O axioma das paralelas continua valendo.
Axioma V. Dada uma reta no espa¸co, por cada ponto que n˜ao lhe pertencente passa,
no m´aximo, uma reta paralela a ela.
Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existˆencia de retas
paralelas. Este fato (e sua demonstra¸c˜ao) s˜ao v´alidos no espa¸co. ´E
preciso apenas ter um
pequeno cuidado a mais.
Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Ent˜ao existe uma ´unica
reta s passando por P e paralela a r.
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![Demonstrac¸˜ao. Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano: seja o plano
determinado por r e P, e tome s a reta paralela a r passando por P, cuja existˆencia ´e
garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.
Problema 2.10. Reveja a demonstra¸c˜ao da existˆencia de retas paralelas em um texto de
fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.
Duas retas paralelas determinam um ´unico plano. Vamos registrar este fato como uma
proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um ´unico plano.
Demonstrac¸˜ao. Observe que, por defini¸c˜ao, as retas paralelas r e l est˜ao contidas em um
plano . Suponha que exista um outro plano contendo r e l. Se P ´e um ponto de l,
ent˜ao ´e determinado por r e P. Mas tamb´em ´e determinado por r e P donde, pelo
problema 1.3, = .
V´arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co.
Uma das mais importantes ´e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja
demonstra¸c˜ao ser´a apresentada na se¸c˜ao 2.5.
Aula 2 – Mais propriedades do espaço 27
t
r
s
Figura 2.9: – Teorema 2.9
Teorema 2.9. Se r, s e t s˜ao retas tais que r s e s t ent˜ao r t.
Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ao deste teorema.
Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadril´atero
qualquer ABCD num plano, os pontos m´edios de seus lados s˜ao v´ertices de um paralelo-gramo.
O mesmo resultado vale se os v´ertices do quadril´atero n˜ao s˜ao coplanares (veja a
figura 2.10)
De fato, tome 4 pontos A, B, C e D n˜ao coplanares, e seja o plano determinado por A, B
e D. Sejam M, N, P e Q os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
Ent˜ao temos, no triˆangulo ABD, que
MP BD e MP = BD
2
.
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![28 Fundamentos de geometria espacial
A
B
D
C
O
N
P
M
Figura 2.10: – Exemplo 2.2
Analogamente, no triˆangulo BCD temos
ON BD e ON = BD
2
.
Assim temos que
(i) MP BD e ON BD MP ON, pelo teorema anterior. Em particular,
MP e
ON s˜ao coplanares, ou seja, os quatro pontos m´edios pertencem a um mesmo plano.
(ii) MP ON.
Provamos ent˜ao que MNOP ´e um quadril´atero contido num plano com dois lados paralelos
e congruentes, donde ´e um paralelogramo.
Problema 2.11. Reveja as demonstra¸c˜oes dos fatos sobre paralelogramos utilizados no
exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.
2.5 Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 2.1 e 2.9
Apresentamos nesta se¸c˜ao as demonstra¸c˜oes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura ´e opcional.
Come¸camos pelo teorema 2.1.
Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.1) Sejam um plano e P um ponto (existe o ponto
P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos E e E
e provar que satisfazem as
propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.
(1) Definamos E e E
da seguinte forma:
E = pontos X do espa¸co tais que XP = {P}
E
= pontos X do espa¸co tais que XP
Observe que E , pois P E. Para verificar que E
tome Q (pelo axioma
I.5) e na reta
PQ tome R tal que P −Q − R2. Assim R E
(veja figura 2.11).
2Lembramos que em [7] usamos a nota¸c˜ao P − Q − R para indicar que o ponto Q est´a entre P e R, isto ´e,
que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existˆencia de R ´e garantida pelo
axioma II.3 de [7].
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![30 Fundamentos de geometria espacial
P
A
l
B
(a)
P
A
l
B
(b)
P
(d)
P
l
A
B
(c)
A
B
Figura 2.12
A an´alise de (d) ´e inteiramente an´aloga `a realizada para (c) bastando trocar a express˜ao
“n˜ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos este
exerc´ıcio ao leitor.
Agora passamos `a demonstra¸c˜ao do teorema 2.9.
t
Q
l
P
r
s
Figura 2.13: – Demonstra¸c˜ao do teorema 2.9
Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t s˜ao coplanares j´a foi provado
em [7]. Vamos estudar ent˜ao o caso em que as trˆes retas n˜ao s˜ao coplanares. Acompanhe os
passos abaixo na figura 2.13.
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![46 Fundamentos de geometria espacial
Figura 4.2
No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem concorrentes nem paralelas.
Como poder´ıamos medir o ˆangulo entre elas? Bem, poder´ıamos fazer o seguinte: “colocar”
uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s s˜ao reversas,
tomamos, por exemplo, s uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medida
do ˆangulo entre r e s como sendo a medida do ˆangulo entre r e s. A ideia parece boa?
Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas
auxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r for uma reta paralela a r e concorrente
com s, ser´a que m((r, s)) = m((r, s))? De fato, isto acontece, como enunciamos em
nosso pr´oximo teorema (veja a figura 4.2).
Teorema 4.1. Sejam r, s e r, s dois pares de retas concorrentes tais que r r e s s.
Ent˜ao m((r, s)) = m((r, s)).
Figura 4.3
Na figura 4.3 representamos a situa¸c˜ao do teorema 4.1. Temos, na figura, que a = (r, s)
e b = (r, s) onde r r e s s. O teorema nos diz ent˜ao que a b. Procure
entender bem o significado deste teorema, que ´e bem intuitivo. A sua demonstra¸c˜ao, de
leitura opcional, ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.5.
Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r e s s˜ao coplana-res.(
Sugest˜ao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].)
Corol´ario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r r e s s s˜ao retas tais que r ´e
concorrente a s e s ´e concorrente a r, ent˜ao
m((r, s)) = m((r, s)).
Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corol´ario acima (veja a figura 4.2).
Agora podemos definir a medida de ˆangulos entre retas reversas.
Defini¸c˜ao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espa¸co. Definimos a medida do ˆangulo
entre r e s, denotada por m((r, s)), como sendo m((r, s)), onde s ´e uma reta paralela
a s e concorrente a r.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 46 28/01/2013 11:09:35](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-46-320.jpg)
![AUla 5: As Ângulos entre planos 59
AULA5: ˆANGULOS ENTRE PLANOS
OBJETIVOS
Introduzir o conceito de ˆangulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismo
entre planos.
5.1 Introdu¸c˜ao
Na aula anterior estudamos um pouco sobre ˆangulos entre retas no espa¸co, e tamb´em es-tudamos
perpendicularismo entre retas e planos. A pr´oxima etapa ´e estudar ˆangulos entre
retas e planos e ˆangulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “ˆangulo” no espa¸co
inteiramente an´alogo ao de ˆangulo no plano, um “ˆangulo” cujos lados s˜ao semiplanos.
5.2 ˆAngulos entre planos: diedros
Em [7] definimos um ˆangulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, de
maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto ´e, podemos “tridimensi-onalizar”
o ˆangulo determinado por semirretas. Chamamos a vers˜ao de ˆangulo para planos
de diedro, conforme a defini¸c˜ao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposi¸c˜ao,
indicaremos semiplanos com um sinal de chap´eu; por exemplo, ˆ indica um semiplano do
plano .
ˆ
ˆ
l
Figura 5.1
Defini¸c˜ao 5.1. Um diedro1 ´e a uni˜ao de dois semiplanos com a mesma reta de origem.
Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro s˜ao suas faces, e a reta comum aos
semiplanos a sua aresta.
O diedro determinado pelos semiplanos ˆ e ˆ ser´a denotado por (ˆ, ˆ ), onde ˆ e ˆ s ˜ao
suas faces.
Um bom modelo de diedro ´e um livro ou caderno aberto parcialmente. As p´aginas opos-tas
s˜ao suas faces, e a sua aresta ´e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1
representamos um diedro formado pelos semiplanos ˆ e ˆ com aresta l.
1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face.
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![70 Fundamentos de geometria espacial
Figura 6.1
Problema 6.1. Sejam A, e P como na defini¸c˜ao 6.2, com A . Mostre que dist(A,) =
AP AQ para todo ponto Q distinto de P. (Sugest˜ao: na figura 6.1 o triˆangulo APQ
´e retˆangulo)
Passemos agora ao estudo de distˆancia entre planos. Lembremos a defini¸c˜ao de distˆancia
entre retas num plano:
Defini¸c˜ao 6.3. A distˆancia entre duas retas r e s coplanares ´e o n´umero dist(r, s) definido
da seguinte maneira:
(i) dist(r, s) = 0 se r e s s˜ao concorrentes;
(ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A r, se r e s s˜ao paralelas.
Traduzimos facilmente esta defini¸c˜ao para o caso de distˆancia entre planos:
Defini¸c˜ao 6.4. A distˆancia entre dois planos e ´e o n´umero dist(, ) definido da
seguinte maneira:
(i) dist(, ) = 0 se e s˜ao concorrentes;
(ii) dist(, ) = dist(A, ) para algum ponto A , se e s˜ao paralelos.
Figura 6.2
A propriedade que garante que a defini¸c˜ao acima ´e “boa”, isto ´e, que tem um sentido
adequado, ´e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente an´aloga `a que garante
o bom sentido da defini¸c˜ao 6.3 (veja [7]).
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![6.4 Alguns lugares geom´etricos
Nesta se¸c˜ao vamos apresentar alguns lugares geom´etricos. Lembramos que um lugar geom´etrico
´e, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espa¸co) que satisfazem a alguma pro-priedade
preestabelecida. Come¸camos mostrando que os planos bissetores s˜ao, em verdade,
lugares geom´etricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro de
geometria plana, como [7]).
Problema 6.6. Seguindo as nota¸c˜oes da figura 6.5, mostre que o lugar geom´etrico dos
pontos equidistantes de e ´e justamente a uni˜ao dos planos bissetores 1 e 2.
Soluc¸˜ao. Novamente uma propriedade an´aloga `a de bissetrizes, que recordamos aqui: o
lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes ´e justamente a uni˜ao
das bissetrizes dos ˆangulos por elas formados. E a t´atica para resolver o problema ´e a mesma
do problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.
PH . Reduzimos assim o problema ao caso de um ˆangulo plano. A situa¸c˜ao ´e ilustrada
na figura 6.7, onde representamos o plano e os elementos acima descritos. Observe que s1
´e a bissetriz de um dos ˆangulos determinados por a e b, e que
74 Fundamentos de geometria espacial
Figura 6.7
Primeiro provemos que se P 1 2 ent˜ao dist(P,) = dist(P, ). Sem perda de generali-dade,
tomemos P 1. Seja o plano passando por P e perpendicular `a reta l, na qual se
cortam os planos e . Usando as nota¸c˜oes do problema 6.5, tomamos
a = , b = , s1 = 1 e s2 = 2.
Sejam G a e H b tais que PG a e PH b. Temos que, como e , ent˜ao
PG
e
dist(P,) = PG, dist(P, ) = PH,
donde, pelo resultado j´a conhecido num plano, PG = PH, ou seja,
dist(P,) = dist(P, ).
Passemos `a rec´ıproca, isto ´e, provemos que se P ´e um ponto equidistante de e , ent˜ao
P 1 2. Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regi˜oes diedrais
determinadas por e (em outras palavras, P n˜ao pode pertencer a nenhum dos dois
planos – justifique esta afirma¸c˜ao). Tome ent˜ao o plano passando por P e perpendicular
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 74 28/01/2013 11:09:44](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-74-320.jpg)
![aula 7 : Volumes de poliedros 85
AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS
OBJETIVOS
Introduzir o conceito de volumes de s´olidos geom´etricos, mais especificamente de regi˜oes
poliedrais. Apresentar um sistema de princ´ıpios que estabele¸ca com rigor adequado este
conceito; neste sistema inclui-se o Princ´ıpio de Cavalieri. Calcular o volume de alguns
s´olidos apresentados na aula anterior.
7.1 Introdu¸c˜ao
Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns s´olidos. O
procedimento ´e an´alogo ao que foi feito para apresentar o conceito de ´area de figuras planas
em [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espa¸co. Este
“tanto” ´e o que chamaremos de volume1.
Figura 7.1
Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelep´ıpedo cujas arestas medem
8, 4 e 4. Cortamos ent˜ao o paralelep´ıpedo com v´arios planos paralelos, formando pequenos
cubos de aresta 1. Ent˜ao o paralelep´ıpedo ´e formado de 8 × 4 × 4 = 128 destes cubos.
Assim poder´ıamos dizer que o “tanto” (= volume) que o paralelep´ıpedo ocupa no espa¸co ´e
equivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 ´e 1,
ent˜ao o volume do paralelep´ıpedo seria 128.
No exemplo acima apresentamos um paralelep´ıpedo cujas arestas tˆem comprimentos inteiros.
E se n˜ao for assim? Bem, se as arestas possu´ıssem comprimentos racionais, ainda seria
poss´ıvel dividir o paralelep´ıpedo em cubos iguais com lados racionais. Por exemplo, se as
arestas medissem 34, 57 e 23, ent˜ao podemos dividi-lo em 3 × 5 × 2 = 30 cubos de aresta
184 (verifique!); e ent˜ao poder´ıamos dizer que o volume do paralelep´ıpedo corresponde ao
volume de 30 cubos de aresta 184, ou que o seu volume ´e 3084 = 521. Se as arestas do
paralelep´ıpedo n˜ao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproxima¸c˜oes racionais
destas medidas e, atrav´es de um processo de limite, mostrar que ´e razo´avel afirmar que o
volume de um paralelep´ıpedo ´e dado pelo produto das medidas de suas arestas.
E como poder´ıamos fazer para medir o volume de figuras mais gerais, como prismas que n˜ao
sejam paralelep´ıpedos, pirˆamides, etc.? Poder´ıamos “aproximar” a figura atrav´es de blocos
1Deixaremos, daqui por diante, a palavra “volume” em it´alico, at´e que apresentemos este conceito com mais
precis˜ao.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 85 28/01/2013 11:09:48](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-85-320.jpg)
![86 Fundamentos de geometria espacial
Figura 7.2
de paralelep´ıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atrav´es de um processo de limite,
aumentando o n´umero de paralelep´ıpedos, calcular o volume da figura2. No entanto n˜ao
utilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princ´ıpio de
Cavalieri, que introduziremos mais adiante.
Para finalizar esta introdu¸c˜ao chamamos a aten¸c˜ao para o seguinte: poder´ıamos apresentar
o conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de ´area de figuras
planas, utilizando uma s´erie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalhar
de forma mais intuitiva pois, caso contr´ario, o assunto atinge complica¸c˜oes que est˜ao al´em
de um texto introdut´orio como este.
7.2 Volume de regi˜oes poliedrais
Como j´a dissemos na introdu¸c˜ao, n˜ao daremos neste texto um tratamento completamente
formal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta se¸c˜ao, apresentar
de maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri-edades
que o volume de regi˜oes poliedrais deve satisfazer com o t´ıtulo de princ´ıpios, e n˜ao
de axiomas, como seria usual.
Figura 7.3
A primeira pergunta que surge ´e: o que ´e, de fato, uma regi˜ao poliedral? Podemos definir este
conceito de maneira inteiramente an´aloga `a defini¸c˜ao usual de regi˜ao poligonal3: uma regi˜ao
poliedral ´e uma uni˜ao finita de tetraedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum, onde os
2O leitor atento pode perceber que este procedimento nada mais ´e do que uma forma de c´alculo integral.
3Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como s˜ao definidas regi˜oes poligonais
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 86 28/01/2013 11:09:49](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-86-320.jpg)
![pontos interiores de um tetraedro s˜ao os pontos do espa¸co que pertencem simultaneamente
a todas as seis regi˜oes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frente
utilizaremos o termo poliedro no sentido de regi˜ao poliedral.
Todas as figuras espaciais apresentadas na se¸c˜ao 6.5 da aula anterior, `a exce¸c˜ao dos triedros,
podem ser seccionadas em um n´umero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos uma
divis˜ao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divis˜ao de um octaedro em quatro
tetraedros.
aula 7 : Volumes de poliedros 87
Figura 7.4
Nosso primeiro princ´ıpio ´e o da existˆencia:
Princ´ıpio da Existˆencia do Volume. A cada regi˜ao poliedral R est´a associado um
´unico n´umero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R.
Se um poliedro ´e seccionado em v´arios poliedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum4,
´e natural assumir que o volume do poliedro ´e igual `a soma dos volumes dos poliedros em
que foi seccionado.
Princ´ıpio da Soma de Volumes. Se o poliedro R se decomp˜oe na forma
R = R1 R2 . . . Rn,
onde Ri s˜ao poliedros que n˜ao possuem pontos interiores em comum, ent˜ao
V(R) = V(R1) + V(R2) + . . . + V(Rn).
Precisamos agora dar uma “referˆencia” para o c´alculo de volumes. No caso de ´areas a
referˆencia utilizada em geral ´e a ´area de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). No
espa¸co o natural ´e utilizar paralelep´ıpedos retangulares, como foi discutido na introdu¸c˜ao.
Princ´ıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelep´ıpedo retangular ´e
o produto dos comprimentos de suas trˆes arestas n˜ao paralelas que se encontram em um
mesmo v´ertice.
Na figura 7.5 representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo cujo volume ´e V = a.b.h, pelo
princ´ıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h.
4N˜ao definimos formalmente o que s˜ao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que s˜ao pontos interiores
de tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro ´e um ponto interior de um dos
tetraedros que o comp˜oe.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 87 28/01/2013 11:09:49](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-87-320.jpg)
![APˆENDICE A: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA
Listamos neste apˆendice todos os axiomas e algumas defini¸c˜oes b´asicas apresentados em [7],
para facilitar a consulta dos leitores.
A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidˆencia
Axioma I.1. Se A e B s˜ao dois pontos distintos do plano, ent˜ao existe uma e uma ´unica
reta l tal que A e B pertencem a l.
Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos.
Axioma I.3. O plano cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a uma
mesma reta.
A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: m´etrica e ordem na
Apêndices: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA 115
reta
Axioma II.1. Para cada par de pontos A, B do plano existe um ´unico n´umero real asso-ciado,
denotado por AB, satisfazendo as propriedades:
(a) AB 0;
(b) AB = 0 se e somente se A = B;
(c) AB = BA.
Defini¸c˜ao A.1. A distˆancia entre dois pontos A e B do plano ´e o n´umero AB postulado
no axioma II.1.
Defini¸c˜ao A.2. Dados dois pontos A e B diremos que um ponto C est´a entre A e B se:
(a) C
AB;
(b) AB = AC + BC.
Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por A − C − B.
Axioma II.2. Se A, B e C s˜ao trˆes pontos alinhados, ent˜ao um deles est´a entre os outros
dois.
Defini¸c˜ao A.3. O conjunto
dos pontos que est˜ao entre dois pontos A e B, incluindo estes,
´e um segmento (da reta
AB), e ser´a denotado por AB, ou seja,
AB = {pontos C tais que A − C − B} {A,B}.
Os pontos A e B s˜ao os extremos de AB, e qualquer outro ponto do intervalo distinto de seus
extremos ´e um ponto interior de AB. Analogamente, todo ponto do plano que n˜ao pertence
a AB ´e um ponto exterior ao segmento. O comprimento ou medida do segmento AB ´e a
distˆancia entre os seus extremos, ou seja, ´e o n´umero AB.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 115 28/01/2013 11:10:00](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-115-320.jpg)
![RReeffeerrˆeˆenncicaisas Bibliogr´aficas
[1] J. L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Rio de Janeiro, 1985.
[2] P. C. P. Carvalho, Introdu¸c˜ao `a Geometria Espacial, 4a ed., SBM, Rio de Janeiro,
2005.
[3] O. Dolce J. N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 9: Geome-tria
Plana, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 1990.
[4] O. Dolce J. N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 10: Geo-metria
Espacial, posi¸c˜ao e m´etrica, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 2005.
[5] F. L. Downs, Jr. E. E. Moise, Geometria Moderna, 2 volumes, Ed. Edgar Blucher,
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119
Reefrêacins 119
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 119 28/01/2013 11:10:01](https://image.slidesharecdn.com/fundamentosdegeometriaespacial-sergio-02-141028100838-conversion-gate01/85/Fundamentos-de-geometria_espacial-sergio-02-119-320.jpg)
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Fundamentos de geometria_espacial-sergio-02
- 1. Fundamentos de GeometriaEspacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 1 28/01/2013 11:09:19
- 2. Fundamentos de GeometriaEspacial.indd 2 28/01/2013 11:09:21
- 3. Paulo Antônio FonsecaMachado Fundamentos de Geometria Espacial Belo Horizonte CAED-UFMG 2013 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 3 28/01/2013 11:09:23
- 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DEMINAS GERAIS Profº Clélio Campolina Diniz Reitor Profª Rocksane de Carvalho Norton Vice-Reitoria Profª Antônia Vitória Soares Aranha Pró Reitora de Graduação Profº André Luiz dos Santos Cabral Pró Reitor Adjunto de Graduação CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo Diretor de Educação a Distância Prof º Wagner José Corradi Barbosa Coordenador da UAB/UFMG Profº Hormindo Pereira de Souza Junior Coordenador Adjunto da UAB/UFMG EDITORA CAED-UFMG Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo CONSELHO EDITORIAL Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer Profª. Eliane Novato Silva Profº. Hormindo Pereira de Souza Profª. Paulina Maria Maia Barbosa Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº. Vito Modesto de Bellis Profº. Wagner José Corradi Barbosa COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA Coordenador: Dan Avritzer LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado Revisão: Jussara Maria Frizzera Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia para Educação/EBA/UFMG Formatação: Sérgio Luz Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725) Lima, Paulo Cupertino de L732f Fundamentos de Geometria Espacial / Paulo Antônio Fonseca Machado. – Belo Horizonte : CAED-UFMG, 2012. 119 p. : il. ; 27 cm. Inclui bibliografia. ISBN 1. Funções (Matemática). 2. Ensino a distância. I. Universidade Federal de Minas Gerais. II. Título. CDD 515 CDU 517.5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 4 28/01/2013 11:09:23
- 5. Sumário Introdução. .7 Nota do Editor. . 9 Aula 1: O Espaço. . .11 1.1 Introdução. . 11 1.2 Elementos primitivos e axiomas . 13 1.3 Algumas consequências dos axiomas do grupo I . 16 1.4 Exercícios. . 18 Aula 2: Mais propriedades do espaço . .21 2.1 Introdução . 21 2.2 Separação do espaço: semiespaços . 21 2.3 Ângulos e congruência no espaço . 23 2.4 O axioma das paralelas no espaço . 26 2.5 Opcional: demonstração dos teoremas 2.1 e 2.9 . 28 2.6 Exercícios . 32 Aula 3: Paralelismo no espaço . .35 3.1 Introdução . 35 3.2 Paralelismo entre retas e planos . 35 3.3 Paralelismo entre planos. . 37 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaço. . 38 3.5 Problemas resolvidos . 40 3.6 Exercícios. . 43 Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço . .45 4.1 Introdução . 45 4.2 Ângulos entre retas no espaço . 45 4.3 Perpendicularismo de retas e planos. . 47 4.4 Existência de retas perpendiculares. . 50 4.5 Opcional: demonstração dos teoremas 4.1 e 4.7 . 53 4.6 Exercícios. . 56 Aula 5: Ângulos entre planos . .59 5.1 Introdução. . 59 5.2 Ângulos entre planos: diedros . 59 5.3 Planos perpendiculares . 62 5.4 Construção de planos perpendiculares . 63 5.5 Alguns problemas resolvidos . 64 5.6 Exercícios. . 67 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 5 28/01/2013 11:09:23
- 6. Aula 6: Lugaresgeométricos e poliedros . .69 6.1 Introdução . 69 6.2 Distâncias . 69 6.3 Planos bissetores . 72 6.4 Alguns lugares geométricos . 74 6.5 Poliedros . 77 6.5.1 Prismas . .78 6.5.2 Paralelepípedos e cubos. . 80 6.5.3 Pirâmides. . .80 6.5.4 Outros poliedros . 81 6.6 Exercícios . 83 Aula 7: Volumes de poliedros . .85 7.1 Introdução . 85 7.2 Volume de regiões poliedrais . 85 7.3 Volume de prismas . 86 7.4 Volume de pirâmides. . 92 7.4.1 Propriedades basicas de pirâmides. . 92 7.4.2 Cálculo do volume de uma pirâmide. . 97 7.5 Aplicações . 99 7.6 Exercícios . .103 Aula 8: Cilindros, cones e esferas . .105 8.1 Introdução . .105 8.2 Cilindros . .105 8.3 Cones. . .107 8.4 Esferas. . .110 8.5 Exercícios. . .113 Apêndices: Axiomas da geometria plana . .115 A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidência . .115 A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta. .115 A.3 Axiomas: grupo III, medida de ângulos . .116 A.4 Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos . .117 A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas . .117 A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas. . .117 Referências. . .119 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 6 28/01/2013 11:09:23
- 7. 7 Introdu¸c˜ao INTRODUC¸˜AO Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial euclidiana, e pode ser visto como uma continua¸c˜ao do livro [7]. Na verdade, o que chamamos “Fundamentos da Geometria Euclidiana” n˜ao deveria ser separado em geometria plana e geometria espacial, pois ´e um s´o assunto, coeso. Esta separa¸c˜ao ´e apenas uma forma de apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´atica e pr´atica. Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e nota¸c˜oes estabelecidas em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de geometria euclidiana. Suporemos que todos vocˆes est˜ao familiarizados com os termos utili-zados nesse livro. Em caso de d´uvidas, consultem-no. Abaixo, como uma forma de refrescar a mem´oria, listamos as principais nota¸c˜oes que utili-zaremos. Pontos serao ˜denotados por letras latinas maiusculas ´(A, B, etc.). Retas serao ˜em geral denotadas por letras latinas minusculas ´(r, s, etc.). No caso em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma seta de duas pontas () sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta determinada pelos pontos A e B sera ´denotada por AB. Para semirretas adotamos uma notac¸ao ˜analoga ´a `para retas, mas as demarcaremos por uma seta com uma ponta (). Por exemplo, o s´ımbolo r denota a semirreta r; e o s´ımbolo AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B. Segmentos de reta ser˜ao demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que no-meiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A e B ser´a denotado por AB. A medida de um segmento ser´a denotada pelos extremos do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB ´e AB. ˆAngulos ser˜ao denotados pelo s´ımbolo . Por exemplo, um ˆangulo chamado ser´a denotado por ; e um ˆangulo determinado por trˆes pontos A, B, C, com origem em B, ser´a denotado por ABC. A medida de um ˆangulo , por exemplo, ser´a denotada por m(). Os nossos novos elementos, os planos, ser˜ao denotados, como manda a tradi¸c˜ao, por letras gregas min´usculas (, , , etc.). N˜ao h´a perigo de confundir uma letra grega que represente um plano com a mesma que denote um ˆangulos, pois a segunda sempre vir´a acompanhada com o s´ımbolo . Para facilitar a consulta de vocˆes listamos no apˆendice A os axiomas da geometria plana euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸c˜oes b´asicas. 5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 7 28/01/2013 11:09:23
- 8. 8 Fundamentos deGeometria Espacial.indd 8 28/01/2013 11:09:23
- 9. 9 nota doedit or A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância. O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD. Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de ensino superior. Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de aperfeiçoamento e um de atualização. Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento. Fernando Selmar Rocha Fidalgo Editor Fundamentos de Geometria Espacial.indd 9 28/01/2013 11:09:23
- 10. 1 O Espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 10 28/01/2013 11:09:25
- 11. aula 1: OEspaço 11 AULA1: O ESPAC¸O OBJETIVOS Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Apresentar os axiomas de “incidˆencia” e algumas de suas consequˆencias. 1.1 Introdu¸c˜ao Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espa¸co”: ´e o ambi-ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo, o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui trˆes dimens˜oes, uma a mais que o mundo plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos neste tal espa¸co. Pois bem, um conceito aparentemente t˜ao simples na verdade esconde uma complexidade filos´ofica, f´ısica e matem´atica que n˜ao imaginamos1. Neste curso n˜ao vamos discutir estas profundas quest˜oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´atico. Figura 1.1 Nosso ponto de partida neste curso, como j´a o dissemos na Introdu¸c˜ao, ´e o texto [7], onde apresentamos um modelo axiom´atico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆes. Antes de come¸carmos, vamos abordar um problema pr´atico que se tem quando estudamos geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-guras planas ´e f´acil, pois as p´aginas de um livro, por exemplo, s˜ao boa representa¸c˜ao de um plano. Desenhar figuras que vivem no espa¸co, por outro lado, representa um desafio, j´a que os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imagina¸c˜ao dos leitores ser´a muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos mostrar alguns exemplos. Para come¸car, representaremos um plano no espa¸co em geral como na figura 1.1 (na ver-dade, uma “por¸c˜ao” de um plano – use a imagina¸c˜ao!). Usaremos, em geral, letras gregas min´usculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por . 1O leitor interessado poder´a estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espa¸co: a hist´oria das teorias do espa¸co na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 11 28/01/2013 11:09:25
- 12. 12 Fundamentos degeometria espacial Figura 1.2 Na figura 1.2 representamos dois planos e que se interceptam segundo uma reta e contˆem dois triˆangulos: o triˆangulo LMN contido no plano , e o triˆangulo IJK contido no plano . Para dar a no¸c˜ao de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as partes da figura que est˜ao atr´as e `a frente dos objetos representados. No nosso exemplo, peda¸cos dos segmentos IK e JK est˜ao por tr´as da por¸c˜ao do plano , do ˆangulo de vis˜ao em que desenhamos a situa¸c˜ao. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN est˜ao por tr´as da por¸c˜ao desenhada do plano . Figura 1.3 Na figura 1.3 representamos uma situa¸c˜ao mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo em seu interior uma pirˆamide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante). Os pontos A, B, C e D s˜ao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC, AD, etc.) est˜ao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos” de nossa vis˜ao pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Ent˜ao, neste caso, deixamos todos os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este est´a na parte de tr´as do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imagina¸c˜ao e compreens˜ao intuitiva para completar o significado da figura. Problema 1.1. Fa¸ca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que vocˆe j´a deve conhecer (prismas, pirˆamides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensa¸c˜ao visual de tridimensionalidade. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 12 28/01/2013 11:09:25
- 13. aula 1: OEspaço 13 1.2 Elementos primitivos e axiomas Em [7] apresentamos os trˆes elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e o plano. Quando passamos para o espa¸co “aumentamos” uma “dimens˜ao geom´etrica”, isto ´e, passamos a ver um universo onde temos v´arios planos, todos essencialmente c´opias de um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos primitivos ser˜ao os pontos, as retas, os planos (no plural, e n˜ao mais no singular!) e o espa¸co. Mas aten¸c˜ao! Esta n˜ao ´e uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos – geometria plana e geometria espacial – por quest˜oes did´aticas, mas s˜ao todas partes de um conjunto ´unico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam v´alidos, inclusive os axiomas. Em [7] apresentamos um sistema axiom´atico da geometria plana dividido em seis grupos (veja o apˆendice A): Grupo I: axiomas de incidˆencia. Grupo II: axiomas de m´etrica na reta e ordem na reta e no plano. Grupo III: axiomas de medidas de ˆangulos. Grupo IV: axiomas de congruˆencia de triˆangulos. Grupo V: axioma das paralelas. Grupo VI: axiomas sobre ´areas de figuras planas. Para estudarmos a geometria no espa¸co precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta opera¸c˜ao n˜ao ser´a muito traum´atica, pois a ´unica modifica¸c˜ao (na verdade uma extens˜ao) que precisa ser feita ´e nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-rela¸c˜oes entre os elementos primitivos que agora incluem planos e o espa¸co. Os trˆes axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como est˜ao, apenas trocando-se a palavra plano por espa¸co. Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espa¸co passa uma e somente uma reta. Observa¸c˜ao 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´etrica estabelecida em [7]. Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos distintos do espa¸co ent˜ao existe apenas uma reta que os cont´em. Axioma I.2. Toda reta do espa¸co possui pelo menos dois pontos distintos. Axioma I.3. O espa¸co cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a uma mesma reta. Em seguida precisamos estabelecer condi¸c˜oes an´alogas `as dadas nos axiomas I.1 e I.2 para planos – isto ´e as condi¸c˜oes de determina¸c˜ao de um plano por pontos, e o fato de planos serem conjuntos n˜ao vazios do espa¸co. Primeiro observe o que nossa experiˆencia nos traz: se vocˆe toma um banco com trˆes pernas e o coloca no ch˜ao, ver´a que ele n˜ao claudica (veja figura 1.4). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 13 28/01/2013 11:09:25
- 14. 14 Fundamentos degeometria espacial Figura 1.4 Ent˜ao ´e razo´avel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da matem´atica esta propriedade experimental: precisamos de trˆes pontos para determinar um plano. Axioma I.4. Por trˆes pontos distintos n˜ao colineares do espa¸co passa um e somente um plano. O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que s˜ao conjuntos n˜ao vazios. Axioma I.5. Todo plano do espa¸co cont´em pelo menos um ponto. Observa¸c˜ao 1.2. Observe que n˜ao exigimos que um plano contenha trˆes pontos, como sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que, como consequˆencia dos axiomas estabelecidos, todo plano cont´em pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares. Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espa¸co tridimensional. Esta “tridi-mensionalidade” ser´a garantida pelas propriedades descritas a seguir. A B s t Figura 1.5: – Axioma I.6 Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, ent˜ao esta reta est´a inteiramente contida no plano. O axioma acima traduz o fato esperado: quando vocˆe tra¸ca uma reta numa folha de papel usando uma r´egua e um l´apis, n˜ao tem como deix´a-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a linha designada pela letra s n˜ao ´e o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e B do plano , mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos. Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta passando por este ponto. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 14 28/01/2013 11:09:25
- 15. aula 1: OEspaço 15 t P Figura 1.6: – Axioma I.7 O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espa¸co. Dados dois planos no espa¸co trˆes coisas podem acontecer: (i) eles s˜ao idˆenticos, ou (ii) eles s˜ao distintos e possuem pontos em comum, ou (iii) eles n˜ao tˆem pontos em comum. Na terceira possibilidade s˜ao chamados de planos paralelos, assunto que veremos com mais detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intui¸c˜ao nos diz que a interse¸c˜ao deles n˜ao pode ser muito grande. Se vocˆe examinar as p´aginas deste livro, imaginando que s˜ao planos, pode ver que se interceptam numa reta, que ´e a lombada do livro – da´ı este axioma. Na figura 1.6 representamos dois planos e que tˆem um ponto P em comum e, portanto, possuem a reta t em comum. Problema 1.2. Se os planos e da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora de t, o que vocˆe pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam? (Sugest˜ao: veja o axioma I.4). Axioma I.8. Para todo plano do espa¸co existe pelo menos um ponto P que n˜ao est´a contido em . O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa vis˜ao do espa¸co nos diz: podemos andar nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existˆencia plana (figura 1.7). Figura 1.7: – Axioma I.8 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 15 28/01/2013 11:09:25
- 16. 1.3 Algumas consequˆenciasdos axiomas do grupo I Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Come¸camos com a seguinte 16 Fundamentos de geometria espacial Figura 1.8 Proposi¸c˜ao 1.1. Por duas retas concorrentes passa um ´unico plano. Demonstrac¸˜ao. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P. Para provar este resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8): (1) Tome os pontos A r e B s distintos de P (existem pelo axioma I.2); (2) tome o ´unico plano que passa por A, B e P (axioma I.4); (3) a reta r est´a contida em , pois ´e determinada pelos pontos A e P que pertencem a (axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s . Provamos assim que o plano determinado pelos pontos A, B e P ´e o ´unico plano que cont´em simultaneamente as retas r e s. Figura 1.9 Problema 1.3. Adapte a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 1.1 para provar o seguinte fato: por uma reta r e um ponto P fora de r passa um ´unico plano (veja figura 1.9). Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado. Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos trˆes pontos n˜ao colineares. Demonstrac¸˜ao. Seja um plano qualquer do espa¸co. Vamos “marcar” trˆes pontos n˜ao colineares em seguindo os passos abaixo, que vocˆe pode acompanhar nas figuras 1.10 e 1.11: (1) Existem um ponto P e um ponto Q fora de , pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-mente. (2) Seja r = PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R r. Observe que r n˜ao est´a contida em , j´a que Q . (3) Pelos trˆes pontos n˜ao colineares P, Q e R passa um ´unico plano (axioma I.4). Observe que r , j´a que P e Q pertencem a . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 16 28/01/2013 11:09:26
- 17. aula 1: OEspaço 17 Figura 1.10 Figura 1.11 (4) Os planos e possuem o ponto P em comum, donde = s, onde s ´e uma reta passando por P (axioma I.7). Observe que Q s, pois s est´a contida em , e Q n˜ao pertence a . (5) Seja S um quarto ponto na hist´oria, n˜ao contido em (novamente axioma I.8). (6) O ponto S e a reta r determinam um plano (problema 1.3), distinto de e (por quˆe?). (7) Os planos e possuem em comum o ponto P, logo = t, uma reta passando por P. (8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em . Para terminar tomamos dois pontos A s e B t quaisquer, distintos de P, de forma que os pontos A, B e P s˜ao pontos de n˜ao colineares, como quer´ıamos. O estudante pode se perguntar para quˆe demonstrar este resultado do teorema anterior, que parece t˜ao ´obvio? Este ´e um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade de um sistema axiom´atico. N˜ao temos nenhuma afirma¸c˜ao, na lista dos axiomas I.1 a I.8, que nos garanta a existˆencia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que isto ´e verdade. O que temos ´e o contr´ario: se temos trˆes pontos n˜ao colineares ent˜ao existe um plano que os cont´em (axioma I.4). Chamamos tamb´em aten¸c˜ao para a t´ecnica utilizada na demonstra¸c˜ao do teorema 1.2: para marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando interse¸c˜oes entre planos e retas. Esta t´ecnica ´e usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequˆencia. Portanto convidamos todos a estudarem com bastante aten¸c˜ao os passos desta demonstra¸c˜ao, como fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir. Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstra¸c˜ao do teo-rema 1.2. Diga at´e qual passo a figura 1.10 corresponde. Problema 1.5. Tente adaptar a demonstra¸c˜ao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato: dada uma reta r contida num plano , existe um ponto A que n˜ao pertence a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 17 28/01/2013 11:09:26
- 18. 1.4 Exerc´ıcios 18Fundamentos de geometria espacial Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1 1.1. Analisando visualmente a figura 1.12, onde deve-se considerar que o ponto D n˜ao est´a no mesmo plano que os pontos A, B e P, decida se os pontos nos conjuntos listados mais abaixo (i) s˜ao colineares ou (ii) n˜ao s˜ao colineares, mas s˜ao coplanares ou (iii) n˜ao s˜ao coplanares. (a) {A,B,C,D}; (b) {A,B,D}; (c) {P,D,Q}; (d) {P,B,C}; (e) {A,B,C,Q}. 1.2. Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos A, B, C e D se (a) A, B e C s˜ao colineares; (b) cada trˆes pontos n˜ao s˜ao colineares; (c) os pontos n˜ao s˜ao coplanares. Fa¸ca um desenho de cada situa¸c˜ao poss´ıvel. 1.3. Vimos que trˆes pontos n˜ao colineares no espa¸co determinam um ´unico plano. Prove que se os trˆes pontos s˜ao colineares, ent˜ao existem infinitos planos que os contˆem. 1.4. Sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao colineares, e seja o plano determinado por eles. Prove que os lados do triˆangulo ABC est˜ao contidos em . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 18 28/01/2013 11:09:26
- 19. 1.5. Sejam A,B, C e D quatro pontos do espa¸co. Decida se cada afirma¸c˜ao a seguir ´e verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstra¸c˜ao ou um contraexemplo, e fa¸ca um desenho para cada situa¸c˜ao. (a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, ent˜ao s˜ao coplanares. (b) Se AB e CD n˜ao possuem pontos em comum ent˜ao n˜ao s˜ao coplanares. (c) Suponha que os pontos A, B e C n˜ao sejam colineares. Seja o plano determinado por estes pontos. Se D ent˜ao os segmentos DA, DB e DC n˜ao interceptam nenhum dos interiores dos lados do triˆangulo ABC. (d) Seja, como no item anterior, o plano determinado pelos pontos n˜ao colineares A, B e C. Se D ent˜ao pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior de algum lado de ABC. (e) Ainda nas condi¸c˜oes do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta aula 1: O Espaço 19 o interior de algum lado de ABC ent˜ao D . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 19 28/01/2013 11:09:26
- 20. 2 Mais propriedades do espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 20 28/01/2013 11:09:27
- 21. AULA2: MAIS PROPRIEDADESDO ESPAC¸O OBJETIVOS Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Analisar, com cuidado, as seguintes propriedades: separa¸c˜ao do espa¸co em semiespa¸cos, congruˆencias no espa¸co, e paralelismo de retas no espa¸co. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 21 2.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espa¸co, e os axiomas que regem as inter-rela¸c˜oes entre pontos, retas, planos e o espa¸co, chamados axiomas de incidˆencia. Estes s˜ao, essencialmente, os ´unicos axiomas que precisam ser modificados em rela¸c˜ao a um sistema axiom´atico para a geometria plana. Os outros, como j´a o dissemos, permanecem v´alidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos algumas consequˆencias. 2.2 Separa¸c˜ao do espa¸co: semiespa¸cos Vamos come¸car estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-trodu ¸c˜ao acima: Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], s˜ao v´alidos na geometria espacial, salvo algumas adapta¸c˜oes. Queremos dizer com este axioma que todas as afirma¸c˜oes sobre propriedades da geometria plana s˜ao v´alidas no espa¸co, com as devidas adapta¸c˜oes. Vamos ent˜ao “passar os olhos” nos axiomas apresentados em [7], chamando a aten¸c˜ao para os pontos mais complicados. Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta e de semirretas. Estas propriedades s˜ao transcritas automaticamente para o espa¸co, como se pode ver facilmente. Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiz´a-los no espa¸co. O axioma II.6, que trata da separa¸c˜ao de um plano em semiplanos por retas, ser´a analisado com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto. Figura 2.1: – Axioma II.6 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 21 28/01/2013 11:09:28
- 22. Axioma II.6. Todareta l em um plano determina exatamente dois subconjuntos l e ˜l de , denominados semiplanos de em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos de est˜ao contidos em l ˜l; (b) l ˜l = l; (c) dois pontos A e B de n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano de em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l = ; (d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos de em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l . Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7] e aponte as diferen¸cas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto. Na figura 2.1 representamos dois planos e no espa¸co. Eles s˜ao cortados pelas retas l e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano , por exemplo, os pontos A e B est˜ao do mesmo lado1 em rela¸c˜ao a l, e os pontos B e C est˜ao em lados opostos. Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado est˜ao em cada plano e , em rela¸c˜ao `as retas l e s, respectivamente. Situa¸c˜ao an´aloga `a descrita no axioma II.6 vale no espa¸co, isto ´e, um plano determina no espa¸co dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes `as propriedades descritas neste axioma. No entanto, esta propriedade n˜ao precisa ser estabelecida como um axioma, mas ´e consequˆencia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte. 22 Fundamentos de geometria espacial Figura 2.2: – Separa¸c˜ao do Espa¸co Teorema 2.1 (Separa¸c˜ao do espa¸co). Todo plano do espa¸co determina exatamente dois subconjuntos n˜ao vazios E e E do espa¸co, denominados semiespa¸cos em rela¸c˜ao a , satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos do espa¸co est˜ao contidos em E E ; 1Lembramos que os lados de um plano em rela¸c˜ao a uma reta l s˜ao os conjuntos l e ˜ l, na nota¸c˜ao do axioma II.6, onde o s´ımbolo “” – vale a pena recordar – significa diferen¸ca de conjuntos. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 22 28/01/2013 11:09:28
- 23. (b) E E = ; (c) dois pontos A e B do espa¸co n˜ao pertencentes a est˜ao num mesmo semiespa¸co em Aula 2 – Mais propriedades do espaço 23 rela¸c˜ao a se e somente se AB = ; (d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a est˜ao em semiespa¸cos distintos (ou opostos) em rela¸c˜ao a se e somente se AB . N˜ao demonstraremos este teorema agora – sua demonstra¸c˜ao, cuja leitura ´e opcional, ser´a apresentada na ´ultima se¸c˜ao desta aula – mas ´e preciso compreender bem o seu significado. Para explic´a-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, an´aloga `a que vocˆes j´a viram num curso de geometria plana em rela¸c˜ao a semiplanos: Defini¸c˜ao 2.2. Se ´e um plano do espa¸co, o conjunto dos pontos de um semiespa¸co determinado por que n˜ao est˜ao contidos em ´e um lado do espa¸co em rela¸c˜ao a . Os lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ao chamados de lados opostos em rela¸c˜ao a . Na figura 2.2 representamos a situa¸c˜ao descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C est˜ao de um mesmo lado do plano , enquanto que os pontos A e B, e A e D est˜ao em lados opostos. Usando estes dados podemos concluir que CB . De fato, se CB = , ent˜ao, pelo item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao a . Ora, ent˜ao C est´a no mesmo semiespa¸co que A e no mesmo semiespa¸co que B, que s˜ao semiespa¸cos distintos. Logo C pertence a ambos E e E , contrariando o item (b) do teorema, j´a que estamos supondo (implicitamente) que C . Problema 2.4. Prove, adaptando a argumenta¸c˜ao apresentada no par´agrafo precedente que, seguindo os dados representados na figura 2.2, BD = . 2.3 ˆAngulos e congruˆencia no espa¸co Definimos em [7] um ˆangulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem comum. Esta defini¸c˜ao n˜ao apresenta nenhum problema quando passamos a vˆe-la do ponto de vista do espa¸co. No entanto devemos nos lembrar que ˆangulos s˜ao essencialmente objetos planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade: Figura 2.3: – Proposi¸c˜ao 2.3 Proposi¸c˜ao 2.3. Todo ˆangulo no espa¸co determina um ´unico plano. Problema 2.5. Demonstre a proposi¸c˜ao 2.3 (a figura 2.3 d´a uma dica de como resolver este problema). Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regi˜ao angular. Para deixar isto claro, transcrevemos a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7] com as devidas modifica¸c˜oes. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 23 28/01/2013 11:09:28
- 24. Defini¸c˜ao 2.4. Aregi˜ao angular determinada por um ˆangulo (n˜ao trivial) A = BAC ´e o subconjunto 24 Fundamentos de geometria espacial RA = l r, onde ´e o plano determinado por A, B e C, l = AB, r = AC, l ´e o semiplano de relativo a l que cont´em o ponto C, e r ´e o semiplano de relativo a r que cont´em o ponto B. Os pontos pertencentes a RA que n˜ao pertencem aos lados de A s˜ao denominados pon-tos interiores a A, e os pontos que n˜ao pertencem a RA e nem aos lados de A s ˜ao denominados pontos exteriores a A. Se D ´e um ponto interior a A dizemos que AD divide ou separa o ˆangulo A. Problema 2.6. Compare a defini¸c˜ao acima com a defini¸c˜ao de regi˜ao angular apresentada em [7], apontando as diferen¸cas, e fa¸ca um desenho. Observa¸c˜ao 2.1. As defini¸c˜oes de ˆangulo adjacente, ˆangulo raso e ˆangulo suplementar tamb´em s˜ao todas relativas ao plano determinado pelo ˆangulo em quest˜ao, ou seja, s˜ao objetos planos. Se prestarmos aten¸c˜ao na defini¸c˜ao 2.4 e na observa¸c˜ao acima vemos que os axiomas III.1 e III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ˆangulos no plano – vistos em [7], s˜ao v´alidos no espa¸co sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa de ser reescrito, como se segue. Axioma III.3. Para toda semirreta AB, todo n´umero real a tal que 0 a 180, e cada plano contendo AB existem exatamente duas semirretas AD l e AD ˜l tais que m(BAD) = m(BAD) = a, onde l = AB e l, ˜l s˜ao semiplanos de em rela¸c˜ao a l. Figura 2.4: – Axioma III.3 Na figura 2.4 representamos a situa¸c˜ao descrita no axioma III.3. No plano temos os pontos D e D em lados opostos da reta l = AB como no axioma III.3, isto ´e, tais que m(BAD) = m(BAD) = a, para um dado n´umero a com 0 a 180. Analogamente fica garantida a existˆencia de dois pontos P e P num outro plano passando por l, com m(BAP) = m(BAP) = a. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 24 28/01/2013 11:09:28
- 25. Figura 2.5: –Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos Fechamos esta se¸c˜ao com algumas observa¸c˜oes sobre congruˆencias. No sistema axiom´atico de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruˆencia na ideia de medida. Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-ˆangulo-lado” (LAL) de congruˆencia de triˆangulos ´e v´alido tamb´em ao se comparar triˆangulos em planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triˆangulos ABC e PQR nos planos e , respectivamente, tais que Aula 2 – Mais propriedades do espaço 25 AB PQ ABC PQR BC QR (LAL) Nestas condi¸c˜oes, pelo caso LAL de congruˆencia de triˆangulos tem-se que ABC PQR. Vamos agora resolver um problema de congruˆencia no espa¸co no exemplo a seguir. Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D s˜ao pontos n˜ao coplanares, e que B, C e D est˜ao no plano . Se AB BC, AB BD e BC BD, demonstre que AC AD. A B C D Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7 Soluc¸˜ao: Os triˆangulos ABD e ABC s˜ao congruentes pelo caso LAL, pois AB AB Lado comum aos triˆangulos; ABD ABC ˆ Angulos retos, por hip´otese; BD BC Lados congruentes, por hip´otese. (LAL) Logo os lados AD e AC s˜ao congruentes. Resolva vocˆe o problema seguinte. Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referˆencia, suponha que DAB CAB, AB BD e AB BC. Nestas condi¸c˜oes, prove que AD AC. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 25 28/01/2013 11:09:28
- 26. 2.4 O axiomadas paralelas no espa¸co Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano s˜ao retas que n˜ao tˆem pontos em comum. No espa¸co, por´em, temos outra situa¸c˜ao em que retas n˜ao tˆem pontos em comum, as retas reversas: 26 Fundamentos de geometria espacial Figura 2.7: – Retas reversas Defini¸c˜ao 2.5. Duas retas no espa¸co s˜ao reversas se n˜ao est˜ao contidas em um mesmo plano. Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustra¸c˜oes que as retas s˜ao reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos expressar a ideia de que a reta r passa “por tr´as” da reta l em rela¸c˜ao `a nossa vis˜ao. Problema 2.8. Como vocˆe demonstraria a existˆencia de retas reversas? Isto ´e, tome uma reta r e um ponto P r e prove que por P passam retas reversas a r. Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A r e B s e sejam o plano determinado por r e B, e o plano determinado por s e A. Desenhe a situa¸c˜ao descrita e diga quem ´e . A defini¸c˜ao de retas paralelas fica assim: Figura 2.8: – Retas paralelas Defini¸c˜ao 2.6. Duas retas r e l no espa¸co s˜ao paralelas se s˜ao coplanares e n˜ao possuem pontos em comum. Denotaremos esta rela¸c˜ao, como ´e tradicional, por r l. O axioma das paralelas continua valendo. Axioma V. Dada uma reta no espa¸co, por cada ponto que n˜ao lhe pertencente passa, no m´aximo, uma reta paralela a ela. Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existˆencia de retas paralelas. Este fato (e sua demonstra¸c˜ao) s˜ao v´alidos no espa¸co. ´E preciso apenas ter um pequeno cuidado a mais. Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Ent˜ao existe uma ´unica reta s passando por P e paralela a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 26 28/01/2013 11:09:28
- 27. Demonstrac¸˜ao. Reduzimos oproblema no espa¸co a um problema no plano: seja o plano determinado por r e P, e tome s a reta paralela a r passando por P, cuja existˆencia ´e garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V. Problema 2.10. Reveja a demonstra¸c˜ao da existˆencia de retas paralelas em um texto de fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo. Duas retas paralelas determinam um ´unico plano. Vamos registrar este fato como uma proposi¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um ´unico plano. Demonstrac¸˜ao. Observe que, por defini¸c˜ao, as retas paralelas r e l est˜ao contidas em um plano . Suponha que exista um outro plano contendo r e l. Se P ´e um ponto de l, ent˜ao ´e determinado por r e P. Mas tamb´em ´e determinado por r e P donde, pelo problema 1.3, = . V´arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co. Uma das mais importantes ´e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja demonstra¸c˜ao ser´a apresentada na se¸c˜ao 2.5. Aula 2 – Mais propriedades do espaço 27 t r s Figura 2.9: – Teorema 2.9 Teorema 2.9. Se r, s e t s˜ao retas tais que r s e s t ent˜ao r t. Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ao deste teorema. Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadril´atero qualquer ABCD num plano, os pontos m´edios de seus lados s˜ao v´ertices de um paralelo-gramo. O mesmo resultado vale se os v´ertices do quadril´atero n˜ao s˜ao coplanares (veja a figura 2.10) De fato, tome 4 pontos A, B, C e D n˜ao coplanares, e seja o plano determinado por A, B e D. Sejam M, N, P e Q os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Ent˜ao temos, no triˆangulo ABD, que MP BD e MP = BD 2 . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 27 28/01/2013 11:09:29
- 28. 28 Fundamentos degeometria espacial A B D C O N P M Figura 2.10: – Exemplo 2.2 Analogamente, no triˆangulo BCD temos ON BD e ON = BD 2 . Assim temos que (i) MP BD e ON BD MP ON, pelo teorema anterior. Em particular, MP e ON s˜ao coplanares, ou seja, os quatro pontos m´edios pertencem a um mesmo plano. (ii) MP ON. Provamos ent˜ao que MNOP ´e um quadril´atero contido num plano com dois lados paralelos e congruentes, donde ´e um paralelogramo. Problema 2.11. Reveja as demonstra¸c˜oes dos fatos sobre paralelogramos utilizados no exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer. 2.5 Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 2.1 e 2.9 Apresentamos nesta se¸c˜ao as demonstra¸c˜oes dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura ´e opcional. Come¸camos pelo teorema 2.1. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.1) Sejam um plano e P um ponto (existe o ponto P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos E e E e provar que satisfazem as propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo. (1) Definamos E e E da seguinte forma: E = pontos X do espa¸co tais que XP = {P} E = pontos X do espa¸co tais que XP Observe que E , pois P E. Para verificar que E tome Q (pelo axioma I.5) e na reta PQ tome R tal que P −Q − R2. Assim R E (veja figura 2.11). 2Lembramos que em [7] usamos a nota¸c˜ao P − Q − R para indicar que o ponto Q est´a entre P e R, isto ´e, que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existˆencia de R ´e garantida pelo axioma II.3 de [7]. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 28 28/01/2013 11:09:29
- 29. Aula 2 –Mais propriedades do espaço 29 Figura 2.11 (2) O item (a) do teorema ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao dos conjuntos E e E : dado um ponto X qualquer do espa¸co, podem acontecer duas coisas: (a) ou XP = , donde X E; (b) ou XP , donde X E (observe que este ´ultimo caso engloba a possibilidade X .). Logo todos os pontos do espa¸co est˜ao em E E . (3) Para provar (b) tomemos X . Ent˜ao X E por defini¸c˜ao, e X E pois, neste segundo caso, XP = {X} . Assim E E . Para verificar a continˆencia rec´ıproca tomemos agora X E E . Como X E e P E ent˜ao X P. Em particular XP = {D}, D um ponto de . Por outro lado, como X E ent˜ao (i) ou XP = , ou (ii) X = P, ou (iii) X . Ora, j´a vimos que os itens (i) e (ii) acima n˜ao podem acontecer, donde s´o pode ser X , ou seja, E E , como quer´ıamos provar. (4) Para a demonstra¸c˜ao dos itens (c) e (d) vamos chamar a aten¸c˜ao para o seguinte fato: se P, A e B s˜ao trˆes pontos do espa¸co, sempre existe um plano que os cont´em (veja o exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou n˜ao interceptar o plano . Posto isto, vamos analisar (c). Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de , perten¸cam a um mesmo semiespa¸co, por exemplo, A, B E. Neste caso, por defini¸c˜ao, AP e BP n˜ao interceptam . Seja um plano contendo A, B e P. Se e n˜ao se encontram, ent˜ao ´e claro que AB = (veja figura 2.12d). No caso em que e se encontram, tomemos = l. Aplicando o axioma II.6 ao plano e `a reta l vemos ABl = , donde AB = (veja figura 2.12a). Se A, B E a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja figura 2.12c). Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB n˜ao intercepte e provemos que A e B est˜ao num mesmo semiespa¸co. O argumento segue a mesma ideia do par´agrafo precedente: tome um plano contendo A, B e P. Se n˜ao encontra , ent˜ao AP e BP tamb´em n˜ao cortam , donde A e B pertencem a E, por defini¸c˜ao. Se e se interceptam segundo uma reta l, ent˜ao AB n˜ao encontra l donde, pelo axioma II.6 aplicado a e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de em rela¸c˜ao a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespa¸co em rela¸c˜ao a . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 29 28/01/2013 11:09:29
- 30. 30 Fundamentos degeometria espacial P A l B (a) P A l B (b) P (d) P l A B (c) A B Figura 2.12 A an´alise de (d) ´e inteiramente an´aloga `a realizada para (c) bastando trocar a express˜ao “n˜ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos este exerc´ıcio ao leitor. Agora passamos `a demonstra¸c˜ao do teorema 2.9. t Q l P r s Figura 2.13: – Demonstra¸c˜ao do teorema 2.9 Demonstrac¸˜ao. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r, s e t s˜ao coplanares j´a foi provado em [7]. Vamos estudar ent˜ao o caso em que as trˆes retas n˜ao s˜ao coplanares. Acompanhe os passos abaixo na figura 2.13. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 30 28/01/2013 11:09:29
- 31. (1) Suponha, comono enunciado, que r s e s t. Sejam o plano determinado por s e t, e o plano determinado por s e r. Como as retas n˜ao s˜ao coplanares, por hip´otese, os planos e s˜ao distintos. Al´em disso Aula 2 – Mais propriedades do espaço 31 = s. (2) Tome um ponto P r qualquer e seja o plano determinado por t e P. Como e s˜ao distintos e possuem o ponto P em comum, ent˜ao sua interse¸c˜ao ´e uma reta l. (3) As retas l e s est˜ao contidas no plano . Vamos provar que l s. Para isto suponhamos, por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situa¸c˜ao Q e Q , donde e se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e est´a contida em ambos os planos, logo = s. Por´em t tamb´em est´a contida em ambos os planos. Assim temos s = t, o que ´e absurdo, pois estamos supondo que as retas s˜ao distintas. Ent˜ao o ponto Q n˜ao pode existir, ou seja, l s. (4) Do item anterior conclu´ımos que as retas l = e r s˜ao paralelas a s e passam por P. Logo, pelo axioma V, l = r. Em particular provamos que r . (5) Provamos que as retas r e t est˜ao ambas contidas em (veja figura 2.9). Se r e t tivessem um ponto X em comum, ent˜ao este ponto pertenceria a e a (por quˆe?), donde X pertenceria a s = , ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto ´e imposs´ıvel, pois r s por hip´otese. Logo r t, com quer´ıamos provar. Problema 2.12. Complete os detalhes das demonstra¸c˜oes acima. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 31 28/01/2013 11:09:29
- 32. 2.6 Exerc´ıcios 32Fundamentos de geometria espacial Figura 2.14: – Exerc´ıcio 2.1 2.1. Definimos uma regi˜ao poliedral do espa¸co como sendo uma interse¸c˜ao de semiespa¸cos. Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regi˜oes poliedrais, como ilustrado na figura 2.14. Determine em quantas regi˜oes poliedrais os planos , e representados na figura 2.15 dividem o espa¸co. Figura 2.15: – Exerc´ıcio 2.1 2.2. Examine a figura 1.12 da aula anterior e liste todos os ˆangulos que nela aparecem. Figura 2.16: – Exerc´ıcios 2.3 2.3. a Na figura 2.16 suponha que os triˆangulos ABC e DBC s˜ao is´osceles, ambos com base BC. Prove que os triˆangulos DAB e DAC s˜ao congruentes entre si. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 32 28/01/2013 11:09:29
- 33. Aula 2 –Mais propriedades do espaço 33 2.4. Ainda na figura 2.16a suponha que ADB BDC CDA e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto D sejam congruentes entre si. Prove que ABC ´e equil´atero. 2.5. Na figura 2.16b os triˆangulos ABC e PBC s˜ao is´osceles, ambos com base BC. Se AD ´e bissetriz de BAC, prove que PD ´e bissetriz de BPC. 2.6. Neste exerc´ıcio usaremos novamente a figura 2.16b como referˆencia. Suponha que PBC ABC e que D ´e um ponto qualquer entre B e C. Nestas condi¸c˜oes prove que DAP DPA. 2.7. Sejam r e s retas concorrentes e o plano por elas determinado. Seja s s uma reta concorrente com r e paralela a s. Prove que s . Conclua que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas em . 2.8. Sejam r e s retas reversas. (a) Prove que existe uma reta s concorrente com r e paralela a s. (b) Prove que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas num mesmo plano que, em particular, cont´em r. (Sugest˜ao: observe que se s ´e uma reta concorrente com r e paralela a s ent˜ao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s s˜ao paralelas a s (justifique esta afirma¸c˜ao) e aplique o exerc´ıcio anterior.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 33 28/01/2013 11:09:30
- 34. 3 Paralelismo noespaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 34 28/01/2013 11:09:31
- 35. AUla 3: Paralelismono esapço 35 AULA3: PARALELISMO NO ESPAC¸O OBJETIVOS Estudar o paralelismo entre retas e planos, e entre planos. Estudar as posi¸c˜oes relativas entre retas e planos no espa¸co. 3.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior fomos apresentados, na se¸c˜ao 2.4, `as retas paralelas no espa¸co, e vimos o axioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequˆencias. Nesta aula aprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espa¸co, e apresentaremos nossos primeiros objetos “espaciais”. 3.2 Paralelismo entre retas e planos Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espa¸co. Agora pas-samos ao pr´oximo est´agio: paralelismo entre retas e planos. A defini¸c˜ao ´e natural: Defini¸c˜ao 3.1. Uma reta r e um plano no espa¸co s˜ao paralelos, rela¸c˜ao que ser´a denotada por r , se n˜ao possuem pontos em comum. ´E bom lembrarmos aqui uma terminologia que j´a ´e conhecida de vocˆes no contexto da geometria plana: dizemos que duas retas s˜ao concorrentes ou secantes se se cortam em um ponto. Esta mesma terminologia se transporta naturalmente para o espa¸co. Por exemplo, dizemos que uma reta e um plano s˜ao secantes se possuem um ponto em comum, e assim por diante. Um primeiro fato sobre retas e planos no espa¸co ´e o seguinte: Figura 3.1 Proposi¸c˜ao 3.2. Sejam r e uma reta e um plano secantes. Ent˜ao toda reta paralela a r ´e secante a . Problema 3.1. Demonstre a proposi¸c˜ao 3.2. (Sugest˜ao: Em geometria plana provamos que se r s e r ´e concorrente com uma reta t ent˜ao s tamb´em ´e concorrente com esta mesma reta. Para demonstrar a proposi¸c˜ao tome uma reta s paralela a r e reduza o problema ao caso plano, utilizando o plano determinado por r e s (veja a figura 3.1).) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 35 28/01/2013 11:09:31
- 36. Precisamos de crit´eriospara decidir se uma reta e um plano s˜ao paralelos entre si. Um deles, o mais fundamental, ´e dado pelo teorema a seguir. 36 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.2: – Teorema 3.3 Teorema 3.3. Um plano e uma reta r n˜ao contida nele s˜ao paralelos entre si se, e somente se, existir uma reta s tal que s r. Demonstrac¸˜ao. Para a primeira parte suponha que r . Ent˜ao, por defini¸c˜ao, r = . Tome P um ponto qualquer e seja o plano determinado por r e P. Seja s a reta segundo a qual e se interceptam (veja figura 3.2). Ent˜ao ´e claro que r s (explique o por quˆe!). Reciprocamente, suponha que exista s tal que r s. Seja o plano determinado por r e s. Nesta situa¸c˜ao todos os pontos comuns entre e s˜ao os pontos de s. Em particular, se houvesse um ponto em comum entre r e , este ponto deveria pertencer a s, uma contradi¸c˜ao, j´a que supomos r s. Logo r . Problema 3.2. Explicite na demonstra¸c˜ao acima os axiomas e resultados anteriores que (implicitamente) foram utilizados. Corol´ario 3.4. Dados um plano e um ponto P fora de , existe uma reta r passando por P e paralela a . Demonstrac¸˜ao. A demonstra¸c˜ao deste corol´ario ´e bem simples. Tome uma reta qualquer s e seja o plano determinado por P e s. Em tome r a reta paralela a s passando por P. Ent˜ao s . Figura 3.3 Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao do teorema 3.3. Exemplo 3.1. Vamos mostrar que se uma reta r ´e paralela a dois planos secantes, ent˜ao ´e paralela `a interse¸c˜ao destes dois planos. Sejam e planos secantes e paralelos a r. Seja l = . Ora, como r , existe uma reta s tal que r s. Analogamente, como r , existe uma reta t com r t. Como consequˆencia temos que t s. Seja o plano determinado por t e s. Vamos provar que l (veja figura 3.3). De fato, suponha que l encontre em um ponto P. Ent˜ao os planos , e se encontram em P. Mas = s e = t, donde P st, o que ´e um absurdo. Logo l , donde l t e l s e, portanto, l r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 36 28/01/2013 11:09:32
- 37. Problema 3.3. Mostreque se , e s˜ao trˆes planos que se encontram em um ponto, ent˜ao n˜ao pode existir uma reta paralela aos trˆes simultaneamente. (Sugest˜ao: tome r paralela a e , por exemplo. Pelo exemplo anterior r ´e paralela a l = . Verifique que e l s ˜ao secantes e aplique a proposi¸c˜ao 3.2). AUla 3: Paralelismo no esapço 37 3.3 Paralelismo entre planos A pr´oxima etapa ´e estudar o paralelismo entre planos. A defini¸c˜ao natural de planos paralelos ´e Defini¸c˜ao 3.5. Dois planos e s˜ao paralelos se n˜ao possuem pontos em comum. Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por . Apresentamos um crit´erio para testar paralelismo de planos an´alogo ao teorema 3.3. Teorema 3.6. Dois planos e s˜ao paralelos entre si se e somente se existir em um par de retas concorrentes paralelas a . (Ou, reciprocamente, se e somente se existir em um par de retas concorrentes paralelas a ). Demonstrac¸˜ao. A primeira parte ´e simples: se ent˜ao nenhuma reta de intercepta . Em particular, quaisquer retas concorrentes de s˜ao paralelas a . Figura 3.4 A rec´ıproca ´e mais interessante. Sejam r e s duas retas de concorrentes em um ponto P, e suponha que r e s sejam paralelas a . Vamos provar que . Para isto suponhamos, por absurdo, o contr´ario, isto ´e, que e se interceptam, e seja l a reta de interse¸c˜ao dos dois planos. Ora, como l , e r , s , ent˜ao r e s s˜ao retas passando por um ponto P e paralelas a l. Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo (veja figura 3.4). Este teorema nos d´a uma forma de construir planos paralelos. Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano passa um e somente um plano paralelo a . Demonstrac¸˜ao. Para provar a existˆencia de fa¸camos a seguinte constru¸c˜ao: (1) Tome em duas retas concorrentes r e s. (2) Tome as retas r e s passando por P e paralelas a r e s, respectivamente. (3) Seja o plano determinado por r e s. Ent˜ao ´e paralelo a , pelo teorema anterior. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 37 28/01/2013 11:09:32
- 38. Para provar aunicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos e passando por P e paralelos a (veja a figura 3.5). Tome t uma reta qualquer e seja o plano determinado por t e P. Ent˜ao corta segundo uma reta r e segundo uma reta s. 38 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.5 Assim r e s s˜ao retas distintas e paralelas a . Em particular, r, s e t s˜ao retas de paralelas entre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P, o que contradiz o axioma V. Logo n˜ao h´a dois planos distintos passando por P e paralelos a . Problema 3.4. Justifique os passos (1) a (3) da demonstra¸c˜ao do teorema anterior. 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espa¸co Listaremos nesta se¸c˜ao algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades j´a conhecidas de retas paralelas no plano. Figura 3.6: – Teorema 3.8 Teorema 3.8. Se uma reta corta um plano, corta tamb´em qualquer plano paralelo a este. Demonstrac¸˜ao. Seja r uma reta secante a um plano . Seja A o ponto em que r corta . Seja um plano paralelo a . Seja um plano qualquer passando por r. Em particular cont´em o ponto A e corta segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que n˜ao pode ser paralelo a (por quˆe?), donde e se cortam segundo uma reta l. Assim l t e r ´e secante a t, donde r ´e secante a l, por resultado j´a conhecido de geometria plana. Ent˜ao provamos que r passa por um ponto B . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 38 28/01/2013 11:09:32
- 39. Problema 3.5. Completea figura 3.6 com os elementos constru´ıdos na demonstra¸c˜ao do teorema 3.8. O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” e vice-versa. AUla 3: Paralelismo no esapço 39 Figura 3.7: – Teorema 3.9 Teorema 3.9. Se um plano corta uma reta, corta tamb´em qualquer reta paralela a ela. Problema 3.6. Demonstre o teorema 3.9. (Sugest˜ao: Suponha que o plano corta a reta r em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja o plano determinado por r e s. Reduza o problema ao caso an´alogo entre retas paralelas num plano.) Finalmente temos resultado an´alogo a estes para planos. Teorema 3.10. Se um plano ´e secante a um plano , ent˜ao ´e secante a todo plano paralelo a . Figura 3.8: – Teorema 3.10 Demonstrac¸˜ao. Sejam e planos secantes. Seja um plano paralelo a . Se fosse paralelo a ter´ıamos uma contradi¸c˜ao com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo n˜ao pode ser paralelo a , e portanto e s˜ao secantes (veja figura 3.8). Problema 3.7. Prove que as retas r e s representadas na figura 3.8 s˜ao paralelas entre si, onde os planos , e s˜ao como descritos na demonstra¸c˜ao do teorema acima. Uma consequˆencia deste teorema ´e a transitividade de paralelismo para planos. Corol´ario 3.11. Dados trˆes planos , e distintos tais que e , ent˜ao . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 39 28/01/2013 11:09:32
- 40. Demonstrac¸˜ao. De fato,se n˜ao fosse paralelo a , ou seja, se fosse secante a ent˜ao, pelo teorema anterior, seria secante a ,uma contradi¸c˜ao. 3.5 Problemas resolvidos Apresentamos nesta se¸c˜ao alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula, para vocˆes se acostumarem com as t´ecnicas de trabalho em geometria espacial. 40 Fundamentos de geometria espacial Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9 Problema 3.8. Sejam r e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paralelo a s. Mostre que este ´e o ´unico plano poss´ıvel. Soluc¸˜ao. Por um ponto qualquer X r tome a reta s paralela a s. Ent˜ao a solu¸c˜ao ´e o plano determinado por r e s (veja figura 3.9), j´a que: (i) r , por constru¸c˜ao; (ii) s , pois s s, e s , por constru¸c˜ao. Para verificar que ´e o ´unico plano com as propriedades desejadas, tome um outro plano passando por r. Se s e fossem paralelos, existiria uma reta s (pelo teorema 3.3) passando por X paralela a s, o que contradiz o axioma V. Problema 3.9. Dadas duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos e tais que r e s . Mostre que esta ´e a ´unica solu¸c˜ao poss´ıvel. Soluc¸˜ao. Primeiro sigamos os seguintes passos: (1) Usando o problema 3.8 construa o plano contendo r e paralelo a s. (2) Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um ´unico plano paralelo a . (3) Provemos que s : seja o plano determinado por r e P. Ent˜ao corta segundo uma reta l que passa por P. Como ent˜ao l r. Assim pelo axioma V temos que l = s. Com os passos acima constru´ımos dois planos e com as propriedades desejadas. A unicidade decorre do problema anterior. O problema seguinte ´e mais complicado. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 40 28/01/2013 11:09:32
- 41. AUla 3: Paralelismono esapço 41 Figura 3.10 Problema 3.10. Sejam dadas trˆes retas r, s e t reversas duas a duas. Construa, se poss´ıvel, uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solu¸c˜ao, se existe, ´e ´unica. Soluc¸˜ao. Este problema nem sempre tem solu¸c˜ao, pois depende da posi¸c˜ao relativa das retas. Vejamos o que pode acontecer. Sejam e planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temos duas possibilidades: (i) t ´e paralela a e, consequentemente, tamb´em ´e paralela a . (ii) t corta e, consequentemente, tamb´em corta . Se acontece (i) o problema n˜ao tem solu¸c˜ao. De fato, se l ´e uma reta concorrente com r, por exemplo, e paralela a t, ent˜ao l ´e paralela a , j´a que t ´e paralela a . Logo l n˜ao pode ser concorrente com s (veja figura 3.10). Figura 3.11 Se acontece (ii) o problema tem solu¸c˜ao. Para constru´ı-la sigamos os passos (acompanhe na figura 3.11): (1) Tome o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano ´e secante a e (por quˆe?). Temos que r = . Observe ainda que se b = ent˜ao r b (por quˆe?). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 41 28/01/2013 11:09:32
- 42. (2) A retas corta em um ponto A pois, caso contr´ario seria paralela a b e, portanto, paralela a r, uma contradi¸c˜ao. Em particular A b. (3) Seja t a reta que passa por A e ´e paralela a t. Como t ent˜ao t est´a contida em (por quˆe?). Como t ´e secante a b, por constru¸c˜ao, e b r, ent˜ao t ´e secante a r. Assim t ´e uma solu¸c˜ao do problema. Para mostrar que t ´e solu¸c˜ao ´unica, tome t uma outra solu¸c˜ao. Ent˜ao t t e t ´e concorrente com r. Logo t (por quˆe?). Mas t tamb´em deve ser concorrente com s; no entanto s encontra no ponto A, donde A t. Assim t = t. 42 Fundamentos de geometria espacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 42 28/01/2013 11:09:33
- 43. 3.6 Exerc´ıcios 3.1.Sejam , e trˆes planos distintos. Mostre que as posi¸c˜oes relativas dos trˆes planos s˜ao as seguintes: (a) Os trˆes planos s˜ao paralelos. (b) Dois deles s˜ao paralelos entre si, e o terceiro ´e secante a ambos, cortando-os segundo AUla 3: Paralelismo no esapço 43 retas paralelas entre si. (c) Os trˆes planos de cortam segundo uma reta. (d) Os trˆes planos se cortam dois a dois segundo trˆes retas paralelas entre si. (e) Os trˆes planos se encontram em um ´unico ponto. Para cada situa¸c˜ao da lista acima encontre um exemplo no “mundo real”. 3.2. Sejam r e s duas retas reversas, e P um ponto que n˜ao pertence a nenhuma das duas. Mostre que existe um ´unico plano passando por P paralelo a r e s. 3.3. Na figura 3.12 os quadril´ateros ABCD, ADEK e BCEK s˜ao paralelogramos. Demonstre que (a) EK AD BC e (b) KAB EDC. Figura 3.12: – Exerc´ıcio 3.3 Figura 3.13: – Exerc´ıcio 3.4 3.4. Na figura 3.13 AP, BP e CP s˜ao perpendiculares entre si; AC = BC; e D, E e F s ˜ao pontos m´edios dos respectivos segmentos. Mostre que DEF PAB. (Sugest˜ao: mostre que os triˆangulos APB e EDF s˜ao semelhantes.) 3.5. Sejam e dois plano paralelos entre si. Sejam r e r duas retas paralelas entre si e secantes a . Se A, A s˜ao os pontos em que r e r encontram , respectivamente, e B, B s˜ao os pontos em que r e r encontram , respectivamente, prove que AB AB. (Sugest˜ao: verifique que AABB ´e um paralelogramo.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 43 28/01/2013 11:09:33
- 44. 4 Perpendicularismo entre retas e planos no espaço Fundamentos de Geometria Espacial.indd 44 28/01/2013 11:09:34
- 45. AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRERETAS E PLANOS NO ESPAC¸O OBJETIVOS Introduzir o conceito de ˆangulo entre retas no espa¸co. Introduzir o conceito de perpendicu-larismo AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 45 entre retas e planos no espa¸co. 4.1 Introdu¸c˜ao Na se¸c˜ao 2.3 estudamos um pouco sobre ˆangulos “planos” no espa¸co, isto ´e, sobre ˆangulos determinados por pares de semirretas, que j´a bem conhecemos. No espa¸co temos como ampliar o conceito de ˆangulo, pois podemos comparar “inclina¸c˜oes” n˜ao entre retas e se-mirretas, como tamb´em entre retas e planos e entre planos. Nesta aula estudaremos sobre ˆangulos entre retas e planos no espa¸co. 4.2 ˆAngulos entre retas no espa¸co Nesta se¸c˜ao vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de ˆangulos entre retas no espa¸co. No plano duas retas ou s˜ao paralelas ou se cortam. No primeiro caso podemos dizer que o ˆangulo entre elas ´e nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam no plano quatro ˆangulos, e dizemos que o ˆangulo entre elas ´e o menor deles1. O ˆangulo entre duas retas r e l ´e indicado por (r, l), e sua medida por m((r, l)). Figura 4.1 Na figura 4.1a as retas r e l s˜ao paralelas, e ent˜ao m((r, l)) = 0. Na figura 4.1b as retas r e l s˜ao concorrentes, demarcando no plano quatro ˆangulos, dois a dois congruentes, como indicado. Se m(a) m(b) (como sugere, visualmente, a figura) ent˜ao, (r, l) = a, ou m((r, l)) = m(a). 1Lembramos aqui que, na verdade, comparamos ˆangulos atrav´es de suas medidas, ou seja, dizemos que ABC ´e menor do que DEF, rela¸c˜ao que podemos denotar por ABC DEF, se m(ABC) m(DEF). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 45 28/01/2013 11:09:34
- 46. 46 Fundamentos degeometria espacial Figura 4.2 No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ao s˜ao nem concorrentes nem paralelas. Como poder´ıamos medir o ˆangulo entre elas? Bem, poder´ıamos fazer o seguinte: “colocar” uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s s˜ao reversas, tomamos, por exemplo, s uma reta concorrente com r e paralela a s, e definimos a medida do ˆangulo entre r e s como sendo a medida do ˆangulo entre r e s. A ideia parece boa? Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas auxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r for uma reta paralela a r e concorrente com s, ser´a que m((r, s)) = m((r, s))? De fato, isto acontece, como enunciamos em nosso pr´oximo teorema (veja a figura 4.2). Teorema 4.1. Sejam r, s e r, s dois pares de retas concorrentes tais que r r e s s. Ent˜ao m((r, s)) = m((r, s)). Figura 4.3 Na figura 4.3 representamos a situa¸c˜ao do teorema 4.1. Temos, na figura, que a = (r, s) e b = (r, s) onde r r e s s. O teorema nos diz ent˜ao que a b. Procure entender bem o significado deste teorema, que ´e bem intuitivo. A sua demonstra¸c˜ao, de leitura opcional, ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.5. Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r e s s˜ao coplana-res.( Sugest˜ao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].) Corol´ario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r r e s s s˜ao retas tais que r ´e concorrente a s e s ´e concorrente a r, ent˜ao m((r, s)) = m((r, s)). Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corol´ario acima (veja a figura 4.2). Agora podemos definir a medida de ˆangulos entre retas reversas. Defini¸c˜ao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espa¸co. Definimos a medida do ˆangulo entre r e s, denotada por m((r, s)), como sendo m((r, s)), onde s ´e uma reta paralela a s e concorrente a r. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 46 28/01/2013 11:09:35
- 47. Problema 4.3. Sejamr e s retas reversas, e sejam r r, s s tais que r seja concorrente a s e s concorrente a r. Prove que m((r, s)) = m((r, s)) = m((r, s)) = m((r, s)). 4.3 Perpendicularismo de retas e planos Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s s˜ao perpendicula-res se s˜ao concorrentes e os ˆangulos que formam entre si s˜ao retos, e esta rela¸c˜ao ´e denotada por r s. Esta defini¸c˜ao continua valendo no espa¸co, ´e claro. Veremos agora como fica o conceito de perpendicularidade entre retas e planos. Figura 4.4 A ideia de uma reta perpendicular a um plano ´e bem intuitiva. Basta vocˆe equilibrar um l´apis em sua base sobre a mesa que ter´a a “sensa¸c˜ao” do que ´e perpendicularismo de reta (representada pelo l´apis) e plano (representado pela mesa). Se vocˆe medir o ˆangulo entre o l´apis e o plano em qualquer dire¸c˜ao do plano ver´a que ´e aproximadamente um ˆangulo reto (veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na defini¸c˜ao abaixo. Defini¸c˜ao 4.4. Uma reta r e um plano s˜ao perpendiculares entre si, rela¸c˜ao denotada por r , se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de que passa por P for perpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P ´e chamado de p´e da reta r, perpendicular ao plano. Figura 4.5 Problema 4.4. Mostre que se r ent˜ao para toda reta s tem-se que m((r, s)) = 90. Observa¸c˜ao 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espa¸co que fazem entre si um ˆangulo reto. Se s˜ao concorrentes, com j´a dissemos, as chamamos de perpendiculares. Se s˜ao reversas, dizemos que s˜ao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonal para indicar quaisquer pares de retas no espa¸co que fazem entre si um ˆangulo reto. Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas e planos no espa¸co an´alogas `as propriedades entre retas perpendiculares num plano. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 47 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 47 28/01/2013 11:09:35
- 48. 48 Fundamentos degeometria espacial Figura 4.6 Teorema 4.5. Sejam r e uma reta e um plano perpendiculares entre si. Ent˜ao: (a) Toda reta paralela a r tamb´em ´e perpendicular a (veja figura 4.6). (b) Todo plano paralelo a tamb´em ´e perpendicular a r (veja figura 4.7). Figura 4.7 Demonstrac¸˜ao. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstra¸c˜ao de (b), que ´e inteiramente an´aloga, como exerc´ıcio. Sejam, como no enunciado, r uma reta e um plano tais que r . Seja s uma reta paralela a r. O que temos que fazer ´e conferir se s satisfaz a defini¸c˜ao 4.4. Pelo teorema 3.9 vemos que como s r ent˜ao s . Chamemos de A e Q os pontos em que r e s encontram , respectivamente. Seja u uma reta qualquer passando por Q, e tomemos u a reta paralela a u passando por A. Observe ent˜ao que r, u e s, u est˜ao na situa¸c˜ao do teorema 4.1, donde m((r, u)) = m((s, u)). Ent˜ao como r u, por defini¸c˜ao, conclu´ımos que s u. Assim provamos que toda reta de concorrente com s ´e perpendicular a esta reta, ou seja, s . Problema 4.5. Demonstre a parte (b) do teorema anterior. (Sugest˜ao: v´a trocando a palavra “reta” por “plano” na argumenta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do teorema, mas cuidando para que fa¸ca sentido!) Temos ainda o resultado abaixo, an´alogo ao teorema 4.5: Fundamentos de Geometria Espacial.indd 48 28/01/2013 11:09:35
- 49. Teorema 4.6. Asseguintes propriedades s˜ao v´alidas: (a) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano s˜ao paralelas entre si, e (b) dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta s˜ao paralelos entre si. Figura 4.8 Demonstrac¸˜ao. A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e um pouquinho mais complicada que a do anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstra¸c˜ao do item (a), deixando (b) como exerc´ıcio. Vamos l´a. Sejam um plano e r uma reta perpendicular a . Chamemos de A o ponto em que r encontra . Seja s outra reta perpendicular a , encontrando este plano em um ponto P. Queremos mostrar que r s. Bem, sabemos que existe uma reta s passando por P e paralela a r. Provaremos que, na verdade, s = s. Para isto suponhamos, por absurdo, que s s. Neste caso s e s s˜ao retas concorrentes em P e determinam um plano . Os planos e contˆem o ponto P em comum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos ent˜ao que AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 49 (i) s l pois, por hip´otese, s ; (ii) s l, pois s r por constru¸c˜ao donde, pelo teorema 4.5, s ; (iii) s e s passam por P e pertencem ao mesmo plano . Nestas condi¸c˜oes temos que s e s s˜ao retas de passando por um ponto P e perpendiculares a uma mesma reta l, o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma ´unica reta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s n˜ao podem ser distintas. Logo s = s e s r. Problema 4.6. Demonstre a parte (b) do teorema acima. (Sugest˜ao: veja a sugest˜ao do problema anterior.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 49 28/01/2013 11:09:35
- 50. 4.4 Existˆencia deretas perpendiculares Apresentamos nas se¸c˜oes anteriores v´arias propriedades envolvendo retas perpendiculares a planos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermos provar a sua existˆencia precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a defini¸c˜ao 4.4, pois a frase “toda reta de ...” da defini¸c˜ao nos p˜oe um problema pr´atico: como testar se uma reta ´e perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como. Teorema 4.7. Uma reta r ´e perpendicular a um plano se e somente r for perpendicular a duas retas distintas de . 50 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.9 A situa¸c˜ao descrita no enunciado do teorema 4.7 ´e ilustrada na figura 4.9. O teorema diz que basta verificar a perpendicularidade de r em rela¸c˜ao a duas retas do plano (no caso da figura, r t e r u). Isto ´e bem intuitivo. Fa¸ca o seguinte experimento: trace uma reta em uma folha de papel e apoie um l´apis com sua base sobre esta reta, formando um ˆangulo reto com ela; mantendo este ˆangulo vocˆe pode mover o l´apis para um lado e para outro, como uma dobradi¸ca. Depois trace outra reta na folha, transversal `a primeira e coloque a base do l´apis sobre a interse¸c˜ao das duas retas; observe que o l´apis forma um ˆangulo reto com cada uma delas, e que qualquer movimento que vocˆe fizer com ele alterar´a um desses ˆangulos. Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplic´a-lo, como veremos a seguir, e deixaremos sua demonstra¸c˜ao como leitura opcional na se¸c˜ao 4.5. Nossa primeira aplica¸c˜ao do teorema 4.7 ´e a seguinte: construir retas perpendiculares a planos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemos construir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja os dois teoremas a seguir. Teorema 4.8. Dados um ponto P e uma reta r existe um ´unico plano perpendicular a r passando por P. Demonstrac¸˜ao. Temos dois casos a considerar: P r e P r. A constru¸c˜ao do plano passando por P e perpendicular a r ´e essencialmente a mesma nos dois casos, a menos de um pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exerc´ıcio. Suponhamos ent˜ao que P r. Vamos construir o plano seguindo os seguintes passos, que vocˆe pode acompanhar na figura 4.10: (1) Seja o plano que passa por P e r. Tome em a reta t passando por P e perpendicular a r. Seja A o ponto em que t e r se encontram. (2) Tome um outro plano distinto de passando por r e, em , construa a reta s perpen-dicular a r por A. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 50 28/01/2013 11:09:36
- 51. Figura 4.10 (3)Ent˜ao o plano determinado por t e s ´e o plano que procuramos. De fato: (i) r t e r s, por constru¸c˜ao, donde r , pelo teorema 4.7; (ii) P , j´a que P t. Figura 4.11 Para provar a unicidade, suponha que seja outro plano passando por P e perpendicular a r. Ent˜ao , o plano determinado por P e r, corta segundo uma reta t. Em particular, como r , ent˜ao t r. Assim temos duas retas, t e t, ambas passando por P e perpendiculares a r, o que ´e uma contradi¸c˜ao, j´a que a perpendicular a uma reta por um ponto dado ´e ´unica. Logo o plano ´e o ´unico plano que passa por P e ´e perpendicular a r (veja a figura 4.11). AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 51 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 51 28/01/2013 11:09:36
- 52. Problema 4.7. Demonstreo teorema anterior no caso em que P r. (Sugest˜ao: tome dois planos e quaisquer, distintos, passando por r, e retas t , s passando por P e perpendiculares a r. Da´ı em diante siga os passos do teorema.) Teorema 4.9. Dados um um ponto P e um plano , existe uma ´unica reta r passando por P e perpendicular a . Demonstrac¸˜ao. Como no teorema anterior, h´a dois casos a considerar: P e P . Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor. 52 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.12 Suponhamos ent˜ao que P . Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhados na figura 4.12: (1) Tome uma reta t qualquer, e seja o plano que passa por P e ´e perpendicular a t (pelo teorema 4.8). (2) Seja l a reta em que os planos e se encontram. Observe que l t (por quˆe?). Seja ainda Q o ponto em que l e t se cortam. (3) Trace por P a reta r perpendicular a l, e seja R o ponto de encontro entre r e l. A reta r constru´ıda acima ´e a solu¸c˜ao do nosso problema. Para aplicarmos a caracteriza¸c˜ao dada no teorema 4.7 precisamos encontrar em duas retas concorrentes e perpendiculares a r. Uma n´os j´a temos: a reta l, pois r l por constru¸c˜ao. Para obter outra precisamos analisar duas possibilidades que podem acontecer: (i) Os pontos Q e R s˜ao coincidentes. Neste caso, como t e r , ent˜ao r t, donde r . (ii) Os pontos Q e R s˜ao distintos. Neste caso tome t a reta paralela a t passando por R. Ent˜ao, pelo teorema 4.5, temos que t . Em particular, r t, e novamente conclu´ımos que r . Finalmente, para mostrar que r ´e a ´unica reta perpendicular a passando por P podemos seguir argumento an´alogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r passando por P e perpendicular a , e seja o plano determinado por r e r. Os planos e se cortam segundo uma reta l. Ent˜ao acabamos de apresentar duas retas perpendiculares a uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo r n˜ao pode existir. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 52 28/01/2013 11:09:36
- 53. Problema 4.8. Demonstreo teorema anterior no caso em que P . (Sugest˜ao: tome duas retas l e l contidas em passando por P; tome e os planos perpendiculares a l e l, respectivamente, tamb´em passando por P. Verifique que a reta r comum a e ´e a reta procurada.) 4.5 Opcional: demonstra¸c˜ao dos teoremas 4.1 e 4.7 A seguir apresentamos as demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.7. Come¸camos com o primeiro. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 4.1) Esta ser´a nossa primeira demonstra¸c˜ao em que usaremos, no espa¸co, a congruˆencia de triˆangulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumenta¸c˜ao na listados abaixo. Figura 4.13 (1) Sejam A e P os pontos em que r encontra s e que r encontra s, respectivamente. Tome B r e R r pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano determinado por s e s, de forma que AB PR. (2) Analogamente, tome C s e Q s pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano determinado por r e r, de forma que AC PQ. (3) Temos agora dois triˆangulos BAC e RPQ no espa¸co, em planos diferentes. Queremos mostrar que BAC RPQ. Para isto vamos mostrar que BC RQ e aplicar o crit´erio LLL de congruˆencia de triˆangulos. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 53 (4) Como AB PR, ent˜ao temos que BR AP (pois est˜ao no plano determinado por r e r e s˜ao determinadas por pontos equidistantes). Logo ABRP ´e um paralelogramo, e portanto AP BR. (5) Analogamente mostra-se que ACQP tamb´em ´e um paralelogramo, e que AP CQ (escreva os detalhes). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 53 28/01/2013 11:09:36
- 54. (6) Agora temosque AP BR e 54 Fundamentos de geometria espacial AP CQ; logo BR CQ. Al´em disso BR AP CQ. Com isto mostramos que BCQR tamb´em ´e um paralelogramo! Assim BC RQ, como quer´ıamos verificar. (7) Dos fatos acima conclu´ımos que BAC RPQ pelo crit´erio LLL. Em particular, BAC RPQ. Logo m((r, s)) m((r, s)). Agora apresentamos a demonstra¸c˜ao do teorema 4.7. Demonstrac¸˜ao. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano ent˜ao, por de-fini ¸c˜ao, ´e perpendicular a todas as retas de que a cortam, em particular a duas retas distintas quaisquer dentre estas. A rec´ıproca ´e um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retas s e s de . Seja P o ponto em que r encontra . Se t ´e outra reta qualquer passando por P, queremos provar que r t. Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe na figura 4.14). Figura 4.14 (1) Primeiro observe que s e s dividem em quatro regi˜oes angulares, e que t passa por duas delas, correspondentes a dois ˆangulos opostos pelo v´ertice. Escolha uma destas regi˜oes e tome nas semirretas de s e s que a delimitam dois pontos B s e C s tais que PB PC. Nestas condi¸c˜oes o segmento BC encontra t em um ponto K. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 54 28/01/2013 11:09:37
- 55. (2) Tome Ae A pontos de r em lados opostos do espa¸co tais que PA PA. Assim temos AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 55 que APB APB APC APC, sendo todas as congruˆencias pelo crit´erio LAL (complete os detalhes). (3) Do item anterior deduzimos que AB AB AC AC. Logo ABC ABC donde, em particular, tiramos que ABC ABC. (4) Dos dados dos itens anteriores conclu´ımos que ABK ABK, pelo crit´erio LAL. Em particular, AK AK. (5) Agora examinemos o triˆangulo AKA. Este triˆangulo ´e is´osceles com base AA, e P ´e ponto m´edio de AA. Logo KP ´e altura de AKA (por quˆe?). Em particular KP AA. Como t = KP e r = AA, temos o resultado desejado. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 55 28/01/2013 11:09:37
- 56. 4.6 Exerc´ıcios KQ. Tem-se ainda que AB , onde B KQ, R e C . Responda se verdadeiro ou falso e justifique: 56 Fundamentos de geometria espacial Figura 4.15: – Exerc´ıcio 4.1 4.1. Na figura 4.15 os pontos A, B, C e D n˜ao s˜ao coplanares. (a) Quantos planos s˜ao determinados por estes pontos? (b) Suponha que AD DC, BC BA e que DBA ´e reto. Nestas condi¸c˜oes pelo menos um dos segmentos indicados na figura ´e perpendicular a um dos planos determinados pelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa. 4.2. Seja r ; seja P o ponto comum a r e . Prove que se t ´e uma reta passando por P e perpendicular a r, ent˜ao t . (Sugest˜ao: tome no plano determinado por t e r a reta t perpendicular a r em P e verifique que t = t. Figura 4.16: – Exerc´ıcio 4.3 4.3. Na figura 4.16 os planos e se interceptam segundo a reta (a) AB BR ? (b) AB KQ ? (c) AB BC ? 4.4. Na figura 4.17, na qual nem todos os pontos indicados s˜ao coplanares, tem-se que AW BW, AX BX, AY BY e AZ BZ. Prove que os pontos W, X, Y e Z s ˜ao coplanares. (Sugest˜ao: Se M ´e o ponto m´edio de AB mostre que AB ´e perpendicular `as retas WM, XM, YM e ZM. Conclua, usando o exerc´ıcio 4.2.) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 56 28/01/2013 11:09:37
- 57. Figura 4.17: –Exerc´ıcio 4.4 Figura 4.18: – Exerc´ıcios 4.6 e 4.7 4.5. Sejam A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´atero contido em um plano . Seja T o circuncentro de ABC. Seja r a reta perpendicular a passando por T. Mostre que se X r ent˜ao AX = BX = CX. Fa¸ca um desenho que represente a situa¸c˜ao. 4.6. Na figura 4.18 o triˆangulo RSQ est´a contido no plano , e PR . Se PQR SQ RQ e SQ PQ, prove que PQ QS. AUla 4: Perpendicularismo entre retas e planos no esapço 57 PSR, prove que PQS PSQ. 4.7. Ainda usando a figura 4.18 como referˆencia, se PR , PR RS, Figura 4.19: – Exerc´ıcio 4.8 4.8. Na figura 4.19 os planos e s˜ao paralelos, AB , CD , AC e BD . Demonstre que AD e BC se bissectam (isto ´e, se encontram em um ponto que ´e ponto m´edio de ambos segmentos). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 57 28/01/2013 11:09:37
- 58. 5 Ângulos entreplanos Fundamentos de Geometria Espacial.indd 58 28/01/2013 11:09:39
- 59. AUla 5: AsÂngulos entre planos 59 AULA5: ˆANGULOS ENTRE PLANOS OBJETIVOS Introduzir o conceito de ˆangulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismo entre planos. 5.1 Introdu¸c˜ao Na aula anterior estudamos um pouco sobre ˆangulos entre retas no espa¸co, e tamb´em es-tudamos perpendicularismo entre retas e planos. A pr´oxima etapa ´e estudar ˆangulos entre retas e planos e ˆangulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “ˆangulo” no espa¸co inteiramente an´alogo ao de ˆangulo no plano, um “ˆangulo” cujos lados s˜ao semiplanos. 5.2 ˆAngulos entre planos: diedros Em [7] definimos um ˆangulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, de maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto ´e, podemos “tridimensi-onalizar” o ˆangulo determinado por semirretas. Chamamos a vers˜ao de ˆangulo para planos de diedro, conforme a defini¸c˜ao mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposi¸c˜ao, indicaremos semiplanos com um sinal de chap´eu; por exemplo, ˆ indica um semiplano do plano . ˆ ˆ l Figura 5.1 Defini¸c˜ao 5.1. Um diedro1 ´e a uni˜ao de dois semiplanos com a mesma reta de origem. Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro s˜ao suas faces, e a reta comum aos semiplanos a sua aresta. O diedro determinado pelos semiplanos ˆ e ˆ ser´a denotado por (ˆ, ˆ ), onde ˆ e ˆ s ˜ao suas faces. Um bom modelo de diedro ´e um livro ou caderno aberto parcialmente. As p´aginas opos-tas s˜ao suas faces, e a sua aresta ´e o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1 representamos um diedro formado pelos semiplanos ˆ e ˆ com aresta l. 1A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego di- = dois, e -edro = cadeira, face. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 59 28/01/2013 11:09:39
- 60. Podemos tamb´em definirregi˜ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1). Defini¸c˜ao 5.2. A regi˜ao diedral determinada pelo diedro (ˆ, ˆ ) ´e a interse¸c˜ao do subespa¸co determinado pelo plano no qual se encontra o semiplano ˆ com o subespa¸co determinado pelo plano no qual se encontra o semiplano ˆ. Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regi˜ao diedral correspondente. 60 Fundamentos de geometria espacial Figura 5.2 Uma pergunta que surge de imediato ´e: como medir um diedro, ou melhor, como medir a “abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pela parte de baixo numa mesa. Quando vocˆe olha de cima para baixo vˆe um ˆangulo na mesa determinado pelas p´aginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta ´e a ideia que podemos usar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro (ˆ, ˆ ) de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3): (1) primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano perpendicular `a reta l; (2) o plano corta ˆ e ˆ em duas semirretas a e b , respectivamente; (3) as semirretas a e b determinam o ˆangulo (a , b ) em . Poder´ıamos definir a medida de (ˆ, ˆ ) como sendo a medida de (a , b ) constru´ıdo acima, mas precisamos garantir que esta medida n˜ao depende da escolha de . Na verdade, j´a temos este resultado, disfar¸cado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema a seguir. ˆ ˆ b a Figura 5.3 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 60 28/01/2013 11:09:39
- 61. Teorema 5.3. Seja(ˆ, ˆ ) um diedro de faces ˆ e ˆ , com aresta l. Sejam e dois planos perpendiculares a l. Tomemos ainda AUla 5: As Ângulos entre planos 61 ˆ = a , ˆ = b , ˆ = a , ˆ = b . Ent˜ao m((a , b )) = m((a , b )) Demonstrac¸˜ao. Observe que (por quˆe?), donde a a e b b (por quˆe?). Logo, pelo teorema 4.1 conclu´ımos que m((a , b )) = m((a , b )), como quer´ıamos. Problema 5.2. (a) Fa¸ca um desenho ilustrando a situa¸c˜ao descrita no enunciado do teo-rema acima. (b) Justifique os por quˆes na demonstra¸c˜ao do teorema acima. Defini¸c˜ao 5.4. Usando as nota¸c˜oes da figura 5.3, com base na constru¸c˜ao descrita na p´agina anterior, definimos a medida do diedro (ˆ, ˆ ) como sendo m((ˆ, ˆ )) = m((a , b )), onde (a) ´e um plano qualquer perpendicular `a reta l, aresta do diedro (ˆ, ˆ ); (b) a = ˆ e b = ˆ . Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos... Defini¸c˜ao 5.5. Dizemos que um diedro ´e reto se sua medida for 90. ... e congruˆencia de diedros. Defini¸c˜ao 5.6. Dizemos que dois diedros (ˆ, ˆ ) e (ˆ, ˆ ) s˜ao congruentes, rela¸c˜ao denotada por (ˆ, ˆ ) (ˆ, ˆ ), se m((ˆ, ˆ )) = m((ˆ, ˆ )). Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes (isto ´e o o an´alogo aos ˆangulos O.P.V. (opostos pelo v´ertice) da geometria plana). Em particular, se um dos diedros for reto, todos o s˜ao tamb´em. Finalmente definimos ˆangulos entre planos. Defini¸c˜ao 5.7. Definimos a medida do ˆangulo entre dois planos e , denotada por m((, )), como sendo (a) m((, )) = 0, se ; (b) a medida do menor dos diedros por eles determinado, se e s˜ao secantes. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 61 28/01/2013 11:09:39
- 62. 5.3 Planos perpendiculares Uma vez que sabemos medir ˆangulos entre planos podemos, definir o conceito de planos perpendiculares. Defini¸c˜ao 5.8. Dizemos que dois planos secantes e s˜ao perpendiculares, rela¸c˜ao deno-tada por , se 62 Fundamentos de geometria espacial m((, )) = 90. Apresentamos a seguir uma outra forma, muito ´util, de caracterizar planos perpendiculares. Figura 5.4 Teorema 5.9. Dois planos e s˜ao perpendiculares entre si se e somente se existir uma reta a (respectivamente, uma reta b ) tal que a (respectivamente, b ). Demonstrac¸˜ao. Sejam e dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram. Fa¸camos a primeira parte: suponhamos que exista a tal que a . Queremos provar que ; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4): (a) seja P o ponto em que a encontra l; tome a reta r que passa por P e ´e perpendicular a l; (b) ent˜ao a l (por qual hip´otese?), e r l por constru¸c˜ao; logo o plano determinado por a e r ´e perpendicular a l; (c) temos ainda que a r, pois a ; logo a medida de quaisquer dos diedros determinados por e ´e 90 (por quˆe?), donde . Suponhamos agora que . Podemos construir uma reta a perpendicular a da seguinte forma (veja novamente a figura 5.4): (a) tome um plano qualquer perpendicular a l; (b) tome a = . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 62 28/01/2013 11:09:40
- 63. AUla 5: AsÂngulos entre planos 63 Observe que a ´e, de fato, a reta desejada, pois: (i) a l, j´a que a e l; (ii) se r ´e a reta comum a e ent˜ao a r, pois estamos supondo que e a medida de quaisquer dos diedros determinados por e ´e 90, exatamente a medida de quaisquer dos ˆangulos determinados por a e r (reveja a defini¸c˜ao de medida de diedros); (iii) assim a ´e perpendicular a duas retas de , e portanto a . Problema 5.4. Responda aos por quˆes da demonstra¸c˜ao acima. Uma consequˆencia (indireta) da demonstra¸c˜ao do teorema acima ´e a propriedade seguinte, apresentada na forma de exemplo. Exemplo 5.1. Se e l = , ent˜ao toda reta r perpendicular a l ´e perpendicular a . De fato, seja P o ponto de encontro de l e r, e tome t a reta que passa por P e ´e perpendicular a l. Ent˜ao o plano determinado por r e t ´e perpendicular a l. Assim, m((r, t)) = 90, pela defini¸c˜ao de perpendicularidade de planos. Logo r . Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e fa¸ca um desenho que o ilustre. 5.4 Constru¸c˜ao de planos perpendiculares A caracteriza¸c˜ao do teorema 5.9 permite a constru¸c˜ao de planos perpendiculares, em analogia `a constru¸c˜ao de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dada reta (ou dado plano) pode-se tra¸car uma ´unica reta perpendicular `a reta dada (ou ao plano dado). Veremos agora as constru¸c˜oes an´alogas a estas no contexto “ponto × plano” e “reta × plano”. Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um plano dado: basta tra¸car por P a reta r perpendicular a , e todos os planos que contˆem r s˜ao perpendiculares a . Analogamente, se r ´e uma reta perpendicular a , por r passam infinitos planos perpendiculares a , pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamos estas situa¸c˜oes. Figura 5.5 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 63 28/01/2013 11:09:40
- 64. Vejamos agora ocaso mais interessante. Teorema 5.10. Sejam dados um plano e uma reta r n˜ao perpendicular a . Ent˜ao existe um ´unico plano perpendicular a passando por r. Demonstrac¸˜ao. A constru¸c˜ao ´e bem simples: tome um ponto P r qualquer, e por P trace a reta t perpendicular a . O plano determinado por r e t ´e o plano procurado (veja a figura 5.6), pois: (i) r por constru¸c˜ao; (ii) , pois t ´e uma reta perpendicular a por constru¸c˜ao. 64 Fundamentos de geometria espacial Figura 5.6 A unicidade tamb´em ´e simples: suponha que exista um outro plano passando por r e perpendicular a , e seja l = . Certamente l pois, caso contr´ario, = . Tome t uma reta passando por P e perpendicular a l. Pelo exemplo 5.1 temos que t , uma contradi¸c˜ao, j´a que por P n˜ao podem passar duas perpendiculares a . Logo ´e ´unico. Problema 5.6. Na figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e o plano s˜ao concorrentes. Fa¸ca desenhos que representem a situa¸c˜ao nos casos em que: (a) r ; (b) r . 5.5 Alguns problemas resolvidos Vejamos agora alguns probleminhas interessantes. Problema 5.7. Sejam e dois planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpen-dicular a . Prove que ou r ou r . Soluc¸˜ao. Como , ent˜ao existe uma reta t perpendicular a (teorema 5.9). Temos duas possibilidades: (i) r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contr´ario, ter´ıamos duas retas passando por P e perpendiculares a . Ent˜ao r . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 64 28/01/2013 11:09:40
- 65. (ii) r et n˜ao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r t, AUla 5: As Ângulos entre planos 65 donde r . Problema 5.8. Fa¸ca desenhos que ilustrem o problema anterior. Problema 5.9. Prove que se , e s˜ao planos tais que e ent˜ao . Figura 5.7 Soluc¸˜ao. Como , ent˜ao existe uma reta r tal que r . Seja r uma reta paralela a r. Ent˜ao r pelo teorema 4.5. Logo, pelo crit´erio estabelecido no teorema 5.9, temos que (veja a figura 5.7). Figura 5.8 Problema 5.10. Prove que se r e s s˜ao duas retas reversas, ent˜ao existe uma ´unica reta t perpendicular a ambas. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 65 28/01/2013 11:09:40
- 66. Soluc¸˜ao. A propriedadefundamental para lidar com retas reversas ´e a descrita no pro-blema 3.9: existem dois planos e , ´unicos, tais que e r , s . Usando este fato vamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe na figura 5.8): (a) Tome o plano que passa por r e ´e perpendicular a . Ent˜ao, pelo problema anterior, . (b) Observe em seguida que s ´e secante a . De fato, se s ou se s ent˜ao ter´ıamos s r, o que n˜ao ´e poss´ıvel. (c) Pelo ponto P em que s encontra trace a reta t perpendicular a . A reta t ´e a reta procurada. De fato, temos que t pelo problema 5.7 (complete os detalhes!); logo t e r s˜ao secantes pois est˜ao contidas no mesmo plano e n˜ao s˜ao paralelas. Finalmente, como t ent˜ao, em particular, t r. Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t perpendicular a r e s. Observe que t (veja o problema a seguir), donde t t, pelo teorema 4.6. Seja o plano determinado por t e t. Como r ´e concorrente a t e t, ent˜ao r ; analogamente s . Ora, isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois r e s s˜ao reversas e portanto n˜ao podem pertencer a um mesmo plano. Logo n˜ao pode haver outra reta perpendicular a r e s al´em de t. Problema 5.11. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam o plano passando por r e paralelo a s. Se t ´e uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t . (Sugest˜ao: se r t = {P}, tome s a reta paralela a s passando por P e mostre que t s.) 66 Fundamentos de geometria espacial Fundamentos de Geometria Espacial.indd 66 28/01/2013 11:09:41
- 67. 5.6 Exerc´ıcios 5.1.Sejam A e B dois pontos e um plano. Prove que sempre existe um plano passando por A e B e perpendicular a . Em que situa¸c˜ao este plano ´e ´unico? 5.2. Mostre que se um plano cont´em uma reta perpendicular a outro plano , ent˜ao cont´em uma reta perpendicular a . 5.3. Sejam e dois planos que se cortam em uma reta l. Prove que ´e um plano perpendicular a e simultaneamente se e s´o se l. 5.4. Podemos definir diedros alternos internos de maneira an´aloga `a defini¸c˜ao de ˆangulos alternos internos. Escreva uma defini¸c˜ao para este conceito e marque na figura 5.9, onde os planos e s˜ao paralelos, os pares de diedros alternos internos formados. Demonstre que dois diedros alternos internos s˜ao congruentes entre si. Figura 5.9: – Exerc´ıcio 5.4 Figura 5.10: – Exerc´ıcio 5.5 5.5. Na figura 5.10 os planos e s˜ao perpendiculares entre si, e os triˆangulos ACD e CBD s˜ao is´osceles, com base CD e congruentes. Al´em disso M ´e ponto m´edio de AB e N ´e ponto m´edio de CD. Mostre que AUla 5: As Ângulos entre planos 67 (a) MN AB e (b) MN CD. (Sugest˜ao: mostre que AN NB e CM MD.) 5.6. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam e planos paralelos contendo r e s, respec-tivamente. Sejam o plano passando por r e perpendicular a , e o plano passando por s e perpendicular a . Mostre que t = ´e a reta perpendicular a r e s que foi apresentada no problema 5.10. 5.7. Sejam e dois planos concorrentes, e r , s duas retas. Mostre que m((, )) = m((r, s)). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 67 28/01/2013 11:09:41
- 68. 6 Lugares geométricos e poliedros Fundamentos de Geometria Espacial.indd 68 28/01/2013 11:09:43
- 69. AULA6: LUGARES GEOM´ETRICOSE POLIEDROS OBJETIVOS Introduzir o conceito de distˆancias entre ponto e retas ou planos, entre retas, entre retas e planos, e entre planos. Apresentar alguns lugares geom´etricos no espa¸co. Introduzir o conceito de poliedros e apresentar alguns exemplos destas figuras, como prismas e pirˆamides. AUla 6: Lugares geométricos e poliedros 69 6.1 Introdu¸c˜ao Nesta aula estudaremos alguns lugares geom´etricos no espa¸co e apresentaremos alguns obje-tos geom´etricos que muitos j´a conhecem: os poliedros. Come¸caremos estudando o conceito de distˆancia no espa¸co: distˆancia entre pontos e retas, entre pontos e planos, entre retas e planos, e entre planos. Em seguida apresentaremos alguns lugares geom´etricos, como os planos bissetores (o equivalente a bissetrizes de ˆangulos planos). Terminamos a aula com o estudo de poliedros, focando nos mais b´asicos: paralelep´ıpedos, cubos, prismas em geral, e pirˆamides. 6.2 Distˆancias Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distˆancia entre pontos, distˆancia de ponto a reta e distˆancia entre retas. No espa¸co temos mais algumas entidades a introduzir nesta lista: distˆancia de ponto a plano, distˆancia de reta a plano e distˆancia entre planos. Vamos ver isto nesta se¸c˜ao. Primeiro recordemos as defini¸c˜oes de distˆancia entre ponto e reta: Defini¸c˜ao 6.1. Definimos a distˆancia entre um ponto A e uma reta r como o n´umero dist(A, r) satisfazendo as seguintes propriedades: (a) se A r ent˜ao dist(A, r) = 0; (b) se A r ent˜ao dist(A, r) = AP, onde P ´e o p´e da reta perpendicular a r passando por A. Lembramos ainda que esta defini¸c˜ao ´e natural, pois ´e f´acil de ver que se A r ent˜ao dist(A, r) AQ para todo ponto Q r distinto de P. A defini¸c˜ao de distˆancia entre ponto e plano ´e inteiramente an´aloga: Defini¸c˜ao 6.2. Definimos a distˆancia entre um ponto A e um plano como o n´umero dist(A,) satisfazendo as seguintes propriedades: (a) se A ent˜ao dist(A,) = 0; (b) se A ent˜ao dist(A,) = AP, onde P ´e o p´e da reta perpendicular a passando por A. A propriedade que garante a “naturalidade” desta defini¸c˜ao ´e a mesma que garante a na-turalidade da defini¸c˜ao de distˆancia entre ponto e reta: se A e Q ´e distinto de P, ent˜ao AP AQ. A demonstra¸c˜ao disto ´e inteiramente an´aloga `a do caso entre ponto e reta, e deixamos como um problema: Fundamentos de Geometria Espacial.indd 69 28/01/2013 11:09:43
- 70. 70 Fundamentos degeometria espacial Figura 6.1 Problema 6.1. Sejam A, e P como na defini¸c˜ao 6.2, com A . Mostre que dist(A,) = AP AQ para todo ponto Q distinto de P. (Sugest˜ao: na figura 6.1 o triˆangulo APQ ´e retˆangulo) Passemos agora ao estudo de distˆancia entre planos. Lembremos a defini¸c˜ao de distˆancia entre retas num plano: Defini¸c˜ao 6.3. A distˆancia entre duas retas r e s coplanares ´e o n´umero dist(r, s) definido da seguinte maneira: (i) dist(r, s) = 0 se r e s s˜ao concorrentes; (ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A r, se r e s s˜ao paralelas. Traduzimos facilmente esta defini¸c˜ao para o caso de distˆancia entre planos: Defini¸c˜ao 6.4. A distˆancia entre dois planos e ´e o n´umero dist(, ) definido da seguinte maneira: (i) dist(, ) = 0 se e s˜ao concorrentes; (ii) dist(, ) = dist(A, ) para algum ponto A , se e s˜ao paralelos. Figura 6.2 A propriedade que garante que a defini¸c˜ao acima ´e “boa”, isto ´e, que tem um sentido adequado, ´e a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente an´aloga `a que garante o bom sentido da defini¸c˜ao 6.3 (veja [7]). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 70 28/01/2013 11:09:43
- 71. Problema 6.2. Sejam e dois planos paralelos entre si. Mostre que AUla 6: Lugares geométricos e poliedros 71 dist(A, ) = dist(B,) para quaisquer pontos A e B de . (Sugest˜ao: Na figura 6.2 temos que AP e BQ s ˜ao perpendiculares a , donde AP BQ. Mostre que APQB ´e um retˆangulo e conclua.) O leitor atento deve ter percebido que “pulamos” a defini¸c˜ao de distˆancia entre retas n˜ao coplanares. Bem, o fato ´e que fica mais f´acil falar disto depois de introduzir o conceito de distˆancia entre planos, por causa das retas reversas. Sim, como todos devem se lembrar, no espa¸co temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a defini¸c˜ao 6.3 sobre apenas os casos em que as retas s˜ao coplanares (ou seja, quando s˜ao concorrentes ou paralelas). E como definir distˆancia entre retas reversas? Ora, seguindo a mesma forma de pensar que usamos at´e agora para definir distˆancia entre v´arios elementos no plano e no espa¸co, poder´ıamos usar o resultado do problema resolvido 5.10: se r e s s˜ao retas reversas ent˜ao existe uma ´unica reta t perpendicular a ambas. Mas usar isto em que sentido? Bem, veja primeiro o resultado seguinte: Teorema 6.5. Sejam r e s duas retas reversas. Seja t a ´unica reta perpendicular a ambas. Tome t r = {R} e t s = {S}. Ent˜ao RS PQ para quaisquer pontos P r e Q s. Figura 6.3 Demonstrac¸˜ao. Este resultado ´e uma consequˆencia direta do problema 6.1. Acompanhe a demonstra¸c˜ao na figura 6.3 para o caso em que P R e Q S: sejam e os planos paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a PQ passando por R e seja Q o ponto em que l encontra . Ora, ´e f´acil ver que RS = dist(, ) donde, pelo problema 6.1, conclu´ımos que RS = dist(, ) RQ = PQ. Problema 6.3. Prove o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentes com R e/ou S. O teorema 6.5 nos diz que a “menor distˆancia” entre duas retas reversas r e s ´e atingida justamente nos pontos que determinam a (´unica) reta perpendicular a elas, e vimos na demonstra¸c˜ao do teorema anterior que a distˆancia entre esses pontos ´e a distˆancia entre os planos paralelos que contˆem r e s. Com estes dados podemos, finalmente, definir a distˆancia entre retas no espa¸co: Fundamentos de Geometria Espacial.indd 71 28/01/2013 11:09:43
- 72. Defini¸c˜ao 6.6. Adistˆancia entre duas retas r e s no espa¸co ´e o n´umero dist(r, s) definido da seguinte maneira: (i) dist(r, s) = 0 se r e s s˜ao concorrentes; (ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A r, se r s; (iii) dist(r, s) = dist(, ) se r e s s˜ao reversas, onde e s˜ao os ´unicos planos paralelos passando por r e s, respectivamente. 6.3 Planos bissetores Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “ˆangulos espaciais”. Estes objetos possuem diversas propriedades an´alogas `as de ˆangulos planos, e j´a vimos algumas. Apresentaremos agora o objeto an´alogo `as bissetrizes de ˆangulos planos: os planos bissetores. Acompanhe a seguinte constru¸c˜ao na figura 6.4: 72 Fundamentos de geometria espacial ˆ ˆ b a s l Figura 6.4 (a) Considere o diedro (ˆ, ˆ ) com aresta l. (b) Tome um plano perpendicular a l. (c) O plano corta ˆ em uma semirreta a e ˆ em uma semirreta b , formando o ˆangulo (a , b ). (d) Seja s a bissetriz de (a , b ); observe que s . (e) Seja o plano determinado por s e l, e designemos por ˆ o semiplano de contido na regi˜ao diedral determinada por (ˆ, ˆ ), com origem em l. Ent˜ao ´e f´acil verificar que m((ˆ, ˆ)) = m(( ˆ , ˆ)). Problema 6.4. Mostre que a igualdade acima ´e, de fato, verdadeira. Defini¸c˜ao 6.7. Com a nota¸c˜ao da figura 6.4 e as condi¸c˜oes descritas acima, definimos o plano como sendo o plano bissetor do diedro (ˆ, ˆ ). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 72 28/01/2013 11:09:44
- 73. AUla 6: Lugaresgeométricos e poliedros 73 Figura 6.5 Para finalizar a se¸c˜ao apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores. Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes e determinam 4 diedros, dois a dois congruentes: (ˆ1, ˆ 1) (ˆ2, ˆ 2) e (ˆ1, ˆ 2) (ˆ2, ˆ 1). O plano 1 ´e o plano bissetor de (ˆ1, ˆ 1) e (ˆ2, ˆ 2), e 2 ´e o plano bissetor de (ˆ1, ˆ 2) e (ˆ2, ˆ 1). A propriedade que queremos mostrar ´e a seguinte: Problema 6.5. Seguindo a nota¸c˜ao da figura 6.5, mostre que 1 2. Soluc¸˜ao. Esta propriedade ´e inteiramente an´aloga `a relativa a bissetrizes de ˆangulos: duas retas concorrentes no plano determinam quatro ˆangulos, congruentes dois a dois (s˜ao ˆangulos O.P.V.), e as duas bissetrizes s˜ao perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobre geometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso no plano: tome um plano perpendicular `a reta l = . O plano corta os planos e em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos 1 e 2 em duas retas s1 e s2, respectivamente (veja a figura 6.6). Figura 6.6 Da defini¸c˜ao de medidas de ˆangulos diedros temos que 1 2 se somente se s1 s2. Mas esta ´ultima rela¸c˜ao ´e verdadeira, j´a que s1 e s2 s˜ao bissetrizes dos ˆangulos formados por a e b. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 73 28/01/2013 11:09:44
- 74. 6.4 Alguns lugaresgeom´etricos Nesta se¸c˜ao vamos apresentar alguns lugares geom´etricos. Lembramos que um lugar geom´etrico ´e, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espa¸co) que satisfazem a alguma pro-priedade preestabelecida. Come¸camos mostrando que os planos bissetores s˜ao, em verdade, lugares geom´etricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro de geometria plana, como [7]). Problema 6.6. Seguindo as nota¸c˜oes da figura 6.5, mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de e ´e justamente a uni˜ao dos planos bissetores 1 e 2. Soluc¸˜ao. Novamente uma propriedade an´aloga `a de bissetrizes, que recordamos aqui: o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes ´e justamente a uni˜ao das bissetrizes dos ˆangulos por elas formados. E a t´atica para resolver o problema ´e a mesma do problema anterior: reduzi-lo ao caso plano. PH . Reduzimos assim o problema ao caso de um ˆangulo plano. A situa¸c˜ao ´e ilustrada na figura 6.7, onde representamos o plano e os elementos acima descritos. Observe que s1 ´e a bissetriz de um dos ˆangulos determinados por a e b, e que 74 Fundamentos de geometria espacial Figura 6.7 Primeiro provemos que se P 1 2 ent˜ao dist(P,) = dist(P, ). Sem perda de generali-dade, tomemos P 1. Seja o plano passando por P e perpendicular `a reta l, na qual se cortam os planos e . Usando as nota¸c˜oes do problema 6.5, tomamos a = , b = , s1 = 1 e s2 = 2. Sejam G a e H b tais que PG a e PH b. Temos que, como e , ent˜ao PG e dist(P,) = PG, dist(P, ) = PH, donde, pelo resultado j´a conhecido num plano, PG = PH, ou seja, dist(P,) = dist(P, ). Passemos `a rec´ıproca, isto ´e, provemos que se P ´e um ponto equidistante de e , ent˜ao P 1 2. Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regi˜oes diedrais determinadas por e (em outras palavras, P n˜ao pode pertencer a nenhum dos dois planos – justifique esta afirma¸c˜ao). Tome ent˜ao o plano passando por P e perpendicular Fundamentos de Geometria Espacial.indd 74 28/01/2013 11:09:44
- 75. AUla 6: Lugaresgeométricos e poliedros 75 a l, e sejam G , H tais que PG e PH . Pelo mesmo argumento apresentado mais acima temos que PH e PG est˜ao contidas em . Ent˜ao PG = dist(P,) = dist(P, ) = PH. Mas PG = dist(P, a) e PH = dist(P, b) donde, pelos fatos j´a demonstrados para o plano, vemos que P pertence a alguma das duas bissetrizes dos ˆangulos determinados por a e b no plano (vocˆe pode visualizar a situa¸c˜ao na figura 6.7). Em outras palavras, P s1 s2, ou seja, P 1 2. O pr´oximo lugar geom´etrico que apresentaremos ´e o an´alogo `a mediatriz de um segmento. Problema 6.7. Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de pois pontos P e Q dados ´e o plano μ perpendicular a PQ, passando pelo ponto m´edio M deste segmento. Soluc¸˜ao. Primeiro vamos mostrar que os pontos de μ s˜ao equidistantes de P e Q. Tome N μ distinto de M. Observe que os triˆangulos NMP e NMQ s˜ao congruentes pelo crit´erio LAL, pois (veja a figura 6.8): (i) PM QM, j´a que M ´e ponto m´edio de PQ; (ii) s˜ao retˆangulos em M, j´a que μ PQ; e (iii) MN ´e um lado comum. Ent˜ao NP NQ, ou seja, N ´e equidistante de P e Q. Seja agora X um ponto equidistante de P e Q. Queremos provar que X μ (esta ´e a rec´ıproca da afirma¸c˜ao anterior). Se X = M ent˜ao X μ por defini¸c˜ao. Suponhamos que X M. Neste caso os triˆangulos XMP e XMQ s˜ao congruentes pelo crit´erio LLL (verifique!) donde, em particular, XMP XMQ, ou seja, XMP ´e reto. Logo X μ (por quˆe?). Figura 6.8 Defini¸c˜ao 6.8. O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto m´edio ´e chamado de plano mediador do segmento. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 75 28/01/2013 11:09:45
- 76. Vejamos mais umlugar geom´etrico interessante Problema 6.8. Sejam A, B e C trˆes pontos n˜ao colineares. Mostre que o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de A, B e C ´e a reta perpendicular ao plano determinado por estes pontos passando pelo circuncentro do triˆangulo ABC (veja a figura 6.9). 76 Fundamentos de geometria espacial Figura 6.9 Soluc¸˜ao. Sejam o plano determinado por A, B e C, e O o circuncentro de ABC. Seja t a reta passando por O e perpendicular a . Vamos provar que se X t, ent˜ao X ´e equidistante de A, B e C. De fato, pela defini¸c˜ao de circuncentro sabemos que OA = OB = OC. Al´em disso, como t , temos que os ˆangulos XOA, XOB e XOC s˜ao retos. Logo XOA XOB XOC pelo crit´erio LAL, j´a que OX ´e um lado comum aos trˆes triˆangulos listados. Assim con-clu ´ımos que XA = XB = XC como quer´ıamos. Em particular observe que se μ ´e o plano mediador de AC e ´e o plano mediador de AB, ent˜ao t = μ . () (por quˆe?). Para verificar a rec´ıproca tome X um ponto qualquer equidistante de A, B e C. Ent˜ao X pertence ao plano μ mediador de AC e ao plano mediador de AB por defini¸c˜ao, logo X μ . Mas ent˜ao, por (*) acima, X t, como quer´ıamos verificar. Problema 6.9. Justifique todos os “por quˆes” da solu¸c˜ao acima. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 76 28/01/2013 11:09:45
- 77. AUla 6: Lugaresgeométricos e poliedros 77 6.5 Poliedros Na aula anterior estudamos um pouco sobre diedros, objeto an´alogo aos ˆangulos planos. Nesta se¸c˜ao introduziremos os “primos” dos pol´ıgonos, os poliedros1. Vocˆes j´a conhecem v´arios deles: cubos, paralelogramos, prismas e pirˆamides s˜ao os mais conhecidos e estudados. Vamos estudar algumas propriedades destes e tamb´em conhecer alguns outros. Nesta se¸c˜ao apresentaremos apenas as defini¸c˜oes destes objetos, que tamb´em chamamos de corpos s´olidos ou simplesmente s´olidos. Figura 6.10 O primeiro objeto deste tipo do qual falaremos ´e o triedro, que tem trˆes faces: tome trˆes planos passando por um ponto, como representado na figura 6.10, e considere a figura formada pelas regi˜oes angulares dos ˆangulos (r ,s ), (r , t ) e (s , t ). Nas nota¸c˜oes da figura 6.10 dizemos que A ´e o v´ertice do triedro, as semirretas r , s e t suas arestas, e as regi˜oes angulares correspondentes aos ˆangulos (r ,s ), (r , t ) e (s , t ) suas faces. O triedro ´e um poliedro aberto, como se fosse uma esp´ecie de copo infinito, e n˜ao lhe cabe bem a designa¸c˜ao de s´olido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito. Figura 6.11 Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida: uma pirˆamide, no caso de base triangular, como representado na figura 6.11. Esta pirˆamide tamb´em recebe o nome de tetraedro, pois tem quatro (tetra, em grego, significa quatro) faces, que s˜ao as regi˜oes planas triangulares delimitadas pelos triˆangulos ABC, ABD, BCD e ADC. Seguindo as nota¸c˜oes da figura, chamamos os pontos A, B, C e D de v´ertices da pirˆamide, e os segmentos AB, AC, AD, BC, BD e CD de arestas. Em geral, um poliedro ´e a regi˜ao do espa¸co delimitada pela interse¸c˜ao de um n´umero finito de regi˜oes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que n˜ao veremos aqui, pois 1A palavra vem do grego: poli- = muitos, v´arios; e -edro que significa, como j´a vimos, faces. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 77 28/01/2013 11:09:45
- 78. o que nosinteressa neste curso s˜ao exemplos particulares de poliedros. O leitor interessado pode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia. Passemos agora a uma descri¸c˜ao mais formal de alguns poliedros. 6.5.1 Prismas 78 Fundamentos de geometria espacial R Figura 6.12 Um prisma ´e o poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13): (a) Tome dois planos e paralelos entre si; (b) em um dos planos, por exemplo , tome uma regi˜ao poligonal R; (c) tome uma reta l secante aos planos que n˜ao passe pelos pontos de R; (d) para cada ponto P R tome a reta lP que passa pelo ponto e ´e paralela a l; cada reta lP encontra em um ponto P. (e) Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos PP ´e chamada de prisma. Figura 6.13 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 78 28/01/2013 11:09:46
- 79. Observe que oconjunto dos pontos P em comp˜oem uma regi˜ao poligonal R congruente2 a R. Os v´ertices de um prisma s˜ao os v´ertices das regi˜oes poligonais R e R. As suas arestas s˜ao: (i) os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos v´ertices de R e R; e (ii) os lados das regi˜oes R e R. As suas faces s˜ao as regi˜oes poligonais determinadas pelos seus v´ertices consecutivos. Ge-ralmente as faces R e R s˜ao chamadas de bases do prisma, e as outras de faces laterais. As bases s˜ao categorizadas muitas vezes como base inferior, ou simplesmente base, e base superior, designa¸c˜ao que depende do nosso ponto de vista. No nosso exemplo R ´e a base, ou base inferior, e R a base superior do prisma. As arestas das faces que n˜ao s˜ao comuns com as bases s˜ao chamadas de arestas laterais. A reta l ´e comumente denominada reta-diretriz do prisma. Problema 6.10. Liste os v´ertices, as arestas, as arestas laterais e as faces do prisma ilustrado na figura 6.13. AUla 6: Lugares geométricos e poliedros 79 Figura 6.14 Se a reta-diretriz l for perpendicular a , dizemos que o prisma ´e reto (figura 6.14). Os prismas (e os poliedros em geral) possuem v´arios tipos de estruturas similares a ˆangulos. Os principais j´a conhecemos: (i) ˆangulos planos, que s˜ao os ˆangulos de suas faces; (ii) ˆangulos diedros, que s˜ao os diedros determinados por cada par de faces com uma aresta em comum. H´a eventualmente outras estruturas, como triedros, mas n˜ao nos preocuparemos com isto agora. Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 6.13 temos os ˆangulos ABC, BCD, etc, que pertencem `a sua base inferior; os ˆangulos BBA, CCD, etc, que pertencem a faces laterais. Temos tamb´em os diedros determinados pela face AABB e pela base R, pelas faces BBCC e CCDD (que compartilham a aresta CC, etc. 2Dizemos que duas regi˜oes poligonais s˜ao congruentes se os pol´ıgonos que as determinam s˜ao congruentes; e dois pol´ıgonos s˜ao congruentes se os seus lados e respectivos ˆangulos s˜ao congruentes entre si. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 79 28/01/2013 11:09:46
- 80. Problema 6.11. Listetodos os ˆangulos e diedros do prisma ilustrado na figura 6.13. Problema 6.12. Mostre que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma reto s˜ao retos. 6.5.2 Paralelep´ıpedos e cubos 80 Fundamentos de geometria espacial (a) (b) Figura 6.15 Um importante exemplo particular de prismas s˜ao os paralelep´ıpedos, os poliedros an´alogos aos paralelogramos. Um prisma ´e um paralelep´ıpedo se sua base ´e um paralelogramo. Neste caso ´e f´acil de verificar que todas as faces tamb´em s˜ao paralelogramos. Um paralelogramo ´e chamado de reto quando as mesmas condi¸c˜oes de um prisma reto forem satisfeita, isto ´e, quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base. Uma situa¸c˜ao mais particular ainda surge quando a base de um paralelep´ıpedo ´e um retˆangulo e ele ´e um prisma reto. Nestas condi¸c˜oes o chamamos de paralelep´ıpedo retˆangulo. Na figura 6.15a representamos um paralelep´ıpedo gen´erico, enquanto que na figura 6.15b representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo. Figura 6.16 Finalmente, se as faces e as bases de um paralelep´ıpedo forem quadrados, ele recebe o nome de cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo. Problema 6.13. Mostre que todas as arestas de um cubo s˜ao congruentes. Mostre ainda que todos os ˆangulos e diedros de um cubo s˜ao retos. 6.5.3 Pirˆamides Uma pirˆamide ´e um poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17): (a) Tome uma regi˜ao poligonal plana R e um ponto V qualquer fora do plano de R; (b) por cada ponto Q R trace o segmento QV . Ent˜ao a uni˜ao de todos os segmentos QV ´e chamada de pirˆamide. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 80 28/01/2013 11:09:46
- 81. AUla 6: Lugaresgeométricos e poliedros 81 Figura 6.17 O ponto V ´e chamado de v´ertice ou cume da pirˆamide, e a regi˜ao R de sua base. Os triˆangulos com o v´ertice comum V s˜ao as faces laterais da pirˆamide. Os v´ertices de R s˜ao tamb´em chamados de v´ertices da pirˆamide, e para n˜ao confundir com o v´ertice V , costumamos cham´a-los de v´ertices da base. As defini¸c˜oes de arestas laterais e arestas da base s˜ao an´alogas, e deixamos ao leitor o trabalho de escrevˆe-las. ´E comum denominarmos as pirˆamides em fun¸c˜ao do pol´ıgono que constitui sua base. Por exemplo, na figura 6.17 a base ´e um pol´ıgono de cinco lados, e esta pirˆamide recebe o nome de pirˆamide pentagonal. Se a base da pirˆamide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular; se tem seis lados, de hexagonal, etc. No caso especial em que a base ´e um triˆangulo a pirˆamide pode receber o nome de triangular, mas tamb´em ´e chamada de tetraedro, como j´a citamos mais acima (veja a figura 6.11). Figura 6.18 6.5.4 Outros poliedros Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18. Uma classe importante s˜ao os poliedros regulares, isto ´e, tais que todas as faces s˜ao pol´ıgonos regulares congruentes entre si, e todos os diedros tamb´em s˜ao congruentes entre si. Podemos provar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, o icosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros s˜ao tamb´em conhecidos como s´olidos de Plat˜ao, o fil´osofo grego do s´eculo IV antes de Cristo, e tˆem uma grande importˆancia n˜ao s´o para a hist´oria da matem´atica, como para a hist´oria da filosofia e da compreens˜ao do Cosmos. Vamos agora apresentar estes nobres senhores. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 81 28/01/2013 11:09:46
- 82. 82 Fundamentos degeometria espacial Figura 6.19 O cubo todos j´a conhecem. Suas faces s˜ao quadrados congruentes entre si e todos os seus diedros s˜ao retos. Tamb´em j´a falamos de tetraedros, que s˜ao pirˆamides triangulares. O tetraedro regular ´e uma pirˆamide cujas faces s˜ao todas triˆangulos equil´ateros congruentes entre si (veja a figura 6.19a). O octaedro possui oito faces, como o nome diz. Suas faces s˜ao tamb´em triˆangulos equil´ateros, e ele ´e “montado” com duas pirˆamides quadrangulares cujas bases s˜ao um quadrado, como mostramos na figura 6.19b. Figura 6.20 O icosaedro ´e formado por vinte faces (icosa = vinte em grego) que, mais uma vez, s˜ao triˆangulos equil´ateros, como mostramos na figura 6.20a. O dodecaedro ´e formado por doze faces (dodeca = doze, em grego). Suas faces s˜ao pent´agonos regulares – veja a figura 6.20b. Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa ´ultima aula. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 82 28/01/2013 11:09:46
- 83. AUla 6: Lugaresgeométricos e poliedros 83 6.6 Exerc´ıcios 6.1. Sejam e dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, com A e B . Seja M o ponto m´edio de AB. Mostre que o plano μ que passa por M e ´e perpendicular a AB ´e o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes de e . 6.2. Descreva o lugar geom´etrico dos pontos equidistantes a duas retas paralelas. Figura 6.21: – Exerc´ıcio 6.3 6.3. A ´area total da superf´ıcie de um prisma ´e a soma das ´areas de todas as suas faces (incluindo as bases), e a ´area lateral de um prisma ´e a soma das ´areas de suas faces laterais. (a) Calcule a ´area lateral e a ´area total da superf´ıcie de um cubo cuja aresta mede 2. (b) Na figura 6.21 representamos um prisma reto cujas bases s˜ao trap´ezios (ele est´a visualmente “deitado”). Os comprimentos das arestas paralelas da base s˜ao 4 e 9, e os comprimentos das arestas da base n˜ao paralelas s˜ao 5 e 6. Al´em disso BF = 12. Calcule a ´area lateral e a ´area total da superf´ıcie deste prisma. 6.4. Seguindo a nota¸c˜ao da figura 6.13, mostre que AADD ´e um paralelogramo. Tente generalizar este resultado para todos os tipos de prismas. 6.5. Assim como observamos nos prismas, as pirˆamides tamb´em possuem ˆangulos das faces e diedros. Liste todos os ˆangulos planos e diedros da pirˆamide ilustrada na figura 6.17. 6.6. Uma pirˆamide cuja base ´e um pol´ıgono regular e cujo v´ertice equidista de cada um dos v´ertices da base ´e chamada de pirˆamide regular. Mostre que as faces laterais de uma pirˆamide regular s˜ao triˆangulos is´osceles congruentes entre si. 6.7. A ´area lateral de uma pirˆamide ´e a somas das ´areas de suas faces laterais, e a ´area total da superf´ıcie de uma pirˆamide ´e a soma de sua ´area lateral com a ´area da base. Calcule as ´areas total e lateral nos seguintes casos: (a) de um tetraedro regular cuja aresta mede 3. (b) de uma pirˆamide quadrangular regular cuja base ´e um quadrado de lado 2 e cuja aresta lateral mede 7. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 83 28/01/2013 11:09:47
- 84. 7 Volumes depoliedros Fundamentos de Geometria Espacial.indd 84 28/01/2013 11:09:48
- 85. aula 7 :Volumes de poliedros 85 AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS OBJETIVOS Introduzir o conceito de volumes de s´olidos geom´etricos, mais especificamente de regi˜oes poliedrais. Apresentar um sistema de princ´ıpios que estabele¸ca com rigor adequado este conceito; neste sistema inclui-se o Princ´ıpio de Cavalieri. Calcular o volume de alguns s´olidos apresentados na aula anterior. 7.1 Introdu¸c˜ao Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns s´olidos. O procedimento ´e an´alogo ao que foi feito para apresentar o conceito de ´area de figuras planas em [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espa¸co. Este “tanto” ´e o que chamaremos de volume1. Figura 7.1 Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelep´ıpedo cujas arestas medem 8, 4 e 4. Cortamos ent˜ao o paralelep´ıpedo com v´arios planos paralelos, formando pequenos cubos de aresta 1. Ent˜ao o paralelep´ıpedo ´e formado de 8 × 4 × 4 = 128 destes cubos. Assim poder´ıamos dizer que o “tanto” (= volume) que o paralelep´ıpedo ocupa no espa¸co ´e equivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 ´e 1, ent˜ao o volume do paralelep´ıpedo seria 128. No exemplo acima apresentamos um paralelep´ıpedo cujas arestas tˆem comprimentos inteiros. E se n˜ao for assim? Bem, se as arestas possu´ıssem comprimentos racionais, ainda seria poss´ıvel dividir o paralelep´ıpedo em cubos iguais com lados racionais. Por exemplo, se as arestas medissem 34, 57 e 23, ent˜ao podemos dividi-lo em 3 × 5 × 2 = 30 cubos de aresta 184 (verifique!); e ent˜ao poder´ıamos dizer que o volume do paralelep´ıpedo corresponde ao volume de 30 cubos de aresta 184, ou que o seu volume ´e 3084 = 521. Se as arestas do paralelep´ıpedo n˜ao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproxima¸c˜oes racionais destas medidas e, atrav´es de um processo de limite, mostrar que ´e razo´avel afirmar que o volume de um paralelep´ıpedo ´e dado pelo produto das medidas de suas arestas. E como poder´ıamos fazer para medir o volume de figuras mais gerais, como prismas que n˜ao sejam paralelep´ıpedos, pirˆamides, etc.? Poder´ıamos “aproximar” a figura atrav´es de blocos 1Deixaremos, daqui por diante, a palavra “volume” em it´alico, at´e que apresentemos este conceito com mais precis˜ao. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 85 28/01/2013 11:09:48
- 86. 86 Fundamentos degeometria espacial Figura 7.2 de paralelep´ıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atrav´es de um processo de limite, aumentando o n´umero de paralelep´ıpedos, calcular o volume da figura2. No entanto n˜ao utilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princ´ıpio de Cavalieri, que introduziremos mais adiante. Para finalizar esta introdu¸c˜ao chamamos a aten¸c˜ao para o seguinte: poder´ıamos apresentar o conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de ´area de figuras planas, utilizando uma s´erie de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalhar de forma mais intuitiva pois, caso contr´ario, o assunto atinge complica¸c˜oes que est˜ao al´em de um texto introdut´orio como este. 7.2 Volume de regi˜oes poliedrais Como j´a dissemos na introdu¸c˜ao, n˜ao daremos neste texto um tratamento completamente formal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta se¸c˜ao, apresentar de maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propri-edades que o volume de regi˜oes poliedrais deve satisfazer com o t´ıtulo de princ´ıpios, e n˜ao de axiomas, como seria usual. Figura 7.3 A primeira pergunta que surge ´e: o que ´e, de fato, uma regi˜ao poliedral? Podemos definir este conceito de maneira inteiramente an´aloga `a defini¸c˜ao usual de regi˜ao poligonal3: uma regi˜ao poliedral ´e uma uni˜ao finita de tetraedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum, onde os 2O leitor atento pode perceber que este procedimento nada mais ´e do que uma forma de c´alculo integral. 3Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como s˜ao definidas regi˜oes poligonais Fundamentos de Geometria Espacial.indd 86 28/01/2013 11:09:49
- 87. pontos interiores deum tetraedro s˜ao os pontos do espa¸co que pertencem simultaneamente a todas as seis regi˜oes diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frente utilizaremos o termo poliedro no sentido de regi˜ao poliedral. Todas as figuras espaciais apresentadas na se¸c˜ao 6.5 da aula anterior, `a exce¸c˜ao dos triedros, podem ser seccionadas em um n´umero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos uma divis˜ao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divis˜ao de um octaedro em quatro tetraedros. aula 7 : Volumes de poliedros 87 Figura 7.4 Nosso primeiro princ´ıpio ´e o da existˆencia: Princ´ıpio da Existˆencia do Volume. A cada regi˜ao poliedral R est´a associado um ´unico n´umero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R. Se um poliedro ´e seccionado em v´arios poliedros que n˜ao tˆem pontos interiores em comum4, ´e natural assumir que o volume do poliedro ´e igual `a soma dos volumes dos poliedros em que foi seccionado. Princ´ıpio da Soma de Volumes. Se o poliedro R se decomp˜oe na forma R = R1 R2 . . . Rn, onde Ri s˜ao poliedros que n˜ao possuem pontos interiores em comum, ent˜ao V(R) = V(R1) + V(R2) + . . . + V(Rn). Precisamos agora dar uma “referˆencia” para o c´alculo de volumes. No caso de ´areas a referˆencia utilizada em geral ´e a ´area de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). No espa¸co o natural ´e utilizar paralelep´ıpedos retangulares, como foi discutido na introdu¸c˜ao. Princ´ıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelep´ıpedo retangular ´e o produto dos comprimentos de suas trˆes arestas n˜ao paralelas que se encontram em um mesmo v´ertice. Na figura 7.5 representamos um paralelep´ıpedo retˆangulo cujo volume ´e V = a.b.h, pelo princ´ıpio da unidade para volumes, onde AB = a, BC = b e BG = h. 4N˜ao definimos formalmente o que s˜ao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que s˜ao pontos interiores de tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro ´e um ponto interior de um dos tetraedros que o comp˜oe. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 87 28/01/2013 11:09:49
- 88. 88 Fundamentos degeometria espacial Figura 7.5 Problema 7.1. Mostre que o volume de um cubo de aresta l ´e V = l3. Precisamos agora de um princ´ıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer, sabendo como calcular volumes de paralelep´ıpedos retˆangulos, seguindo a ideia que apre-sentamos na figura 7.2. Para entender o princ´ıpio que enunciaremos mais abaixo, imagine uma pilha de moedas como representada na figura 7.6 `a esquerda. Se “entortarmos” a pilha, como representado na mesma figura `a direita, o volume do conjunto n˜ao se modifica, pois este depende s´o das moedas, e n˜ao da forma da pilha. Figura 7.6 Agora imagine que cada moeda v´a sendo afinada, de forma que sua espessura diminua, e que se v´a colocando mais moedas, para que a forma das pilhas n˜ao se modifique. Este procedimento mant´em o volume das pilhas. No limite, teremos como que se¸c˜oes planas nas duas pilhas com mesma ´area, cuja “soma” d´a o volume das pilhas. Esta ideia (que nada mais ´e do que uma forma de se pensar em integra¸c˜ao m´ultipla) para se calcular volumes de s´olidos ocorreu a um matem´atico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) e deu origem ao princ´ıpio que enunciamos a seguir. Princ´ıpio de Cavalieri. Sejam R e R dois corpos s´olidos (por exemplo, poliedros), e um plano qualquer. Suponha que todo plano paralelo a que intercepte R tamb´em intercepte R, e que as interse¸c˜oes s˜ao figuras planas com ´areas iguais. Ent˜ao os dois corpos possuem o mesmo volume. Vejamos um exemplo para o Princ´ıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois para-lelep ´ıpedos cujas bases s˜ao dois retˆangulos B e B congruentes, e cujas bases superiores T e T s˜ao coplanares. Cada plano paralelo ao plano (plano das bases dos paralelep´ıpedos) que intercepta os paralelep´ıpedos neles determina duas se¸c˜oes; na figura representamos as se¸c˜oes S e S. N˜ao ´e dif´ıcil de ver que estas se¸c˜oes s˜ao retˆangulos congruentes `as bases dos respectivos paralelep´ıpedos e, portanto congruentes entre si. Em particular, temos que A(B) = A(B) = A(S) = A(S) = A(T ) = A(T ), Fundamentos de Geometria Espacial.indd 88 28/01/2013 11:09:49
- 89. aula 7 :Volumes de poliedros 89 Figura 7.7 onde A() ´e a ´area de cada um dos pol´ıgonos. Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, temos que os dois paralelep´ıpedos tˆem o mesmo volume. Na se¸c˜ao seguinte voltaremos a este exemplo, formalizando-o de maneira mais clara. 7.3 Volume de prismas Figura 7.8 Nesta se¸c˜ao iremos calcular o volume de prismas utilizando os princ´ıpios apresentados na se¸c˜ao anterior, mas antes precisamos estabelecer algumas propriedades destas figuras. Come¸camos com algumas defini¸c˜oes. Defini¸c˜ao 7.1. A altura de um prisma ´e a distˆancia entre os planos de suas bases inferior e superior. Na figura 7.8 indicamos por h = PP a altura do prisma ilustrado. Problema 7.2. Mostre que a distˆancia de qualquer dos v´ertices de uma das bases de um prisma ao plano da outra base ´e igual `a sua altura. Se cortarmos o prisma por um plano paralelo aos planos das bases, obtemos um pol´ıgono, como mostramos na figura 7.9. Este pol´ıgono recebe um nome especial. Defini¸c˜ao 7.2. Uma se¸c˜ao transversal de um prisma ´e a interse¸c˜ao do prisma com um plano paralelo aos planos das bases. Examinando a figura 7.9 nos fica parecendo que os pol´ıgonos R, R e S s˜ao “iguais” (ou, em termos mais t´ecnicos, congruentes). De fato, isto ´e verdade, mas mostraremos apenas que tˆem a mesma ´area, que ´e o fato que nos interessa no momento. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 89 28/01/2013 11:09:49
- 90. 90 Fundamentos degeometria espacial Figura 7.9 Figura 7.10 Teorema 7.3. Todas as se¸c˜oes transversais de um prisma triangular s˜ao congruentes com a base. Demonstrac¸˜ao. Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base ´e o triˆangulo ABC no plano . Seja um plano paralelo a cuja interse¸c˜ao com o prisma seja n˜ao vazia. Ent˜ao corta as arestas laterais do prisma nos pontos M, N e P, como ilustrado. Como ACPM ´e um paralelogramo, j´a que AC MP (pois ) e AM CP (pois as arestas laterais s˜ao paralelas entre si), ent˜ao AC MP. Analogamente AB MN e BC NP. Logo ABC MNP pelo crit´erio LLL. Corol´ario 7.4. Todas as se¸c˜oes transversais de um prisma tˆem a mesma ´area. Demonstrac¸˜ao. N˜ao escreveremos todos os detalhes da demonstra¸c˜ao, mas daremos a ideia. Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada se¸c˜ao trans-versal em regi˜oes triangulares ligando os v´ertices correspondentes. Dividimos assim o prisma em subprismas triangulares. Para cada um destes prismas as se¸c˜oes triangulares correspon-dentes s˜ao delimitadas por triˆangulos congruentes entre si, e portanto tˆem a mesma ´area. A ´area de cada se¸c˜ao transversal ´e a soma das ´areas das regi˜oes triangulares em que ela foi dividida, assim como a ´area da base. Logo todas as se¸c˜oes transversais de um prisma tˆem a mesma ´area que a base do mesmo. Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 90 28/01/2013 11:09:50
- 91. aula 7 :Volumes de poliedros 91 Figura 7.11 Figura 7.12 Teorema 7.5. O volume de um prisma qualquer ´e o produto da ´area de sua base pela sua altura. Demonstrac¸˜ao. Acompanhe os argumentos a seguir na figura 7.12. Tome um prisma T qualquer de altura h e cuja base seja um pol´ıgono R. Construa um paralelep´ıpedo retˆangulo T tal que (a) sua base seja um retˆangulo R no mesmo plano que R, e tal que A(R) = A(R); (b) sua altura seja a mesma que a do prisma; (c) estejam do mesmo lado do espa¸co em rela¸c˜ao ao plano de suas bases. Cada plano paralelo ao plano de suas bases que corta o prisma corta o paralelep´ıpedo. As se¸c˜oes que este plano determina no prisma e no paralelep´ıpedo tˆem a mesma ´area que as respectivas bases, como vimos no corol´ario 7.4. Como as ´areas das bases s˜ao iguais, as ´areas das se¸c˜oes tamb´em o s˜ao. Por exemplo, na figura 7.12, A(S) = A(S). Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri o volume dos dois s´olidos s˜ao iguais. Mas V(T ) = A(R).h pelo Princ´ıpio da Unidade para Volumes, donde V(T ) = A(R).h. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 91 28/01/2013 11:09:50
- 92. 7.4 Volume depirˆamides O c´alculo de volumes de pirˆamides ´e um pouco mais complicado que o c´alculo para prismas. Assim dividiremos esta se¸c˜ao em duas subse¸c˜oes, apresentando na primeira uma lista de propriedades de pirˆamides an´alogas `as que foram apresentadas para prismas, e na segunda o c´alculo do volume de uma pirˆamide. 7.4.1 Propriedades b´asicas de pirˆamides Come¸camos com algumas defini¸c˜oes. 92 Fundamentos de geometria espacial Figura 7.13 Defini¸c˜ao 7.6. A altura de uma pirˆamide ´e a distˆancia de seu v´ertice (ou cume) ao plano de sua base. Na figura 7.13 o comprimento h do segmento V J ´e a altura da pirˆamide representada. Figura 7.14 Defini¸c˜ao 7.7. Uma se¸c˜ao transversal de uma pirˆamide ´e a interse¸c˜ao da pirˆamide com um plano paralelo ao plano de sua base. Na figura 7.14 o plano corta a pirˆamide ilustrada na se¸c˜ao transversal S. Observe que S ´e uma “c´opia” da base R, s´o que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesma propor¸c˜ao. Esta propriedade ´e o que verificaremos a seguir de maneira formal. Estudaremos primeiro o caso em que as pirˆamides s˜ao triangulares, e reduziremos em seguida o caso geral a este. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 92 28/01/2013 11:09:50
- 93. Teorema 7.8. Todase¸c˜ao transversal de uma pirˆamide triangular ´e uma regi˜ao triangular semelhante `a sua base, e a raz˜ao de semelhan¸ca entre seus lados ´e aula 7 : Volumes de poliedros 93 = d h , onde d ´e a distˆancia do v´ertice da pirˆamide ao plano da se¸c˜ao, e h ´e a altura da pirˆamide. Figura 7.15 Demonstrac¸˜ao. Sejam T a pirˆamide triangular de base ABC e v´ertice V , e ABC uma se¸c˜ao transversal de T , como representado na figura 7.15. Assumimos ainda que, seguindo a nota¸c˜ao da figura 7.15, V P = h ´e a altura de T , onde P ´e o ponto do plano determinado por ABC tal que V P ; P ´e o ponto do plano da se¸c˜ao ABC em que V P o encontra. Como temos que V P , donde d = V P ´e a distˆancia de V a . Com estas nota¸c˜oes o que queremos mostrar ´e que ABC ABC, com AB AB = AC AC = BC BC = d h = . (7.1) Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que V P VA. Se, caso contr´ario, V P = VA, ent˜ao a demonstra¸c˜ao segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir. O primeiro passo ´e mostrar que VAP V AP. (7.2) De fato, como (i) AV P = AV P e (ii) V PA V PA (pois s˜ao ambos retos), Fundamentos de Geometria Espacial.indd 93 28/01/2013 11:09:50
- 94. ent˜ao (7.2) ´everdadeira pelo crit´erio AA de semelhan¸ca de triˆangulos. Em particular 94 Fundamentos de geometria espacial VA VA = V P V P = d h = . (7.3) Em seguida verificamos que VAB V AB, VBC V BC e VAC V AC. (7.4) As trˆes rela¸c˜oes seguem do fato que AB AB, AC AC e BC BC (verifique!). Logo temos que VA VA = VB VB = AB AB (7.5) VB VB = V C V C = BC BC (7.6) V C V C = VA VA = CA CA (7.7) Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos d h = VA VA = VB VB = V C V C (verifique!). Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da rela¸c˜ao acima conclu´ımos que AB AB = AC AC = BC BC = d h = . Em particular, pelo crit´erio LLL de semelhan¸ca de triˆangulos, temos que ABC ABC, com raz˜ao de semelhan¸ca = dh, como quer´ıamos provar. Uma consequˆencia direta deste teorema ´e o corol´ario seguinte, que relaciona as ´areas da base de uma pirˆamide triangular com a ´area de uma se¸c˜ao transversal. Corol´ario 7.9. Seguindo as nota¸c˜oes do teorema 7.8, temos que A(ABC) = d2 h2 A(ABC). Figura 7.16 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 94 28/01/2013 11:09:51
- 95. Demonstrac¸˜ao. Este resultado´e na verdade um resultado de geometria plana j´a conhe-cido. Se ABC ABC de tal forma que valem as propor¸c˜oes (7.1), ent˜ao ´e f´acil de ver que suas alturas seguem a mesma propor¸c˜ao. Em outras palavras, usando as nota¸c˜oes da figura 7.16, temos que aula 7 : Volumes de poliedros 95 AH AH = d h . Destas condi¸c˜oes segue-se que A(ABC) = 1 2 (AB).(AH) = 1 2 d h AB . d h AH = = d2 h2 1 2 (AB)(AH) = = d2 h2 A(ABC), como quer´ıamos. Problema 7.3. Mostre o resultado de geometria plana utilizado no corol´ario acima: a raz˜ao entre as alturas de dois triˆangulos semelhantes ´e a mesma raz˜ao entre os seus lados. O corol´ario 7.9 vale em geral, e n˜ao s´o para pirˆamides triangulares. O teorema seguinte deixar´a esta afirma¸c˜ao mais clara. Teorema 7.10. Em toda pirˆamide a raz˜ao da ´area de uma se¸c˜ao transversal pela ´area de sua base ´e d2h2, onde h ´e a altura da pirˆamide e d ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano da se¸c˜ao transversal. Figura 7.17 Demonstrac¸˜ao. Para provar isto basta decompor a base da pirˆamide em regi˜oes triangu-lares T1, T2, . . ., Tn e aplicar o corol´ario 7.9 para cada uma das pirˆamides formadas. Como ilustra¸c˜ao, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n = 2. Neste exemplo temos que 1 ) = d2 A(T h2 2 ) = d2 A(T1) e A(T h2 A(T2) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 95 28/01/2013 11:09:51
- 96. donde B =A(T 96 Fundamentos de geometria espacial 1 ) + A(T 2 ) = d2 h2 (A(T1) + A(T2)) = = d2 h2 B, onde indicamos por B e B as ´areas da base de da se¸c˜ao transversal da pirˆamide, respecti-vamente. A ´unica diferen¸ca desta conta para o caso geral ´e que aparecem n parcelas nas somas envolvidas. Problema 7.4. Ilustre o caso n = 3 para o teorema acima. Uma consequˆencia importante do teorema 7.10, que nos permitir´a aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular volumes de pirˆamides, ´e o teorema a seguir. Teorema 7.11. Se duas pirˆamides tˆem a mesma altura e a ´area de suas bases tamb´em ´e a mesma, ent˜ao as se¸c˜oes determinadas por um mesmo plano tˆem as mesmas ´areas. Figura 7.18 Demonstrac¸˜ao. Na figura 7.18 representamos duas pirˆamides nas condi¸c˜oes enunciadas no teorema. Seguindo as nota¸c˜oes da figura, pelo teorema anterior temos que A(S) = d2 h2 A(R) e A(S) = d2 h2 A(R). Como A(R) = A(R), ent˜ao deduzimos que A(S) = A(S) como desejado. Corol´ario 7.12. Se duas pirˆamides tˆem a mesma altura e se suas bases s˜ao coplanares e tˆem a mesma ´area, ent˜ao o volume das duas pirˆamides ´e o mesmo Demonstrac¸˜ao. Observe que mostramos no teorema anterior que todas as se¸c˜oes trans-versais de duas pirˆamides nestas condi¸c˜oes tˆem a mesma ´area. Assim, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambas possuem o mesmo volume. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 96 28/01/2013 11:09:51
- 97. aula 7 :Volumes de poliedros 97 7.4.2 C´alculo do volume de uma pirˆamide Na subse¸c˜ao anterior apresentamos todo o material necess´ario para se calcular o volume de uma pirˆamide. Agora, vamos ao c´alculo efetivo. Teorema 7.13. O volume de uma pirˆamide qualquer ´e um ter¸co do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Ou, dito de outra forma, se B ´e a base da pirˆamide, e h sua altura ent˜ao seu volume ´e V = 1 3 A(B).h. Figura 7.19 Demonstrac¸˜ao. Observamos primeiro que basta fazer o caso em que a pirˆamide ´e tri-angular (um tetraedro). De fato, dada uma pirˆamide qualquer, construa uma outra de mesma altura e cuja base seja um triˆangulo de mesma ´area da pirˆamide dada. Assim, pelo corol´ario 7.12 estas duas pirˆamides possuem o mesmo volume. Uma outra simplifica¸c˜ao ´e a seguinte: podemos assumir que uma das arestas laterais da pirˆamide ´e perpendicular ao plano da base pois, repetimos, o volume de uma pirˆamide depende apenas da ´area de sua base e de sua altura. Resumindo: assumimos que a pirˆamide ´e triangular com uma de suas arestas laterais perpen-dicular ao plano da base, sem perda de generalidade. Agora constru´ımos sobre esta pirˆamide um prisma triangular reto, como apresentado na figura 7.19 (na figura 7.19a representamos a pirˆamide original, e na figura 7.19b o prisma). Em seguida desmembramos o prisma em trˆes pirˆamides, como mostramos nas figuras 7.19b e 7.20. As trˆes pirˆamides s˜ao5 ADEV , ABEV e ABCV (que ´e a pirˆamide original). Mos-traremos agora que estas trˆes pirˆamides possuem o mesmo volume. (a) As pirˆamides ADEV e ABEV possuem o mesmo volume: Consideremos ADE e AEB como bases, respectivamente, destas duas pirˆamides. Com esta escolha a distˆancia h de V ao plano determinado pelos triˆangulos ADE e 5Utilizamos os v´ertices para indicar as pirˆamides, escritos em ordem qualquer. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 97 28/01/2013 11:09:52
- 98. 98 Fundamentos degeometria espacial Figura 7.20 AEB (preste aten¸c˜ao: os triˆangulos s˜ao coplanares!) ´e a altura das duas pirˆamides. Para finalizar, observe que ADE AEB (verifique!), donde A(ADE) = A(AEB). Logo as duas pirˆamides possuem bases de mesma ´area e a mesma altura, e portanto V(ADEV ) = V(ABEV ). (b) As pirˆamides ADEV e ABCV possuem o mesmo volume: Consideremos DEV e ABC como bases, respectivamente, das duas pirˆamides. Como estes triˆangulos s˜ao as bases do prisma reto que constru´ımos, ´e claro que DEV ABC. Al´em disso a altura destas duas pirˆamides relativa `as bases escolhidas ´e exatamente a distˆancia entre os planos das bases, donde ´e a mesma altura. Assim s˜ao pirˆamides com mesma ´area da base e mesma altura, donde V(ADEV ) = V(ABCV ). (c) Conclu´ımos ent˜ao que V(ADEV ) = V(ABEV ) = V(ABCV ). Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que constru´ımos ´e V(ABCV DE) = A(B).h, onde B = ABC ´e a base do prisma; e h = V C ´e a altura do prisma relativa a esta base. Mas temos ainda que V(ABCV DE) = V(ADEV ) + V(ABEV ) + V(ABCV ) = = 3.V(ABCV ), donde V = V(ABCD) = 1 3 A(B).h Fundamentos de Geometria Espacial.indd 98 28/01/2013 11:09:52
- 99. aula 7 :Volumes de poliedros 99 7.5 Aplica¸c˜oes Nesta se¸c˜ao vamos calcular volumes de alguns s´olidos, a t´ıtulo de exemplo. Problema 7.5. Calcule o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21). Figura 7.21: – Problema 7.5 Soluc¸˜ao. Lembramos que um tetraedro regular ´e uma pirˆamide triangular cujas faces (e base) s˜ao triˆangulos equil´ateros congruentes. Para calcular o seu volume precisamos encontrar a ´area de sua base e a sua altura. Na figura 7.21 a base do tetraedro ´e o triˆangulo equil´atero ABC, cujos lados medem todos l. Assim sua altura ´e AM = l 3 2 . (7.8) Logo sua ´area ´e A = 1 2 l.(AM) = l2 3 4 . Observe agora na figura 7.21 que a altura do tetraedro ilustrado ´e o comprimento h do segmento VO. Como V ´e equidistante dos v´ertices da base ABC do tetraedro, e VO ´e perpendicular ao plano da base, ent˜ao pelo problema 6.8 sabemos que O ´e o circuncentro do triˆangulo ABC (justifique!). Ora, O tamb´em ´e o baricentro do triˆangulo, donde OA = l 3 3 . (7.9) Para calcular h aplicamos o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo V OA: h2 + (OA)2 = l2 h = l 6 3 (7.10) Ent˜ao o volume V do tetraedro ´e V = 1 3 A h = 1 3 l2 3 4 l 6 3 2 12 = l3 . Fundamentos de Geometria Espacial.indd 99 28/01/2013 11:09:52
- 100. Problema 7.6. Mostreque as igualdades (7.8) e (7.9) est˜ao corretas. Problema 7.7. Calcule o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22). 100 Fundamentos de geometria espacial Figura 7.22: – Problema 7.7 Soluc¸˜ao. Lembramos que um octaedro regular, representado na figura 7.22 ´e um poliedro cujas oito faces s˜ao triˆangulos equil´ateros. O octaedro da figura pode ser seccionado em duas pirˆamides quadrangulares V ABCD e WABCD cuja base comum ´e o quadrado ABCD e cujas alturas s˜ao iguais. Ent˜ao o volume V do octaedro pode ser escrito assim: V = V(V ABCD) + V(WABCD) = 2 V(V ABCD). Logo basta calcular o volume V = V(V ABCD). Vamos l´a. A ´area A da base da pirˆamide ´e a ´area do quadrado ABCD, ou seja, A = l2. Para calcular a altura da pirˆamide observe que se O ´e o centro de ABCD (isto ´e, o encontro de suas diagonais), ent˜ao VO ´e perpendicular ao plano do quadrado, donde a altura da pirˆamide ´e h = VO. Calculamos h aplicando o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo V OA: h2 + (OA)2 = l2 h2 = l2 − (OA)2 = l2 − l 2 2 2 h = l 2 2 . Ent˜ao V = 1 3 A h = l3 2 6 . Logo o volume do octaedro ´e V = 2 V = l3 2 3 . Problema 7.8. Mostre que, nas nota¸c˜oes da figura 7.22, (a) OA = l 22. (Sugest˜ao: observe que AC ´e a diagonal do quadrado ABCD) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 100 28/01/2013 11:09:53
- 101. (b) VO ´eperpendicular ao plano do quadrado ABCD. (Sugest˜ao: Mostre que O ´e o circuncentro dos triˆangulos ABD e BCD e aplique o problema 6.8.) aula 7 : Volumes de poliedros 101 (c) Mostre que V , O e W s˜ao pontos alinhados. Figura 7.23: – Tronco de pirˆamide Ao se seccionar uma pirˆamide por um plano paralelo `a sua base separamos a pirˆamide em dois poliedros: um que cont´em o v´ertice da pirˆamide, que ´e uma nova pirˆamide; e outro que cont´em a base da pirˆamide, que denominamos tronco de pirˆamide. Na figura 7.23 represen-tamos uma pirˆamide seccionada por um plano. A parte da figura desenhada em linhas mais grossas ´e seu tronco. Dizemos ainda que a base B da pirˆamide e a se¸c˜ao transversal B s˜ao bases do tronco. A distˆancia h entre os planos de B e B ´e a altura do tronco. Problema 7.9. Calcule o volume de um tronco de pirˆamide de bases B e B e altura h. Soluc¸˜ao. Vamos seguir aqui as nota¸c˜oes da figura 7.23. Sejam VT o volume do tronco da pirˆamide, VP o volume da pirˆamide maior, e V o volume da pirˆamide menor. Temos ent˜ao que VT = VP − V. (7.11) Vamos calcular V e VP . Para isto denotaremos B = A(B) e B = A(B). Com esta nota¸c˜ao obtemos: V = 1 3 B h e VP = 1 3 B (h + h). Para eliminarmos h das express˜oes acima aplicamos o teorema 7.10: B = (h)2 (h + h)2 B. (7.12) Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas obtemos: B h = h B − B (7.13) Fundamentos de Geometria Espacial.indd 101 28/01/2013 11:09:53
- 102. Ent˜ao, de (7.11), VT = 1 3 (B (h + h) − B h) = = 1 3 (B h + (B − B) h) = 1 102 Fundamentos de geometria espacial 3 B B h + (B − B) h B − B = = 1 3 B B h + (B − B) h B − B B + ( B) B + ( B) = = 1 3 B( B h + (B − B) h B + B) B − B = = 1 3 h(B + B + BB). Problema 7.10. Mostre: (a) Como se obt´em (7.12) aplicando o teorema 7.10. (b) Como se obt´em (7.13) a partir de (7.12). Fundamentos de Geometria Espacial.indd 102 28/01/2013 11:09:54
- 103. aula 7 :Volumes de poliedros 103 7.6 Exerc´ıcios 7.1. A altura de uma pirˆamide de base quadrada ´e 10, e o comprimento de um dos lados da base ´e 15. Determine a ´area de uma se¸c˜ao transversal da pirˆamide cuja distˆancia6 ao v´ertice ´e 6. 7.2. Uma pirˆamide ´e chamada de regular se a sua base ´e um pol´ıgono regular e seu v´ertice ´e equidistante de cada v´ertice da base. Mostre que as faces de qualquer pirˆamide triangular s˜ao triˆangulos is´osceles congruentes entre si. 7.3. A altura de um paralelep´ıpedo retangular ´e 7, e os lados de sua base medem 4 e 5. Calcule o volume do paralelep´ıpedo. 7.4. Ao se introduzir um peda¸co de metal em um tanque retangular cheio de ´agua, de dimens˜oes 50 cm de frente por 37 cm de profundidade, o n´ıvel da ´agua subiu 1 cm. Qual ´e o volume do peda¸co de metal? Figura 7.24: – Exerc´ıcio 7.4 7.5. Volte ao exerc´ıcio 6.3 e calcule o volume do prisma representado na figura 6.21. 7.6. Um prisma retangular reto tem uma altura de 18 cm e uma base que mede 6 cm por 8 cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um v´ertice da base superior forma uma pirˆamide com as faces do prisma. Determine o volume da pirˆamide. 6A distˆancia de uma se¸c˜ao transversal de uma pirˆamide a seu v´ertice ´e a distˆancia do plano da se¸c˜ao ao v´ertice. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 103 28/01/2013 11:09:54
- 104. 8 Cilindros, cones e esferas Fundamentos de Geometria Espacial.indd 104 28/01/2013 11:09:55
- 105. AULA8: CILINDROS, CONESE ESFERAS OBJETIVOS Apresentar os chamados s´olidos (ou corpos) “redondos”: cilindros, cones e esferas. Listar algumas propriedades destes s´olidos e calcular seus volumes. AUla 8: Cilindros, cones e esferas 105 8.1 Introdu¸c˜ao Nesta aula daremos uma breve introdu¸c˜ao ao estudos dos “corpos redondos”: cilindros, cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, mais informais ainda do que at´e agora, pois esperamos que, a esta altura, vocˆes j´a estejam mais familiarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuais lacunas por conta pr´opria. 8.2 Cilindros Figura 8.1 Um cilindro circular, denominado simplesmente cilindro1 neste texto, ´e um corpo s´olido an´alogo a um prisma, mas cuja base2 ´e uma regi˜ao circular, e n˜ao uma regi˜ao poligonal. A forma de defini-lo construtivamente ´e inteiramente an´aloga `a forma que definimos prismas na se¸c˜ao 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “s´olido” e frase “regi˜ao poligonal R” por “regi˜ao circularR” na descri¸c˜ao apresentada no in´ıcio da se¸c˜ao, e teremos um cilindro. 1Enfatizamos o termo cilindro circular porque a base do s´olido em quest˜ao ´e uma regi˜ao circular. Podemos tamb´em, por exemplo, definir cilindros el´ıpticos, caso em que a base ´e uma regi˜ao de um plano delimitada por uma elipse. Em geral, podemos escolher qualquer curva num plano e “imitar” a defini¸c˜ao de cilindro circular – pensando assim, podemos dizer que um prisma ´e, em particular, um cilindro. 2Usaremos livremente toda a terminologia utilizada para descrever as partes de prismas (veja a se¸c˜ao 6.5.1). O significado de cada termo ficar´a claro pelo contexto e pelas figuras. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 105 28/01/2013 11:09:56
- 106. Problema 8.1. Nafigura 8.1 representamos um cilindro cuja base ´e a regi˜ao circular do plano delimitada pela circunferˆencia C, e cuja reta diretriz ´e a reta l secante aos planos e . Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro, acompanhando a defini¸c˜ao de prisma dada na se¸c˜ao 6.5.1. Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro ´e a distˆancia dos planos paralelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado ´e a distˆancia h dos planos e . 106 Fundamentos de geometria espacial Figura 8.2 Dizemos que um cilindro ´e reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimi-tam o cilindro, como representado na figura 8.2. Quando isto n˜ao acontece dizemos que o cilindro ´e obl´ıquo, como representado na figura 8.1. Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro. O “truque” ´e comparar um cilindro com uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri que vimos na aula anterior. A escolha natural ´e usar um prisma (que nada mais ´e que um tipo de cilindro, como j´a observamos) para realizar a compara¸c˜ao. Para isto precisamos do conceito de se¸c˜ao transversal de um cilindro, que ´e an´alogo ao de se¸c˜ao transversal de um prisma: Figura 8.3 Defini¸c˜ao 8.1. A interse¸c˜ao de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas bases ´e uma se¸c˜ao transversal do mesmo. Na figura 8.3 a regi˜ao S ´e uma se¸c˜ao transversal do cilindro. Uma propriedade fundamental das se¸c˜oes de um cilindro, que nos permite aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular o seu volume ´e que a ´area de cada uma ´e igual `a ´area da base do cilindro, como foi demonstrado para prismas no corol´ario 7.4: Fundamentos de Geometria Espacial.indd 106 28/01/2013 11:09:56
- 107. Teorema 8.2. Dadoum cilindro, a ´area de cada uma de suas se¸c˜oes transversais ´e igual `a ´area de sua base. Para demonstrar este teorema siga os passos do pr´oximo problema. Problema 8.2. Para provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada se¸c˜ao transversal ´e um c´ırculo com o mesmo raio da base do cilindro. Para fazer isto vamos usar neste problema as nota¸c˜oes da figura 8.3. Seja r o raio da base do cilindro. Chamemos de o plano que corta o cilindro na se¸c˜ao S. Sejam I ponto de em comum com a superf´ıcie lateral do cilindro, O o centro da base do cilindro, e L o ponto em que a reta OO, paralela `a reta-diretriz do cilindro, corta . Seja AUla 8: Cilindros, cones e esferas 107 tamb´em C o ponto da circunferˆencia da base do cilindro tal que IC OO. Ent˜ao mostre que (a) o quadril´atero OCIL ´e um paralelogramo; (b) OC = LI = r. Conclua que todos os pontos em que a superf´ıcie do cilindro corta est˜ao em uma circun-fer ˆencia de raio r contida em , donde as ´areas das se¸c˜oes transversais s˜ao todas iguais `a ´area da base do cilindro. Deste teorema deduzimos o seguinte: Teorema 8.3. O volume de um cilindro qualquer ´e o produto da ´area de sua base pela sua altura. Demonstrac¸ao. ˜Sejam r o raio da base do cilindro e h sua altura. Entao ˜a area ´de sua base ´e B = r2. Construa um prisma de altura h e base quadrada cujo lado meca ¸l = r . Pelo Princ´ıpio de Cavalieri sabemos que o volume deste prisma e o volume do cilindro s˜ao iguais (por quˆe?), donde o volume do cilindro ´e V = Bh = r2h. Problema 8.3. Justifique por que o cilindro e o prisma constru´ıdo na demonstra¸c˜ao do teorema acima possuem o mesmo volume. 8.3 Cones Assim como cilindros s˜ao an´alogos a prismas, cones s˜ao an´alogos a pirˆamides, e a sua defini ¸c˜ao ´e inteiramente an´aloga `a de pirˆamide, apresentada na se¸c˜ao 6.5.3, trocandose a palavra “poliedro” por “s´olido” e a frase “regi˜ao poligonal plana” por “regi˜ao circular”3. 3Assim como observamos quando definimos um cilindro, no caso do cone tamb´em podemos escolher uma regi˜ao qualquer de um plano para construir um cone. Por exemplo, se escolhemos uma regi˜ao limitada por uma elipse, teremos o que costumamos chamar de cone el´ıptico. Ent˜ao, com esta vis˜ao mais geral, podemos dizer que uma pirˆamide ´e, em particular, um cone. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 107 28/01/2013 11:09:56
- 108. 108 Fundamentos degeometria espacial Figura 8.4 Neste texto s´o trataremos de cones circulares, isto ´e, cuja base ´e uma regi˜ao circular, como ilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designar´a este tipo de s´olido. Problema 8.4. Na figura 8.4 representamos um cone cuja base ´e a regi˜ao circular do plano delimitada pela circunferˆencia C de centro O, e cujo v´ertice ´e o ponto V , externo a . Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando a defini¸c˜ao de pirˆamide apresentada na se¸c˜ao 6.5.3. Como definimos para pirˆamides, a altura de um cone ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano de sua base. No cone representado na figura 8.4, a sua altura ´e o comprimento do segmento V J, denotada por h. Figura 8.5 Dizemos que um cone ´e reto se o segmento que liga seu v´ertice ao centro de sua base for perpendicular ao plano da base, caso contr´ario dizemos que o cone ´e obl´ıquo. Na figura 8.4 representamos um cone obl´ıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto. Para calcular o volume de um cone aplicaremos a mesma t´ecnica utilizada para calcular o volume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido e para a qual se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri. A escolha natural aqui ´e comparar um cone com uma pirˆamide. Neste caso precisamos de um resultado an´alogo ao teorema 7.10 para pirˆamides, que enunciamos a seguir. Observe que, neste enunciado, usamos o termo “se¸c˜ao transversal de um cone”, cuja defini¸c˜ao formal deixamos ao leitor como exerc´ıcio. Teorema 8.4. Em todo cone a raz˜ao da ´area de uma se¸c˜ao transversal pela ´area de sua base ´e d2h2, onde h ´e a altura do cone e d ´e a distˆancia de seu v´ertice ao plano da se¸c˜ao transversal. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 108 28/01/2013 11:09:56
- 109. AUla 8: Cilindros,cones e esferas 109 Figura 8.6 Demonstrac¸˜ao. Demonstraremos o teorema, por simplicidade, no caso em que o cone ´e reto. A demonstra¸c˜ao do caso geral ser´a deixada como exerc´ıcio. Seguiremos as nota¸c˜oes da figura 8.6. Se S ´e uma se¸c˜ao do cone correspondente `a circun-fer ˆencia de centro O e raio r, e sua base ´e o c´ırculo B de centro O e raio R, queremos mostrar que A(S) A(B) = d2 h2 . Para ver isto observe os triˆangulos V OD e VOD representados na figura, obtidos cortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seu v´ertice. Estes triˆangulos s˜ao semelhantes, donde VO VO = OD OD d h = r R . Logo A(S) A(B) = r2 R2 = r R 2 = d h 2 = d2 h2 , como quer´ıamos. Problema 8.5. Escreva uma defini¸c˜ao de se¸c˜ao transversal de um cone. Problema 8.6. Na demonstra¸c˜ao do teorema 8.4 afirmamos que os triˆangulos V OD e VOD s˜ao semelhantes. Verifique isto com detalhes. Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri. Teorema 8.5. O volume V de um cone de altura h e cujo raio da base ´e r ´e dado por V = 1 3 r2h, ou seja, corresponde a um ter¸co do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura. Demonstrac¸˜ao. Seja T uma pirˆamide de altura h e cuja base seja um quadrado de lado r . Se Sd ´e uma se¸c˜ao transversal de T cuja distˆancia ao v´ertice da pirˆamide ´e d ent˜ao, Fundamentos de Geometria Espacial.indd 109 28/01/2013 11:09:57
- 110. pelo teorema 7.10,sabemos que 110 Fundamentos de geometria espacial A(Sd ) r2 = d2 h2 . Analogamente, se Sd ´e uma se¸c˜ao do cone que dista de seu v´ertice de d ent˜ao, pelo teorema 8.4 temos que A(Sd) r2 = d2 h2 . Logo A(Sd ) = A(Sd) donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, obtemos V(T ) = V, ou seja, V = 1 3 r2h, como quer´ıamos. 8.4 Esferas As esferas s˜ao os objetos espaciais an´alogos aos c´ırculos no plano. Uma defini¸c˜ao formal ´e a seguinte: Figura 8.7 Defini¸c˜ao 8.6. Dado um ponto O e um n´umero real positivo r, o conjunto de todos os pontos do espa¸co cuja distˆancia a O ´e no m´aximo r ´e chamado de esfera. O ponto O ´e o centro da esfera, e o n´umero r seu raio. Dizemos que um ponto P ´e interior `a esfera se OP r, e ´e exterior se OP r. O conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia a O ´e exatamente r ´e chamado de superf´ıcie esf´erica. Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r. No desenho OM = r, donde M ´e um ponto da superf´ıcie da esfera, OK r, donde K ´e um ponto interior `a esfera, e OL r, donde L ´e um ponto exterior `a esfera. Nosso objetivo agora ´e calcular o volume de uma esfera, novamente aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri, como fizemos em todas as se¸c˜oes desta aula. Para isto precisamos analisar as se¸c˜oes planas de uma esfera. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 110 28/01/2013 11:09:57
- 111. AUla 8: Cilindros,cones e esferas 111 Figura 8.8 Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano . Intuitivamente podemos perceber que este corte determina um c´ırculo contido no plano e na esfera, fato que n˜ao demonstraremos com rigor aqui (o leitor interessado poder´a encontrar a demonstra¸c˜ao em algumas das referˆencias indicadas). Vamos calcular a ´area desta se¸c˜ao plana da esfera em fun¸c˜ao da distˆancia d do plano ao centro O da esfera e de seu raio R. Na sequˆencia utilizaremos as nota¸c˜oes indicadas na figura 8.8. Sejam O o p´e da perpendicular a por O, e P um ponto da circunferˆencia que o plano determina na superf´ıcie da esfera. Nestas condi¸c˜oes o triˆangulo OOP ´e um triˆangulo retˆangulo em O, OO = d, OP = R ´e o raio da esfera, e OP = R ´e o raio da circunferˆencia. Assim, pelo Teorema de Pit´agoras, (OP)2 = (OO)2 + (OP)2 R2 = d2 + R2, donde R = R2 − d2. Logo a ´area da se¸c˜ao plana que est´a a uma distˆancia d do centro da esfera ´e: Ad = (R2 − d2). (8.1) Para aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um s´olido S que: (i) tenha volume conhecido, e (ii) as se¸c˜oes planas da esfera e do s´olido S obtidas pelo corte com um mesmo plano tenham as mesmas ´areas. Um s´olido S com estas caracter´ısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9): (a) tome um cilindro de altura 2R e raio da base R; (b) tome V o “centro” do cilindro, isto ´e, o ponto m´edio do segmento O1O2, onde O1 e O2 s˜ao os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente; (c) retire fora do cilindro dois cones com v´ertices em V , sendo a base de um deles a base inferior do cilindro, e a base do outro a base superior do cilindro. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 111 28/01/2013 11:09:57
- 112. 112 Fundamentos degeometria espacial Figura 8.9 A parte do cilindro que sobra ´e o s´olido que usaremos para calcular o volume de uma esfera de raio R. Observe que se cortarmos o s´olido por um plano perpendicular aos planos das bases e passando pelos centros da mesma obtemos dois triˆangulos, representados na figura 8.9 como sendo os triˆangulos MVN e PVQ. E se cortarmos o s´olido com um plano paralelo `as bases do cilindro obtemos uma se¸c˜ao que ´e um anel circular. Na figura representamos a se¸c˜ao obtida com o corte por um plano cuja distˆancia a V ´e d. Prestemos aten¸c˜ao agora no triˆangulo VO2M. Este triˆangulo ´e reto em O2 e ´e is´osceles, pois VO2 = R = O2M. Os pontos O e C s˜ao os pontos em que O1O2 e VM encontram o plano da se¸c˜ao, respectivamente. N˜ao ´e dif´ıcil de perceber que V OC tamb´em ´e is´osceles, com VO = d = OC. A ´area da se¸c˜ao representada do s´olido na figura 8.9 ´e dada por A d = (OT)2 − (OC)2 = R2 − d2 = (R2 − d2). (8.2) Problema 8.7. Explique por que (8.2) ´e a ´area do anel circular mostrado na figura 8.9. Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as ´areas das se¸c˜oes da esfera de raio R e do s´olido S constru´ıdo acima que est˜ao `a mesma distˆancia do centro dos respectivos s´olidos s˜ao iguais donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume. O volume do s´olido S ´e dado por VS = Vcil − 2Vcone onde Vcil ´e o volume do cilindro e Vcone ´e o volume de cada um dos cones. Substituindo pelos nossos dados: VS = R2.(2R) − 2 1 3 R2.R = 4 3 R3, que ´e o volume da esfera de raio R. Problema 8.8. Mostre, com detalhes, que VO = OC, na figura 8.9. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 112 28/01/2013 11:09:58
- 113. AUla 8: Cilindros,cones e esferas 113 8.5 Exerc´ıcios 8.1. A base de um cilindro ´e um c´ırculo de diˆametro 8, e sua altura tamb´em ´e 8. Qual o seu volume? 8.2. Qual deve ser o comprimento de um tubo cujo diˆametro interno mede 2 cm, para poder conter 600 cm3 de ´agua? 8.3. Determine o volume de um cone de altura 12 e base de raio 3. 8.4. A altura de um cone ´e 9. Um plano paralelo ao plano de sua base o intercepta a uma distˆancia de 5 da base, determinando um pequeno cone na parte superior. (a) Desenhe uma figura que representa a situa¸c˜ao. (b) Qual a raz˜ao entre as alturas dos dois cones? (c) Qual a raz˜ao entre os raios de suas bases? (d) Qual a raz˜ao entre as ´areas de suas bases? (e) Qual a raz˜ao entre os volumes dos dois cones? Figura 8.10: – Exerc´ıcio 8.5 . 8.5. Reveja o problema resolvido 7.9 e diga o que ´e um tronco de cone, usando como referˆencia a figura 8.10. Em seguida, calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raios das bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente. (Sugest˜ao: usando propor¸c˜oes, calcule a altura integral do cone e subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.) 8.6. Calcule o volume de uma esfera de raio 4. 8.7. O diˆametro de uma certa esfera ´e igual ao raio de uma outra esfera. Responda: (a) Qual ´e a raz˜ao entre os raios das esferas? (b) Qual ´e a raz˜ao de seus volumes? Fundamentos de Geometria Espacial.indd 113 28/01/2013 11:09:58
- 114. Apêndices Fundamentos deGeometria Espacial.indd 114 28/01/2013 11:10:00
- 115. APˆENDICE A: AXIOMASDA GEOMETRIA PLANA Listamos neste apˆendice todos os axiomas e algumas defini¸c˜oes b´asicas apresentados em [7], para facilitar a consulta dos leitores. A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidˆencia Axioma I.1. Se A e B s˜ao dois pontos distintos do plano, ent˜ao existe uma e uma ´unica reta l tal que A e B pertencem a l. Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos. Axioma I.3. O plano cont´em pelo menos trˆes pontos distintos que n˜ao pertencem a uma mesma reta. A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: m´etrica e ordem na Apêndices: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA 115 reta Axioma II.1. Para cada par de pontos A, B do plano existe um ´unico n´umero real asso-ciado, denotado por AB, satisfazendo as propriedades: (a) AB 0; (b) AB = 0 se e somente se A = B; (c) AB = BA. Defini¸c˜ao A.1. A distˆancia entre dois pontos A e B do plano ´e o n´umero AB postulado no axioma II.1. Defini¸c˜ao A.2. Dados dois pontos A e B diremos que um ponto C est´a entre A e B se: (a) C AB; (b) AB = AC + BC. Esta rela¸c˜ao ser´a denotada por A − C − B. Axioma II.2. Se A, B e C s˜ao trˆes pontos alinhados, ent˜ao um deles est´a entre os outros dois. Defini¸c˜ao A.3. O conjunto dos pontos que est˜ao entre dois pontos A e B, incluindo estes, ´e um segmento (da reta AB), e ser´a denotado por AB, ou seja, AB = {pontos C tais que A − C − B} {A,B}. Os pontos A e B s˜ao os extremos de AB, e qualquer outro ponto do intervalo distinto de seus extremos ´e um ponto interior de AB. Analogamente, todo ponto do plano que n˜ao pertence a AB ´e um ponto exterior ao segmento. O comprimento ou medida do segmento AB ´e a distˆancia entre os seus extremos, ou seja, ´e o n´umero AB. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 115 28/01/2013 11:10:00
- 116. Defini¸c˜ao A.4. Dadosdois pontos A e B de uma reta l, o subconjunto 116 Fundamentos de geometria espacial AB de l definido por AB = AB {pontos P l tais que A − B − P} ´e uma semirreta de l com origem em A. Dizemos tamb´em que l ´e a reta suporte de AB. Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que A est´a entre C e B, ou seja, tal que C − A − B. Axioma II.4. As semirretas AB e AC determinadas pelos pontos A, B e C de uma reta l, com C − A − B, satisfazem as seguintes propriedades: (a) AB AC = l; (b) AB AC = {A}; (c) dois pontos P,Q l diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e s´o se A n˜ao pertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A n˜ao est´a entre P e Q); (d) dois pontos P,Q l diferentes de A pertencem a semirretas diferentes se e s´o se A pertence ao segmento PQ (ou, em outras palavras, se A est´a entre P e Q). Axioma II.5. Em qualquer semirreta AB e para todo n´umero real positivo c existe um ponto C AB tal que AC = c. Axioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos Pl e P l do plano, de-nominados semiplanos em rela¸c˜ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos do plano est˜ao contidos em Pl P l; (b) Pl P l = l; (c) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao num mesmo semiplano em rela¸c˜ao a l se e somente se AB l = ; (d) dois pontos A e B n˜ao pertencentes a l est˜ao em semiplanos distintos se e somente se AB l . A.3 Axiomas: grupo III, medida de ˆangulos Axioma III.1. Para cada ˆangulo BAC do plano existe um n´umero real associado, deno-tado por m(BAC), satisfazendo as propriedades: (a) 0 m(BAC) 180; (b) m(BAC) = 0 se e somente se BAC for um ˆangulo nulo; (c) m(BAC) = 180 se e somente se BAC for um ˆangulo raso; (d) m(BAC) = m(CAB). Defini¸c˜ao A.5. O n´umero m(BAC) postulado no axioma III.1 ´e a medida do ˆangulo BAC. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 116 28/01/2013 11:10:00
- 117. Axioma III.2. (a)Se BAC ´e um ˆangulo n˜ao trivial e D ´e um ponto em seu interior, Apêndices: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA 117 ent˜ao m(BAC) = m(BAD) +m(DAC). (b) Se BAC ´e um ˆangulo raso e D est´a em um dos lados do plano determinado por BC ent˜ao m(BAD) +m(DAC) = 180. Axioma III.3. Para toda semirreta AB, todo n´umero real a tal que 0 a 180, e cada semiplano P determinado por AB, existe uma ´unica semirreta AD P tal que m(BAD) = a. A.4 Axiomas: grupo IV, congruˆencia de triˆangulos Axioma IV. (Caso LAL de congruˆencia de triˆangulos) Se dois triˆangulos ABC e DEF forem tais que AB DE, AC DF e BAC EDF ent˜ao ABC DEF. A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas Axioma V. Dada uma reta, por cada ponto que n˜ao lhe pertencente passa, no m´aximo, uma reta paralela a ela. A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre ´areas Axioma VI.1. A cada regi˜ao poligonal R est´a associado um ´unico n´umero real positivo, denotado por A(R). Defini¸c˜ao A.6. O n´umero A(R) do axioma VI.1 ´e a ´area de R. Axioma VI.2. Se dois triˆangulos s˜ao congruentes, as regi˜oes triangulares determinadas por eles tˆem a mesma ´area. Axioma VI.3. Se uma regi˜ao R ´e a uni˜ao de duas regi˜oes R1 e R2 tais que R1 e R2 se interceptam em no m´aximo um n´umero finito de segmentos e pontos, ent˜ao A(R) = A(R1) + A(R2). Axioma VI.4. A ´area de um quadrado ´e o produto do comprimento de seus lados. Fundamentos de Geometria Espacial.indd 117 28/01/2013 11:10:01
- 118. Fundamentos de GeometriaEspacial.indd 118 28/01/2013 11:10:01
- 119. RReeffeerrˆeˆenncicaisas Bibliogr´aficas [1]J. L. M. Barbosa, Geometria Euclidiana Plana, SBM, Rio de Janeiro, 1985. [2] P. C. P. Carvalho, Introdu¸c˜ao `a Geometria Espacial, 4a ed., SBM, Rio de Janeiro, 2005. [3] O. Dolce J. N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 9: Geome-tria Plana, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 1990. [4] O. Dolce J. N. Pompeo, Fundamentos de Matem´atica Elementar, vol 10: Geo-metria Espacial, posi¸c˜ao e m´etrica, 6a ed., Atual Editora, S˜ao Paulo, 2005. [5] F. L. Downs, Jr. E. E. Moise, Geometria Moderna, 2 volumes, Ed. Edgar Blucher, S˜ao Paulo, 1971. [6] M .C. de Farias. Resolu¸c˜ao de Problemas Geom´etricos, Ed. UFMG, Belo Horizonte, 2009. [7] P. A. F. Machado. Fundamentos de Geometria Plana, preprint, 2010. [8] A. V. Pogorelov, Geometr´ıa elemental, trad. para o espanhol por Carlos Vega, Ed. Mir, Moscou, 1974. [9] M. L. B. de Queiroz E. Q. F. Rezende, Geometria Euclidiana Plana e Cons-tru ¸c˜oes Geom´etricas, 2a ed., Ed. da Unicamp, Campinas, 2008. 119 Reefrêacins 119 Fundamentos de Geometria Espacial.indd 119 28/01/2013 11:10:01
- 120. Fundamentos de GeometriaEspacial.indd 120 28/01/2013 11:10:01