Mat prop aurea exercicios resolvidos

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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre proporção
www.mat.uel.br/geometrica áurea em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.4c. 2005. Desenhos construídos
por: Giuliano M. Belussi.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PROPORÇÃO ÁUREA
1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO. INDICAR
O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO DO QUAL AB É
ÁUREO.

Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.

Encontre (M) o ponto médio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B.
Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r)
em O. Ligue os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo
cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e hipotenusa é AB√5/2.

Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a
hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC'
trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o
segmento AB.

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Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe
por AO uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com
abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do
compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s)
no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento
AB.

O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a
AB/2 - AB√5/2.

O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a
AB/2 + AB√5/2.

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O segmento AC' é o segmento áureo de AB. O segmento AB é o segmento
áureo de AD'. A proporção áurea é: C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. Em
outras palavras: "O segmento menor resultante da divisão está para o maior
assim como o segmento maior está para o segmento todo".

2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO
RETÂNGULO 5 CM.

Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média razão.

Construa uma perpendicular (p) ao segmento AB pelo ponto A. Centre o
compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C.
Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois
coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que
corte o arco anterior em D.

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Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo
do lado maior AB dado.

3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO
RETÂNGULO L = 4 CM.

Seja AB o lado menor do retângulo.

Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e
abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A.
Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de
BA' (M). Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de
lado AB.

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Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que
corte a reta (s) em D. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t)
em E encontrando assim o retângulo áureo ABED, no qual o lado AB dado é o
segmento áureo do lado BD encontrado.

Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado
maior encontrado BD.

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4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO ABCD.

Seja um retângulo áureo ABCD. Transporte o segmento AC para o lado AB
encontrando o ponto F em AB. Levante uma perpendicular ao lado AB por F
encontrando o ponto G em CD. Com a ponta seca do compasso em G e
abertura igual à GC trace o arco CF.

Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante
por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do
compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o
segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular
encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH
trace o arco HJ.

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Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Levante
uma perpendicular por R encontrando o ponto T. Com a ponta seca do
compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT. Transporte o segmento TI
para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por V uma perpendicular
encontrando o ponto U. Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a
VT trace o arco TU.

Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante
por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do
compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o pólo da
espiral trace os segmentos AD e GB.

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5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE
RAIO IGUAL A 5 CM.

Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD. Com a ponta seca do compasso
em B e abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a
circunferência nos pontos 1 e 2.

Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a ponta seca
do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no
ponto E. Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na
circunferência.

Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com
abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F. Depois
coloque a ponta seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois
arcos encontrando H e I respectivamente. Ligando os pontos CHFGIC
consecutivamente teremos o pentágono regular estrelado (pentagrama).

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As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e extrema razão.

6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO, DECÁGONO E
PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.

Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. Encontre M o ponto médio do raio
OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que
corte o raio OA no ponto E.

O segmento CE é igual ao L5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. O
segmento OE é igual ao L10 (lado do decágono) inscrito na mesma
circunferência. O triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa
x=R√5/2.

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Então, a medida OE que é o valor do L10 (lado do decágono) será igual a: R -
R√5/2 que é o segmento áureo do raio. Com o valor L5 é possível encontrar os
vértices CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os
vértices CJIFEKNGH do decágono.

Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama.

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A relação áurea é a seguinte:

1. O segmento DO = L10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da
circunferência.

2. As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide em média e
extrema razão.

7. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA E AZUL DO “LE MODULOR”.

SÉRIE AZUL

Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado
sobre a cabeça. Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de
AB. Ligue BC encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, AB/2 e
hipotenusa ABV5/2.

Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a
hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B

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e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que
corte o lado AB em D. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando
na hipotenusa o ponto E. Temos agora um novo triângulo BDE. Repita o
processo e obterá um outro triângulo BFG e assim sucessivamente dividindo
todos os segmentos áureos resultantes em média razão.

SÉRIE VERMELHA

Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado
sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto
médio de AB. Construa dois triângulos retângulos que o lado menor é igual à
1/4 do segmento AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB. Siga a mesma
construção da série azul, dividindo AM em média razão (Ponto F). Em seguida
divida também MB em média razão (ponto H). Continue a divisão áurea, agora
para o segmento BH encontrando J. Repita o processo para encontrar mais
divisões áureas.

As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:

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1. Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH...
da série azul pela metade.
2. Os pontos D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série
vermelha em média razão.

8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE
UMA ESPIRAL.

Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB.
Considerando as diagonais FHI do pentágono, obtemos um triângulo áureo.

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Seja o triângulo áureo FHI, isósceles cujos ângulos adjacentes à base medem
72 graus e o ângulo oposto à base mede 36 graus. Para iniciar o traçado da
espiral, trace a bissetriz do ângulo FHI (reta s) que corta o lado iF no ponto J. O
ponto J é o vértice do ângulo FJH. Coloque a ponta seca do compasso em J e
trace um arco. Em seguida, trace a bissetriz do ângulo JIH (reta u) encontrando
o ponto L no segmento JH. Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI. Trace
a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ.
Trace a bissetriz do ângulo IJH. Com a ponta seca do compasso em N trace o
arco IJ. Trace a bissetriz (reta v) do ângulo JLI encontrando P no segmento JN.
Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL. Trace a bissetriz (reta x)
do ângulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta seca do compasso
em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ângulo NPL encontrando o
ponto R no segmento NQ. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP.
E assim sucessivamente até chegar ao pólo da espiral.

BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática.
Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.

NEUFERT. A Arte de Projetar em Arquitetura.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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