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Universidade Federal do
Triângulo Mineiro – UFTM


      Cônicas
Prof.: Daniel Oliveira Veronese
ELIPSE
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um
plano cuja soma das distâncias a dois pontos
fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos, F1
e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um
número real tal que 2a>2c.
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais
que:



dá-se o nome de elipse.
Elipse
Elementos da Elipse
   Focos: são os pontos F1 e F2

    Distância Focal: é a distância 2c entre os focos
   Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2
   Eixo Maior: é o seguimento A1A2
    de comprimento 2a
   Eixo Menor: é o seguimento B1B2
    de comprimento 2b
   Vértices: são os pontos A1 , A2 , B1 e B2

    Excentricidade: é o número e(0<e<1) dado por:
                  e=c/a.
Observações
 1) Se mantivermos constante o comprimento
“2a” e variarmos as posições de F1 e F2, a
forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais
próximos os focos estão entre si, tanto mais a
forma da elipse se assemelha à da
circunferência. Por outro lado, quanto mais
afastados estiverem os focos entre si, mais
“achatada” será a elipse. Em outras palavras,
quanto maior a excentricidade mais achatada
será a elipse e, quanto menor a excentricidade,
mais próxima a elipse estará de uma
circunferência.
2) Se F1 = F2 então c=0 e, neste caso, obtemos
uma circunferência de raio “a”.
Elipse
Observação
Em toda elipse vale a relação:
Equação da Elipse de Centro na
     Origem do Sistema

1º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos x
Da definição da elipse temos que:




ou seja:
Daí:
Elipse
Agora, lembrando que:



obtemos:


ou, ainda:



que é a equação reduzida da elipse de centro
na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
2º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos y
Nesse caso, de modo análago ao caso anterior,
concluímos que a equação reduzida da elipse é
dada por:
Equação da Elipse de Centro Fora
     da Origem do Sistema

1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x
Equação da Elipse:
2º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos y
Equação da Elipse:
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Elipse

  • 1. Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM Cônicas Prof.: Daniel Oliveira Veronese
  • 2. ELIPSE Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um número real tal que 2a>2c.
  • 3. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: dá-se o nome de elipse.
  • 5. Elementos da Elipse  Focos: são os pontos F1 e F2  Distância Focal: é a distância 2c entre os focos  Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2  Eixo Maior: é o seguimento A1A2 de comprimento 2a  Eixo Menor: é o seguimento B1B2 de comprimento 2b  Vértices: são os pontos A1 , A2 , B1 e B2  Excentricidade: é o número e(0<e<1) dado por: e=c/a.
  • 6. Observações 1) Se mantivermos constante o comprimento “2a” e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos estão entre si, tanto mais a forma da elipse se assemelha à da circunferência. Por outro lado, quanto mais afastados estiverem os focos entre si, mais “achatada” será a elipse. Em outras palavras, quanto maior a excentricidade mais achatada será a elipse e, quanto menor a excentricidade, mais próxima a elipse estará de uma circunferência.
  • 7. 2) Se F1 = F2 então c=0 e, neste caso, obtemos uma circunferência de raio “a”.
  • 9. Observação Em toda elipse vale a relação:
  • 10. Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema 1º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos x
  • 11. Da definição da elipse temos que: ou seja:
  • 12. Daí:
  • 14. Agora, lembrando que: obtemos: ou, ainda: que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
  • 15. 2º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos y
  • 16. Nesse caso, de modo análago ao caso anterior, concluímos que a equação reduzida da elipse é dada por:
  • 17. Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema 1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x
  • 19. 2º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos y
  • 21. Exemplos Veja o seu caderno!!!!!!