Este documento apresenta um resumo sobre elipses realizado por dois alunos da 10a classe para a disciplina de Matemática. O texto começa com uma breve introdução sobre secções cónicas e a importância histórica do estudo das elipses, incluindo as descobertas de Apolónio de Perga e Kepler. Posteriormente define a elipse, descreve métodos de construção e apresenta a equação da elipse e os seus elementos principais. Por fim, exemplifica algumas aplicações da elipse no quotidiano.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
1. O documento discute espelhos côncavos e convexos, distinguindo suas características e aplicações.
2. Espelhos côncavos podem formar imagens ampliadas ou invertidas, enquanto espelhos convexos sempre formam imagens menores.
3. Ambos os tipos de espelho possuem foco, real para espelhos côncavos e virtual para convexos, que afeta como a luz é refletida.
O documento descreve os principais elementos e propriedades dos espelhos esféricos côncavos e convexos. Detalha os conceitos de centro de curvatura, raio de curvatura, vértice, foco e imagem. Explica as condições de Gauss para obtenção de imagens nítidas e como espelhos côncavos formam imagens ampliadas enquanto os convexos formam imagens diminuídas.
1. O documento descreve a história do eletromagnetismo desde a antiguidade até meados do século XIX. 2. Inicialmente, apenas os efeitos elétricos e magnéticos eram conhecidos de forma isolada, mas Oersted descobriu a relação entre eles em 1820. 3. Faraday e Henry descobriram independentemente a indução eletromagnética em 1831, selando o casamento entre eletricidade e magnetismo.
O documento descreve as características geométricas da elipse, incluindo: (1) a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante; (2) os elementos da elipse incluem focos, distância focal, centro, eixos maior e menor, vértices e excentricidade; (3) quanto mais próximos os focos, mais a elipse se assemelha a uma circunferência, e quanto mais afastados, mais achatada é a elipse.
Este documento resume as propriedades básicas das cônicas, especificamente parábolas. Explica que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto focal e uma reta diretriz. Detalha os elementos da parábola, como foco, diretriz e vértice, e apresenta as equações canônicas da parábola para diferentes orientações do eixo.
O documento compara as visões de Popper e Kuhn sobre a filosofia da ciência. Popper acredita que a verdade é o objetivo da ciência e que o progresso é medido pela capacidade das teorias resistirem a testes rigorosos. Kuhn vê a ciência como uma sucessão de paradigmas incomensuráveis, sem critérios objetivos para julgar progresso.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.
Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região específica de um único cone circular reto.
Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento da Geometria.
Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica, passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.
Matematicamente falando, uma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
1. O documento discute espelhos côncavos e convexos, distinguindo suas características e aplicações.
2. Espelhos côncavos podem formar imagens ampliadas ou invertidas, enquanto espelhos convexos sempre formam imagens menores.
3. Ambos os tipos de espelho possuem foco, real para espelhos côncavos e virtual para convexos, que afeta como a luz é refletida.
O documento descreve os principais elementos e propriedades dos espelhos esféricos côncavos e convexos. Detalha os conceitos de centro de curvatura, raio de curvatura, vértice, foco e imagem. Explica as condições de Gauss para obtenção de imagens nítidas e como espelhos côncavos formam imagens ampliadas enquanto os convexos formam imagens diminuídas.
1. O documento descreve a história do eletromagnetismo desde a antiguidade até meados do século XIX. 2. Inicialmente, apenas os efeitos elétricos e magnéticos eram conhecidos de forma isolada, mas Oersted descobriu a relação entre eles em 1820. 3. Faraday e Henry descobriram independentemente a indução eletromagnética em 1831, selando o casamento entre eletricidade e magnetismo.
O documento descreve as características geométricas da elipse, incluindo: (1) a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante; (2) os elementos da elipse incluem focos, distância focal, centro, eixos maior e menor, vértices e excentricidade; (3) quanto mais próximos os focos, mais a elipse se assemelha a uma circunferência, e quanto mais afastados, mais achatada é a elipse.
Este documento resume as propriedades básicas das cônicas, especificamente parábolas. Explica que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto focal e uma reta diretriz. Detalha os elementos da parábola, como foco, diretriz e vértice, e apresenta as equações canônicas da parábola para diferentes orientações do eixo.
O documento compara as visões de Popper e Kuhn sobre a filosofia da ciência. Popper acredita que a verdade é o objetivo da ciência e que o progresso é medido pela capacidade das teorias resistirem a testes rigorosos. Kuhn vê a ciência como uma sucessão de paradigmas incomensuráveis, sem critérios objetivos para julgar progresso.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre tensão superficial e efeitos de interface. Os exercícios envolvem cálculos de tensão superficial em diferentes unidades, determinação de energia necessária para aumentar áreas superficiais, cálculo de diferenças de pressão em gotas, efeitos da dimensão de gotas na pressão de vapor, ascensão capilar em tubos, e conversão de unidades de tensão superficial.
O documento descreve a hipérbole geométrica, definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença absoluta das distâncias a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. Detalha os elementos da hipérbole, como focos, centro, eixos real e imaginário, vértices e excentricidade. Fornece as equações da hipérbole para diferentes posicionamentos do eixo real em relação aos eixos de coordenadas.
O documento discute o vulcanismo, descrevendo os tipos de erupções vulcânicas, as características do magma e da lava, e a relação entre vulcanismo e tectônica de placas. Explica como o vulcanismo ocorre nas zonas de convergência e divergência de placas, e no interior das placas, e descreve exemplos de vulcanismo em Portugal.
O documento descreve o efeito Doppler, no qual a frequência de ondas emitidas ou refletidas por fontes em movimento é alterada dependendo da velocidade relativa entre a fonte e o observador. O efeito foi descrito pela primeira vez por Doppler em 1842 e ocorre porque a frequência observada é maior quando a fonte se aproxima e menor quando ela se afasta. A equação geral para calcular o efeito Doppler é fornecida para diferentes situações de movimento entre a fonte e o observador.
O documento apresenta conceitos de geometria descritiva sobre seções planas em poliedros produzidas por planos seccionantes. Explica que uma seção plana é o polígono resultante da interseção de um plano com as faces de um poliedro. Também define figura da seção e sólido truncado. Apresenta exemplos de seções em pirâmides e prisma.
A tabela apresenta a escala cronoestratigráfica dividida em eons, eras, períodos e épocas, desde o Pré-Câmbrico até o Holoceno. Ela fornece as principais divisões do tempo geológico com as respectivas idades em milhões de anos.
1) O documento descreve funções afins cujos gráficos são retas da forma f(x)=ax+b, com exemplos de diferentes valores de a e b.
2) É explicado que, por ser uma reta, são necessários apenas dois pontos para representar graficamente uma função afim.
3) São mostrados passo-a-passo os procedimentos para representar graficamente funções afins através de tabelas de valores e construção dos respectivos gráficos.
O documento classifica e descreve vários tipos de superfícies e sólidos geométricos. Apresenta uma classificação detalhada das superfícies em linhas, superfícies geométricas e irregulares, superfícies regradas planificáveis e empenadas, superfícies de revolução e não regradas. Também classifica sólidos geométricos em poliedros, corpos limitados por superfícies e compostos. Explica a representação diédrica de vários objetos geométricos como poliedros, superf
O documento apresenta três exercícios sobre escalas em mapas: 1) calcular a distância real entre cidades dadas a distância no mapa e a escala, 2) calcular a distância no mapa dado a distância real e a escala, 3) calcular a escala dado a distância real e no mapa. As respostas encontradas foram 180km, 2cm e 1/2.000.000 respectivamente.
O documento descreve a hipótese da deriva dos continentes proposta por Alfred Wegener em 1912 e como esta hipótese evoluiu para a teoria da tectónica de placas. Explica que Wegener propôs que os continentes se movimentaram ao longo do tempo geológico, originando o supercontinente Pangeia que se fragmentou, e discute evidências geográficas, geológicas, paleontológicas e paleoclimáticas para apoiar esta ideia. No entanto, Wegener não conseguiu explicar as forças por detrás deste mov
1) O documento apresenta um livro do professor de física para pré-vestibular com tópicos sobre dinâmica, trabalho, energia e potência.
2) Inclui definições de trabalho mecânico, potência mecânica, rendimento, energia potencial gravitacional, cinética e elástica.
3) O livro foi produzido pela IESDE Brasil S.A. para auxiliar no ensino de física para vestibulares.
Este documento discute a localização absoluta de lugares na Terra através de coordenadas geográficas. Ele explica os principais elementos geométricos da Terra como hemisférios, paralelos e meridianos usados como referência, e como medir a latitude e longitude para localizar exatamente um lugar no globo.
A lista enumera 36 itens de material comum encontrados em um laboratório de química, incluindo utensílios de vidro como copos, tubos de ensaio e balões, além de equipamentos como bicos de Bunsen, tripés e suportes para aquecimento.
O documento fornece uma introdução à geomorfologia, definindo-a como a ciência que estuda as formas da superfície terrestre e seus processos de formação. Aborda os principais conceitos da geomorfologia como sistemas geomorfológicos, processos geomorfológicos exógenos e endógenos, intemperismo e a classificação hierárquica das formas do relevo.
O documento explica como deduzir a fórmula para a área da superfície de uma esfera a partir da fórmula para o volume de uma esfera. Ele faz isso comparando o volume entre duas esferas quase idênticas e mostrando que a razão entre a diferença de volume e a diferença de raio aproxima-se da área da superfície esférica à medida que a diferença de raio diminui, levando à fórmula 4πr2.
Este documento descreve vários métodos para estudar o interior da Terra, incluindo:
1) Métodos diretos como perfurações e estudos de materiais vulcânicos e xenólitos, e métodos indiretos como geofísica, astrogeologia e análise de meteoritos.
2) Geofísica inclui gravimetria, geomagnetismo e sismologia para inferir a estrutura interna baseada em propriedades como densidade e velocidade sísmica.
3) A temperatura aumenta com a profundidade devido ao fluxo térm
Este documento fornece uma introdução aos sistemas elétricos e eletrônicos, cobrindo tópicos como: (1) o que é eletricidade, (2) processos de eletrização, e (3) componentes básicos de circuitos elétricos, incluindo fontes de energia, receptores e sistemas de ligação. Também discute como medir diferença de potencial e intensidade da corrente em circuitos.
O documento descreve os conceitos de rebatimento de planos, que é o processo de rotacionar um plano em torno de sua linha de interseção com outro plano até coincidir. Isso é usado para determinar a verdadeira grandeza de figuras. Os passos para realizar rebatimentos são: 1) rebater os dados para um plano de projeção, 2) construir a figura em verdadeira grandeza, 3) fazer o contra-rebatimento para obter as projeções.
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...3zamar
O documento discute o conceito de simetria em geometria. Apresenta as quatro principais isometrias - rotação, translação, reflexão e reflexão deslizante - e como cada uma delas pode produzir uma simetria em uma figura. Também explora como identificar os diferentes tipos de simetria em figuras, incluindo polígonos e padrões artísticos como rosáceas.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre tensão superficial e efeitos de interface. Os exercícios envolvem cálculos de tensão superficial em diferentes unidades, determinação de energia necessária para aumentar áreas superficiais, cálculo de diferenças de pressão em gotas, efeitos da dimensão de gotas na pressão de vapor, ascensão capilar em tubos, e conversão de unidades de tensão superficial.
O documento descreve a hipérbole geométrica, definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença absoluta das distâncias a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. Detalha os elementos da hipérbole, como focos, centro, eixos real e imaginário, vértices e excentricidade. Fornece as equações da hipérbole para diferentes posicionamentos do eixo real em relação aos eixos de coordenadas.
O documento discute o vulcanismo, descrevendo os tipos de erupções vulcânicas, as características do magma e da lava, e a relação entre vulcanismo e tectônica de placas. Explica como o vulcanismo ocorre nas zonas de convergência e divergência de placas, e no interior das placas, e descreve exemplos de vulcanismo em Portugal.
O documento descreve o efeito Doppler, no qual a frequência de ondas emitidas ou refletidas por fontes em movimento é alterada dependendo da velocidade relativa entre a fonte e o observador. O efeito foi descrito pela primeira vez por Doppler em 1842 e ocorre porque a frequência observada é maior quando a fonte se aproxima e menor quando ela se afasta. A equação geral para calcular o efeito Doppler é fornecida para diferentes situações de movimento entre a fonte e o observador.
O documento apresenta conceitos de geometria descritiva sobre seções planas em poliedros produzidas por planos seccionantes. Explica que uma seção plana é o polígono resultante da interseção de um plano com as faces de um poliedro. Também define figura da seção e sólido truncado. Apresenta exemplos de seções em pirâmides e prisma.
A tabela apresenta a escala cronoestratigráfica dividida em eons, eras, períodos e épocas, desde o Pré-Câmbrico até o Holoceno. Ela fornece as principais divisões do tempo geológico com as respectivas idades em milhões de anos.
1) O documento descreve funções afins cujos gráficos são retas da forma f(x)=ax+b, com exemplos de diferentes valores de a e b.
2) É explicado que, por ser uma reta, são necessários apenas dois pontos para representar graficamente uma função afim.
3) São mostrados passo-a-passo os procedimentos para representar graficamente funções afins através de tabelas de valores e construção dos respectivos gráficos.
O documento classifica e descreve vários tipos de superfícies e sólidos geométricos. Apresenta uma classificação detalhada das superfícies em linhas, superfícies geométricas e irregulares, superfícies regradas planificáveis e empenadas, superfícies de revolução e não regradas. Também classifica sólidos geométricos em poliedros, corpos limitados por superfícies e compostos. Explica a representação diédrica de vários objetos geométricos como poliedros, superf
O documento apresenta três exercícios sobre escalas em mapas: 1) calcular a distância real entre cidades dadas a distância no mapa e a escala, 2) calcular a distância no mapa dado a distância real e a escala, 3) calcular a escala dado a distância real e no mapa. As respostas encontradas foram 180km, 2cm e 1/2.000.000 respectivamente.
O documento descreve a hipótese da deriva dos continentes proposta por Alfred Wegener em 1912 e como esta hipótese evoluiu para a teoria da tectónica de placas. Explica que Wegener propôs que os continentes se movimentaram ao longo do tempo geológico, originando o supercontinente Pangeia que se fragmentou, e discute evidências geográficas, geológicas, paleontológicas e paleoclimáticas para apoiar esta ideia. No entanto, Wegener não conseguiu explicar as forças por detrás deste mov
1) O documento apresenta um livro do professor de física para pré-vestibular com tópicos sobre dinâmica, trabalho, energia e potência.
2) Inclui definições de trabalho mecânico, potência mecânica, rendimento, energia potencial gravitacional, cinética e elástica.
3) O livro foi produzido pela IESDE Brasil S.A. para auxiliar no ensino de física para vestibulares.
Este documento discute a localização absoluta de lugares na Terra através de coordenadas geográficas. Ele explica os principais elementos geométricos da Terra como hemisférios, paralelos e meridianos usados como referência, e como medir a latitude e longitude para localizar exatamente um lugar no globo.
A lista enumera 36 itens de material comum encontrados em um laboratório de química, incluindo utensílios de vidro como copos, tubos de ensaio e balões, além de equipamentos como bicos de Bunsen, tripés e suportes para aquecimento.
O documento fornece uma introdução à geomorfologia, definindo-a como a ciência que estuda as formas da superfície terrestre e seus processos de formação. Aborda os principais conceitos da geomorfologia como sistemas geomorfológicos, processos geomorfológicos exógenos e endógenos, intemperismo e a classificação hierárquica das formas do relevo.
O documento explica como deduzir a fórmula para a área da superfície de uma esfera a partir da fórmula para o volume de uma esfera. Ele faz isso comparando o volume entre duas esferas quase idênticas e mostrando que a razão entre a diferença de volume e a diferença de raio aproxima-se da área da superfície esférica à medida que a diferença de raio diminui, levando à fórmula 4πr2.
Este documento descreve vários métodos para estudar o interior da Terra, incluindo:
1) Métodos diretos como perfurações e estudos de materiais vulcânicos e xenólitos, e métodos indiretos como geofísica, astrogeologia e análise de meteoritos.
2) Geofísica inclui gravimetria, geomagnetismo e sismologia para inferir a estrutura interna baseada em propriedades como densidade e velocidade sísmica.
3) A temperatura aumenta com a profundidade devido ao fluxo térm
Este documento fornece uma introdução aos sistemas elétricos e eletrônicos, cobrindo tópicos como: (1) o que é eletricidade, (2) processos de eletrização, e (3) componentes básicos de circuitos elétricos, incluindo fontes de energia, receptores e sistemas de ligação. Também discute como medir diferença de potencial e intensidade da corrente em circuitos.
O documento descreve os conceitos de rebatimento de planos, que é o processo de rotacionar um plano em torno de sua linha de interseção com outro plano até coincidir. Isso é usado para determinar a verdadeira grandeza de figuras. Os passos para realizar rebatimentos são: 1) rebater os dados para um plano de projeção, 2) construir a figura em verdadeira grandeza, 3) fazer o contra-rebatimento para obter as projeções.
O “mundo” da simetria... Reflectindo sobre desafios do PMEB (Ana Maria Boavid...3zamar
O documento discute o conceito de simetria em geometria. Apresenta as quatro principais isometrias - rotação, translação, reflexão e reflexão deslizante - e como cada uma delas pode produzir uma simetria em uma figura. Também explora como identificar os diferentes tipos de simetria em figuras, incluindo polígonos e padrões artísticos como rosáceas.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
Este plano de trabalho propõe 4 atividades para ensinar sobre circunferência e círculo aos alunos do 9o ano, utilizando objetos do cotidiano e abordagens práticas. As atividades abordam os elementos da circunferência, relações entre raio, diâmetro e comprimento, e cálculo da área do círculo. A avaliação considerará a participação dos alunos e entendimento dos conceitos apresentados.
1) O documento discute as seções cônicas (elipse, hipérbole e parábola), apresentando seus elementos geométricos e equações.
2) Inclui uma pesquisa sobre o ensino das cônicas no 3o ano do ensino médio, indicando que o conteúdo costuma ficar restrito ao ensino superior devido à falta de tempo.
3) Conclui ressaltando a importância de ensinar as cônicas enfatizando sua história e relações geométricas, em vez de apenas memorizar equações.
O documento apresenta o prefácio e a introdução de um livro sobre as maravilhas da matemática escrito por Malba Tahan. O prefácio discute a importância do estudo da matemática e de sua abordagem histórica no ensino. A introdução descreve o objetivo do livro de oferecer uma variedade de pequenos trechos sobre tópicos curiosos e interessantes relacionados à matemática de forma viva e diversificada.
O documento apresenta 13 exercícios resolvidos sobre curvas cônicas, incluindo elipses, parábolas e hipérboles. Os exercícios demonstram vários métodos para traçar estas curvas, tais como utilizando os focos, círculos principais, pontos, retângulos e paralelogramos. O objetivo é fornecer exemplos passo-a-passo para que os leitores possam aprender a desenhar diferentes curvas cônicas.
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone.
Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.
Este documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da parábola. Primeiro, define parábola como uma curva cônica formada pelos pontos equidistantes de um foco e uma reta. Em seguida, descreve as partes da parábola como foco, eixo, diretriz e vértice. Por fim, apresenta as equações da parábola de acordo com a posição do foco.
Isaac Newton nasceu em 1642 na Inglaterra e realizou descobertas fundamentais em física, como as leis do movimento e a lei da gravitação universal. Ele estudou na Universidade de Cambridge e desenvolveu o cálculo infinitesimal e a óptica. Foi um cientista prolífico que contribuiu significativamente para a matemática, física, alquimia e teologia. Newton faleceu em 1727.
Este documento fornece uma introdução às elipses, definindo-as como conjuntos de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. Detalha seus principais elementos como focos e componentes, e discute aplicações como órbitas planetárias e lentes ópticas. A história, tipos de cônicas, ilustrações, equações e exemplos são também abordados para fornecer uma visão geral das elipses.
O documento discute o clima de Portugal, incluindo as estações do ano e tipos de clima. Também descreve o que é um anemómetro e diferentes tipos de anemómetros, incluindo um anemómetro de Robinson e um anemómetro sônico. A conclusão é que os alunos aprenderam sobre diferentes tipos de climas e construíram uma maquete de anemómetro.
O documento explica o que são números racionais, como representá-los em frações e decimais, e como realizar operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais. Ele também fornece exemplos de como converter entre frações decimais e números decimais e como dividir números decimais de forma exata. Por fim, o documento encoraja o estudo e fornece links para exercícios adicionais sobre números racionais.
Isaac Newton foi um cientista inglês reconhecido por desenvolver as leis da gravitação e da mecânica clássica. Ele observou uma maçã cair de uma árvore e percebeu que a mesma força que fazia a maçã cair também mantinha a Lua em sua órbita, o que o levou a formular sua lei da gravitação universal. Newton também estabeleceu as três leis do movimento, que descrevem como os objetos se movimentam sob o efeito de forças. Sua obra Principia Mathematica revol
O documento discute as alterações climáticas e seus impactos, incluindo o aquecimento global causado pela poluição, ameaçando a vida selvagem e o meio ambiente. Ele explica o efeito estufa, poluição atmosférica, camada de ozônio e chuvas ácidas, e enfatiza a necessidade de ações como uso de energia renovável e reflorestamento.
O documento define circunferência como um conjunto de pontos equidistantes de um centro, com cordas e raios como elementos. Um círculo é a área plana limitada por uma circunferência. Uma esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução com todos os pontos igualmente distantes de um centro interior, com suas seções formando círculos.
O documento discute a origem, efeitos e riscos da cocaína. A cocaína tem origem na América do Sul e pode causar dependência, levando a problemas de saúde como danos cardíacos e psiquiátricos. O tratamento envolve desintoxicação e terapia comportamental.
Este documento descreve as estações do ano. Explica que há estações devido à inclinação do eixo da Terra e sua órbita em torno do Sol, e como as estações variam entre os hemisférios norte e sul. Detalha também como as estações são divididas em diferentes países e como artistas retrataram as estações através da música, literatura e pintura.
O documento discute as quatro estações do ano e como elas afetam a vida na Terra. Ele explica que as estações são causadas pela órbita da Terra ao redor do Sol e pela inclinação do seu eixo. Cada estação é caracterizada por diferentes temperaturas e padrões climáticos que influenciam as plantas, animais e agricultura.
Isaac Newton nasceu em 1643 na Inglaterra e realizou importantes descobertas em óptica e mecânica celeste, formulando as leis da gravitação universal e do movimento. Sua descoberta de que a luz branca é composta por cores do espectro óptico revolucionou a óptica, enquanto sua formulação da gravitação universal explicou os movimentos dos planetas e da Lua.
Este documento apresenta um plano de aula sobre círculos e circunferências para alunos do 8o ano. A aula inclui 15 atividades que abordam conceitos como raio, diâmetro, corda e centro, bem como exemplos práticos envolvendo rodas, anéis de Saturno e jogos olímpicos. O objetivo é que os alunos reconheçam esses elementos e saibam identificá-los.
Este documento apresenta um resumo sobre cônicas. Apresenta os objetivos do estudo, a contribuição de Apolônio para o desenvolvimento das cônicas e define o que são cônicas. Por fim, resolve um problema envolvendo as órbitas planetárias segundo as leis de Kepler.
Este documento discute a elipse matemática. Apresenta a origem histórica da elipse com Apolônio de Perga no século II a.C. e descreve as propriedades e componentes da elipse, incluindo focos, vértices e eixos. Também fornece exemplos de como construir elipses geometricamente e resolve dois problemas relacionados a elipses.
Este documento discute a elipse matemática. Apresenta a origem histórica da elipse com Apolônio de Perga no século II a.C. Descreve as propriedades e componentes da elipse, incluindo focos, vértices e eixos. Explica como construir uma elipse a partir de duas circunferências e resolve dois problemas relacionados a elipses.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elipses para o curso de Cálculo de Várias Variáveis. A lista contém 14 questões sobre elipses, pedindo para determinar suas equações, parâmetros, pontos e características. Além disso, apresenta 4 questões para serem desenvolvidas como trabalho.
O documento discute a história e propriedades das curvas cônicas. Aborda Apolônio de Perga, que estudou e desenvolveu as cônicas na antiguidade. Também menciona as cinco curvas cônicas básicas e aplicações importantes das cônicas em engenharia, astronomia e outras áreas.
O documento descreve as três principais cônicas - elipse, hipérbole e parábola - definindo-as como lugares geométricos e apresentando seus elementos e equações características. A elipse é definida como o lugar onde a soma das distâncias até dois focos é constante, a hipérbole como a diferença das distâncias, e a parábola como o lugar onde a distância até um foco é igual à distância até uma reta fixa.
Este capítulo resume as leis de Kepler sobre o movimento planetário. Kepler analisou os dados de observações de Tycho Brahe e descobriu três leis: 1) as órbitas dos planetas são elípticas com o Sol em um dos focos; 2) a linha que une o planeta e o Sol varre áreas iguais em tempos iguais; 3) o quadrado do período orbital é diretamente proporcional ao cubo da distância média ao Sol. Essas leis mostraram que os planetas se movem em órbitas elípticas e que
O documento descreve uma atividade experimental para medir o diâmetro e a circunferência de objetos circulares como tampas de lata, com o objetivo de descobrir a relação entre essas medidas. A atividade mostra que a relação entre o comprimento da circunferência e o diâmetro é aproximadamente o mesmo valor para diferentes objetos, que é igual ao número π (pi).
O documento apresenta informações sobre a disciplina de Física 1 ministrada pelo professor Nelson Elias, incluindo o livro texto, referências complementares, objetivos do curso e conteúdo programático sobre grandezas físicas e unidades de medida.
1) O astrolábio era um instrumento antigo usado para medir a altura dos astros.
2) O astrolábio náutico era uma versão simplificada usada para navegação.
3) O documento descreve como um grupo de estudantes construiu um astrolábio de papelão e realizou medições em triângulos na escola.
O poema descreve um romance entre figuras matemáticas, como Quociente e Incógnita, que desafiam convenções matemáticas ao se apaixonarem e se casarem. No entanto, surgem problemas quando Máximo Divisor Comum se intromete em seu casamento.
O documento discute os principais conceitos da óptica geométrica, incluindo a natureza da luz, captação da luz pelos olhos, propagação retilínea e reflexão da luz, tipos de espelhos e formação de imagens. É explicado como a luz pode ser interpretada como onda ou partícula dependendo do fenômeno, e como a velocidade da luz varia em diferentes meios, causando refração.
1) No século VII, os árabes estabeleceram observatórios na Espanha e na Europa, transmitindo a astronomia para a Europa.
2) Em 1609, Galileo Galilei construiu seu próprio telescópio refrator, iniciando observações que levariam a grandes descobertas.
3) Ao longo dos séculos, foram desenvolvidos diversos tipos de telescópios, como os refletores de Newton e os radiotelescópios.
O documento discute vários tópicos relacionados à física, incluindo o efeito fotoelétrico, o cérebro de Einstein, a teoria da relatividade, a descoberta do bosão de Higgs, matéria escura, radiação cósmica de fundo, eventos científicos e oportunidades de apoio.
Este documento apresenta uma atividade prática sobre circunferências onde alunos medem circunferências de círculos feitos em EVA e completam uma tabela com os dados. Também discute definições básicas de circunferência, raio, arco e corda e explica que a circunferência tem 360 graus possivelmente devido a civilizações antigas ou à divisão do raio pelos babilônios usando 60 como base para cálculos.
Este documento apresenta uma atividade prática sobre circunferências onde alunos medem circunferências de círculos feitos em EVA e completam uma tabela com os dados. Também discute definições básicas de circunferência, raio, arco e corda, e explica que a circunferência tem 360 graus possivelmente devido a civilizações antigas ou à divisão do raio pelos babilônios usando 60 como base.
Este documento apresenta uma atividade prática sobre circunferências onde alunos medem circunferências de círculos feitos em EVA e completam uma tabela com os dados. Também discute definições básicas de circunferência, raio, arco e corda, e explica que a circunferência tem 360 graus possivelmente devido a civilizações antigas ou à divisão do raio pelos babilônios usando 60 como base.
O documento descreve uma atividade sobre circunferências onde os alunos medem o comprimento e diâmetro de círculos feitos de EVA para verificar a relação entre o comprimento da circunferência e o raio. Também discute definições básicas de circunferência como raio, arco e corda, e explica porque a circunferência tem 360 graus.
Semelhante a Trabalho sobre a Elipse - ESCantanhede (20)
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1. Agrupamento de Escolas Finisterra
Escola Secundária de Cantanhede
Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Matemática
Secções cónicas: a ELIPSE
A matemática é a mais alta das ciências, o dom mais alto que os deuses deram aos
homens. Ela é mais poesia que a própria poesia.
Arquimedes
Turma: 10CT4
Docente: Profª Marília Zorrinho
Trabalho realizado por:
Luís André P. Alves de Oliveira | Nº 15720
Pedro Miguel N. Oliveira | Nº 15737
2. Ano Letivo: 2013 / 2014
Índice
Introdução ....................................................................................................................................... 3
Breve referência histórica sobre a elipse .............................................................................. 4
Definição de elipse ....................................................................................................................... 5
Métodos de construção da elipse ........................................................................................... 5
Equação da elipse e os seus elementos ................................................................................ 5
Aplicações da elipse ..................................................................................................................... 8
Conclusão......................................................................................................................................... 9
Bibliografia ..................................................................................................................................... 10
JANEIRO DE 2014
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3. Introdução
Secções cónicas são as curvas que resultam da intersecção de um plano
com uma superfície cónica.
As secções cónicas representam uma parte muito importante no estudo
da Matemática. As suas equações e os seus gráficos são muitoutilizados em
vários ramos da Matemática, como por exemplo o Cálculo Integral, para além
de serem muitas as aplicações das cónicas na história da sociedade. Desde que
o matemático grego Apolónio de Perga escreveu o primeiro trabalho sobre as
secções cónicas, diversos matemáticos de renome contribuíram, de maneira
significativa, para o conhecimento desta curvas e suas aplicações nos diversos
assuntos.
Das várias cónicas destacam-se duas: a circunferência e a elipse.
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4. Breve referência histórica sobre a
elipse
Apolónio de Perga, foi um matemático que se dedicou principalmente ao
estudo de curvas, denominadas por cónicas.
As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia
principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar
previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as
estações do ano a fim de procederem às atividades agrícolas nas alturas
corretas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela
astronomia manteve-se sempre.
Os primeiros modelos de que há registo consideravam que as órbitas
planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes
Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações
do astrónomo dinamarquês TychoBrahe, em que se apoiou.
Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas
planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita
de Marte em torno do Sol é uma elipse.
A partir daí as cónicas revelaram a sua restrita ligação com a Natureza, em
particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta,
associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton
a formular a sua lei gravitacional.
O matemático Apolónio nasceu em Perga, Pamphylia. Na época de
Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de devoção da deusa
Artemis.
Apolónio de Perga ficou conhecido como "O Grande Geómetra", tendo
deixado uma vasta obra, que em muito contribuiu para o desenvolvimento da
Matemática, apesar de se terem perdido vários dos seus trabalhos ao longo dos
anos.
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4
5. Definição
elipse
de
Uma elipse é um conjunto de pontos
do plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos (focos) é constante e
maior que a distância entre eles.
Métodos de construção da elipse
Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais se destaca
o método do jardineiro e o método do alongamento da circunferência.
O método do jardineiro consiste em
espetar duas hastes verticais no chão, atar as
extremidades de uma corda a cada uma das
hastes e com um pau encostado à corda ir
traçando a elipse no chão, mantendo sempre a
corda esticada. O comprimento da corda deve,
obviamente, ser superior à distância entre as
hastes.
O
método
do
alongamento
da
circunferência consiste em, partindo de uma
circunferência de um determinado diâmetro, com
centro na origem de referencial, multiplicar as
abcissas de todos os pontos da circunferência por
um fator de alongamento. O diâmetro deve ser igual ao eixo menor da elipse
que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido por forma a
que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo
maior da elipse.
Equação da elipse e os
seus elementos
Da equação da circunferência para a equação da elipse
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6. Uma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou
“achatada”.
Será possível, a partir da equação de uma circunferência obter a equação de
uma elipse?
Considere-se a circunferência de centro (0,0) e raio 4.
A equação desta circunferência é:
Ou, dividindo ambos os membros por
,
A equação da elipse aparece, normalmente, sob a forma de:
Na circunferência tem-se a = b = raio. Na elipse tem-se a>b ou a<b.
Através de um alongamento da circunferência de equação
, obtémse uma elipse em que o eixo menor é igual ao diâmetro da circunferência:
Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto
X
2x
Y
A’ (X,Y) da elipse, sendo:
y
X
x
2
y
Y
Substituindo, na equação da circunferência, por e por Y, obtém-se:
X
2
Y
2
2
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4
2
X
4
2
Y
2
16
X
2
64
Y
2
16
1
X
8
2
2
Y
1
4
6
7. Assim,
Elipse de centro na origem
Semieixo maior:
Semieixo menor:
2
y
2
8
Equação:
x
2
4
2
1
Se uma vez de um alongamento se tivesse procedido a um achatamento da
circunferência de equação x 2 y 2 4 2 , a elipse obtida teria o eixo maior
igual ao diâmetro da circunferência.
Cada ponto A (x,y) da circunferência é
transformado no ponto A’ (X,Y) da elipse, sendo:
x
X
x
Y
y
, y)
2X
Y
2
y)
y
x
Substituindo, na equação da circunferência, x por
2X e y por Y, obtém-se:
2
(2 X )
Y
2
4
2
2
4X
2
Y
16
4X
16
Assim, a equação
X
2
2
2
Y
2
4
2
1 define
2
Y
2
16
1
X
2
2
2
Y
2
4
2
1
uma elipse de centro na
origem, sendo:
Semieixo menor:
Semieixo maior:
Assim tem-se:
Considere-se uma elipse de centro na origem e vértices (
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); (
;(
e
7
8. x
2
y
2
a
A equação da elipse é
2
b
2
1.
Aplicações da elipse
Suponhamos
que
temos
uma
lanterna
direcionada para uma parede, o feixe de luz emitido
desenhará nessa parede uma curva cónica. Este facto
acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna
forma um cone, e também porque a parede funciona
como um plano que corta o cone formado.
Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à
parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma
hipérbole.
O som emitido por um avião a jacto supersónico tem a forma de um
cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim,
dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses,
parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este
facto, entre outros, para saber a que distância da
Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
Certos candeeiros de cabeceira, cujo abat-jour
é aberto segundo uma circunferência, desenham na
parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam
este facto, entre outros, para construírem candeeiros,
lanternas, etc...
As extremidades das asas do famoso avião britânico
Spitfire, usado com grande sucesso na II Guerra
Mundial, eram arcos de elipses. Embora a razão da
sua escolha se prenda com o facto de se obter mais
espaço para transportar munições, pois este tipo de
asa diminuía a resistência do ar, favorecendo
melhores performances ao avião em voo.
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9. Conclusão
Neste trabalho concluímos que Apolónio de Perga teve uma grande
influência no conhecimento mais aprofundado das cónicas (elipse, parábola,
hipérbole).
Aprendemos que a elipse tem váriosmétodos de construção, que pode
ser formada, por exemplo, pelo alargamento ou por achatar uma circunferência.
Passamos ainda a conhecer a equação da elipse, que é formada a partir da
equação da circunferência e ainda seus elementos.
Aprendemos ainda que a elipse tem várias aplicações no nosso dia a dia,
e são em coisas que nós nunca reparamos, como por exemplo quando a luz de
uma lanterna bate na parede, foi utilizada numas asas de um dos aviões mais
famosos, entre outras coisas.
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10. Bibliografia
Gomes, F., Viegas, C., & Lima, Y. (2013). xeqmat. In F. Gomes, C. Viegas, & Y.
Lima, xeqmat. Lisboa: O livro.
Neves, M., & Guerreiro, L. (s.d.). Matemática A - 10º ano - Geometris.
Ovigli, D., de Jesus e Silva, L., Valéria da Silva, S., & Ribeiro Garcia Malheiros, C.
(21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Elipse: http://estatisticandoelipse.blogspot.pt/
Varandas, J. M. (21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Website de U.Lisboa:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/elipse.htm
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