Este documento fornece definições e instruções sobre como construir figuras geométricas usando régua e compasso. Inclui como construir perpendiculares, paralelas, mediatrizes de segmentos e triângulos a partir de seus lados. Também apresenta exercícios para a prática dessas construções.

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Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática − Ensino Fundamental
Título: Construções geométricas
16. Construções
geométricas
16.1. Construir perpendiculares, paralelas e
mediatriz de um segmento usando régua e
compasso.
16.2. Construir um triângulo a partir de seus
lados, com régua e compasso.
Introdução
O conteúdo deste módulo nos permitirá fazer uma revisão de alguns tópicos de
geometria plana.
Para resolver os problemas que surgiram aqui, podemos utilizar resultados de
geometria plana e seguir a seguinte:
Regra
Os problemas aqui só poderão ser resolvidos com o uso do compasso e da
régua. Isto é, traçando-se circunferências com o compasso e “retas” ou
segmentos, com o uso da régua, mas não utilizando a sua escala.
Apresentaremos alguns resultados e definições que serão utilizados ao longo
deste módulo.
Resultado. Para que segmentos de medidas cba ,, sejam lados de um triângulo
deve-se ter bacba +<<− || .
Definição. O ponto médio de um segmento é o ponto interior a ele e que o
divide em dois outros segmentos de mesma medida.

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Definição. Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não se
cortam.
Definição. Duas retas são perpendiculares se têm um ponto em comum e
formam um ângulo de 90o
.
Definição. A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do
segmento e lhe é perpendicular.
Definição. A altura de um triângulo ABC, relativa ao lado BC, é o segmento
contido na perpendicular traçada a reta BC pelo ponto A, cujos extremos são: o
vértice A e a interseção da reta BC com a reta perpendicular a BC.
O segmento AH é a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC.
• Na primeira figura o ponto H, pé da perpendicular, é interior a BC.
• Na segunda figura o ponto H, pé da perpendicular, é igual a B.
• Na terceira figura o ponto H, pé da perpendicular, é exterior a BC.

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Definição. Em um plano considere um ponto um ponto fixo C e um número real
positivo r. Chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os
pontos do plano cujas distâncias a C seja r.
• Se um ponto P pertence à circunferência de centro C e raio r, então a
distância de C a P é igual a r.
• Se a distância de um ponto Q ao ponto C é igual a r, então Q pertence à
circunferência de centro C e raio r.
Ferramenta compasso.
A ponta com a agulha é denominada a ponta seca do compasso.
O centro e o raio de uma circunferência desenhada com um compasso
correspondem, respectivamente, a ponta seca e a abertura do compasso.

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Observação. Toda vez que você
Ferramenta régua.
Observação: A partir de agora, o termo “construir uma figura” significará que a
figura deverá ser construída utilizando-se somente o compasso para fazer
circunferências e a régua para fazer “retas” ou segmentos, sem utilizar sua
escala da régua.
Exercício 1.
Desenhe um segmento AB. Construa duas circunferências: uma com o centro
em A e outra com o centro em B de forma que as duas
a) não tenham ponto em comum;
b) tenham somente um ponto comum;
c) tenham exatamente dois pontos em comum.
Para resolver os problemas a seguir teremos que encontrar um ou mais pontos
que estarão sobre (pelo menos) duas figuras. Assim para obtê-los deveremos
intersectar as duas figuras.
Exemplo 1. Abaixo está desenhado um segmento AB e uma semi-reta de
origem e O.

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Construir sobre a semi-reta um segmento OP de comprimento igual a AB.
Solução. Duas figuras que contêm o ponto P são a semi-reta, de origem O, e a
circunferência de centro O e raio AB.
A semi-reta foi dada, então, agora vamos construir a circunferência de centro O
e raio AB e, em seguida, intersectá-las.
Procedimento:
• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.
Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB. Com
esta abertura estamos prontos para construir circunferências de raios
iguais a AB.
• Mantendo a abertura do compasso igual a AB, coloque a ponta seca em O
e gire-o para obter a circunferência de centro em O e raio igual a AB.
A interseção da semi-reta de origem O com a circunferência de centro O e raio
igual a AB é o ponto P tal que OP = AB.
Exemplo 2. Abaixo estão representados os pontos A e B.

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Encontrar um ponto que equidista de A e B.
Observação. Um ponto equidista de A e B, se a distância dele até A é igual a
distância dele até B.
Solução. Basta construir duas circunferências de raios iguais e que se
intersectam: uma com o centro em A e outra com o centro em B.
Assim a interseção das duas fornecerá pontos que serão equidistantes de A e B.
Procedimento:
• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.
Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB.
• Trace a circunferência de centro em A e raio AB.
• Agora, trace a circunferência de centro em B e raio igual a AB.
Qualquer um dos pontos da interseção das duas circunferências será
equidistante de A e B, pois AP e BP são raios das circunferências que têm o
mesmo raio AB.
Observação. O procedimento acima vale se as circunferências de centros em
A e em B tiverem raios iguais e maiores que a metade do segmento AB.
Portanto, basta garantir que a abertura do compasso seja maior que a metade
do segmento AB.

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Exemplo 3. Desenhe um segmento. Agora construa um triângulo equilátero de
lados iguais ao segmento que você desenhou.
Solução. Suponha que o segmento desenhado seja o que está representado
abaixo:
Já temos dois vértices do triângulo, devemos obter o terceiro, que
representaremos por C.
Lembrando que para o ponto C ser vértice de um triângulo equilátero, a distância
dele aos pontos A e B devem ser iguais a AB.
Portanto, basta repetir o procedimento utilizado no exemplo 2, com a abertura do
compasso igual a AB.
No triângulo ABC tem-se AB = BC = CA.
Exemplo 4. Abaixo estão representados segmentos que são lados de um
triângulo.
Construir o triângulo.

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Solução. Para construir um triângulo basta obter os seus vértices.
Vamos construir o triângulo sobre um dos segmentos este já será um de seus
lados.
Por exemplo, vamos fixar o segmento a. Dessa forma, os dois extremos do
segmento a serão vértices do triângulo a ser construído.
Vamos representar os extremos do segmento a por B e C.
O terceiro vértice do triângulo está a uma distância b de um dos vértices e a
uma distância c do outro.
Vamos considerar que o terceiro vértice está a uma distância b do vértice C e a
uma distância c do vértice B.
Representemos o terceiro vértice por A. Como não sabemos onde ele está,
vamos obter duas figuras que o contém e, em seguida, intersectá-las.
O conjunto de todos os pontos que têm distância b de C é uma circunferência de
centro em C e raio b. Esta circunferência contém A.
O conjunto de todos os pontos que têm distância c de B é uma circunferência de
centro em B e raio c. Esta circunferência também contém A.

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O terceiro vértice é o ponto A interseção das duas circunferências. Assim o
triângulo ABC é a solução.
Observação. Se tivéssemos ligado o ponto abaixo de BC aos vértices B e C,
também teríamos um triângulo de lados a, b e c. Ele seria congruente ao
primeiro. Neste caso dizemos que eles representam a mesma solução.
Exercícios
2. Abaixo está desenhado um segmento AB.
Construir um segmento de comprimento igual a ao dobro de AB.
3. Abaixo estão os pontos A e B.
Encontrar quatro pontos que equidistam de A e B.
4. Desenhe um segmento. Agora tomando este segmento como base construa
um triângulo isósceles.

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5. Desenhe três segmentos de forma que não seja possível construir um
triângulo que os tenha como lado.
Utilize a régua e o compasso para mostrar que não é possível construir um
triângulo que tenha esses segmentos como lados.
Atividade 1. Construir a mediatriz do segmento AB com dobraduras
1. Desenhe um segmento em uma folha branca, destacando seus extremos A e
B (figura 1).
2. Em seguida, dobrar a folha de forma que o ponto A coincida com o ponto B
(figura 2), formando um vinco (pontilhado na figura 3) e marcar o ponto M.
3. Concluir que o vinco é a mediatriz do segmento AB, observando que como A
e B se sobrepõem ao dobrar a folha, os segmentos MA e MB também se
sobrepõem, e logo:
a) MA = MB, donde M é o ponto médio de AB;
b) os quatro ângulos formados pelo vinco e o segmento AB são retos (isto é,
cada um mede 90o
).
Atividade 2. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB
equidista dos extremos A e B
Aproveite a mediatriz construída na atividade 1 e marque
um ponto X sobre a mediatriz de AB e observe que ao
dobrar a folha que os segmentos XA e XB se sobrepõem,
donde XA = XB. Repita este procedimento marcando outros
pontos na mediatriz e observe que este resultado continua
válido.
Daí, podemos concluir que todo ponto da mediatriz de AB
equidista de A e B.
Essa mesma conclusão pode ser obtida utilizando o
procedimento a seguir:

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Após marcar um ponto X sobre a mediatriz de AB, trace a circunferência de
centro em X e raio XA, utilizando um compasso (figura 4). Observe que essa
circunferência passa também por B, isto é, XA = XB, como visto acima.
Repetir agora o procedimento marcando outros pontos sobre a mediatriz.
Atividade 3. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a
mediatriz de AB
Marcar, agora, um ponto Y fora da mediatriz e traçar a circunferência de
centro em Y e raio YA. Observe que essa circunferência não passa por B,
indicando que YBYA ≠ . Repita este procedimento marcando outros pontos
fora da mediatriz e observe que este resultado continua válido.
Daí, podemos concluir que todo ponto que não pertence a mediatriz de AB
não equidista de A e B.
Conclusão 1: Das atividades 2 e 3, concluí-se que todo ponto pertencente à
mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo ponto que
equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.
As atividades 4 e 5 a seguir têm o objetivo de justificar os resultados obtidos nas
atividades 1, 2 e 3, utilizando congruência de triângulos, sem o uso do
compasso, régua ou papel.
Atividade 4. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB
equidista dos extremos A e B
Marque um ponto qualquer X sobre a mediatriz de AB.
O ponto X marcado sobre a mediatriz de AB ou coincide com o ponto médio M ou
não.
1. Se o ponto coincide com M, então X = M, então AM = MB.
2. Se o ponto X não coincide com M, trace XA e XB. Os triângulos AMX e
MAB são congruentes, pelo caso LAL.

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Dessa congruência concluímos que XA = XB. Isto é, todo ponto da
mediatriz de AB equidista dos extremos A e B.
Atividade 5. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a
mediatriz de AB
Marque um ponto qualquer Y tal que YA = YB. Marque também o ponto médio M
de AB.
O ponto Y marcado ou coincide com M ou não.
1. Se Y = M, então AY = YB.
2. Se Y não coincide com M, trace YA, YB e MY.
Os triângulos AMY e MYB são congruentes, pelo caso LLL.
Dessa congruência concluímos que os ângulos AMY e são BMY são iguais.
Como a soma deles é 180o
, concluímos que cada um deles mede 90o
. O que
significa que a reta MY é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto
médio, isto é, MY é a mediatriz de AB.
Conclusão 2: As atividades 4 e 5 nos levam a concluir que todo ponto
pertencente à mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo
ponto que equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.

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Observação. Da conclusão 1 ou da 2 temos que o conjunto de todos os pontos
que equidistam dos extremos de um segmento está na mediatriz desse
segmento.
Conclusão 3: Sabendo que o conjunto de todos os pontos que equidistam dos
extremos de um segmento é a mediatriz do segmento e a mediatriz de um
segmento é uma reta, basta encontrar dois pontos eqüidistantes dos extremos
do segmento para construí-la.
Exemplo 5. Desenhe um segmento. Construa a mediatriz desse segmento.
Solução. Desenhei o segmento AB abaixo.
Para construir a mediatriz deste segmento basta encontrar dois pontos que
equidistam de A e B. Para isso, vamos repetir o procedimento do exemplo 2.
Isto é, traçar duas circunferências de raios iguais: uma de centro em A e outra de
centro em B. A interseção delas nos fornecerá dois pontos equidistantes dos
extremos A e B do segmento desenhado.
A reta que passa por esses dos pontos de interseção é a mediatriz de AB, pela
conclusão 3.

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Utilizaremos a construção da mediatriz de um segmento para traçar
perpendiculares a uma reta dada.
Exemplo 5. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P pertencente a ela.
Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.
Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja
o ponto médio dele. Em seguida, construiremos a mediatriz de AB, que
obrigatoriamente passará pelo por P.
Para isso, abra o compasso com uma abertura qualquer. Com o centro em P
trace a circunferência. Represente por A e B as interseções desta circunferência
com a reta r.
Da maneira como foi construído o segmento AB, o ponto P é o seu ponto médio.
Agora trace a mediatriz de AB (ver exemplo 5).
A mediatriz de AB será a reta perpendicular à reta r pelo ponto P.
Exemplo 6. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente
a ela.

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Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.
Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja
equidistante de A e B, consequentemente o ponto P pertencerá a mediatriz de
AB. Coloque a ponta seca do compasso em P e abra-o de forma que a outra
ponta passe para o lado oposto ao de P, em relação à reta r.
Trace a circunferência de centro em P e raio igual a abertura anterior. Esta
circunferência cortará r em dois pontos. Vamos representá-los por A e B.
Agora, encontre outro ponto Q que equidiste de A e B.
A reta que passa pelos pontos P e Q é a mediatriz de AB. Portanto ela será
perpendicular à reta r.
Exemplo 7. Abaixo estão representados dois segmentos.
Construir um triângulo retângulo com um cateto e a hipotenusa iguais aos
segmentos dados.
Solução. Um procedimento que auxilia muito obter os passos para a resolução
desse problema é o de fazer um desenho, mesmo que a mão livre e sem
exatidão. Isso nos permitirá ter uma idéia de como relacionar os dados para obter
uma solução.
Vamos utilizar esta estratégia. Considere a figura abaixo:

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Os extremos B e C do cateto n são dois dos vértices do triângulo retângulo.
Temos, então, que encontrar o terceiro vértice, A.
O vértice A está na perpendicular ao cateto n e está a uma distância m do vértice
B, isto é, A pertence a uma circunferência de centro em B e raio m.
Portanto, o vértice A pertence a perpendicular ao cateto n com a circunferência
de centro B e raio m.
Exemplo 8. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente
a ela.
Traçar pelo ponto P uma reta paralela à r.
Solução. Trace por P a reta t, perpendicular à r (ver exemplo 6). Depois trace por
P a reta s, perpendicular à t (ver exemplo 5).
As retas s e r são paralelas.

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Exercícios
6. Por que as retas s e r, no exemplo 6 são paralelas?
(Sugestão: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o
).
7. Abaixo estão representados: a reta d; o ponto F, não pertencente à d; o ponto
X, pertencente à d; e a reta t perpendicular à d pelo ponto X.
Encontre um ponto P pertencente à t que equidiste de F e X.
8. Abaixo estão representados uma circunferência C e um segmento AB.
Determine todos os pontos da circunferência C que equidistam de A e B.

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9. Desenhe um segmento. Agora construa um quadrado de lados iguais ao
segmento que você construiu.
10. Desenhe dois segmentos. Construa um triângulo retângulo de catetos iguais
a esses segmentos.
11. Desenhe um triângulo e represente seus vértices por A, B e C. Trace as
mediatrizes dos lados AB e BC e represente por G a interseção dessas
mediatrizes.
12. Utilize a figura exercício 11 para executar as seguintes atividades:
a) Com a ponta seca do compasso em O e abertura AO, construa uma
circunferência. O que você observou?
b) Construa a mediatriz CA. O ponto G pertence a esta mediatriz?
13. Como justificar os resultados encontrados nas atividades 11 a e 11 b,
utilizando congruência de triângulos.
14. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.
a) Construa as três alturas do triângulo ABC.
b) Após as construções o que pode concluir?
15. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.
a) Construa as três alturas do triângulo ABC.

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b) Após as construções o que pode concluir?
Bibliografia
1. [G] Giongo, Affonso Rocha, Construções Geométricas, Editora Nobel.
2. [W] Wagner,Eduardo: Construções Geométricas, Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM)
3. Software livre de geometria dinâmica Z.u.L. (ou equivalentemente C.a.R.),
http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothman/java/zirkel/