O documento apresenta os conceitos de determinantes e sistemas lineares. Em três frases: (1) Determinantes são números associados a matrizes quadradas que fornecem propriedades algébricas dessas matrizes; (2) Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que podem ser representadas em forma matricial; (3) O método de Cramer é apresentado para resolver sistemas lineares normais através do cálculo de determinantes.

1. DETERMINANTES
e
SISTEMAS LINEARES
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2. DETERMINANTES
Definição: Determinante é um número associado a
uma matriz quadrada de ordem n x n.
Matriz quadrada de ordem 1
Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a11 ),
o seu determinante será o próprio elemento a11.
det A = a11 = a11
Exemplo.:
A = ( 120 ) ⇒ det A = 120
B = (– 29 ) ⇒ det A = – 29
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3. Matriz quadrada de ordem 2
a11 a12 a11 a12
A= ⇒ det A = = a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21
a21 a22 a21 a22
Produto dos elementos da diagonal principal
menos o produto da diagonal secundária.
–3 2 –3 2
A= ⇒ det A = = (–3) ⋅ (–5) – (2) ⋅ (1)
1 –5 1 –5
det A = 15 – 2 = 13
det A = 13
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4. Matriz quadrada de ordem 3
Regra de Sarrus: Repete-se as duas primeiras linhas
abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras
colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a
soma do produto da diagonal principal com o produto
das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com
a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em
seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com
as diagonais. (det A = SDP – SDS)
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5. a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 ou a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
SDP = ( a11⋅a22⋅a33 + a21⋅a32⋅a13 + a31⋅a12⋅a23 )
SDS = ( a13⋅a22⋅a31 + a23⋅a32⋅a11 + a33⋅a12⋅a21 )
det A = SDP – SDI
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6. Propriedades dos determinantes
1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila
formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou
proporcionais
0 0
det A = = (0) ⋅ (5) – (0) ⋅ (3) = 0 – 0 = 0
3 5
1 3 5
det A = 3 0 –5
1 3 5
det A = ( 0 + 45 – 15 ) – ( 0 + 45 – 15 ) ⇒ det A = 0
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7. 2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas,
o determinante mudará o sinal.
1 3 5
det A = 3 0 –5
2 1 2
det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det A = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det A = –28
2 1 2
det A = 3 0 –5 = ( 0 + 18 – 5 ) – ( 0 – 30 + 15 )
1 3 5 ( 13 ) – ( –15 ) ⇒ det A = 28
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8. 3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz
quadrada por um número k, o seu determinante ficará
multiplicado por k.
2 4
det A = = (10) – (12) = –2
3 5
k=3
6 12
det B = = (30) – (36) = –6
3 5
⋅
det B = k⋅det A
⋅
det B = 3⋅(–2) = –6
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9. 4. Da propriedade 3, decorre que: det ( k⋅An ) = kn⋅det An.
⋅
2 4 6 12
A2 = ⇒ ⋅
3⋅A2 =
3 5 9 15
k=3
6 12
⋅
det ( 3⋅A2) = = (90) – (108) = –18
9 15
⋅
det ( 3⋅A2 ) = 32⋅det A2 = 9⋅(–2) = –18
⋅
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10. 5. det A = det AT .
1 3 5
det A = 3 0 –5
2 1 2
det A = ( 0 + 15 – 30 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det A = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det A = –28
1 3 2
det AT = 3 0 1
5 –5 2
det AT = ( 0 – 30 + 15 ) – ( 0 – 5 + 18 )
det AT = (– 15 ) – ( 13 ) ⇒ det AT = –28
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11. 6. det ( An ⋅ Bn ) = det A ⋅ det B
2 4 3 10
A2 = ; B2 =
3 5 1 2
2 4 3 10 10 28
A2 ⋅ B2 = ⋅ =
3 5 1 2 14 40
det ( An ⋅ Bn ) = 400 – 392 = 8
det A ⋅ det B = (–2) ⋅ (–4) = 8
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12. 7. det In = 1
1 0 0
det I3 = 0 1 0 ⇒ det I3 = 1
0 0 1
8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da
diagonal principal.
5 3 2
det A = 0 –2 1 det A = 5 ⋅ (–2) ⋅ 3 = –30
0 0 3
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13. Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz
possuirá inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante
for diferente de zero.
A–1⋅ A = A ⋅ A–1 = I ⇔ det A ≠ 0.
d –b
a b det A det A
1. Se A2x2 = , então : A–1 = –c a
c d
det A det A
1
2. det A–1 = , det A ≠ 0
det A
3. Se A possuir inversa, essa será única.
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14. 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que
satisfaz A2 = 2A, então o determinante de A será:
a) 0.
b) 1. det A2 = det (2A)
c) 2. det A ⋅ det A = 22 ⋅ det A
d) 3.
e) 4.
det A = 4
E
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15. 02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o
x x 1
determinante da matriz A = 2 x –x
a) 3. 1 x 1
b) 2. x x 1
c) 1. P(x) = 2 x –x P(x) = x2 + 2x – x2 – x + x3 – 2x
d) 0.
1 x 1 P(x) = x3 – x
e) 4.
x x 1 Grau 3
2 x –x
A
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16. 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
(01) Se K = (kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada
por kij = 22i + j para i < j e kij = i2 + 1 para i > j, então k é
uma matriz inversível.
k11 k12 2 16
K= K=
k21 k22 5 5
k11 = 12 + 1 = 2 Det K = 10 – 80 = –70 ≠ 0
k12 = 22(1) + 2 = 24 = 16 ∴ é inversível
k21 = 22 + 1 = 5 (01) - correta
k22 = 22 + 1 = 5
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17. (02) Se A e B são matrizes tais que A ⋅ B é uma matriz
nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula.
A ⋅ B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0.
(02) - incorreta
(04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos
5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R2 tem 625
elementos.
Ordem n
M5x7 ⋅ P7x5 = R5x5 (A matriz R possui 25 elementos)
c.e.p
Logo, a matriz R2 tem 25 elementos.
(04) - incorreta
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18. (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma
do elementos da diagonal principal de uma matriz
quadrada L; então Tr(L) = Tr(LT).
A transposta de uma matriz não altera sua diagonal
principal.
(08) - correta
GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09
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19. SISTEMAS LINEARES
Equação Linear é uma equação de forma:
a1⋅x1 + a2⋅x2 + a3⋅x3 + ... + an⋅xn = b
Portanto, um sistema será linear quando for composto de
equações lineares.
2x + 3y = 5 2x + 3y – z = 5
linear x–y +z=2
x–y=2
–5x – 3y + 4z = 10
2x2 + 3y = 5 2xy + 3y = 5
x–y=2 não-linear x–y=2
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20. Observações:
3x + 2y + z = 1 3 2 1 x 1 Forma
1. x – y + 3z = 2 ⇒ 1 –1 3 . y = 2
matricial
5x + 2y + z = 7 5 2 1 z 7
3 2 1 1 Forma matricial
1 –1 3 2
completa
5 2 1 7
2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é
denominanda matriz principal.
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21. 3. Se o número de equações é igual ao número de
∆
variáveis e o determinante da matriz principal (∆) for
diferente de zero,o sistema recebe o nome de normal.
4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o
sistem é chamado de homogêneo.
2x + 3y = 0
x–y=0
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22. Método de Cramer
a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + ... + a1n⋅xn = b1
a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + ... + a2n⋅xn = b2
.
.
.
an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + ... + ann⋅xn = bn
a11 a12 a13 ... a1n
∆ = a21 a.22 a23 ... a2n
.
. .
. .
an1 an2 an3 ... ann
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23. b1 a12 a13 ... a1n
∆x1 = b2 a22 a23 ... a2n
.
. .
.
. .
bn an2 an3 ... ann
a11 b1 a13 ... a1n
∆x2 = a21 b2 a23 ... a2n
.
. .
.
. .
an1 bn an3 ... ann
a11 a12 b1 ... a1n
∆x3 = a21 a22 b2 ... a2n
.
. .
. .
.
. . .
an1 an2 bn ... ann
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24. a11 a12 a13 ... b1
∆xn = a21 a22 a23 ... b2
.
.
. .
. .
. . .
an1 an2 an3 ... bn
Se ∆ ≠ 0 temos:
∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xn
x1 = ∆ , x2 = ∆ , x3 = ∆ , ... , xn = ∆
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25. Exemplo:
3x + 2y = 8
x–y=1 ∆x
x = ∆ = –10 = 2
–5
3 2
∆= =–3–2=–5 ∆y
1 -1 y = ∆ = –5 = 1
–5
8 2
∆x = = – 8 – 2 = – 10
1 -1 S = {(x, y)}
3 8
∆y = =3–8=–5 S = {(2, 1)}
1 1
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26. DISCUSSÃO DE SISTEMAS
determinado
Solução única ∆ ≠ 0
Possível
indeterminado
Sistema linear Infinitas soluções
∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0
Impossível (sem solução)
Infinitas soluções ∆ = 0 e
∆x ≠ 0 ou ∆y ≠ 0 ou ∆z ≠ 0.
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27. Se o sistema linear for homogêneo:
Possível e determinado ( ∆ ≠ 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} )
Solução trivial
Possível e indeterminado ( ∆ = 0 )
(Além da trivial, admitirá soluções próprias)
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28. 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois.
Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg.
Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg.
Quanto pesa Beatriz?
A+B = 30 A + B = 30 +
B + C = 28 -A + B = –6
A + C = 34 (–)
2B = 24
B = 12
Beatriz tem 12 kg.
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29. x+y+z=1
05. (UFSM – RS) Considere o sistema 2x + 2y + 2z = m .
3x + 3y + 3z = 4
Então, pode-se afirmar que o sistema é:
a) possível e indeterminado.
b) Impossível para qualquer valor de m.
c) Possível e determinado.
d) Possível para m ≠ 2.
e) Impossível apenas quando m ≠ 2.
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30. x+y+z=1
2x + 2y + 2z = m ÷ (2)
3x + 3y + 3z = 4 ÷ (3)
x+y+z=1 x+y+z=1
m
x+y+z= 2 4
x+y+z=
4 3
x+y+z=
3 Impossível para
qualquer valor de m.
B
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31. fim
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