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Equações do 1º grau
                                                           (Parte 3)

                                 Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf



Sumário                                                                                                                   Página
Equações do 1º grau com uma incógnita.................................................................................... 1
Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita .......................................................... 2
Usando equações na resolução de problemas ............................................................................ 6
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9
1


EQUAÇÕES DO 1º GRAU


Equações do 1º grau com uma incógnita


Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b ,
onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, é
denominada equação do 1º grau com uma incógnita.
Os números a e b são denominados coeficientes da equação.


Exemplos:
a) x = 6      equação do 1º grau na incógnita x

b) 3 x = 12        equação do 1º grau na incógnita x

c) − 2 y = 10        equação do 1º grau na incógnita y

d) 3t = −5         equação do 1º grau na incógnita t



Entretanto existem outras equações do 1º grau com uma incógnita que não são
escritas na forma ax = b .

Exemplos:
a) 2 x + 5 = x − 4       equação do 1º grau na incógnita x

         2
b) y +     y=5        equação do 1º grau na incógnita y
         3

c) 3( x − 1) = 6      equação do 1º grau na incógnita x

     z z −1
d)     +    =1         equação do 1º grau na incógnita z
     2   3


Essas equações podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equação do 1º
grau com uma incógnita através de transformações. Essas transformações são
baseadas na aplicação dos princípios de equivalência das igualdades.
2


Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita


                         x
Consideremos a equação     + 3 = 2( x − 1) cuja incógnita é representada pela letra
                         2
x, sendo x um número racional desconhecido (U = ).

Essa equação estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo
                                  x
número racional x, as expressões    + 3 e 2( x − 1) representam o mesmo
                                  2
número.

Como descobrir esse x?

Lembre-se:
 Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto
  universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista.



Observe os exemplos a seguir para ver como proceder para resolver equações do
1º grau com uma incógnita:

Exemplos:
a) Resolver a equação 5 x + 1 = 36 , sendo U =   .

Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (−1) aos dois membros da
equação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1º membro:
5 x + 1 = 36
      / /
5 x + 1 − 1 = 36 − 1
5 x = 35
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da
           1
equação por , descobrindo assim o valor do número x.
           5
5 x = 35
     1       1
5 x ⋅ = 35 ⋅
     5       5
x=7

Como 7 ∈      , temos S = {7}
3


Podemos resolver a mesma equação utilizando o método prático:
5 x + 1 = 36
5 x = 36 − 1 → aplicamos o princípio aditivo
5 x = 35
  35
x=   → aplicamos o princípio multiplicativo
   5
x=7

Como 7 ∈       , temos S = {7}



OBS: No método prático, cada vez que um termo troca de membro, troca a
operação. Muito cuidado para não confundir: não devemos trocar o sinal do
número e sim a sua operação. Por exemplo:
− 2 y = 10
    10
y=
    −2
y = −5

S = {−5}



b) Resolver a equação 7 x = 4 x + 5 , sendo U =   .

Utilizando o método prático:
7x = 4x + 5
7x − 4x = 5
3x = 5
     5
x=
     3

         5
Como       ∈   , temos:
         3

  5 
S= 
  3
4


c) Resolver a equação 9 x − 7 = 5 x + 13 , sendo U =       .

Utilizando o método prático:
9 x − 7 = 5 x + 13
9 x − 5 x = 13 + 7
4 x = 20
  20
x=
   4
x=5

Como 5 ∈         , temos:

S = {5}




d) Resolver a equação 2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5) , sendo U =   .

Utilizando o método prático:
2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5)
4 x − 2 − 6 + 12 x = 8 x − 10
4 x + 12 x − 8 x = −10 + 2 + 6
16 x − 8 x = −10 + 8
8 x = −2
  −2
x=
   8
    1
x=−
    4
           1
Como −       ∈     , temos:
           4

     1
S = − 
     4
5


                        3x 2     5
e) Resolver a equação     − = x − , sendo U =          .
                         4 3     2
Utilizando o método prático:

3x 2           5
    − = x−
 4 3           2
9 x − 8 12 x − 30
        =
  12          12
9 x − 8 = 12 x − 30                  − 3 x = −22 ⋅ (−1)
9 x − 12 x = −30 + 8           ou    3 x = 22
− 3 x = −22                               22
                                     x=
   − 22                                   3
x=
    −3
   22
x=
   3
       22
Como      ∈      , temos:
       3

   22 
S= 
  3



f) Resolver a equação 7 x + 6 = 7 x + 10 , sendo U =       .

Utilizando o método prático:
7 x + 6 = 7 x + 10
7 x − 7 x = 10 − 6
0x = 4
Como não existe nenhum número racional que multiplicado por zero dá
resultado 4, dizemos que a equação é impossível e S = .
6


g) Resolver a equação 5 − 2 x = 5 − 2 x , sendo U =   .

Utilizando o método prático:
5 − 2x = 5 − 2x
− 2x + 2x = 5 − 5
0x = 0
Como todo número racional verifica essa igualdade, dizemos que a equação é
uma identidade e S = .




Usando equações na resolução de problemas


A resolução matemática de problemas é muito facilitada pela estrutura algébrica.
Quando vamos resolver um problema, devemos:

• Ler com atenção o problema e levantar dados.

• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras
  e símbolos.

• Resolver a equação estabelecida.

• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.
Vejamos alguns exemplos de problemas em cujas soluções serão usadas
equações do 1º grau.



Exemplos:
a) Luiz e Roberto jogam na mesma equipe de basquete. No último jogo dessa
equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Luiz marcou 10 pontos a mais que
Roberto. Quantos pontos cada um marcou nessa partida?

Resolução:

 x = número total de pontos que Roberto marcou
 x + 10 = número total de pontos que Luiz marcou
7


Como os dois junto marcaram 52 pontos, vamos escrever a equação:
x + ( x + 10) = 52
x + x + 10 = 52
2 x = 52 − 10
2 x = 42
     42
x=
      2
x = 21


Roberto marcou 21 pontos

Luiz marcou 21 + 10 = 31 pontos.



Resposta: Roberto marcou 21 pontos e Luiz marcou 31 pontos.




b) Em uma página de jornal, 25% da área foi reservada às fotos, e sobraram
420 cm2. Qual era a área total da página?

Resolução:

x = área total da página
                              25 1
Convém lembrar que 25% =        =
                             100 4
 1
   x = área da página destinada às fotos
 4


Escrevendo a equação que relaciona os dados, temos:
8


1
  x + 420 = x
4
1
  x − x = −420
4
x − 4 x − 1680
        =
   4        4
x − 4 x = −1680
− 3 x = −1680 ⋅ (−1)
3 x = 1680
    1680
x=
      3
x = 560


Resposta: A área total dessa página de jornal era 560 cm2.




c) Numa 6ª série de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turma
ou torcem pelo Grêmio ou pelo Internacional ou por ambos. Uma professora
perguntou:

_ Quem torce pelo Internacional?

36 alunos levantaram a mão.

A seguir, a professora perguntou:
_ Quem torce pelo Grêmio?

28 alunos levantaram a mão.
Nessa turma, quantos alunos torcem, ao mesmo tempo, pelo Grêmio e pelo
Internacional?


Resolução:

Para resolver este problema, podemos montar o seguinte diagrama:
9




x = número de alunos que torcem pelos dois times ao mesmo tempo
36 – x = número de alunos que torcem pelo Internacional
28 – x = número de alunos que torcem pelo Grêmio



A soma desses números deverá dar o total de alunos da sala; assim, teremos a
equação:

(36 − x) + x + (28 − x) = 42
36 − x + x + 28 − x = 42
− x + 64 = 42
− x = 42 − 64
− x = −22 ⋅ (−1)
x = 22



Resposta: Nessa turma, há 22 alunos que torcem, ao mesmo tempo, pelos dois
clubes.




Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em:
  30 de julho de 2008.
10


DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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  • 1. Equações do 1º grau (Parte 3) Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Equações do 1º grau com uma incógnita.................................................................................... 1 Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita .......................................................... 2 Usando equações na resolução de problemas ............................................................................ 6 Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9
  • 2. 1 EQUAÇÕES DO 1º GRAU Equações do 1º grau com uma incógnita Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b , onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, é denominada equação do 1º grau com uma incógnita. Os números a e b são denominados coeficientes da equação. Exemplos: a) x = 6 equação do 1º grau na incógnita x b) 3 x = 12 equação do 1º grau na incógnita x c) − 2 y = 10 equação do 1º grau na incógnita y d) 3t = −5 equação do 1º grau na incógnita t Entretanto existem outras equações do 1º grau com uma incógnita que não são escritas na forma ax = b . Exemplos: a) 2 x + 5 = x − 4 equação do 1º grau na incógnita x 2 b) y + y=5 equação do 1º grau na incógnita y 3 c) 3( x − 1) = 6 equação do 1º grau na incógnita x z z −1 d) + =1 equação do 1º grau na incógnita z 2 3 Essas equações podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equação do 1º grau com uma incógnita através de transformações. Essas transformações são baseadas na aplicação dos princípios de equivalência das igualdades.
  • 3. 2 Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita x Consideremos a equação + 3 = 2( x − 1) cuja incógnita é representada pela letra 2 x, sendo x um número racional desconhecido (U = ). Essa equação estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo x número racional x, as expressões + 3 e 2( x − 1) representam o mesmo 2 número. Como descobrir esse x? Lembre-se: Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista. Observe os exemplos a seguir para ver como proceder para resolver equações do 1º grau com uma incógnita: Exemplos: a) Resolver a equação 5 x + 1 = 36 , sendo U = . Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (−1) aos dois membros da equação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1º membro: 5 x + 1 = 36 / / 5 x + 1 − 1 = 36 − 1 5 x = 35 Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da 1 equação por , descobrindo assim o valor do número x. 5 5 x = 35 1 1 5 x ⋅ = 35 ⋅ 5 5 x=7 Como 7 ∈ , temos S = {7}
  • 4. 3 Podemos resolver a mesma equação utilizando o método prático: 5 x + 1 = 36 5 x = 36 − 1 → aplicamos o princípio aditivo 5 x = 35 35 x= → aplicamos o princípio multiplicativo 5 x=7 Como 7 ∈ , temos S = {7} OBS: No método prático, cada vez que um termo troca de membro, troca a operação. Muito cuidado para não confundir: não devemos trocar o sinal do número e sim a sua operação. Por exemplo: − 2 y = 10 10 y= −2 y = −5 S = {−5} b) Resolver a equação 7 x = 4 x + 5 , sendo U = . Utilizando o método prático: 7x = 4x + 5 7x − 4x = 5 3x = 5 5 x= 3 5 Como ∈ , temos: 3 5  S=  3
  • 5. 4 c) Resolver a equação 9 x − 7 = 5 x + 13 , sendo U = . Utilizando o método prático: 9 x − 7 = 5 x + 13 9 x − 5 x = 13 + 7 4 x = 20 20 x= 4 x=5 Como 5 ∈ , temos: S = {5} d) Resolver a equação 2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5) , sendo U = . Utilizando o método prático: 2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5) 4 x − 2 − 6 + 12 x = 8 x − 10 4 x + 12 x − 8 x = −10 + 2 + 6 16 x − 8 x = −10 + 8 8 x = −2 −2 x= 8 1 x=− 4 1 Como − ∈ , temos: 4  1 S = −   4
  • 6. 5 3x 2 5 e) Resolver a equação − = x − , sendo U = . 4 3 2 Utilizando o método prático: 3x 2 5 − = x− 4 3 2 9 x − 8 12 x − 30 = 12 12 9 x − 8 = 12 x − 30 − 3 x = −22 ⋅ (−1) 9 x − 12 x = −30 + 8 ou 3 x = 22 − 3 x = −22 22 x= − 22 3 x= −3 22 x= 3 22 Como ∈ , temos: 3  22  S=  3 f) Resolver a equação 7 x + 6 = 7 x + 10 , sendo U = . Utilizando o método prático: 7 x + 6 = 7 x + 10 7 x − 7 x = 10 − 6 0x = 4 Como não existe nenhum número racional que multiplicado por zero dá resultado 4, dizemos que a equação é impossível e S = .
  • 7. 6 g) Resolver a equação 5 − 2 x = 5 − 2 x , sendo U = . Utilizando o método prático: 5 − 2x = 5 − 2x − 2x + 2x = 5 − 5 0x = 0 Como todo número racional verifica essa igualdade, dizemos que a equação é uma identidade e S = . Usando equações na resolução de problemas A resolução matemática de problemas é muito facilitada pela estrutura algébrica. Quando vamos resolver um problema, devemos: • Ler com atenção o problema e levantar dados. • Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras e símbolos. • Resolver a equação estabelecida. • Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente. Vejamos alguns exemplos de problemas em cujas soluções serão usadas equações do 1º grau. Exemplos: a) Luiz e Roberto jogam na mesma equipe de basquete. No último jogo dessa equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Luiz marcou 10 pontos a mais que Roberto. Quantos pontos cada um marcou nessa partida? Resolução: x = número total de pontos que Roberto marcou x + 10 = número total de pontos que Luiz marcou
  • 8. 7 Como os dois junto marcaram 52 pontos, vamos escrever a equação: x + ( x + 10) = 52 x + x + 10 = 52 2 x = 52 − 10 2 x = 42 42 x= 2 x = 21 Roberto marcou 21 pontos Luiz marcou 21 + 10 = 31 pontos. Resposta: Roberto marcou 21 pontos e Luiz marcou 31 pontos. b) Em uma página de jornal, 25% da área foi reservada às fotos, e sobraram 420 cm2. Qual era a área total da página? Resolução: x = área total da página 25 1 Convém lembrar que 25% = = 100 4 1 x = área da página destinada às fotos 4 Escrevendo a equação que relaciona os dados, temos:
  • 9. 8 1 x + 420 = x 4 1 x − x = −420 4 x − 4 x − 1680 = 4 4 x − 4 x = −1680 − 3 x = −1680 ⋅ (−1) 3 x = 1680 1680 x= 3 x = 560 Resposta: A área total dessa página de jornal era 560 cm2. c) Numa 6ª série de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turma ou torcem pelo Grêmio ou pelo Internacional ou por ambos. Uma professora perguntou: _ Quem torce pelo Internacional? 36 alunos levantaram a mão. A seguir, a professora perguntou: _ Quem torce pelo Grêmio? 28 alunos levantaram a mão. Nessa turma, quantos alunos torcem, ao mesmo tempo, pelo Grêmio e pelo Internacional? Resolução: Para resolver este problema, podemos montar o seguinte diagrama:
  • 10. 9 x = número de alunos que torcem pelos dois times ao mesmo tempo 36 – x = número de alunos que torcem pelo Internacional 28 – x = número de alunos que torcem pelo Grêmio A soma desses números deverá dar o total de alunos da sala; assim, teremos a equação: (36 − x) + x + (28 − x) = 42 36 − x + x + 28 − x = 42 − x + 64 = 42 − x = 42 − 64 − x = −22 ⋅ (−1) x = 22 Resposta: Nessa turma, há 22 alunos que torcem, ao mesmo tempo, pelos dois clubes. Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em: 30 de julho de 2008.
  • 11. 10 DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.